文档内容
专题 01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：内切球等体积法.................................3
题型二：内切球独立截面法...............................3
题型三：外接球公式法...................................4
题型四：外接球补型法...................................4
题型五：外接球单面定球心法.............................4
题型六：外接球双面定球心法.............................5
三、专项训练..............................................5
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面
体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多
面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即 ： ， 可 求出 .
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
AB=CD，AD=BC，AC=BD）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选
中底面 ，确定其外接圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边
中点上，普通三角形用正弦定理定外心 ）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注
意不一定在线段 上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式
可计算出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心）
O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
B C①选定底面 ，定 外接圆圆心
②选定面 ，定 外接圆圆心
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（2024·全国·模拟预测）将菱形 沿对角线 折起，当四面体 体积最大
时，它的内切球和外接球表面积之比为 ．
2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥 中， 是边长为 的正三角
形，顶点 在底面 上的射影是 的中心，且 ．三棱锥 的内切球为
球 ，外接球为球 ，若球 的半径为 ，球 的半径为 ，则 ；若 为
球 上任意一点， 为球 上任意一点，则线段 的最小值为
3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为
直角三角形的四面体称之为鳖臑 现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且
，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积
为 ．
题型二：内切球独立截面法
1．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥
的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为 ，则该圆锥的表面
积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
3．（2024高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为，求球和圆台的体积之比．
题型三：外接球公式法
1．（2024·天津·二模）已知正方体 的外接球的体积为 ，点 为棱
的中点，则三棱锥 的体积为（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知 是球O表面上不同的点， 平面
， ， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
题型四：外接球补型法
1．（2024·河南信阳·模拟预测）把 沿三条中位线折叠成四面体 ，其中
， ， ，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ，
，则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球
球面上一动点， 时，动点 的轨迹长度为 ．
题型五：外接球单面定球心法
1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ，
，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥 中， ， ，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体 中， ，且 与
所成的角为 .若四面体 的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为
.
题型六：外接球双面定球心法
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体 中，侧面 的面积为2，
若在棱 上存在一点 ，使得 为等边三角形，则四棱锥 外接球表面积
的最小值为 .
2．（23-24高二上·江西九江·期中）如图， 是边长为 的正三角形 的一条中位
线，将 沿 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥
外接球 的表面积为 ；过 靠近点 的三等分点 作球 的截面，则所得截
面圆面积的最小值是
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，
， ， ，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等
于（ ）．
A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥 中， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体ABCD的各顶点均在球 的球面上，平面
平面 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为 ，底面半径为 的圆锥木头
加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广西·二模）已知轴截面为正方形的圆柱 的体积与球 的体积之比为 ，则
圆柱 的表面积与 球的表面积之比为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024·广东·二模）已知球 与圆台 的上、下底面和侧面均相切，且球 与圆台
的体积之比为 ，则球 与圆台 的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形，
， ， 是边长为2的正三角形， ，则
四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互
相垂直，且 ， ，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题10．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥内半径最大
的球的体积为 .
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，将 沿 翻
折，使二面角 的余弦值为 ，则四面体 的外接球的表面积为 .
12．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 .
