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专题 09 几何旋转综合问题
类型一、三角形中的旋转问题
例．如图，已知等边 中，点D、E、F分别为边 、 、 的中点，M为直线 上一动点，
为等边三角形（点M的位置改变时， 也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结 ，并判断 与 有怎样的数量关系？点F是否在直
线 上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在 上时，其它条件不变，（1）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若
成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若成
立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．
【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点，为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，
．
（1）证明： ；
（2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ．
①证明：在点 的运动过程中，总有 ；
②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？
【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定
△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，
试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°， ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不
重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针△旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP= °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证
明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，
H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为
______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）
中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接
写出结论，不用证明．【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为 ，且
，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°， 时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°， 时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（ ），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的
大小．
类型二、四边形中的旋转问题
例．如图1，在 ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右
侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线
段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点
C、F不重合），并说明理由．【变式训练1】在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接
、 ，如图 ，易证 且 ．
将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写
出你的猜想．
将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出
你的猜想，并加以证明．
【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使
OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形 ，如图
2．
①在旋转过程中，当∠ 是直角时，求 的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求 长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说
明理由．
【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°
（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG（如图1），求证：BE+DF=EF；
（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2），求证：
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF、BE、DF之间的数
量关系．
【变式训练4】在
▱
ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
