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专题07 二次函数65道压轴题型专训（13大题型）
压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题
压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题
压轴题型三 根据二次函数的对称性求值
压轴题型四 二次函数的平移压轴题
压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题
压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）
压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）
压轴题型八 二次函数中的存在性问题
压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题
压轴题型十 二次函数的翻折问题
压轴题型十一 二次函数最值问题
压轴题型十二 二次函数的综合
压轴题型十三 二次函数的新定义问题
【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】
1．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，抛物线 交 轴于点 和 ，点 在
点 左侧，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ．给出下面四个结论：
① ；
②当 时， ；
③抛物线上有点 和 ，若 ，且 ，则 ；④当 时，对于抛物线上两点 ， ，若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次
函数性质的掌握．先根据抛物线解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，根据函数的最值判断①；根据函
数的图象可判断②；根据抛物线的对称轴和二次函数的性质可判断③；当 时求出函数解析式，再求出
A，B坐标，根据m的取值范围得出 的取值范围，从而判断④．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵ ，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点 和 ，
∴当 时，x的取值范围为 ，且最小值为 ，故①②正确；
∵对称轴为直线 ， ，且 ，
∴ 到x轴的距离小于 到x轴的距离，
∴ ，故③错误；
当 时， ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，故④正确．∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
2．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图
象的“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【答案】 ③ 或
【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二
次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；
② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；
③ ，取 时， ，得到 是 的“近轴点”；
（2） 图象恒过点 ，当直线过 时， ，得到 ；当直线过
时， ，得到 ．
【详解】（1）① 中，
时， ，
不存在“近轴点”；
② ，
由对称性，当 时， ，
不存在“近轴点”；
③ ，时， ，
∴ 是 的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
（2） 中，
时， ，
∴图象恒过点 ，
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
∴m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）经过点
．点 是抛物线上一点，点 的横坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)当 轴时，求 的值．
(3)连接 ， ，当 时， 的值为 ．
(4)将抛物线在点 和点 之间的部分记为图像 ，当图像 的最大值和最小值的差为1时，直接写出 的
取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，抛物线顶点坐标为
(2) 的值为 或
(3)
(4)当 或 时， 的最大值和最小值之差为1
【分析】（1）直接代入 求解即可；
（2）当 平行于 轴时， ，据此列方程求解即可；
（3）根据两点之间距离公式，再由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（4）根据题意，由二次函数图象与性质分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 抛物线经过点 ，，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
，
抛物线顶点坐标为 ；
（2）解：当 平行于 轴时， ，
点 是抛物线上一点，点 的横坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
解得 或 ，
的值为 或 ；
（3）解：连接 ， ，
， ， ，
， ， ，
当 时，则由勾股定理可得 ，
，解得 ；
（4）解：由题意可知 ， ，
，
对称轴为 ， 最大值为 ，
当 时，最高点为顶点，最低点为 ，则 ，解得 或 （舍）；
当 时，最高点为顶点，最低点为 ，则 ；
当 时，最高点为点 ，最低点为 ，则 ，解得 ，
当 时，最高点为 点，最低点为 ，则 ，解得 或（舍），
综合上述，当 或 时， 的最大值和最小值之差为1．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合；涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函
数的最值，解一元二次方程等知识点，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作出图象．
4．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数 （ 是常数， ）．
(1)若点 和 在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______；
(2)若点 在该函数的图象上，且该函数图象与 轴有两个不同的交点 （ 在 的左边），
，则 ______；
(3)已知 ，当 （ 是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为 ， ．若
，求证： ．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)证明见解析．
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）由题意可得 ，可得抛物线的表达式为 ，对称轴为直线 ，设点 ，
再分点 在 轴左侧点 在 轴右侧两种情况，根据 及二次函数的对称轴解答即可求解；
（ ） 时，得 ，由 ， ，可得 ， ，即得 ，
，进而得到 ，据
此即可求证；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何问题，配方法的应用，运用分类讨论思想解答
是解题的关键.【详解】（1）解：由题意得， ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：将 代入抛物线表达式得， ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当点 在 轴左侧时，设点 ，则点 ，
∴抛物线的表达式为 ，
∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
当点 在 轴右侧时，
设点 ，则点 ，
∴抛物线的表达式为 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）证明： 时， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
5．（2024·重庆·三模）如图，抛物线 交 轴于点 ，点 ，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的一点，过点 作 轴交 于点 ，作 轴交 于点 ，求
的最大值以及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点 是新抛物线 上的一个动点，连接
，将 沿着直线 翻折到同一平面内得到 ，连接 ，当∠ 时，直接写出点 的坐标，
并写出求解其中一个坐标的过程．
【答案】(1)抛物线的表达式为 ；
(2)当 时， 有最大值 ，点 ；
(3)点 或 或 或 ．
【分析】（ ）把点 、 的坐标代入 ，计算得出抛物线的表达式即可；
（ ）由抛物线的表达式为 ，得点 ，求出直线 解析式为 ，设
，则 ， ，故有
，当 时， 有最大值 ，代入点 ；
（ ）由 ，则顶点为 ，由题意可得向右平移 个单位，向上平移个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为 ，过 作
交 延长线于点 ，过 作 轴于点 ，证明 ，则点 ，求出直线
的解析式为 ，联立 ，求出点 ；其余同理求解即可．
【详解】（1）解：∵ 过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）由（ ）得：抛物线的表达式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵抛物线的表达式为 ，
∴设 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
当 时， 有最大值 ，
此时 ，
∴点 ；
（3）∵ ，
∴原抛物线的顶点为 ，
∵将原抛物线沿射线 方向平移 个单位，即向右平移 个单位，向上平移 个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为 ，
如图，过 作 交 延长线于点 ，过 作 轴于点 ，
∴ ， ，
∵ ， 垂直平分 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： 或 （舍去），
∴点 ；
如图，
同理求得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，∴ ；
如图，
同理求得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： 或 （舍去），
∴ ；
同理得点 ，直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴点 ；
综上可知：点 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，平移的
性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】
1．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直
线 ，且与x轴的一个交点坐标为 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．关键是掌握二次函数的性质．根据
对称轴、开口方向、与 轴的交点位置即可判断 、 、 与0的大小关系，然后将由对称轴可知 ，
图象过 代入二次函数中可得 ，再由图象与 轴有两个交点及系数的特点即可判断．
【详解】解：①由图可知：
故①正确；
②由题意可知：
，故②正确；
③ 对称轴为直线 ，且与 轴的一个交点坐标为 ．
与 轴的另一个交点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，故③正确；
④ ，
故④正确；
∴正确结论的个数是4个．
故选：D．
2．（2022·湖北武汉·一模）已知二次函数 的图象与x轴的交点为 ，顶点是
，其中 ，则下列四个结论：
① ；② ；③ ；④点 ， 在抛物线上，当 时，则 ；
其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】关键抛物线与x轴的交点为 ，顶点是 ，可求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，
得出关于a、b、c的式子，逐个进行推理即可判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为 ，顶点是 ，其中 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，即 ， ；
抛物线与x轴的另一个交点为 ，即 ，
把 代入得， ，即 ，
，
∵ ，
∴ ，①正确．
∵ ，
∴抛物线开口向上， ，
，②错误．
∵顶点是 ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ，③正确．
点 ， 在抛物线上，∴ ，
把 ， 代入得，
， ，
， ，
∵ ，
∴ 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据已知条件得出得出关于a、b、c的式子，
运用相关知识进行推理论证．
3．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系 中，抛物线 ，设抛物
线的对称轴为 ．
(1)当抛物线过点 时，求 的值；
(2)若 ，点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围；
(3)若点 和 在抛物线上，若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 的值为 ；
(2)
(3)当 时， ；当 时， ；
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二
次函数图象上点的坐标特征．
（1）将点 代入抛物线 ，得出 和 的数量关系，即可求解；（2）根据题意得到抛物线必过 ，利用 ，抛物线开口向上，结合 ，推出对称轴在 轴右
侧，且 离对称轴较近， 离对称轴较远，即可解题．
（3）根据若 ，且 ，分以下两种情况讨论，①当 时，②当 时，根据以上两种情况，
结合抛物线必过 分析讨论，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线过点 ，
，
，
抛物线的对称轴为 ，
．
（2）解： ，
抛物线开口向上，
当 时， ，
抛物线必过 ，
点 ， 在抛物线上，且 ，
对称轴在 轴右侧，且 离对称轴较近， 离对称轴较远，
， ，
；
（3）解： 当 时， ，
抛物线必过 ，
设函数与 轴的另一个交点坐标为①当 时，
点 和 在抛物线上，若 ，且 ，
，
即点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
，解得 ，
函数经过 ， ，且 ，
函数与 轴的另一个交点横坐标 ，
，即 ，
当 时， ；
①当 时，
点 和 在抛物线上，若 ，且 ，
，
即点 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
，解得 ，
函数经过 ， ，且 ，
函数与 轴的另一个交点横坐标 ，
，即 ，
当 时， ；
综上所述，当 时， ；当 时， ；
4．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系 中，点 在抛物线 上，其中 ．
(1)当 ， 时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当 时，总有 ．
①求证： ；②点 ， 在该抛物线上，是否存在a，b，使得当 时，都有 ？若存在，求出
与 之间的数量关系；若不存任，说明理由．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
(2)①证明见解析；②存在， ，理由见解析
【分析】（1）将点 代入 ，求出 、 的关系式，根据对称轴公式，即可求解，
（2）①方法一：求出抛物线与 轴交点，根据 的符号分类讨论，即可求解，方法二：将 代入，
，根据 ， ，得到 ，即可求解，
（3）设抛物线的对称轴为 ，则 ，由 ，得到 ， ，根据 的范围，二次函
数的增减性，分情况讨论即可求解，
本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性．
【详解】（1）解：由题意可知，点 在抛物线 上，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：①方法一：
令 ，则 ，
解得： 或 ，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
抛物线开口向上，
（i）当 时， ，当 时， ；当 或 时， ，
当 时，总有 ，
，
，
，
（ii）当 时， ，
当 时， ；当 或 时， ，
当 时， ，不符合题意，
综上， ，
方法二：
由题意可知， ．
若 ，则 ．
，
．
，
．
当 时， ．
当 时，总有 ．
．
，
，
②存在，
设抛物线的对称轴为 ，则 ，
，
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，，
， ，
（i）当 时，
，
，符合题意，
（ii）当 时，
当 时，
，
，
当 时，
设点 关于抛物线对称轴 的对称点为点 ，
则 ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，符合题意，
（iii）当 时，
令 ， ，则 ，不符合题意，
（iv）当 时，
令 ，则 ，
，不符合题意，
（v）当 时，，
，不符合题意，
当 ，即 时，符合题意，
，
，
由（1）可得 ，
．
5．（22-23九年级下·浙江·开学考试）已知二次函数 （a，b为常数， ）．
(1)若 ，求二次函数 的顶点坐标．
(2)若 ，设函数 的对称轴为直线 ，求k的值．
(3)点 在函数 图象上，点 在函数 图象上，当 ， 时，试比较m，n的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】（1）将 代入抛物线解析式求出解析，再化成顶点式即可求得；
（2）把 代入抛物线解析式中求出解析式，再根据对称轴公式即可求得；
（3）令 ，解得 或 ，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，分四种情
况 时， 时， 时， 时，画出函数图象，根据图象即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴二次函数 的顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴对称轴为直线 ，
设函数 的对称轴为直线 ，
则 ；
（3）解：当 时，函数 图象开口向下，
∵ ，
∴ ，
令 ，
整理得 ，
解得 或 ，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，
由图象可知，当 ， ；
当 时，函数 图象开口向上，
∵ ，
∴ ，
令 ，整理得 ，
解得 或 ，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，
由图象可知，当 ， ；
当 时， 与 的图象重合，当 ， ；
当 时，函数 图象开口向上，
∵ ，
∴ ，
令 ，
整理得 ，
解得 或 ，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，由图象可知，当 ， ；
综上分析可知，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形
结合是解题的关键．
【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】
1．（2023·陕西榆林·一模）已知二次函数 ，当 时， ，当 时， ，点
是二次函数图像上一点，要使 的值相对最大，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】由题意可知二次函数 的图像经过原点，与 轴的另一交点在 和 之间，抛物线开
口向下，易得其对称轴在 和 之间，从而根据二次函数图像的对称性和增减性即可获得答案．
【详解】解：∵二次函数 的图像经过原点，当 时， ，当 时， ，
∴该二次函数的图像与 轴的另一交点在 和 之间，抛物线开口向下，
∴其对称轴在 和 之间，
设抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
∴选项中横坐标 的取值离 越近， 越大，
而在 中，，
，
，
∴ 对应的 值相对最大， 对应的 值相对最小，
∴要使 的值相对最大，则 的值可以是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质以及利用二次函数图像的对称性分析问题，理解并掌握二
次函数的图像与性质是解题关键．
2．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）已知点 ， 在抛物线 上，且
， ，若对于 ， ，都有 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为 ，然后分四种情况列出不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 上，
∴对称轴为： ，
又∵二次项系数为 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而减小，
①当点 ， 在对称轴右侧或对称轴上时，
，
不等式组的解集为空集；②当点 ， 在对称轴左侧或对称轴上时，
，
不等式组的解集为空集；
③当点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧时，
设点 关于对称轴的对称点 ，则
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得： ；
④当点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧时，
设点 关于对称轴的对称点 ，
由③可知：∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
不等式组的解集是空集；
综上所述， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，不等式组的应用，运用了分类讨论的思想．解题的关键是分类画出图形，根据二次函数的性质列不等式组．
3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点
， ， 在抛物线上．
(1)当 时，直接写出m与n的大小关系；
(2)若对于 都有 求t的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键．
（1）由 ，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当
时，对称轴为 ， ， ，由 ，可得 ；
（2）分当 ， ， ， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函
数值越大，确定关于 的不等式，然后求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
当 时，对称轴为 ， ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：当 时，如图1，∴ 在抛物 线段上， 在 段上， 在 上，
∵对于 ，都有 ，
∴ 且 ，
且 ，
解得： ；
当 时，如图2，
∵对于 ，都有 ，
∴ 且 ，
解得： ；
当 时，如图3，∵对于 ，都有 ，
又∵ 在图象中已包含最小值，
∴不存在 的情况，即此种情况舍去；
当 时，如图4，
∵对于 ，都有 ，
又∵ ，
∴ ，即此种情况与题意不符，舍去；
综上所述，t的取值范围为 或 ．
4．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 左侧．点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 是抛物线对称轴 上的一个动点时，求当 最小时，点 的坐标；
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时， 的值
最小，即可求解；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则 ，转化为二次函数求最值．
【详解】（1） 点 的坐标为 ， ，
由题意得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）如图，点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时，
的值最小，理由： 为最小，
由抛物线的表达式知，点 ，抛物线的对称轴为直线 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ；
（3）如图：过点 作 轴，交 于点 ．
由（2）知，直线 的解析式为 ．
设 ，则 ．
，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
的最大面积
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有一定的综合性，难度适中．
5．（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ： 和直线
： ，点 ， 均在直线 上．
(1)若抛物线 与直线 有交点，求 的取值范围；
(2)当 ，二次函数 的自变量 满足 时，函数 的最大值为-4，求 的值；
(3)若抛物线 与线段 有两个不同的交点，请求出 的取值范围．
【答案】(1) 且
(2) 或
(3)a的取值范围为 或
【分析】（1）利用待定系数法先求出 ，联立方程组得 ，再根据抛物线与直线有
交点可得 ，进而可求解
（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可
（3）分 和 两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解： 点 ， 在直线 上，
解得 ，
．联立方程组，得： ，
则： ．
抛物线 与直线 有交点，
．
且 ．
（2）根据题意可得， ，
，
抛物线开口向下，对称轴 ．
时， 有最大值 ，
当 时，有 ．
或 ．
①在对称轴 左侧， 随 的增大而增大，
时， 有最大值 ，
．
②在对称轴 右侧， 随 最大而减小， 时， 有最大值 ．
综上所述： 或 ；
（3）① 时， 时， ，即 ．
② 时， 时， ，即 ．
直线 的解析式为 ，抛物线与直线联立： ，
．
．
．的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法及二次函数的对称；熟练掌握待定系数法求解析式，
数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】
1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线 与抛物线 对称轴左侧部分的图象有且只有一个
交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的
关键在于数形结合的思想的运用．
当直线 与抛物线 相切时符合题意，则有 ，根据 ，求出m的
值；当抛物线过 ，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入 ，求出此时的m的值，以及抛物线
继续向左平移，仍符合题意．
【详解】解：由题意，当直线 与抛物线 相切时符合题意，如图：∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ，
记直线 与y轴交于点 ，
又当抛物线过 ，且对称轴在y轴右侧，
∴ ．
∴ ，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图：
又继续向左平移符合题意，符合题意，如图：∴ ．
综上， 或 ．
故选：D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 ： 的顶点坐标为 ，与 轴正半轴
交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）点 的坐标为 ；
（2）将抛物线 沿 轴向右平移 个单位长度，平移后的抛物线 与抛物线 相交于点 ，且点
在第四象限内，当 的面积最大时， 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含 的式子表示
的面积是解题关键．
（1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解；
（2）先表示出 的解析式，联立 得出点 坐标，再表示出 的面积，最后利用二次函数最值求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时，得 ，
解得 ， ，
∴ ，故答案为 ；
（2）抛物线 ： ，
∵将抛物线 沿 轴向右平移 个单位长度得抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为： ，
∴ ，
解得 ，
即点 坐标为 ，
∵点 在第四象限内，
∴ ，再结合 ，
得 ，
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板 ，
且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上， ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知直线 上方抛物线上一点D，连接 ，求 的面积最大值以及此时点D的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线 方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线
上的一点，过B作直线 交新抛物线于第四象限的点E，连接 ，当
时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2) 的面积最大值为 ，此时点D的坐标为
(3) 或
【分析】（1）先求得 ，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）过D作 轴于H交 于M，设 ， ，先利用待定系数法
求得直线 的表达式，由三角形的面积公式和坐标与图形性质可得 ，利用二
次函数的性质求解即可；（3）根据平移性质得到新抛物线的表达式，分点P在直线 上方和下方，利用三角形的外角性质，结合
坐标与图形和含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意， ， ， ，
∴ ，则 ，
设抛物线的解析式为 ，
将 、 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图1，过D作 轴于H交 于M，设 ， ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，则 ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，面积最大，最大值为 ，
又当 时， ，
故点D的坐标为 ；
（3）解：由（1）得： ，
∵ ， ，
∴将原抛物线沿射线 方向平移，新抛物线与y轴交于点C，即就是将原抛物线向左平移3个单位长度，
再向上平移 个单位长度得到新抛物线，
则新抛物线的表达式为 ，即 ，当点P在直线 上方时，如图，设直线 与新抛物线的另一个交点为F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 轴，
则点P的横坐标为 ，
当 时， ，
∴ ；
当点P在直线 下方时，如图，设直线 与新抛物线的另一个交点为F，过P作 轴于H，
同理可得 ，又 ，
∴ ，
∴在 中， ，
由 得 ，设点P的横坐标为x，则 ，
∴ ，即
解得 或 （舍去）
则 ，
∴ ，
综上，满足条件的点P坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的外角性质、含30度角的
直角三角形的性质、坐标与图形、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量大，正确求得函数关系式，
灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．
4．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像
上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
(3)
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二
次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次
函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再
建立不等式组求解即可.
【详解】（1）解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二
次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
5．（2024·广东广州·二模）已知抛物线 ，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为
．
(1)若抛物线 过点A，求抛物线解析式；
(2)若抛物线 与直线 只有一个交点，求a的值．
(3)把抛物线 沿直线 方向平移 个单位（规定：射线 方向为正方向）得到抛物线 ，若对于
抛物线 ，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3) 时， ．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的平移等知识点，
掌握二次函数图像的性质是解题的关键．（1）把A点坐标代入解析式求出a的值即可；
（2）首先求出直线 的解析式，再根据直线与抛物线有一个交点求得a的值即可；
（3）先求出 ，即可求得水平方向和垂直方向的平移距离，然后求得新的抛物线的对称
轴，然后再分 和 两种情况，分别运用抛物线的增减性即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点A，点A坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
（2）∵点A坐标为 ，
∴直线 为 ，
∵抛物线 与直线 只有一个交点，
∴ 有两个相等的解，
即 有两个相等的解，
∴
解得 或 ；
（3）解：∵ ，
∴ ,
∴抛物线 沿直线 方向平移t 个单位相当于水平移动了 个单位再竖直方向移动了 个单位，∴抛物线 的对称轴为 ，
当 时，y随x的增大而增大，分两种情况：
① 时，对称轴为直线 或在直线 左侧，
∴ 得 ，不符合题意；
② 时，对称轴为直线 或在直线 右侧，
∴ 得 ；
综上：当 时， 符合题意．
【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】
1．（2024·湖南常德·一模）将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余
部分不变，得到的新图像与直线 有 个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ 、 、 是常数， ）与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．解方程 得 ， ，再利用折叠的
性质求出折叠部分的解析式为 ，即 ，然后求出直线 经过
点 时 的值和当直线 与抛物线 有唯一公共点时 的值，即可得解．
掌握抛物线与 轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像
与几何变换．
【详解】解：对抛物线 ，当 时，得： ，
解得： 或 ，
∴抛物线与 轴的交点为 、 ，
∵将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当 时，解析式为 ，即 ，如图，
当直线 经过点 时，此时直线 与新函数图像有 个交点，
把 代入直线 ，解得： ，
将直线 向下平移时，有 个交点，
当 与直线 有一个交点时，此时直线 与新函数图像有 个交点，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，新图像与直线 有 个交点时， 的取值范围是 ．
故选：C．
2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，已知抛物线 ： 与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C．（1）点B的坐标为 ；
（2）点P为L上在第一象限内的一点，过点P作直线 的平行线，与x轴交于点M，若点P从点C出发，
沿着抛物线L运动到点B，则点M经过的路程为 ．
【答案】
【分析】（1）二次函数 中，令 ，得 ，从而即可得解；
（2）根据题意，可以先求出点 的坐标，从而可以得到直线 的解析式，再根据 ，点 在
抛物线上，可以写出点 的坐标和对应的直线 的解析式，再根据题意，可以得到点 横坐标的最大值，
从而可以得到点 经过的路程．
【详解】解：（1）∵二次函数 ，
∴当 时 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
，
即直线 的函数解析式为 ，
∵ ，点 在抛物线上且在第一象限，
∴设点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 且 ，
解得 ，
此时直线 的解析式为 ，当 时 ，
∴点 横坐标最大值是 ，
∴点 经过的路程为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线与 轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系 中， ， ， 三点都在抛物线
上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关
系是解题的关键．
（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；
（2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可；
【详解】（1）解：对称轴为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线 的图象开口朝上，
无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，
有两种情况满足题意，
①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意，
即 ，
∴ ，
化简得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，
此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方，
临界情况A、B两点分别是这两个交点，
∵对称轴为 ，
∴ ，
得 ，则有： ， ，
此时 代入 ，解得 ，
∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小，
∴此时 ；
综上所述， ．4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线 与 轴交于点 ，
顶点为点 ，点 的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求 的面积；
(3)如果 ，求抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得 ，令 得到 ，
求得直线 的解析式为 ，进而即可求解；
（2）根据题意，分两种情况讨论，①与 轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行
计算即可求解；
（3）根据题意，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，进而得出 是等腰直角三角形，结合 的坐标，
建立方程，解方程，得出 ，进而求得抛物线解析式．
【详解】（1）解：令 ，则 ，则 ，∵
∴
又 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）①当抛物线与 轴只有一个交点与 轴有一个交点时，
当 时，
即
∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点
∴
解得
∵ ，
∴
∴
②当抛物线过原点时，且与 轴有2个交点时，
将 代入解析式∴
即
∴
∴此情况不存在，
综上所述，
（3）解：如图所示，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
∵ ，
∴
解得： （舍去）或
∴ ．
5．（23-24九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数 ，其中 ， 为实数．(1)若该函数的对称轴是直线 ，则 ______；
(2)若该函数的图像经过点 ，请判断该函数的图像与 轴的交点个数；
(3)该函数的图像经过点 ， ， ， ．若 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)函数 的图像与 轴有一个交点；
(3) ．
【分析】（1）令 ，即可求解；
（2）将 、 代入 ，得 ，即可求解；
（3）方法一：利用一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质求解即可；
方法二：根据函数图像水平平移不改变对应点的纵坐标特征，进而求解．
【详解】（1）解：若该函数的对称轴是直线 ，
得 ，
解得 ．
（2）解：当 时 ，
，
函数的图像经过点 ，
将 、 代入 ，
得 ，即 ，
即 ，
有两个相等的实数根，
则函数 的图像与 轴有一个交点．（3）解：函数的图像经过点 ，
是 的根，
， ，
，
，即 ，
将 ， 代入 ，
得 ， ，
，
，
；
方法二：根据函数图像水平平移不改变对应点的纵坐标特征
由 可得函数图像与 轴两交点距离为1，将函数水平移到以 轴为对称轴，
∴
由方法一可得: ，解得：
∴新图像解析式为： ，点 ， 平移后为 ， ，
代入 ，
得 ，
则 ．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】
1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每
月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨 元，月销售利
润为 元，可列函数为： ，对所列函数下列说法错误的是（ ）
A． 表示涨价后商品的单价 B． 表示涨价后少售出商品的数量
C． 表示涨价后商品的月销售量 D．当 时月利润达到最大
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
根据题意分别表示涨价后的单件价格和利润、月销售量减少量、月销售量、以及函数的最大值．
【详解】解：设每件商品单价涨 元，则单件价格为 元，利润为 元，月销量减少量为
元，月销售量为 元，则月销售利润是： 元，
故 ，
∵ ，
∴ 时，月利润达到最大值，
据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意，
故选：A
2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万
只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】由题意知，8月份生产玩具 万只，9月份生产该玩具 万只，依题意得，
．【详解】解：由题意知，8月份生产玩具 万只，9月份生产该玩具 万只，
依题意得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式．
3．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为
每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每
个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能
多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为
多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得 ，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利 元，每天可售出 个，每天的总利润为w元，利用每天
销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品
的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是
解题的关键．
【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
答：商城每次降价的百分率为为 ．
（2）设降价x元，则每个盈利 元，每天可售出 个，每天的总利润为w元，根据题意，得
，
∴当 时，利润最大，250(元),
答：定价为19元，最大利润为250元．
4．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与
年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z
（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万
件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，
达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用）
年销售量x（万件） … 20 40 …
56
总销售额z（万元） … 1040 …
0
(1)求y与x以及z与x之间的函数解析式；
(2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；
(3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使
2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元．
【答案】(1) ，
(2)
(3)下调了6元
【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据毛利润 ，结合函数图象求出x的取值范围即可；
（3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数
的性质求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
设预售总额为 （万元），每件产品的预售额为 （元），则 ，
设波动总额为 （万元），
∵波动总额与年销售量x的平方成正比，
∴设 ，
∴ ，
把 ， ； ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：毛利润
，令 ，则 ，
解得 ， ，
画出草图如下：
由图知：当 时， ，
∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是 ；
（3）解：设下调m元，
则 ，
∴ ，
∵2025年的最高毛利润为720万元，
∴w的最大值为720，
∴ ，
解得 （不符合题意，舍去）， ，
故下调了6元．
5．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以 万元/吨的价
格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的
包装成本为 万元/吨，当甲类草莓的销售量 吨时，它的平均销售价格 ，当甲类草莓的销售
量 吨时，它的平均销售价格为 万元/吨．乙类草莓深加工总费用 （单位：万元）与加工数量 （单
位：吨）之间的函数关系为 ，平均销售价格为 万元/吨．(1)某次该公司收购了 吨的草莓，其中甲类草莓有 吨，经营这批草莓所获得的总利润为 万元；
①求 与 之间的函数关系式；
②若该公司获得了 万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
(2)在某次收购中，该公司准备投入 万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，
并求出最大的总利润．
【答案】(1)① ；②当该公司获得了 万元的总利润时，直接销售的甲类草莓
有 吨
(2)收购 吨草莓，甲类分配 吨，乙类分配 吨，总收益为 万元
【分析】本题考查了是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大，解题关键是理清售价、成本、利润
三者之间的关系，涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
（1）①当 时及当 时，分别求出 关于 的表达式．注意 销售总收入 经营总成本
；②若该公司获得了 万元毛利润，将 万元代入①中求得的表达式，求出甲类草梅的
数量；
（2）本问是方案设计问题，总投入为 万元，这笔 万元包括购买草莓的费用 甲类草莓加工成本
乙类草莓加工成本．其中设甲类草莓为 吨，乙类草莓为 吨，即总投入为 ，再分别求出当
时及当 时 关于 的表达式，并分别求出其最大值．
【详解】（1）解：①设销售甲类草莓 吨，则销售乙类草莓 吨．
当 时， ，
，
∴ ；
当 时， ，
，
∴ ．∴ 关于 的函数关系式为： ．
②当 时， ，解得 ， ，均不合题意；
当 时， ，解得 ．
∴当该公司获得了 万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有 吨．
（2）解：设投入资金后甲类分到收购的草莓为 吨，乙类为 吨，总投入为 ，即：
，
当 时总利润为 ，
当 时，取到最大值 ；
当 时，总利润 为常数，
故方案为收购 吨，甲类分配 吨，乙类分配 吨，总收益为 万元．
【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】
1．（2024·河南开封·二模）如图，在 中， ， ， ，点 P 从点A 出发，
沿 向点C 以 的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿 向点B 以 的速度运动（当点 Q
运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形 的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键．
先根据勾股定理求出 的长，再设点 P 运动时间为t，四边形 的面积为y，根据题意表示出y与t
的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：由题可知， 是直角三角形，
∴ ，
设点 P 运动时间为t，四边形 的面积为y，
则 ，
∴ ，
则当 时，y最小为 ．
故选：C．
2．（2024·吉林长春·一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋 可视为抛物线的一部分，桥面
可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 为80米，桥拱的最大高度
为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与 的距离为4米的景观灯杆 的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐
标系是解题的关键．
以 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为 ，将点 坐
标代入求得抛物线解析式，再求当 时 的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为 ，
由题意可知， 的坐标为 ，
，
，
，
时， ，
答：与 距离为4米的景观灯杆 的高度为 米，
故答案为： ．
3．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，以
的速度沿 运动，过点 作射线 的垂线，交射线 于点 ，在点 运动过程中，设运动
时间为 ， 与菱形 重叠部分的面积为 ．
(1)写出线段 的长（用含 的式子表示）．
(2)当 平分菱形面积时，求 的值．
(3)求 与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)当 时， ，当 时，
(2)2.5(3)
【分析】 分两种情况： 当 时， 当 时，由题意可得出答案；
连接 ，过点 作 于点 ，则四边形 为矩形，证明 ，由全等
三角形的性质得出 ，列出方程可得出答案；
分三种情况： 当 时，点 在边 上，如图 ； 当 时，当点 在边 上，点 在
线段 上，如图 ； 当 时，当点 在边 上，点 在线段 的延长线上，如图 由直角三
角形的性质及三角形的面积可得出答案．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形，
，
当 时， ，
当 时， ．
（2）解：连接 ，过点 作 于点 ，则四边形 为矩形，
，
， ，
，
平分菱形的面积，
经过 的中点 ，
，四边形 是菱形，
，
， ，
≌ ，
，
，
；
（3）解：分三种情况： 当 时，点 在边 上，如图 ．
， ，
， ，
，
；
当 时，当点 在边 上，点 在线段 上，如图 ．
由 可知， ，
，，
；
；
当 时，当点 在边 上，点 在线段 的延长线上，如图 ．
， ，
，
，
，
．
综上所述， 与 的函数关系式为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角
形的面积，求函数解析式，正确进行分类讨论是解题的关键．
4．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
，桥拱顶点 到水面的距离是 ．(1)按如图所示的坐标系，求该桥拱 的函数表达式；
(2)要保证高 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图
象．现将新函数图象向右平移 （ ）个单位长度，使得平移后的函数图象在 之间，且 随
的增大而减小，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)小船的最大宽度为 米
(3) 或
【分析】（1）先求出顶点 的坐标，再根据待定系数法求解即可得解；
（2）二次函数的表达式 中，令 得 ，求解该方程即可得
解；
（3）根据平移规律得到点 平移后的对应点为 ，对称轴平移后的对称轴为 ，点 平移后的
对应点为 ，从而得 或 上，满足 随 的增大而减小，解不等式组即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，且点 在 轴上，
∴ ，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 ，
设抛物线的解析式为 ，把原点 代入得
，解得 ，
∴此二次函数的表达式 ．
（2）解：∵二次函数的表达式 ，
∴令 得：
，
解得： ， ，
∴小船的最大宽度为： 米．
（3）解：根据平移规律得到点 平移后的对应点为 ，对称轴平移后的对称轴为 ，点 平移
后的对应点为 ，根据图像性质，得到函数在 或 上，满足 随 的增大而减小，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，解不等式组，抛物线的应用，熟练
掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．
5．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试
验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离 （单位： ）、飞行高度 （单位： ）随飞行时间（单位： ）变化的数据，如下表所示：
飞行时间 0 2 4 6 8
飞行水平距离 0 8 16 24 32
飞行高度 0 18 32 42 48
已知 与 满足一次函数关系，即 ， 与 满足二次函数关系．
(1)求 关于 的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图，活动小组在水平安全线上的点 处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）．
①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离．
②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为 的范围
内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于 ，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，
并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式．
（1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；
（2）①令 ，解方程求出 的值，再把 的值代入 求出 即可；
②当 时， ．求得 ．当 时， ．求得 ，再求出二次函数的对称轴为
直线 ，再根据二次函数的性质求解即可．
，从而得出结论．
【详解】（1）设 关于 的函数解析式为 ．
将 和 代入，得解得
∴ 关于 的函数解析式为 ．
（2）①解：令 ，则 ，
解得 ， （舍去）．
当 时， ．
答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为 ．
②该航模飞机此次试飞能达到要求．
理由：当 时， ．解得 ．
当 时， ．解得 ．
∵ ，
∴该二次函数的对称轴为直线 ．
∴ ， 均在对称轴的左侧．
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大．
∴当 时， 有最小值， 的最小值是 ．
∵ ，
∴该航模飞机此次试飞能达到要求．
【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】
1．（2023九年级·全国·专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在 的范围内，若二次函数 的图象
上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在一个“三
倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两个函数值大小即
可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交
点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内，二次函数 和 至少有一个交点，
令 ，整理得，
则 ，解得
把 代入 得 ，代入 得
∴
解得 ；
把 代入 得 ，代入 得
∴ ，解得 ，
综上，c的取值范围为： ．
故选：D．
2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）若函数 的图象上至少存在一个点，该点关于 轴的对称点落
在函数 的图象上，则称函数 为关联函数，这两个点称为函数 的一对关联点．若函数与一次函数 （ 为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
设 和 是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出 ，则关
于 的方程， 有两个相等的实数根，得出 ，代入代数式，根据二次函
数的性质即可求解．
【详解】解： 与函数 ( ， 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设 和 是这对函数的关联点，
∴ ，
即关于 的方程， 有两个相等的实数根，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．3．（2024·山西晋中·三模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知点
的坐标为 ，点 的坐标为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．
(1)求拋物线的函数表达式及点 的坐标．
(2)求 的值和点 的坐标．
(3) 是第四象限内拋物线上的动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直
线 于点 ，过点 作 于点 ．
①当 是线段 的三等分点时，求点 的坐标；
②连接 ， ， ，在点 运动的过程中，是否存在 ？若存在，直接写出 的长；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，点 的坐标为
(2) ，点 的坐标为
(3) 点 的坐标为 或 ； 存在， 的长为 ．
① ②
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正
确画出辅助线是解题的关键．
（1）待定系数法求解即可；
（2）联立解方程组即可；
（3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解；②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可．
【详解】（1）将点 ，点 代入 ，
得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ，
点 的坐标为 ．
（2）将点 代入 ，解得 ，
联立 ，解得 （舍去）， ，
点 的坐标为 ．
（3）①由题意可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
．
是线段 的三等分点，
或 ．
当 时，即 ，解得 ， （舍去），
点 的坐标为 ．
当 时，即 ，解得 ， （舍去），
点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．②存在， 的长为 ．
如图，过点 作 轴，过点 作 轴，令直线 与 轴的交点为 ，点 关于直线 对称的
点为 ，
， ，
， ，
，
四边形 是正方形．
，
．
由正方形的对称性可知 ，
．
把 代入 ，得 ，
点 在抛物线 上，
当点 与点 重合时，即 满足 ，
．
4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数 的图象的顶点在二次函数为 的图象上，同时二次函数
的图象的顶点在二次函数 的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．(1)若二次函数 与二次函数 互为“顶点相容函数”，则 _______．
(2)如图，已知二次函数 的图象的顶点为 ，点 是 轴正半轴上的一个动点，将二次函
数 的图象绕点 旋转 得到一个新的二次函数 的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
且 的图象的顶点为 ．
①求二次函数 的解析式；
②点 为 轴上一点，是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在，点 的坐标为 或
【分析】（ ）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为 ，再代入二次函数解析
式得到 即可解答；
（ ）①根据旋转的性质可知 ，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；
②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数 ，
∴该函数的图象的顶点坐标为 ，
∴将 代入 ，得 ，
解得 ．
∴二次函数的解析式为 ,∴二次函数 的顶点为 ，
∴将 代入入 得 ，
∴ 符合要求，
故答案为： ；
（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
∴ 的图象的顶点 必在二次函数 的图象上，
∵ 的图象是二次函数为 的图象绕点 旋转 得到，
∴这两个函数图象的顶点 关于点 对称，
如图，分别过 作 轴， 轴，垂足分别为 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
解得 （舍去），
∴点 的坐标为 ，
当点 是 的图象的顶点时，设 ，
把 代入 ，
解得 ，
∴二次函数 的解析式为为 ；②设点 的坐标为 ，则 ，
；
当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，存在一点 ，使得 为直角三角形，点 的坐标 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容
函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键．
5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线 （ 、 为常数，且 ）与 轴交于 、
两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称轴 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，
于点 ，连接 ．(1)求抛物线 的函数表达式和点 的坐标；
(2)将抛物线 沿 轴向下平移一定距离后得到抛物线 ，已知抛物线 的顶点为 ，且抛物线 与 轴
无交点，点 为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是以
为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，菱形的性质及两点间距离，
（1）将点 ， 代入抛物线 ，得到关于 、 的二元一次方程组，求解可得
解析式，再令 ，解一元二次方程组，求解即可；
（2）分两种情况，根据菱形的性质及两点间距离即可求解；
掌握菱形的性质及两点间距离公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 和点 在抛物线 上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线 的函数表达式为 ，
当 时，得： ，解得： ， ，
∴ ；
（2）∵抛物线 ： ，
∴抛物线 的对称轴 为∶直线 ，
∵将抛物线 沿 轴向下平移一定距离后得到抛物线 ，
∴抛物线 的对称轴 为∶直线 ，
设点 ，使得以 为顶点的四边形是以 为边的菱形，
①若 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
②若 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，∴ ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时，以 为顶点的四边形是以 为边的菱形．
【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】
1．（2023·四川巴中·模拟预测）将二次函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的图象与一次
函数 的图象有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或
两个交点，可利用方程组 一元二次方程 的问题解决．先根据平移原则：上加下减，左加右减写
出解析式，再列方程组，有公共点则 ，则可求出 的取值．
【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为： ，
则 ，
消去 得到 ，
整理得 ，
，，
故选：C
2．（2024·安徽淮北·三模）抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为
．
（1）a的值为 ；
（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q位于一次函数 的图像上．当
时， 的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】本题考查二次函数的图像与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）将顶点C坐标代入抛物线表达式中求解即可；
（2）先求得抛物线和直线的交点坐标，设 ， ，分 和 两种情况，利用坐标
与图形性质，用t表示出 ，根据二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：（1）由题意，将 代入 中，得 ，
解得 ，
故答案为：1；
（2）由（1）得抛物线的表达式为 ，
联立方程组 ，解得 或 ，
∴抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ，
设 ， ，
当 时， ，
∵ ，∴当 时， 的长度随t的增大而减小，不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴当 时， 的长度随t的增大而增大，当 时， 的长度随t的增大而减小，
故答案为： ．
3．（2024·云南昆明·二模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称
定点．比如点 就是一个定点．对于一次函数 （ 是常数， ），由于
，当 即 时，无论 为何值， 一定等于 ，我们就说直线
一定经过定点 ．设抛物线 （ 是常数， ）经过的定点为
点 ，顶点为点 ．
(1)抛物线经过的定点 的坐标是______；
(2)是否存在实数 ，使顶点 在 轴上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)当 时，在 的图像上存在点 ，使得这个点到点 、点 的距离的和最短．求 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数
的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键．
（ ）将抛物线的解析式进行整理得 ，可得“定点 ”的坐标为 ；
（ ）根据 判断即可；
（ ）先求出 ，再根据 的图像上存在点 ，使得这个点到点 、点 的距离的和最短，得
点 、 、 三点共线，从而根据当 过点 和 过点 ，即可求解 的取值范围
为 ．
．
【详解】（1）解： ，
当 ，即 时， ，
∴无论 为何值 一定等于 ，
∴抛物线一定过定点 ．
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：不存在，理由如下：
∵抛物线 的顶点 在 轴上，
∴ ，
∴不存在实数 ，使顶点 在 轴上，
（3）解：∵当 时， ，
∴ ，
∵ ，在 的图像上存在点 ，使得这个点到点 、点 的距离的和最短，
∴点 、 、 三点共线，∵ 在直线 上，
∴当 过点 时得，
，
解得 ，
当 过点 时得，
，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
4．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点
．
(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
(2)一次函数 的图象经过点A，点 在一次函数 的图象上，点 在二次函
数 的图象上，若 ，求m的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2) 为任意实数．
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质
是解题的关键．
（1）把点 代入，即可求解；
（2）先求出一次函数的解析式为 ，再根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ．
∴ ，解得： ，∴该二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象顶点的坐标为 ；
（2）解：∵一次函数 的图象经过点A，
∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ，
∵ ，
∴点 在一次函数 的图象上，点 在二次函数 的图象上．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 恒成立，
∴ 为任意实数．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ，
且与二次函数 的图象交于点 ．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；(2)设 是直线 上一点，过点 作 轴，交二次函数 的图象于点 ，若以点 、 、
、 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点 坐标为 ， ， ，
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）求出点 坐标，根据平行四边形性质，设 ， ，由 列方程求解即
可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数表达式为： ；
∵点 在 上，
∴ ，即 ，
∵点 在 上，
∴ ，解得 ，
∴二次函数表达式为： ；
（2）解：∵点 在 轴上，且在 上，
∴ ，即 ，
如图所示：∵以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ，
设 ， ，则有 ，
或 ，解得 或 ，
是直线 上的点，
∴点 坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、
抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，
掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．
【压轴题型十 二次函数的翻折问题】
1．（2024·山东济南·二模）抛物线 ，将其图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不
变，组成图形 是 上的任意一点，当 时， 的最大值记为 ，则 取得最小值时，
的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．
根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合 的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到
时， 的最大值，比较后得到 取得最小值时， 的值为多少．
【详解】解：①当 时，对称轴在 轴的左侧或者 轴．所给选项无 ，所以以对称轴在 轴左侧为例，画出图形．
由图象可得：当 时，
∴当 取的最小值时， 最小，即
②当 时，对称轴在 轴的右侧．
当 时， ．
当 时，
图象的最高点为顶点 ．
．
或 不合题意，舍去 ．
取得最小值时， 的值为 ．
故选：C．
2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数 图象是由函数
的图像 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，则
下列结论正确的是 ．；
将图像向上平移 个单位后与直线 有 个交点．
【答案】①③④
【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式 ，即可得到 ，故
①正确；由图象可判断二次函数 与y轴的交点为 ，即 ，故②错误；根据图象判
断 ， ，结合 ，可知 ，故③正确；求出原二次函数的表达式 ，即可判断
函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为 ，继而得出直线 与平
移后的函数图象有3个交点，故④正确．
【详解】 图象经过 ， ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
，
，即 ，
故 正确；
，
抛物线 与 轴交点在 轴下方，
故 错误；，
，
，
故 正确；
∵将点 和 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ，
∵当 时， ，
∴图象上当 时，函数顶点的坐标为 ，
∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为 ，如图所示：
综上：正确的有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数
法求二次函数的表达式等是解答本题的关键．
3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点（点 在点 的左侧）．
(1)若点 的坐标为 ，
①求此时二次函数的解析式；
②当 时，函数值 的取值范围是 ，求 的值；
(2)将该二次函数图象在 轴上方的部分沿 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值 随 的增大而增大，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】(1)① ；② ；
(2) 的取值范围是 或 ．
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象
与几何变换，分类讨论是解题的关键．
（1）①先根据二次函数为 ，得到对称轴为直线 ，把 代入解析式
求得 或 ，根据题意点 在对称轴右侧，即 ，则 ，即可求得抛物线的解析式；②根据
开口方向和对称轴顶点，当 时，函数取得最大值3，当 时，函数取得最小值 ，
在 范围内，解得 ；
（2）令 ，得 ，解得 ，与 ，根据题意得到① ，②
且 ，即可求得 的取值范围是 或 ．
【详解】（1）解：①二次函数为 对称轴为直线 ，
令 ，有 ，解得 或
为该二次函数图象与 轴靠右侧的交点，
点 在对称轴右侧．
，故 ．
二次函数解析式为
②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线 ，
时，函数值 随 的增大而减小；
当 时，函数取得最大值3；
当 时，函数取得最小值
在 范围内，解得 ；
（2）解：令 ，得 ，解得
将函数图象在 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：当 时， 随 的增大而增大；
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大；
当 时， 随 的增大而减小．
因此，若当 时， 随 的增大而增大，结合图象有：
① ，即 时符合题意；
② 且 ，即 时符合题意．
综上， 的取值范围是 或 ．
4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数
图象的“倍值点”，例如：点 是函数 的图象的“倍值点”．
(1)分别判断函数 ， 的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
(2)设函数 ， 的图象的“倍值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．
当 的面积为2时，求 的值；
(3)若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ，当 ， 两部分组成
的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) 不存在“倍值点”，理由见解析； 的图象上存在两个“倍值点” 或
；
(2) 的值为 或6；
(3)当 ， 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时， 或 ．
【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“倍值点”的定义求出函数 的图象上有两个“倍值点” ，同理求出
，根据 的面积为3可得 ，求解即可；（3）先求出函数 的图象上有两个“倍值点” 或 ，再利用翻折的性质分类讨论即可．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 不成立，
函数 的图象上不存在“倍值点”；
在 中，令 ，
解得： ， ，
函数 的图象上有两个“倍值点” 或 ；
（2）解：在函数 中，令 ，
解得： ，
，
在函数 中，令 ，
解得： ，
，
轴，
，
，
的面积为2，
，
（舍去）， ，
的面积为2，，
，
， （舍去），
综上所述， 的值为 或6；
（3）解：令 ，
解得： ， ，
函数 的图象上有两个“倍值点” 或 ，
①当 时， ， 两部分组成的图象上必有2个“倍值点” 或 ，
，
，
令 ，
整理得： ，
的图象上不存在“倍值点”，
△ ，
，
，
②当 时，有3个“倍值点” ，
③当 时， ， 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”，④当 时， ， 两部分组成的图象上恰有1个“倍值点” ，
⑤当 时， ， 两部分组成的图象上没有“倍值点”，
综上所述，当 ， 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时， 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运
用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类
讨论思想解决问题．
【压轴题型十一 二次函数最值问题】
1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在 中，边 的长与 边上的高的和为8，当 面积最大
时，则其周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则高为 ，设 面积为S，则 ，找到面积最大时的 值，过A
作直线l ，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时， 的周长最小，计算可以
解题．
【详解】设 ，则高为 ，设 面积为S
，
的面积最大，
，
即 ，
过A作直线l ，作B关于l的对称点E，连接 交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，
的周长最小，
，
，，
的周长最小值为： ．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解
题的关键．
2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ，D是 边
上一动点，以 为边作正 ，则 最大 ．
【答案】
【分析】过点E作 交 于点F，在 取点G，使 ，连接 ，设 ，则
，证明 ，可得 ，从而得到 ，然后
三角形的面积公式可得 ，即可求解．【详解】解：如图，过点E作 交 于点F，在 上取点G，使 ，连接 ，
设 ，则 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，根
据题意得到 是解题的关键．3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x
轴、y轴作垂线，构造矩形 ，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m．
(1)分别求点A，点B的坐标；
(2)当点P在x轴上方时，此时矩形 的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说
明理由；
(3)当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)存在，最大值为12
(3) 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答
本题的关键.
（1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标；
（2）由题意可知设P ，点P在x轴上方，得到 的取值范围，然后分 ， ，
三种情况表示矩形 的周长，求出最值即可；
（3）分 和 两种情况讨论函数图象的增减性即可解题．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，∴ ；
（2）∵P点横坐标为m，
∴P ，
∵当点P在x轴上方，
∴ ， ，
①当 时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去
②当 时，
∴ ， ，
∴四边形的周长 ；
∵ 开口向下，对称轴 不在 范围内，
在 内，L随m的增大而增大，
∴当 时， ；
③当 时，
∴ ， ，
∴四边形的周长 ；
∵ 开口向下，对称轴 在 范围内，
∴当 时，此时 ；
∵ ，
∴当 时，此时 ；
∴当 时， ；
综上所述，矩形 的周长
当m＝ 时，此时矩形 的周长L有最大值为12；
（3）∵抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 时，抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大；当 时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
当 时，抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大；
综上所述： 或 时，抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大．
4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足
，则称函数G是在 上的“最值差函数”．
(1)函数① ；② ；③ ，其中函数 是在 上的“最值差函数”；（填序号）
(2)已知函数 ．
①当 时，函数G是在 上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在 （m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得 ，求k的
值．
【答案】(1)②；
(2)① 或 ；②
【分析】（1）根据概念分别将① ；② ；③ 的最大值，最小值求出，再根据定义进行判
断即可得出答案；
（2）①分别求出 、 、 时的y值，再分 、 、 、 进行讨论，即可得
出t的值；②由 ，可得出 ，即可知 ，此时x在抛物线的对称轴
右侧，y随x的增大而增大，即可得出 的表达式，再根据k为整数，求解即可．
【详解】（1）对于① ，
当 时， ，
当 时， ，∴ ，不符合题意；
对于② ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，符合题意；
对于③ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，不符合题意；
故答案为：②；
（2）①解：当 时，二次函数
为 ，对称轴为直线 ．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
若 ，则 ，
∴
解得 （舍去）；
若 ，则 ，
∴ ，
解得 （舍去）， ；
若 ，则 ，∴
解得 ， （舍去）；
若 ，则 ，
∴
解得 （舍去）．
综上所述， 或 ．
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大
∴当 时取得最大值， 时取得最小值，
∴ ，
∴m，k为整数，且 ，
∴m的值为3，
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是
理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．
5．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴正半轴交于点A，与 轴负半轴交于点
，且 ，与直线 交于 两点．(1)求点 的坐标；
(2)当 时，求 的面积；
(3) 取何值时 的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)点 的坐标为
(2)10
(3) 时， 的面积最小，最小面积是8
【分析】（1）由题意得点 的坐标为 ，根据 ，得出点A的坐标为 ，把点A的坐标代
入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）当 时，直线 的函数表达式为 ，设直线 与 轴交于点 ，求出点 的坐标为 ，
得出 ，令 ，解得 ，根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）令 ，解得 ，得出 ，表示出 与
之间的函数关系式为： ，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意得点 的坐标为 ，
，
∴点A的坐标为 ，
，解得 或 （舍去），
点 的坐标为 ．
（2）解：抛物线的函数表达式为 ，
当 时，直线 的函数表达式为 ，
设直线 与 轴交于点 ，把 代入 得： ，
∴点 的坐标为 ，
，
由 ，得 ，
．
（3）解：同（2）可得 ，当 时，
即 ，
解得 ，
，
与 之间的函数关系式为： ．
当 时， 有最小值为8．
故 时， 的面积最小，最小面积是8．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的
计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
【压轴题型十二 二次函数的综合】
1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与
轴交于点 ， 点为抛物线上第三象限内一动点，当 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数 与坐标轴的交点坐标分别求出 、 、 的长度；然后通过勾
股定理逆定理判断出 ，得出 ；由 得出
；作点 关于 轴的对称点 ，连接 ；即可构造出 ，从而得出
；根据平行线的斜率相同以及点 的坐标求出直线 的表达式；最后联立方程组求解即可；
【详解】解：令 ，则
解得： ，
∴ ，
∴ ， ，当 时，
∴
∴
在 中
∴
∴
∴
∵
∴
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ；
则 ，
∴
∴
∴
设直线 的表达式为：
将 代入得：
∴直线 的表达式为：解方程组 得： 或
∵点 在第三象限
∴点 的坐标为
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等
知识点；综合运用上述知识求出直线 的函数表达式是解题的关键．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足： ， （k为常数）且 ，
则称点 为“好点”．
（1）若 是“好点”，则 ．
（2）在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的
关键．
（1）根据好点”定义可得： ，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得： ，进而求出直线 的解析式，所以抛物线 与直线 的交
点就是好点，再计算即可．
【详解】解：（1）由好点”定义可得： ，
∴ ，
整理得： ，
∴ 或5，∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 上的点都是好点，
当 时， ．当 时， ，
如图，直线 解析式为 ， ，
抛物线 与直线 的交点就是好点，
当抛物线 过点A时， ，
解得： ，
当抛物线 与 有且只有一个交点时，
有 ，整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴c的取值范围为： ．
故答案为： ．
3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （m是常数，且
）经过点 ，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
(1)求出二次函数的表达式．
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 和 ，与直线 交于点 ，若 ，直接写出
的取值范围．
(3)当 ， ， 时，对应的函数值分别为 ， ， ．求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）把点 代入 ，即可解答；
（2）先求出直线 的解析式，再求出直线 与抛物线 的另一个交点，得出 和
，再根据n的范围即可得出答案；
（3）分别表示出 ， ， ，再相加化简即可．
【详解】（1）由题意得， 抛物线 （m是常数，且 ）经过点 ，
，解得 ，
二次函数的表达式为 ；
（2）解：由题意得： 垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 和 ，与直线 交于点 ，
，即 与抛物线交于P、Q，与直线交于N，
对于二次函数 ，令 ，则 ，
，
又对称轴是直线 ，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
直线 与抛物线 的另一个交点满足
，
解得： （舍去），或 ，
另一个交点为 ，
直线 与 的交点在 之间，
，又P、Q两点为直线 与抛物线 的交点，
，即 ，
，
又 在直线 上，
，
，
，
，
，
；
（3）证明： ，
当 ， ， 时， ，
，
，
．
，
．
4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线 ， ，点 ， 为抛物线上第一象限内的两点，且满足 ，以 为边向右作矩形 ，若P点纵坐标为5．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求矩形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，完全平方公式的变形求值，矩形的性质，勾股定理：
（1）根据矩形对角线中点坐标相同进行求解即可；
（2）连接 ，在 中，由勾股定理得 ，
进而得到 ，解得 ；
（3）先得到 ， ，则 ，即 ，由勾股定理可得
，设 ，进而可得 ，则
，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴由矩形对角线中点坐标相等可得 ，∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵点 ， 为抛物线 第一象限内的两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴矩形 的面积为 ．
5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点A，交
轴于点 和点 ，连接 、 、 ， 与 轴交于点 ．
(1)求抛物线表达式；
(2)点 ，点 在 轴上，点 在平面内，若 ，且四边形 是平行四边形．
①求点 的坐标；
②设射线 与 相交于点 ，交 于点 ，将 绕点 旋转一周，旋转后的三角形记为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）将点 、 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由 坐标求出 解析式，然后根据四边形 是平行四边形和 得出
，再分类讨论求得 和 的坐标；
②求出 解析式，交点为 ，再求出 坐标，然后由两点间距离公式求出 和 长度，因为旋转不
改变长度，所以 长度不变，当 旋转到 轴上时，此时 最短，所以此时 等于 ，然后
代入计算即可．
【详解】（1）解：抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 和点 ，
，
解得：
；
（2） 如图
，设直线 的解析式为 ，
，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
为 与 轴交点，
，
，
四边形 是平行四边形，
且 ，且点 在点 下方，
点 在 轴上，点 在平面内， ，
，
，
或 ，
若 为 ，
，
故 ，
若 为 ，
，此时 ， 矛盾，舍去 ，
综上，点 的坐标为 ；
②如图，设 的解析式为抛物线 交 轴于点 ，
点 的坐标为 ， ，
将点 、 的坐标代入 得：
，
解得 ，
的解析式为 ，
与 相交于点 ，
，
解得 ，
所以点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 、 的坐标代入直线 的解析式得：
，
解得 ，所以直线 的解析式为 ，
与 相交于点 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
当 旋转到 轴上时，此时 最短，如图
的最小值为 ．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、
二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】
1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定
义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使 为等腰直角三角形且 ， 则称抛物线G为点
P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线 的T型点，则n的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．n ≥
【答案】C
【分析】本题是新定义的阅读理解问题，考查二次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，根
据新定义可知与 构成等腰直角三角形且 的点一定在直线 和 上，然后求出解析式，
利用函数的交点与一元二次方程的联系解题即可．
【详解】如图，∵ 是抛物线 的T型点，
∴ ，
∴
∴ 点坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，代入得：
，解得 ，
∴解析式为 ，
∴抛物线 必与直线 有交点，
故 有实数根，即 有实数根，
，
解得 ，
故选C
第II卷（非选择题）
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2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点 ，点 ， ，
，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数 的图象上恰有两个点的“跳
跃点”在直线 上，则a的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是
利用数形结合的思想．
先求出点C、D所在的直线表达式为 ，当 时，还出抛物线与直线 的大致图象，联立直线
和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当 时，
不成立．
【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
题意得点 的“跳跃点”为 ，将 代入 ，
得： ，
∴ ，则点C在直线 上，同理点D也在直线 上，
对于二次函数 ，令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴抛物线与x轴交于 和 ，
当 时，抛物线与直线 的大致图象如图：
直线 也经过 ，设为点D，另一个交点设为点C，
则联立直线 和抛物线的表达式得到 ，
则 ，
则 ，解得 ，
则 ，而 ，
∴ ，
∴ ，
对于 ，化简为： ，
而直线 和抛物线在 时有两个交点，故
∴
∴ ，
∴ 且 ；
当 时，如图：直线 不可能与抛物线在 时有两个交点，故舍，
综上： 且 ．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴的交点坐
标为 ，那么我们把经过点 且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ．
【深入探究】
（2）经过点 和 的抛物线 与y轴交于点C，它的极限分割线与
该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为P，直线 垂直平分 ，垂足为E，交
该抛物线的对称轴于点F．
①当 时，求点P的坐标．
②若直线 与直线 关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线 的距离与点B到直线 的距离
相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 和 ；（2） ；（3）① 或 ；②存在，0或 或
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，
（1）由抛物线 与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标；
（2）由抛物线经过点 ，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，
再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标；
（3）①设 与对称轴交于点G，若 ，则 ，由此可得关于m的绝对值方程，解得m
的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设 与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，
分别写出极限分割线 、直线 及直线 的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线 的距离
和点P到直线 的距离，根据点P到直线 的距离与点B到直线 的距离相等，得出关于m的绝对
值方程，解方程即可；
明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线 的对称轴为直线 ，极限分割线为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ，
故答案为： 和 ；
（2）∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ， ，∴点D的坐标为 ；
（3）①设 与对称轴交于点G，若 ，则 ，
∴ ，
∴ 或 ．
∴当 时， ，点P的坐标为 ；
当 时， ，点P的坐标为 ，
∴点P的坐标为 或 ；
②存在，m的值为0或 或 ．
如图，设 与对称轴的交点为H．由（2）知， ， ，
∴ ，
∴抛物线 的极限分割线 ： ，
∵直线 垂直平分 ，
∴直线 ： ，
∴点B到直线 的距离为 ，
∵直线 与直线 关于极限分割线 对称，
∴直线 ： ，
∵ ，
∴点P到直线 的距离为| ，
∵点P到直线 的距离与点B到直线 的距离相等，
∴ ，
∴ 或 或 ．
4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横
坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．(1)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的
坐标是 ；
(2)如图，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接
，判断 的形状，并说明理由：
(3)在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值
范围是 ．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，二
次函数的性质等等：
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出 时，自变量的值即可得到答案；
（2）先求出 时的自变量的值，进而求出点A和点B的坐标，再把解析式化为顶点式
得到点C的坐标，最后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明 即可得到结论；
（3）把解析式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为 ，分以下几种情况：当 时，抛物线
的图象上至少存在一个“梦之点”；当 时，直线 与抛物线
在 范围内不存在交点；当抛物线 恰好经过原点时，则
，解得 或 ，当 时，联立 解得 或 ，符合题意；当 时，
此时二次函数与 在 范围内不存在交点；当 时，由于抛物线的顶点坐标在直线 ，则当抛物线沿着直线 进行平移时，二次函数与直线 的两个交点的横坐标的差值
是保持不变的，求出当 时，二次函数与直线 的两个交点的横坐标的差值为 ，由于抛物线
的顶点坐标在直线 ，则当抛物线沿着直线 进行平移时，二次函数与直线 的两个交点的横坐
标的差值为1，则当 时，二次函数与 的另一个交点的横坐标为 ，则 ，解得
，据此结合图象可得答案．
【详解】（1）解：∵ 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
当 时，则 ，解得 ，
∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
当 时，解得 ，
∴不妨设 ；
∵ ，
∴顶点C的坐标为 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴当 时，抛物线 的图象上至少存在一个“梦之点”；∵抛物线开口向上，
∴当 时，直线 与抛物线 在 范围内不存在交点；
当 时，联立 解得 或
当 时，由于抛物线的顶点坐标在直线 ，
∴当抛物线沿着直线 进行平移时，二次函数与直线 的两个交点的横坐标的差值是保持不变的，
当 时，二次函数与直线 的两个交点的横坐标的差值为 ，即当抛物线沿着直线 进行
平移时，二次函数与直线 的两个交点的横坐标的差值为1，
∴当 时，二次函数与 的另一个交点的横坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， ．
5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，
则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点 是函数 的图象的“1系关联点”。
(1)在函数① .② .③ 的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号）
(2)若函数 的图象的“3系关联点”与函数 的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成
等腰三角形，求b的值；(3)若函数 的图象存在唯一的“m系关联点”，当 时，函数 的最小值
为 ，求t的值.
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函、反比例函数，二次函数的性质，勾股定理；
（1）根据新定义联立 ，解方程，即可求解；
（2）根据新定义得出函数 的图象的“3系关联点”为 ， ，函数 的图象的“6系关
联点”为 ，勾股定理表示出两点距离，根据等腰三角形的定义，分类讨论，解方程，即可
求解；
（3）根据函数 的图象存在唯一的“m系关联点”得出 ，进而根据二次函数的性质，即
可求解．
【详解】（1）解：依题意，“2系关联点”即
∴“2系关联点”在 上，
① 无解，
② ，解得 ，则②的图象上存在“2系关联点”
③ 消去 得， ，
，
则③ 的图象上存在“2系关联点”故答案为：②③．
（2）解：
解得： 或
∴函数 的图象的“3系关联点”为 ， ，
解得：
∴函数 的图象的“6系关联点”为 ，
设
∴ ， ，
当 是等腰三角形时，
①当 时， ，此方程无解
②当 时， ，此方程无解
③当 时，
解得：
（3）解：消去 得，
解得： （ 为正整数，舍去）或
所以抛物线为
∵当 时，函数 的最小值为 ，
对称轴为直线 ，
①当 时，即 ， 随 的增大而减小，则最小值为
解得： ，此时最小值为 ，
②当 时， ，此方程无解，
③当 时，最小值为 ，则 （舍去）
综上所述，
