专题 22.2 二次函数图象与一次函数
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴
交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点B，P，C为顶点的三角形面积最大，若存在请求出最大
面积和P点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）采用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线AC的解析式．
（2）将抛物线的解析式变形为y=−(x−1) 2+4，则顶点D的坐标为(1,4)，顶点D(1,4)关于y轴的对称点
为D′(−1,4)，连接BD′，线段BD′与y轴的交点即为点M．
（3）设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为−m2+2m+3，分三种情况进行讨论：当m<0时；当m>3
时；当0<m<3时．
【解题过程】{a−2+c=0
)
解：（1）抛物线y=ax2+2x+c的图象过A(−1,0)，B(3,0)两点，可得 ，
9a+6+c=0
{a=−1)
解得： ，
c=3
抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
可得点C的坐标为(0,3)．
设直线AC的解析式为y=a x+b．
1
{−a +b=0)
直线AC的图象经过点A(−1,0)，C(0,3)，可得 1 ，
b=3
{a =3)
解得 1 ，
b=3
直线AC的解析式为y=3x+3．
（2）将抛物线的解析式变形为y=−(x−1) 2+4，则顶点D的坐标为(1,4)．
顶点D(1,4)关于y轴的对称点为D′(−1,4)．
连接BD′，线段BD′与y轴的交点即为点M．
根据轴对称图形的性质可知DM=D′M．
设直线BD′的解析式为y=a x+b ．
2 2
{ b =3 )
直线BD′的图象经过点B(3,0)，D′(−1,4)，可得： 2 ，
−a +b =4
2 2
{a =−1)
解得： 2 ，
b =3
2
直线BD′的解析式为y=−x+3，
令x=0，则y=3．
所以，点M的坐标为(0,3)．
（3）不存在，理由如下：
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为−m2+2m+3．
①当a<0时．
设直线BP：y=kx+b ，它的图象经过点B(3,0)，P(m,−m2+2m+3)，可得
1{−m2+2m+3=km+b
)
1 ，
0=3k+b
1
{k=−m−1)
解得 ，
b =3m+3
1
直线BP的解析式为y=(−m−1)x+3m+3．
所以，直线BP与y轴的交点G的坐标为(0,3m+3)．
可得CG=3−(3m+3)=−3m．
1 3 9
S = ×(−3m)×(3−m)= m2− m．
△BCP 2 2 2
可知S 没有最大值．
△BCP
②当m>3时．
设直线CP：y=k x+b 的图象经过点C(0,3)，P(m,−m2+2m+3)，可得
1 3
{−m2+2m+3=k m+b )
1 3 ，
3=b
3
{k =−m+2)
解得： 1 ，
b =3
3
直线CP的解析式为y=(−m+2)x+3．
( 3 )
所以，直线CP与x轴的交点T的坐标为 ,0 ．
m−2
3 3m−9
可得BT=3− = ．
m−2 m−2
1 3a−9
S = × ×[3−(−m2+2m+3))
△BCP 2 a−2
1 3m−9 1 3m2 9
= × ×(m2−2m)= ×(3m−9)×m= − m．
2 m−2 2 2 2
可知S 没有最大值．
△BCP
③当0<m<3时．
与直线BC平行的直线与抛物线仅有一个交点时，该交点即为点P，此时S 的面积最大，该最大值为一
△BCP
个固定值，但不是整个抛物线上面积的最大值．
综上所述，点B，P，C为顶点的三角形面积不存在最大值．◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2+nx(m≠0)和一次函数
y=mx−n(m≠0)的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置可得出m、n的范围，再根据m、n的范围判断一次函数
的图象所经过的象限，由此逐项判断即可得到答案．
【解题过程】
解：A、∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的开口向下，
∴m<0，
∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的对称轴在y轴的左侧，
n
∴− <0，
2m
∴n<0，
当m<0，n<0时，−n>0，一次函数y=mx−n(m≠0)的图象经过一、二、四象限，故A错误，不符合题
意；
B、∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的开口向下，
∴m<0，
∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的对称轴在y轴的右侧，n
∴− >0，
2m
∴n>0，
当m<0，n>0时，−n<0，一次函数y=mx−n(m≠0)的图象经过二、三、四象限，故B正确，符合题
意；
C、∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的开口向上，
∴m>0，
∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的对称轴在y轴的右侧，
n
∴− >0，
2m
∴n<0，
当m>0，n<0时，−n>0，一次函数y=mx−n(m≠0)的图象经过一、二、三象限，故C错误，不符合题
意；
D、∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的开口向上，
∴m>0，
∵二次函数y=mx2+nx(m≠0)的对称轴在y轴的左侧，
n
∴− <0，
2m
∴n>0，
当m>0，n>0时，−n<0，一次函数y=mx−n(m≠0)的图象经过一、三、四象限，故D错误，不符合题
意；
故选：B．
{x2(x≤2))
2．（2024·广西桂林·二模）如图所示，已知函数y = 8 的图象与一次函数y =x+b的图象有三个
1 (x>2) 2
x
交点，则b的取值范围是（ ）1 1 1 1
A．− ≤b≤2 B．b>− C．− ≤b<2 D．− <b<2
4 4 4 4
【思路点拨】
此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，
首先根据题意画出图象，然后求出A(2,4)，代入y =x+b求出b=2；然后得到当一次函数y =x+b的图象
2 2
1
与y=x2相切时，得到x2−x−b=0的Δ=b2−4ac=0，进而求出b=− ，然后根据图象求解即可．
4
【解题过程】
解：如图所示，
当x=2时，函数y=x2=22=4，
∴A(2,4)，
当一次函数y =x+b的图象经过点A时，
2
∴4=2+b，解得b=2；
当一次函数y =x+b的图象与y=x2相切时，
2
∴x2=x+b，即x2−x−b=0，
∴Δ=b2−4ac=0，
∴(−1) 2−4×1×(−b)=0，
1
解得b=− ，
4
{x2(x≤2))
1
∴由图象可得，当− <b<2时，函数y = 8 的图象与一次函数y =x+b的图象有三个交点．
4 1 (x>2) 2
x
故选：D．
3．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=x2−4|x|+3的部分图象，
若关于x的方程x2−4|x|+3=kx有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）A．4+2❑√3或4−2❑√3 B．−4+2❑√3或−4−2❑√3
C．4+2❑√3或−4−2❑√3 D．4−2❑√3或−4+2❑√3
【思路点拨】
此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键，补全函数图象，分k>0和k<0两
种情况分别利用数形结合进行解答即可.
【解题过程】
解：由函数y=x2−4|x|+3可知，x>0和x<0时的函数图象关于y轴对称，补全函数图象如图所示，
当k>0时，当直线y=kx与 函数y=x2−4|x|+3的图象有三个交点时，
则x2+4x+3=kx，即x2+(4−k)x+3=0有两个相等的实数根，即Δ=(4−k) 2−12=0，
解得k=4+2❑√3或k=4−2❑√3，
由图象可知，k=4+2❑√3不合题意，舍去，
即k=4−2❑√3，
当k<0时，当直线y=kx与 函数y=x2−4|x|+3的图象有三个交点时，
则x2−4x+3=kx，即x2−(4+k)x+3=0有两个相等的实数根，即Δ=(4+k) 2−12=0，
解得k=−4+2❑√3或k=−4−2❑√3，
由图象可知，k=−4−2❑√3不合题意，舍去，即k=−4+2❑√3，
综上可知，k的值为4−2❑√3或−4+2❑√3，
故选：D
4．（2024·湖南常德·一模）将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余
部分不变，得到的新图像与直线y=x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
21 21
A．m≤−5 B．− ≤m<−5 C．− <m<−3 D．m≥−3
4 4
【思路点拨】
本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标
问题转化为解关于x的一元二次方程．解方程−x2+2x+3=0得(−1,0)，(3,0)，再利用折叠的性质求出折
叠部分的解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3(−1≤x≤3)，然后求出直线y=x+m经过点(3,0)时
m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2−2x−3(−1≤x≤3)有唯一公共点时m的值，即可得解．掌握抛物
线与x轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变
换．
【解题过程】
解：对抛物线y=−x2+2x+3，
当y=0时，得：−x2+2x+3=0，
解得：x=−1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为(−1,0)、(3,0)，
∵将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当−1≤x≤3时，解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3，如图，
当直线y=x+m经过点(3,0)时，此时直线y=x+m与新函数图像有3个交点，
把(3,0)代入直线y=x+m，解得：m=−3，
将直线y=x+m向下平移时，有4个交点，
当y=x2−2x−3与直线y=x+m有一个交点时，此时直线y=x+m与新函数图像有3个交点，整理得：x2−3x−3−m=0，
∴(−3) 2−4(−3−m)=0，
21
解得：m=− ，
4
21
综上所述，新图像与直线y=x+m有4个交点时，m的取值范围是− <m<−3．
4
故选：C．
{ ax2+bx+c(x≥0) )
5．（2024·安徽合肥·一模）对于二次函数y=ax2+bx+c，定义函数y=
是它的相
−ax2−bx−c(x<0)
关函数．若一次函数y=x+1与二次函数y=x2−4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能
是（ ）
1
A．−1 B．0 C． D．2
2
【思路点拨】
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：①一次函数
y=x+1分别与y=x2−4x+c(x≥0)，y=−x2+4x−c(x<0)相交一点；②一次函数y=x+1与
y=x2−4x+c(x≥0)有两个交点，与y=−x2+4x−c(x<0)不相交 ；求出c的取值范围，即可求解，掌
握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：当x≥0时，二次函数y=x2−4x+c的相关函数为y=x2−4x+c
当x<0时，二次函数y=x2−4x+c的相关函数为y=−x2+4x−c，
∴二次函数y=x2−4x+c的相关函数为 y= { x2−4x+c(x≥0) ) ，
−x2+4x−c(x<0)
b
二次函数y=x2−4x+c的图象开口向上，与y轴的交点为(0,c)，对称轴为直线x=− =2,
2a
当0≤x<2时，y随x的增大而减小，当 x>2时，y随x的增大而增大；
b
二次函数y=−x2+4x−c的图象开口向下，与y轴的交点为(0,−c)，对称轴为直线x=− =2，当x<0
2a
时，y随x的增大而增大；一次函数y=x+1与y轴的交点为(0,1)
一次函数y=x+1与二次函数y=x2−4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：
①一次函数y=x+1分别与y=x2−4x+c(x≥0)，y=−x2+4x−c(x<0)相交一点，
{ c<1 )
则有 ，
−c>1
解得c<−1；
②一次函数y=x+1与y=x2−4x+c(x≥0)有两个交点，与y=−x2+4x−c(x<0)不相交 ，
{ c≥1 )
则有 ，
−c<1
解得c≥1，
且x+1=x2−4x+c，
即x2−5x+c−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−5) 2−4(c−1)>0，
29
解得c< ，
4
29
∴1≤c< ；
4
29
综上所述，c<−1或1≤c< ，
4
∴c的值可能是2，
故选：D．
6．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y =−x2+1，直线y =−x+1，下列判断中：
1 2
①当x<0或x>1时，y <y ；
1 2
②当x=−2或x=3时，y −y =6；
2 1
1
③当x> 时y −y 随x的增大而增大；
2 1 2
1
④使|y −y )= 的x的值有3个．
1 2 3
其中正确的个数有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由图知：抛物线y =−x2+1与直线y =−x+1交于(0,1)和(1,0)，由此可判断①正确；求出y −y =x2−x
1 2 2 1
，将x=−2和x=3代入求值即可判断②正确；由y −y =−x2+x=− ( x− 1) 2 − 1 ，根据二次函数的增减
1 2 2 4
1 1 1 1
性可判断③错误；由|y −y )= 得 |−x2+x)= ，则可得−x2+x= 或−x2+x=− ．根据一元二次方程
1 2 3 3 3 3
根的判别式即可判断④错误．
【解题过程】
解：由图知：抛物线y =−x2+1与直线y =−x+1交于(0,1)和(1,0)，
1 2
当x<0或x>1时，y <y ；
1 2
故①正确；
∵y −y =(−x+1)−(−x2+1)=x2−x
2 1
当x=−2时，y −y =(−2) 2−(−2)=6，
2 1
当x=3时，y −y =32−3=6 ，
2 1
故②正确；
∵y −y =(−x2+1)−(−x+1)=−x2+x=− ( x− 1) 2 − 1 ，开口向下，对称轴为x= 1 ，
1 2 2 4 2
1
∴当x> 时y −y 随x的增大而减小；
2 1 2
故③错误；1 1
由|y −y )= 得 |−x2+x)= ，
1 2 3 3
1 1
∴−x2+x= 或−x2+x=−
．
3 3
1
由−x2+x= 得3x2−3x+1=0，
3
∵Δ=9−12=−3<0，
∴此方程无解；
1
由−x2+x=− 得3x2−3x−1=0，
3
∵Δ=9+12=21>0，
∴此方程由两个不相等的实数根．
1
∴使|y −y )= 的x的值有2个，
1 2 3
故④错误；
综上，正确的有2个，
故选：B．
7．（2023九年级上·江苏·专题练习）二次函数y=(x−b) 2+b+1的图象与一次函数y=−x+5(−1≤x≤5)
的图象没有交点，则b的取值范围是( )
17 17 17
A．b<−4 B．b> C．b<−4或b> D．−4<b<
8 8 8
【思路点拨】
本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出x=−1和x=5时，y的值，再分
b<−1，−1≤b≤5和b>5三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【解题过程】
解：对于一次函数y=−x+5(−1≤x≤5)，
当x=−1时，y=1+5=6，
当x=5时，y=−5+5=0，
二次函数y=(x−b) 2+b+1的对称轴为x=b，
由题意，分以下三种情况：
（1）当b<−1时，
若两个函数的图象没有交点，则当x=−1时，二次函数的函数值大于6；或当x=5时，二次函数的函数值小于0，
即(−1−b) 2+b+1>6或(5−b) 2+b+1<0，
不等式(−1−b) 2+b+1>6可化为b2+3b−4>0，
利用因式分解法解方程b2+3b−4=0得：b =1，b =−4，
1 2
由二次函数z=b2+3b−4的性质可知，当z>0时，b<−4或b>1(舍去)，
同理可得：不等式(5−b) 2+b+1<0无解，
综上，此时b的取值范围为b<−4；
（2）当−1≤b≤5时，
若两个函数的图象没有交点，则¿无解，
即关于x的方程x2+(1−2b)x+b2+b−4=0无解，
则方程的根的判别式Δ=(1−2b) 2−4(b2+b−4)<0，
17
解得b> ，
8
17
则此时b的取值范围为 <b≤5；
8
（3）当b>5时，
9 2 23
当x=5时，二次函数的函数值为y=(5−b) 2+b+1=(b− ) + >0，
2 4
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时b的取值范围为b>5；
17
综上，b的取值范围为b<−4或b> ，
8
故选：C．
8．（2023·山东青岛·三模）如图，直线y=kx＋c与抛物线y=ax2 ＋bx＋c的图象都经过y轴上的D
点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx＋c与x轴交于点C
（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ）A．abc>0 B．3b<2c C．a＋b=k D．0<ac＋k<1
【思路点拨】
根据开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点坐标，判断出a、b、c的符号，即可判断A选项；当
1
x=−1时y=a−b+c<0，将a=− b,代入即可得到b与a的关系，即可判断B选项；根据直线y=kx+c
2
与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，即可得ax2+bx+c=kx+c,求出x值，在根据交点在图中位
k+2a
置，得到x >1，即可判断C选项；先根据交点在B(2−c,0)右边，得到 >2−c,即可得到ac+k>0
2 a
，在通过根于系数关系判得a<1，再根据c>0,−1<k<0，即可得到ac+k<1，即可判断D．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0．
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴b<0且b=−2a.
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0．
∴abc<0，
故A错误；
由图象可知：当x=−1时y=a−b+c>0．
1
∵a=− b,
2
1
∴− b−b+c>0．
2
3
即− b+c>0．
2
∴3b−2c<0．即3b<2c
故B正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ ax2+bx+c=kx+c,
k−b
得x =0，x = ．
1 2 a
由图象知x >1，
2
k−b
∴ >1，
a
∴k>a+b
∴C错误；
∵b=−2a,
k+2a
∴x= ．
a
∵交点在B(2−c,0)右边，
k+2a
∴ >2−c,
a
∴k+2a>2a−ac,
∴ac+k>0，
∵A(c,0)，B(2−c,0)，
c
∴c(2−c)=
a
1
∴2−c= ，
a
1
∴2− =c,
a
∵OA=OD=c<1，
1
∴2− <1，
a
∴a<1，
∴ac<1．
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k<0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为(c,0)．
直线y=kx+c当x=c时，y>0，∴kc+c>0可得k>−1．
∴−1＜k<0，
∴ac+k<1
故D错误．
故选：B．
9．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，直线
1
y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)．下列说法：①ab>0；②4a+c<0；③若(−2,y )与( ,y )是抛物
1 2 2
线上的两个点，则y <y ；④方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1；⑤当x=−1时，函数
1 2 1 2
y=ax2+(b−k)x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判
断即可得出结论．
【解题过程】
解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a<0
∵抛物线的对称轴为直线x=−1
b
∴− =−1
2a
∴b=2a，b<0
∵a<0，b<0
∴ab>0
故①的结论正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,0)∴9a−3b+c=0
∴9a−3×2a+c=0
∴3a+c=0
∴4a+c=a<0
故②的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1
∴点(−2,y )关于直线x=−1对称的对称点为(0,y )
1 1
∵a<0，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小
1
∵−1<0<
2
∴y >y
1 2
故③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线经过点(3,0)
∴抛物线一定经过点(1,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标分别为−3，1，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1，
1 2
故④的结论正确；
∵直线y=kx+c经过点(−3,0），
∴−3k+c=0
∴c=3k
∵3a+c=0
∴c=−3a，
∴3k=−3a，
∴k=−a．
∴函数y=ax2+（b−k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
3 2 9
=a(x+ ) − a
2 4
∵a<0，3
∴当x=− 时，函数y＝ax2+(b+k)x有最大值，
2
故⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
10．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数y =kx−2k+1 (k是常数，k≠0)，y =ax²−2ax−3a
1 2
(a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y 和y 图象总有公共点，则a的取值
1 2
范围是
【思路点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数y =kx−2k+1（k是常数，k≠0）
1
的图象过定点(2,1)，函数y =ax²−2ax−3a（a是常数，a≠0）与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，然后分
2
两种情况讨论即可求得a的取值．
【解题过程】
解：∵y =kx−2k+1=k(x−2)+1，
1
∴函数y =kx−2k+1（k是常数，k≠0）的图象过定点(2,1)，
1
∵y =ax²−2ax−3a=a(x−3)(x+1)，
2
∴函数y =ax²−2ax−3a（a是常数，a≠0）与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，
2
当a>0时，无论k为何值，函数y 和y 的图象总有公共点，
1 2
∴a>0满足题意；
当a<0时，
∵无论k为何值，函数y 和y 的图象总有公共点，
1 2
∴x=2时，y ≥1，即4a−4a−3a≥1，
2
1
解得a≤− ，
3
1
∴a≤− 满足题意；
3
1
∴无论k为何值，函数y 和y 的图象总有公共点，则a的取值范围是a>0或a≤− ．
1 2 3
1
故答案为：a>0或a≤− ．
3
11．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2,0)和点B．
点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标x 的取值范围 ．
M
【思路点拨】
本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一次函数的
交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点M在不同位置时，MN与抛物线的相交情况．利用待
定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点B的坐标，再分类讨论点M
的位置情况，即当点M在点B的左侧时，当点M在线段AB上时，当点M在点A的右侧时，分析MN与抛
物线的相交情况即可．
【解题过程】
解：∵点A(2,0)为抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b的一个交点，
∴ 0=22+2m，0=−2+b，
解得m=−2，b=2，
∴抛物线解析式为y=x2−2x=(x−1) 2−1，直线的解析式为y=−x+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1)
联立方程组得
{y=x2−2x)
，解得
{x
1
=2)
，
{x
2
=−1)
，
y=−x+2 y =0 y =3
1 2
∴点B的坐标为(−1,3)，
∵点M是直线AB上的一个动点，点N是将点M向左平移3个单位长度所得，
∴ MN∥x轴，
又∵ A，B的水平距离为x −x =2−(−1)=3，
A B
∴当M在点B左侧时，MN与抛物线无公共点，
当点M在线段AB上，不含点A时，MN与抛物线有一个公共点，即−1≤x <2，
M
当点M在点A右侧时，只有MN与抛物线顶点(1,−1)相交时，即x =2−(−1)=3时，MN与抛物线有一
M
个公共点，
综上所述得，x 的取值范围是−1≤x <2或x =3．
M M M
12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数 为常数，且 经过
y=ax2+bx+c(a,b,c ab≠0)，一次函数 经过 ，一次函数 经过 ．已知
(1,0),(x ,0) y=|a)x+c (x ,0) y=|b)x+c (x ,0)
1 2 3
−5<x <−4,m<x <m+1，n<x <n+1，其中m,n为整数，则m+n的值为 ．
1 2 3
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列
式计算即可．
【解题过程】
解∶∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过(1,0),(x ,0)，
1
b 1+x 1 x
∴a+b+c=0，− = 1= + 1，
2a 2 2 2
∵−5<x <−4，
1
b 1 x 3
∴−2<− = + 1<− ，
2a 2 2 2
b
∴−4<− <−3，
a
b 1 a 1
∴3< <4， < < ，
a 4 b 3
∵一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．
2 3
c c
∴x =− ，x =− ，
2 |a) 3 |b)
当a>0,b>0时，
c c −a−b b c c −a−b a
x =− =− =− =1+ ，x =− =− =− = +1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 5 a 4
∴4<x =1+ <5， <x = +1< ，
2 a 4 3 b 3
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=4, n=1，
此时m+n=5；
b 1 a 1
当a<0,b<0时，3< <4， < < ，
a 4 b 3
c c −a−b b c c −a−b a
x =− = = =−1− ，x =− = = =− −1，
2 |a) a a a 3 |b) b b bb 4 a 5
∴−5<x =−1− <−4，− <x =− −1<− ，
2 a 3 3 b 4
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=−5, n=−2，
此时m+n=−7；
故答案为：−7或5
13．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数y =x−2m+2与y =x2−mx的图
1 2
象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点．若y y <0，则m的取值范围是 ．
A A B B A B
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、根与系数的关系，熟练掌握相
关知识点是解决本题的关键．
由函数y =x−2m+2与y =x2−mx的图象交于A(x ，y )，B(x ，y )两点可得：x +x =m+1，
1 2 A A B B A B
x ⋅x =2m−2，Δ>0，再由y =x −2m+2，y =x −2m+2得y y =2m2−6m+4，根据y y <0
A B A A B B A B A B
计算即可．
【解题过程】
解：∵函数y =x−2m+2与y =x2−mx的图象交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
1 2 A A B B
∴x−2m+2=x2−mx，
∴x2−(m+1)x+2m−2=0，
∴x +x =m+1，x ⋅x =2m−2，
A B A B
Δ=(m+1) 2−4(2m−2)=m2+2m+1−8m+8=m2−6m+9=(m−3) 2>0，
∵y =x −2m+2，y =x −2m+2，
A A B B
∴y y =(x −2m+2)(x −2m+2)
A B A B
=x x −(2m−2)x −(2m−2)x +(2m−2) 2
A B A B
=(2m−2)−(2m−2)(x +x )+(2m−2) 2
A B=(2m−2)−(2m−2)(m+1)+(2m−2) 2
=2m−2−2m2+2+4m2−8m+4
=2m2−6m+4，
∵y y <0，
A B
∴2m2−6m+4<0，即2(m2−3m+2)<0，
∴(m−1)(m−2)<0，
{m−1>0)
∴ ，
m−2<0
解得：1<m<2，
{m−1<0)
或 ，此不等式组无解，
m−2>0
综上：1<m<2．
故答案为：1<m<2．
14．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点A(−2,3),B(2,1)，若抛物线
y=ax2−2x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本
题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
1
先求出线段AB的表达式为：y=− x+2(−2≤x≤2)，当抛物线与线段AB有两个不同交点，则
2
1 9
ax2−2x+1=− x+2，由Δ>0得a>− ，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入A(−2,3)可得
2 16
1 9 1
a=− ，故− <a≤− ；当a>0时，且抛物线经过点B(2,1)，代入B(2,1)解得：a=1，故a≥1满足题
2 16 2
意．
【解题过程】
解：设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)，代入A(−2,3),B(2,1)，
{−2k+b=3)
得 ，
2k+b=1{ k=− 1 )
解得： 2 ，
b=2
1
∴线段AB的表达式为：y=− x+2(−2≤x≤2)，
2
1
当ax2−2x+1=− x+2，
2
化简得：2ax2−3x−2=0，
则Δ=9+4×2a×2>0，
9
解得：a>− ，
16
当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入A(−2,3)得：4a−4+1=1，
1
解得：a=− ，
2
如图示：
9 1
∴当− <a≤− 符合题意；
16 2
当a>0时，且抛物线经过点B(2,1)，代入B(2,1)得：4a−4+1=1，
解得：a=1，
如图示：∴当a≥1时符合题意，
9 1
综上所述：当− <a≤− 或a≥1满足题意．
16 2
9 1
故答案为：− <a≤− 或a≥1．
16 2
15．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+4交x轴于A,B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出直线AC的函数表达式为：______；
（2）D是线段AC上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M,N两点（点M在点N的右侧），若
DM=2DN，求点D的横坐标．
【思路点拨】
（1）根据二次函数求出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；
（2）设点D的横坐标a，则点D的坐标为(a,2a+4)，把点D的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点
M、N的横坐标，再根据DM=2DN列出方程，解方程即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次
函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：∵抛物线y=−x2+4，当y=0时，−x2+4=0，
解得x =−2，x =2，
1 2
∴点A的坐标为(−2,0)，
当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为(0,4)，
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，把A(−2,0)、C(0,4)代入得，
{−2k+b=0)
，
b=4
{k=2)
解得 ，
b=4
∴直线AC的函数表达式为y=2x+4，
故答案为：y=2x+4；
（2）解：设点D的横坐标a，则点D的坐标为(a,2a+4)，
把y=2a+4代入y=−x2+4得，−x2+4=2a+4，
解得x =❑√−2a，x =−❑√−2a，
1 2
∵点M在点N的右侧，
∴点M的横坐标为❑√−2a，点N的横坐标为−❑√−2a，
∵DM=2DN，MN∥x轴，
∴❑√−2a−a=2[a−(−❑√−2a))，
整理得，❑√−2a=−3a，
∴9a2+2a=0，
2
解得a =0（不符，舍去），a =− ，
1 2 9
2
∴点D的横坐标− ．
9
16．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线y=−x2+mx+3与直线y=−2x+b交于点A(4,−5)
和点B．（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式−x2+mx+3<−2x+b的解集；
（3）点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含
( 1 )
A，B两点）．若点P − ,t 在直线y=−2x+b上，且直线PN与图象G有公共点，结合函数图象，直接
2
写出点N纵坐标n的取值范围．
【思路点拨】
（1）将点A的坐标代入y=−x2+mx+3，y=−2x+b求出m、b的值即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；
1
（3）求出点P的坐标为(− ,4)，直线AB与抛物线对称轴的交点为(1,1)，结合图象即可得出答案．
2
【解题过程】
（1）将点A(4,−5)代入y=−x2+mx+3得：−5=−42+4m+3，
解得：m=2，
将点A(4,−5)代入y=−2x+b得：−5=−2×4+b，
解得：b=3，
∴抛物线和直线的解析式分别为y=−x2+2x+3和y=−2x+3；
（2）联立抛物线和直线的解析式得：
{y=−x2+2x+3)
，
y=−2x+3
{x =0) { x =4 )
解得： 1 或 2 ，
y =3 y =−5
1 2
∴点A的坐标为(4,−5)，B(0,3)，根据图象可知，不等式−x2+mx+3<−2x+b的解集为x<0或x>4；
1
（3）把P(− ,t) 代入y=−2x+3 得：t=4，
2
1
∴点P的坐标为(− ,4)，
2
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1，
把x=1代入y=−2x+3得：y=1，
∴直线AB与抛物线对称轴的交点为(1,1)
根据图象可知，当直线PN与图象G有公共点时，点N纵坐标取值范围为1≤n≤4．
3 3
17．（2023·河南漯河·二模）已知二次函数y=− x2+bx+c图象的对称轴为直线x= ，与y轴交于点
4 2
A(0,3)，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一动点，且与点A不重合，设点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交
AC于点Q，设PQ的长为ℎ，当ℎ随m的增大而减小时，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据对称轴求出b，用待定系数法求出c，即可求出二次函数的表达式．
（2）①当点P在点B与点A之间运动时，ℎ = y −y 进而求解；②当点P在点A与点C之间运动时，同理
Q P可解．
【解题过程】
3 3
（1）解：∵二次函数 y=− x2+bx+c 图象的对称轴为直线 x= ，
4 2
b b 3
∴− =− =
2a ( 3) 2，
2× −
4
9
解得：b= ．
4
由点A的坐标知，c=3．
3 9
∴二次函数的表达式为y=− x2+ x+3．
4 4
3 9
故答案为：y=− x2+ x+3．
4 4
3 9
（2）解：令y=0，即− x2+ x+3=0，
4 4
解得：x=−1或4，
∴ C点坐标为(4,0)，B点坐标为(−1,0)．
∵A(0,3)，设直线AC的表达式为：y=sx+t，
{ t=3 )
则 ，
4s+t=0
{ s=− 3 )
解得： 4 ，
t=3
3
故直线AC的表达式为 y=− x+3．
4
∵点P的横坐标为m，
3 9
∴点P的纵坐标为− m2+ m+3．
4 4
∵PQ∥y，Q在直线AC上，
( 3 )
∴Q m,− m+3 ．
4
①当点P在抛物线上点B与点A之间运动时，
PQ= ℎ =− 3 m+3− ( − 3 m2+ 9 m+3 ) = 3 (m−2) 2−3，
4 4 4 4
∴ −1<m<0 时，ℎ随m的增大而减小，②当点P在抛物线上点A与点C之间运动时，
ℎ =− 3 m2+ 9 m+3− ( − 3 m+3 ) =− 3 m2+3m=− 3 (m−2) 2+3，
4 4 4 4 4
3
∵− <0，
4
∴当2<m<4，ℎ随m的增大而减小，
∴m的取值范围为：−1<m<0或2<m<4．
故答案为：−1<m<0或2<m<4．
18．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−2，直线
1
y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点．
2
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若m=1，点(x ,y )，(x ,y )在该抛物线上，且−2<x <−1，1<x <2，比较y ，y 的大小，并
1 1 2 2 1 2 1 2
说明理由；
（3）当抛物线与线段AB只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【思路点拨】
此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
（1）抛物线化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象和性质即可求出答案；
（3）分三种情况讨论进行求解即可．
【解题过程】
（1）∵抛物线y=x2−2mx+m2−2=(x−m) 2−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=m，顶点坐标为(m,−2)；
（2）y >y ，理由如下：
1 2
∵m=1，
∴y=x2−2x−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵a=1>0，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小．
∵−2<x <−1，1<x <2，
1 2∴x 关于对称轴x=1对称的t的取值范围为3<t<4，
1
∴y >y ；
1 2
1
（3）由直线y=− x+2，
2
当x=0时，y=2，
1
当y=0时，− x+2=0，解得x=4
2
∴A(4，0),B(0,2)，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得m2−2=2，
解得m=2或m=−2.
当m=2时，抛物线的表达式为y=x2−4x+2，
{y=x2−4x+2)
联立 1
y=− x+2
2
7
解得x =0或x = .
1 2 2
7
∵x = <4，
2 2
∴两交点都在线段AB上．
9
当m2−2=2时，同理可得x =0或x =− （负值舍去），
1 2 2
∴−2≤m<2；
②当抛物线过点A时，可得(4−m) 2−2=0，
解得m=4+❑√2或m=4−❑√2，
∴4+❑√2＜m≤4−❑√2；
1
③当直线y=− x+2与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
2
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为－2≤m<2或4−❑√2<m≤4+❑√2
19．（2023·河南洛阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=1与抛物线y=4x2相交于A，B两点
（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且BC=n⋅AB(n为正整数)．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．
（1）A点的坐标为______；B点的坐标为______；
（2）当n=1时，抛物线L的函数表达式为______；
（3）如图2，抛物线E：y=a x2+b x+c ，经过B、C两点，顶点为P．且D、B、P三点在同一直线
n n n
上，求a 与n的关系式．
n
【思路点拨】
（1）联立方程即可求的交点坐标；
(3 )
（2）由（1）知AB=1，求得点C的坐标为 ,1 ，则点M坐标为(1,0)，设抛物线L的表达式为：
2
y=a(x−1) 2，将点B的坐标代入即可求解；
(2n+1
)
n+1 n+1
（3）由题意和（1）可知点C的坐标为 ,1 ，则点M横坐标为 ，故点P的横坐标也为 ，
2 2 2
(n+1
)
求得直线OB的表达式为y=2x，从而可求得点P的坐标为 ,n+1 ，则抛物线E的表达式为
2
( n+1) 2 (1 )
y=a x− +n+1，将点B的坐标 ,1 代入即可求解．
n 2 2
【解题过程】
（1）解：联立直线y=1与抛物线y=4x2得：
4x2=1，
1
解得：x=± ，
2( 1 ) (1 )
故点A、B的坐标分别为 − ,1 、 ,1 ，
2 2
( 1 ) (1 )
故答案为： − ,1 、 ,1 ；
2 2
（2）由（1）知AB=1，
(3 )
∴当n=1时，BC=1，则点C的坐标为 ,1 ，
2
则点M坐标为：(1,0)，
故设抛物线L的表达式为：y=a(x−1) 2，
(1 ) 2
将点B的坐标代入上式得：1=a −1 ，解得a=4，
2
故答案为：y=4(x−1) 2；
（3）∵BC=n⋅AB，
∴BC=n，
(2n+1 ) 1 (1 2n+1) n+1
则点C的坐标为 ,1 ，则点M横坐标为x= × + = ，
2 2 2 2 2
n+1
故点P的横坐标也为 ，
2
由点O、B的坐标得，直线OB的表达式为:y=2x，
1
当x= (n+1)时，y=2x=n+1，
2
(n+1
)
故点P的坐标为 ,n+1 ；
2
(
n+1) 2
则抛物线E的表达式为y=a x− +n+1，
n 2
(1 ) (1 n+1) 2
将点B的坐标 ,1 代入上式得：1=a − +n+1，
2 n 2 2
4
解得：a =− ．
n n
20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C ：y=ax2+bx+c(a≠0)经过
1
(0,2)，(−2,2)两点；（1）若抛物线C ：y=ax2+bx+c经过(1,0)，求抛物线解析式；
1
（2）抛物线C ：y=ax2+bx+c直线y=x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为
1
腰的等腰三角形，请直接写出a的值；
（3）直线y=x+2分别与抛物线C ：y=ax2+bx+c，抛物线C ：y=−ax2−bx+c恰好有三个公共点，
1 2
若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．
【思路点拨】
（1）把(0,2)，(−2,2)，(1,0)分别代入抛物线解析式，解方程组，即可求解；
（2）把(0,2)，(−2,2)，分别代入抛物线解析式，可得y=ax2+2ax+2，即可求得M(0，2)，
(1−2a 1)
N , ，再分两种情况：MN=MO和MN=NO，分别计算，即可分别求得；
a a
（3）首先可求得C ：y=ax2+2ax+2，C ：y=−ax2−2ax+2，分别联立成方程，即可求得三个公共
1 2
(1−2a 1) ( 2a+1 1) (1−2a 1)
分别点为(0,2)， , ， − ,− ，再分①当(0,2)为中点时；②当 , 为中点时；
a a a a a a
( 2a+1 1)
③当 − ,− 为中点时，根据求中点坐标公式，即可分别求得．
a a
【解题过程】
（1）解：把(0,2)，(−2,2)，(1,0)分别代入抛物线解析式，得：
{
c=2
)
4a−2b+c=2 ，
a+b+c=0
2
{a=−
)
3
解得 4 ，
b=−
3
c=2
2 4
∴y=− x2− x+2；
3 3（2）解：把(0,2)，(−2,2)分别代入抛物线解析式，得：
{ c=2 )
，
4a−2b+c=2
{a=2b)
解得
c=2
∴y=ax2+2ax+2，
{y=ax2+2ax+2)
y=x+2
1−2a
解得x =0，x = ，
1 2 a
1
∴y =2，y = ，
1 2 a
(1−2a 1)
设M(0,2)，N , ，
a a
当MN=MO时， (1−2a) 2 + (1 −2 ) 2 =22 ，
a a
2+❑√2 2−❑√2
解得a= 或a= ；
2 2
(1−2a) 2 (1 ) 2 (1−2a) 2 (1) 2
当MN=NO时， + −2 = + ，
a a a a
解得a=1，
2−❑√2 2+❑√2
综上，a的值为1或 或 ；
2 2
（3）解：∵y=ax2+bx+c经过(0,2)，(−2,2)，
{ c=2 )
∴ ，
4a−2b+c=2
{b=2a)
解得 ，
c=2
∴C ：y=ax2+2ax+2，C ：y=−ax2−2ax+2，
1 2
∴ax2+2ax+2=x+2，ax2+(2a−1)x=0，
1−2a
解得：x =0，x = ，
1 2 a
1
∴y =2，y = ，
1 2 a
−ax2−2ax+2=x+2，ax2+(2a+1)x=0，2a+1
解得：x =0，x =− ，
3 4 a
1
∴y =2，y =− ，
3 4 a
(1−2a 1) ( 2a+1 1)
∴三个公共点为(0,2)， , ， − ,−
a a a a
1−2a 2a+1
①当(0,2)为中点时， − =0，
a a
解得a=0不合题意，舍去；
(1−2a 1) 2a+1 1−2a
②当 , 为中点时，0− =2× ，
a a a a
3
解得a= ；
2
( 2a+1 1) 1−2a ( 2a+1)
③当 − ,− 为中点时，0+ =2× − ，
a a a a
3
解得a=− ；
2
3 3
综上，a= 或a=− ．
2 2
