文档内容
专题 03 三角形全等模型之一线三等角模型与半角模型
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、一线三等角（K型图）模型（同侧型）.............................................................................................3
类型二、一线三等角（K型图）模型（异侧型）.............................................................................................5
类型三、半角模型之90°-45°型..........................................................................................................................9
类型四、半角模型之60°-30°型或120°-60°型..................................................................................................15
压轴能力测评（8题）.....................................................................................................................................20
解题知识必备
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： + CE=DE
证明思路： +任一边相等
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
【常见模型及证法】
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： + 任意一边相等
证明思路： +任一边相等模型3.半角模型之90°-45°型
【模型展示】
（1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
（2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
模型4.半角模型之60°-30°型或120°-60°型
（1）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
（2）等边三角形半角模型（60°-30°型）
压轴题型讲练
类型一、一线三等角（K型图）模型（同侧型）
例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在 中， ， 三点都在直线m上，
且 ．(1)如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
(3)如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度由点D向点E运
动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为 ．是否存在x，
使得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在 中， ．
(1)如图1，直线 过点B， 于点M， 于点N，且 ，求证：
．
(2)如图2，直线 过点B， 交 于点M， 交 于点N，且 ，则
是否成立？请说明理由！
类型二、一线三等角（K型图）模型（异侧型）
例题：（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有
关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片 中， ， .将点C放在直线 上，点A，B位于直线 的同侧，
过点A作 于点D初步探究：
(1)在图1的直线 上取点E，使 ，得到图2，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片 继续进行拼图操作，其中 ， .小颖在图1的基础
上，将三角形纸片 的顶点P放在直线 上，点M与点B重合，过点N作 于点H.如图3，探究
线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由
【变式训练1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ________， ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2， ， ， ，连接 ，且 于点F， 与直线
交于点G．求证：点G是 的中点；
(3)如图3，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，
．求出 的值．类型三、半角模型之90°-45°型
例题：（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形 的
边 、 上， ，连接 ，则有 ，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形 中， ， ，点E、F分别在边 、 上，
，若 ， 都不是直角，且 ，试探究 、 、 之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在 中， ， ，点D、E均在边 上，且
，猜想 、 、 满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．
【变式训练1】如图①，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，我们称
之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将 绕点 顺
时针旋转 ，点 与点 重合，连接 、 、 ．
(1)试判断 ， ， 之间的数量关系；
(2)如图②，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，请写出
、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上， ，请直接写出 ， ， 之间数量关系．类型四、半角模型之60°-30°型或120°-60°型
例题：（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形 中，
， ， ，点E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，
探究线段 之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点，
且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延长线
上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明．
【变式训练1】问题背景：
如图1，在四边形ABCD中 ， ， ，E、F分别是BC，CD上的点，且
∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点
G，使DG＝BE，连接AG，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应
是______．
实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，
在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得
，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
压轴能力测评（8题）
1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，
则DE的长为 ．
2．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ．
(1)当直线 绕点 旋转到图 的位置时，求证：
① ；
② ；
(2)当直线 绕点 旋转到图 的位置时， ， ，求线段 的长．3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直
线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等
三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1， ， ．猜想 ， ， 之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为 ， ，请问（1）中的结
论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在 中，点 为 上一点， ， ， ， ，请直接写
出 的长．
4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几
何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形 中，以 为顶点的 ， 、 与 、 边分别交于 、 两点．易
证得 ．
大致证明思路：如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，由 可得 、 、
三点共线， ，进而可证明 ，故 ．
任务：如图3，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点的 ， 、
与 、 边分别交于 、 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 是否依
然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
5．问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点
．由 ，得 ．又 ， ，可以推
理得到 ，进而得到 ＝______， ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称
为“ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图， ， ， ，连接 、 ，且 于点 ， 与
直线 交于点 ，求证：点 是 的中点；
②如图，若点 为 轴上一动点，点 为 轴上一动点，点 的坐标为 ，是否存在以 、 、 为
顶点且以 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
7．（ ）如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是边 上的点，且
，线段 之间的关系是 ；（不需要证明）（ ）如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是边 上的点，且
，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，
并证明．
（ ）如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是边 延长线上的点，
且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
8．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有 ，且满足
．
【积累经验】
（1）如图1，当 时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请
说明理由；【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是钝角， ， ， ，直线
m与CB的延长线交于点F，若 ， 的面积是12，请直接写出 与 的面积之和．
