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第二十二章 二次函数(A 卷·知识通关练)
核心知识1 二次函数图像
1．(2022•德城区模拟)如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【分析】先由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，再由一次
函数的性质解答．
【解答】解： 抛物线开口向下，与 轴交于正半轴，
， ，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：
二次函数 ，当 时，抛物线开口向下；抛物线与 轴交于 ，当 时，与 轴交
于正半轴；当 ， 时，一次函数 的图象在一、二、四象限．
2．(2022•平原县模拟)在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象不可能是A． B．
C． D．
【分析】根据 、 与0的大小关系以及与 轴的交点情况即可作出判断．
【解答】解：函数 与 的图象交于 轴上同一点 ， ，
．二次函数的图象开口向上，对称轴在 轴的右侧， ， ，则 ，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则 ， ，一致，且交于 轴上同一点，不合题意；
．二次函数的图象开口向下，对称轴在 轴的左侧， ， ，则 ，
一次函数的图象经过二、三、四象限，则 ， ，一致，且交于 轴上同一点，不合题意；
．二次函数的图象开口向下，对称轴在 轴的右侧， ， ，则 ，
一次函数的图象经过一、二、四象限，则 ， ，一致，且交于 轴上同一点，不合题意；
．二次函数的图象开口向上，对称轴在 轴的右侧， ， ，则 ，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则 ， ，一致，不交于 轴上同一点，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据 、 与0的大小关系进行分类讨
论，本题属于中等题型．
3．(2022•松桃县二模)函数 和 为常数，且 ，在同一平面直角坐标系中的大致图
象可能是A． B．
C． D．
【分析】由二次函数 的图象顶点 可排除 、 答案；由一次函数 的图象过点
可排除 答案．此题得解．
【解答】解： ，
二次函数 的图象的顶点为 ，故 、 不符合题意；
当 时， ，
一次函数 的图象过点 ，故 不符题意， 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次(二次)函数图象经过定点排除 、
选项是解题的关键．
4．(2022春•九龙坡区校级期末)已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐
标系内的图象可以是A． B．
C． D．
【分析】分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
【解答】解：当 时， 的函数图像经过原点和一，三象限， 的图像开口向下，与
轴交于正半轴．
当 时， 函数图像经过原点和二，四象限， 的图像开口向上，与 轴交于负半轴．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正比例函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数
性质才能灵活解题．
5．(2022•襄城区模拟)二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象可能是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象得出 ， 的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交 轴的正半轴，则 ， ，
故一次函数 的图象经过第一、二、四象限．
故选： ．【点评】此题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出 ， 的符号是解题关键．
6．(2022•长宁区二模)一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比
是否一致．
【解答】解： 、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项
不符合题意；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
7．(2022•合肥模拟)一次函数 与二次函数 的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数 的图象知：开口向上， ，一次函数 图象可知 ，然后根据二
次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由二次函数 的图象知：开口向上， ，一次函数 图象可知 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴 在 轴的右侧，交 轴的负半轴，
选项正确，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的
关键．
8．(2022•株洲)已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象可能为
A． B．C． D．
【分析】根据 ，可知 ，可排除 ， 选项，当 时，可知对称轴 ，可排除 选项，当
时，可知对称轴 ，可知 选项符合题意．
【解答】解： ，
，
故 ， 选项不符合题意；
当 时，
，
对称轴 ，
故 选项不符合题意；
当 时， ，
对称轴 ，
故 选项符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．(2022•上海模拟)已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐标系内的图
象可以是
A． B．C． D．
【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：当 时， 的图象是经过原点和一三象限的直线， 开口向上，与 轴交
于负半轴，对称轴是 轴，
当 时， 的图象是经过原点和二四象限的直线， 开口向下，与 轴交于负半轴，对
称轴是 轴，
故选： ．
【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能
灵活解题．
10．(2022•清镇市模拟)已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象如
图所示，则二次函数 的图象可能是
A． B．C． D．
【分析】根据二次函数 与一次函数 的图象，即可得出 ， ， ，由此即可得
出：二次函数 的图象开口向下，对称轴 ，与 轴的交点在 轴正半轴，再对照
四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知： ， ， ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴 ，与 轴的交点在 轴正半轴．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，
找出 、 、 是解题的关键．
核心知识2 二次函数的性质
11．(2022•江岸区校级模拟)已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象
有公共点，则 的最大值与最小值的和为
A．11 B．14 C．17 D．20
【分析】根据题意可知，当直线经过 时，直线 与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时， ，可得出 的最大值是15，最小值是2即可求解．
【解答】解：当直线经过 时，
，
解得 ；
当直线与抛物线只有一个交点时，
，
即 ，
，
即 或 (舍去)，
的最大值是15，最小值是2，
则 的最大值与最小值的和为17，
故选： ．
【点评】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数图像上点的坐标特征，结合图象求出 的最值是解
决该题的关键．
12．(2022•荆门)抛物线 上有两点 ， ， ， ，若 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解： 抛物线 上有两点 ， ， ， ，且 ，
，
或 或 或 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．13．(2022春•拱墅区校级期末)下列抛物线中，与抛物线 具有相同对称轴的是
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可
解答本题．
【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的对称轴是直线 ，
、 的对称轴是直线 ，故该选项不符合题意；
、 的对称轴是直线 ，故该选项不符合题意；
、 的对称轴是直线 ，故该选项不符合题意；
、 的对称轴是直线 ，故该选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．(2022•兰州)已知二次函数 ，当函数值 随 值的增大而增大时， 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
时， 随 增大而增大，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．(2022•青浦区模拟)下列对二次函数 的图像描述不正确的是
A．开口向下B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点
D．当 时，函数值 随 的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解： 、 ，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
、抛物线的顶点坐标是 ，故本小题正确，不合题意；
、令 ，则 ，
所以抛物线与 轴的交点坐标是 ，故不正确，符合题意；
、抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随 的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与 轴的交点，
掌握其性质是解决此题关键．
16．(2022•哈尔滨)抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
17．(2022•虹口区二模)抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线顶点式求解．【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
18．(2022•新疆)已知抛物线 ，下列结论错误的是
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而增大
【分析】根据抛物线 时，开口向上， 时，开口向下判断 选项；根据抛物线的对称轴为 判
断 选项；根据抛物线的顶点坐标为 判断 选项；根据抛物线 ， 时， 随 的增大而减小
判断 选项．
【解答】解： 选项， ，
抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为直线 ，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的顶点坐标为 ，故该选项不符合题意；
选项，当 时， 随 的增大而减小，故该选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线 ， 时， 随 的增大而减小， 时， 随
的增大而增大； 时， 时， 随 的增大而增大， 时， 随 的增大而减小是解题的关键．
19．(2022•辉县市二模)二次函数 的顶点坐标和对称轴分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解： ，
抛物线对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
故选： ．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
20．(2022•武威模拟)二次函数 的对称轴为 ，则 的值是 2 ．
【分析】由抛物线的对称轴列出方程 ，求出 的值即可．
【解答】解： 的对称轴为 ，
对称轴为 ，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键．
核心知识3 二次函数与方程、不等式
21．(2022春•宁波期末)二次函数 的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与 轴的交点
坐标是
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【分析】利用二次函数对称性得出答案．
【解答】解：由图象可得：对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点为 ，
则该抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ．
故选： ．【点评】此题主要考查了抛物线与 轴的交点，熟知抛物线的对称性是解题关键．
22．(2022•潍坊)抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为
A． B． C． D．4
【分析】抛物线与 轴有一个交点， 的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解： 抛物线 与 轴只有一个公共点，
方程 有两个相等的实数根，
△ ，
．
故选： ．
【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
23．(2022春•北仑区期末)二次函数 与 轴有两个不同的交点， 的值可以是
A． B． C． D．
【分析】由判别式△ 可得 的值，进而求解．
【解答】解：令 ，则△ ，
二次函数图象与 轴由两个不同交点，
，
，即 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线与 轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
24．(2022•蒲城县一模)已知二次函数 的图象与 轴的两个交点分别是 和 ，且
抛物线还经过点 和 ，则下列关于 、 的大小关系判断正确的是
A． B． C． D．【分析】先由点 和 求得二次函数的对称轴，然后根据两点代对称轴的结论即可判断 、
的大小．
【解答】解： 二次函数 的图象与 轴的两个交点分别是 和 ，
对称轴为直线 ，
抛物线经过点 和 ，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
抛物线开口向上，
，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与 轴的交点坐标求得对称
轴．
25．(2022•富川县三模)已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于 的方程
有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是
A． B． C． D．3
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于 的方程
的两个整数根，从而可以解答本题．
【解答】解： 二次函数 的图象经过 与 两点，
函数 的对称轴是直线 ，
又 关于 的方程 有两个根，其中一个根是3．
二次函数 的图象与直线 的一个交点的横坐标为3，
对称轴是直线 ，二次函数 的图象与直线 的另一个交点的横坐标为 ，
关于 的方程 的另一个根是 ，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的关系解答．
26．(2022•武侯区校级模拟)已知抛物线 经过点 ，且顶点坐标为 ，关于该抛物线，
下列说法正确的是
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与 轴有两个交点 D．当 时， 随 的增大而减小
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将 代入解析式求解．
【解答】解： 抛物线顶点坐标为 ，
，
将 代入 得 ，
解得 ，
，
时， 随 增大而减小，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的
关系．
27．(2022•德城区模拟)已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示，
0 4
0.32 0.32则方程 的根是
A． 或 B． 或 C．0或4 D．1或5
【分析】利用抛物线经过点 得到 ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线
抛 物 线 经 过 点 ， ， 由 于 方 程 变 形 为 ， 则 方 程
的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，所以方程 的根为 ，
．
【解答】解：由抛物线经过点 得到 ，
因为抛物线经过点 、 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，
而抛物线经过点 ， ，
所以抛物线经过点 ， ，
所以二次函数解析式为 ，
方程 变形为 ，
所以方程 的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，
所以方程 的根为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
28．(2022•成都)如图，二次函数 的图象与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线下列说法正确的是
A．
B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．点 的坐标为
D．
【分析】由抛物线开口方向可判断 ，根据抛物线对称轴可判断 ，由抛物线的轴对称性可得点 的坐标，
从而判断 ，由 所在象限可判断 ．
【解答】解： 、由图可知：抛物线开口向下， ，故选项 错误，不符合题意；
、 抛物线对称轴是直线 ，开口向下，
当 时 随 的增大而减小， 时 随 的增大而增大，故选项 错误，不符合题意；
、由 ，抛物线对称轴是直线 可知， 坐标为 ，故选项 错误，不符合题意；
、抛物线 过点 ，由 可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
，故选项 正确，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问
题．
29．(2022•碑林区校级模拟)已知二次函数 ，其函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所
示，则下列式子：
① ，②当 时， ，
③ ，
④关于 的一元二次方程 的解是 ， ．
正确的个数是
1
0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图表可知，开口向下， ，二次函数 在 与 时， 值相等，得
出对称轴为直线 ，即可得出 ，在根据图象经过点 ，得出 由此判断①；根据二次函数
的对称性求得抛物线与 轴的交点，即可判断②；根据 ， 即可判断③；根据抛物线的对称性求
得点 关于直线 的对称点是 ，即可判断④．
【解答】解：①由于二次函数 有最大值，
，开口向下，
对称轴为直线 ，
，
图象经过点 ，
，
，故说法正确；
② 对称轴为直线 ，
点 关于直线 的对称点为 ，，开口向下，
当 时， ，故说法正确；
③当 时， ，
，故说法错误；
④ 点 关于直线 的对称点是 ，
关于 的一元二次方程 的解是 ， ，故说法错误．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线 是解题的关键．
30．(2022•河北区二模)已知二次函数 为非零常数， ，图象与 轴负半轴的交点
在点 的上方，有下列结论：
① ；
②关于 的方程 有两个不相等的实数根；
③ ．
其中，正确结论的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】①由题意可知 ， ，即 ，即可得出 ，故①正确；
②由图象与直线 的交点情况，即可判断②错误；
③把 代入 得： ，则 ．根据 ，可得 ，利
用不等式的性质得出 ，故③正确．
【解答】解：如图：
① 二次函数 为非零常数， ，图象与 轴负半轴的交点在点 的上方，
图象开口向上，则 ，与 轴的交点坐标为 ， ，0 ，该抛物线的对称轴为 ，
，即 ，
，故①正确；
② 抛物线开口向上，图象与 轴负半轴的交点在点 的上方，
抛物线与直线 有一个交点或两个交点或无交点，
关于 的方程 实数根的情况无法确定，故②错误；
③ 把 代入 得： ，
．
，
，
，
，故③正确；
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数
形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．
31．(2022•瓯海区模拟)已知 的对称轴为直线 ，与 轴的其中一个交点为 ，该函数在 的取值范围，下列说法正确的是
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值 ，有最大值3
C．有最小值 ，有最大值4 D．有最小值 ，有最大值4
【分析】由抛物线对称轴为直线 及抛物线经过 可求出 ， 的值，将二次函数解析式化为顶点式，
进而求解．
【解答】解： 图象的对称轴为直线 ，
，
抛物线经过 ，
，
将 代入 得 ，
解答 ，
，
，
抛物线顶点坐标为 ，
时，函数最小值为 ．当 时， 为最大值，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
核心知识4．实际问题与二次函数
32．(2022春•九龙坡区校级期末)小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运
动的抛物线的解析式为 ，其中 是实心球飞行的高度， 是实心球飞行的水平距离．已
知该同学出手点 的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离 的长度为A． B． C． D．
【分析】根据出手点 的坐标为 求出函数关系式，再令 可解得答案．
【解答】解：把 代入 得：
，
，
，
令 得 ，
解得 (舍去)或 ，
实心球飞行的水平距离 的长度为 ，故选： ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．
33．(2022•碑林区校级模拟)一身高 的篮球运动员在距篮板 与 的水平距离)处跳起投篮，
球在运动员头顶上方 处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用
来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25【分析】当 时，代入解析式 ，解得 ，求得 ，当 时，
，即可得到结论．
【解答】解：当 时，
即 ，
解得： ，
，
当 时， ，
，
答：球出手时，他跳离地面的高度为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
34．(2022•绵竹市模拟)若实数 ， 满足 ，设 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由 可得 与 的关系，用含 的代数式表示 ，通过配方求解．
【解答】解： ，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数的最
值．35．(2022•南召县模拟)如图，某公司准备在一个等腰直角三角形 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧
，其中点 在 上，点 分别在 ， 上，记 ， ，图中阴影部分的面积为 ，
若 在一定范围内变化，则 与 ， 与 满足的函数关系分别是
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】设 为常数)，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据矩形的性质得到
，得到 ，根据三角形和矩形的面积得到结论．
【解答】解：设 为常数)，
在 中， ， ，
为等腰直角三角形，
，
四边形 是矩形，
，
，
即 ，
与 成一次函数关系，
，与 成二次函数关系．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正
确地作出函数解析式是解题的关键．
36．(2022•丰县二模)向空中发射一枚炮弹，经 秒后的高度为 米，且时间与高度的函数表达式为
，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时
的值．
【解答】解： 此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是： ，
炮弹所在高度最高是9.5秒，
在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的
关键．
37．(2022•临清市三模)北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些
实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平
线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线 近似表示滑雪场
地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方 50 米处的 点滑出，滑出后沿一段抛物线
运动．当运动员运动到离 处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那
么当运动员滑出点 后，运动员运动的水平距离为 米时，运动员与小山坡 的竖直距离为20米．A．50 B． C． D．
【分析】把 、 代入可得抛物线 所对应的函数表达式，根据纵坐标的差为20，列出方程可
得答案．
【解答】解：把 、 代入 ，
得
解得
抛物线 所对应的函数表达式 ；
设运动员运动的水平距离是 米，此时小山坡的高度是 ，运动员运动的水平高度是
，
，
解得 或0(舍去)，
答：运动员运动的水平距离为 米时，运动员与小山坡 的竖直距离为20米，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次
函数模型相结合是解决本题的关键．38．(2022•大连一模)在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与
地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线
形水柱解析式为 ，则水管长为
A． B． C． D．
【分析】由题意令 ，得到的 值即为水管的长．
【解答】解：在 中，
令 ，得 ，
水管的长为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是理解水管的长即是 时 的值．
39．(2022•武功县模拟)在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度
与水平距离 之间的关系如图所示，点 为落地点，且 ， ，羽毛球到达的最高点到
轴的距离为 ，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为A． B． C． D．
【分析】由已知得 ， ，抛物线对称轴为直线 ，用待定系数法得抛物线解析式为
；令 得羽毛球到达最高点时离地面的高度为 ．
【解答】解：由已知得： ， ，抛物线对称轴为直线 ，
设抛物线解析式为 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ；
令 得 ，
羽毛球到达最高点时离地面的高度为 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出抛物线的解析式．
40．(2022•黔西南州)如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直
角坐标系，铅球行进高度 (单位： 与水平距离 (单位： 之间的关系是 ，则铅球
推出的水平距离 的长是 1 0 ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知， 的长就是抛物线与 轴正半轴的交点的横坐标的值，
然后令 求出相应的 的值，即可得到 的长．
【解答】解： ，
当 时， ，
解得 ， ，
，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确 的长就是抛物线与 轴正半轴的交点的横
坐标的值．
41．(2022•丹东)丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，
投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量
(件 与销售单价 (元 件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 (元 件) 35 40 45
90 80 70
每天销售数量 (件
(1)直接写出 与 的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】(1)设每天的销售数量 (件 与销售单价 (元 件)之间的关系式为 ，用待定系数法可得
；
(2)根据题意得 ，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
(3)设每天获利 元， ，由二次函数性质可
得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解答】解：(1)设每天的销售数量 (件 与销售单价 (元 件)之间的关系式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得 ，
；
(2)根据题意得： ，
解得 ， ，
规定销售单价不低于成本且不高于54元，
，
答：销售单价应定为50元；
(3)设每天获利 元，
，
，对称轴是直线 ，
而 ，
时， 取最大值，最大值是 (元 ，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
42．(2022•南京模拟)某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量 (件 与销售单价 (元 满足一次函数关系，
且当 时， ；当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】(1)设 与 之间的函数关系式为 ，然后代值求解即可；
(2)设每天获得的利润为 元，由(1)可得 进而根据二次函数的性质可求解．
【解答】解：(1)设 与 之间的函数关系式为 ，
由题意得： ，
解得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
(2)设每天获得的利润为 元，
由(1)可得： ，
，且 ，
当 时， 有最大值，最大值为160．
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的
关键．
43．(2022•巩义市模拟)春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有
变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千
克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4
元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．
求每个水果礼盒的成本(成本 水果成本 盒子成本)；(2)若每个礼盒的售价是 元 是整数)，每天的利润是 元，求 关于 的函数解析式(不需要写出自变量
的取值范围)；
(3)若每个礼盒的售价不超过 元 是大于70的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．
【分析】(1)设苹果进货价格为 元 千克，梨进货价格为 元 千克，根据题意列出方程组可求出 和 的
值，进而得出结论；
(2)根据 (售价 成本) 数量可得结论；
(3)根据二次函数的性质可直接得出结论．
【解答】解：(1)设苹果进货价格为 元 千克，梨进货价格为 元 千克，
依题意可列方程组： ，
解得 ， ．
苹果进货价格为8元 千克，梨进货价格为6元 千克
每个礼盒的成本为： (元 ．
(2) ．
(3)由(2)知， ，
当 时，每天的最大利润为2450元；
当 时，每天的最大利润为 ．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及二元一次方程组的应用，二次函数的性质等知识，关键是根
据题意得出相关函数式．
