文档内容
押新高考 17 题
导 数 综 合 应 用（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第19题
2023年新高考Ⅱ卷第22题
2022年新高考Ⅰ卷第22题 导数大题难度中等或较难，纵观近几年的新高考试题，主要
求极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、
2022年新高考Ⅱ卷第22题
不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高
导数综合
2021年新高考Ⅰ卷第22题 考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题
方向将继续以导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证
2021年新高考Ⅱ卷第22题
明问题为背景展开命题，难度会降低．
2020年新高考Ⅰ卷第21题
2020年新高考Ⅱ卷第22题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建 ， ，求导，利用导数判断原函
数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在 上的单调性，求导，分类讨论 和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令
因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，构建 ，
则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：
1.当 时，利用 ，换元放缩；
2.当 时，利用 ，换元放缩.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线
与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根
成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，
故 ， ， ，所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设
为其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩
法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成立，
结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称
差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以
在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查
导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单
调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
1. 导函数与原函数的关系
单调递增， 单调递减
2. 极值
（1）极值的定义
在 处先↗后↘， 在 处取得极大值
在 处先↘后↗， 在 处取得极小值
3. 两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)分离参数法 ⇔
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
4. 常用函数不等式：
① ，其加强不等式 ；
② ，其加强不等式 .
③ ， ，
放缩
，
5. 利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）转化为证不等式 （或 ），进而转化为证明 （ ），因此只需在所
给区间内判断 的符号，从而得到函数 的单调性，并求出函数 的最小值即可.
6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
1．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；(2)求 在区间 上的最值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，最大值为 .
【分析】
（1）利用极值定义可求得 ，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数 在区间 上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【详解】（1）依题意可得 ，
又当 时， 取得极值 ，所以 ，即 ；
解得 ；
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，可得 或 ，
当 变化时， 的变化情况如下表所示：
单调递
单调递增 单调递增
减
因此，在区间 上， 的最小值为 ，最大值为 .2．（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 处的切线为 轴．
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1) ，
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 且 ，即可得到方程组，解得即可；
（2）求出函数的导函数 ，再利用导数说明 的单调性，即可求出 的单调区间.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
依题意 且 ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）可得 函数的定义域为 ，
又 ，
令 ，则 ，所以 （ ）在定义域 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
3．（2024·广东韶关·二模）已知函数 在点 处的切线平行于 轴．
(1)求实数 ；
(2)求 的单调区间和极值．【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】
（1）对函数求导，依题意只需使 即可求得实数 ；
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和
函数的极值.
【详解】（1）由 可得： ，
由题意， ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上是减函数；
当 时， ， 在 上是增函数.
故 时，函数 有极小值为 ，无极大值.
故函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ，函数有极小值为 ，无极大值.
4．（2024·广东·一模）已知 ，函数 .
(1)求 的单调区间.
(2)讨论方程 的根的个数.
【答案】(1)减区间为： ， ；增区间为： .
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为 （ ）.所以： .
由 ，又函数定义域为 ，
所以函数在 和 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以：当 时， ，方程 无解；
当 ，函数在 上递减，在 递增，
所以 ，所以方程 无解.
综上可知：方程 的根的个数为 .
5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）对函数求导，用导数方法判断函数在 上的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）由 ，
得 ，
所以 ， ，函数 在 处的切线方程
（2）
令 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 单调递减；
当 时， ，则 ，
此时 ，
所以 在 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值；
所以当 时，函数 的最小值为
6．（2024·江苏徐州·一模）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
(2)若直线 与 的图象相切，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式
即可求解；（2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.
【详解】（1）记 在 上单调递减，
对 恒成立，
，而 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 .
所以a的取值范围为
（2）设直线 与 的图象相切于 ，
，
由题意可知 ，
代入 ，
，左边式子关于 单调递减且 时，左边
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得方程 有两个根，则问题转化为
的图象与直线 有两个交点，利用导数求出 的单调性，即可得到 的极值与函数图象，数形结
合即可得解；
（2）由（1）可得 ，即可得到 ，结合 及二次函数的性质即可证明.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，又 ，
函数 有两个极值点相当于方程 有两个根，
显然当 时 ，
当 时 ，
所以问题转化为 的图象与直线 有两个交点，
由 ， ，得 ，
当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时 ，且 ，作出 的大致图像如图所示：
则由图可知，当 时， 图像与直线 有两个交点，即 有两个极值点，所以实数 的取值范围 .
（2）因为 ，所以 ，
又由（1）知， ，
所以函数 在 上单调递增，当 时 ，
所以 .
8．（2024·辽宁·一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线 的方程；
(2)讨论 的极值.
【答案】(1) ；
(2)极大值为 ，无极小值.
【分析】（1）把 代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出 的导数，分析函数单调性求出极值即得.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以 的方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为 ，求导得 ，
而 ，则当 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值 ，无极小值.
9．（2024·辽宁·二模）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值；(2)求 的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ， 的极大值为 ，极小值为
.
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，因为函数 在点 处的切线与直线 垂直，
故 ，解得 ；
（2）因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，令 得 或 ，令 得 ，
列表如下：
3
0 + 0
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
故 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ，
的极大值为 ，极小值为 .
10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)求证： 的极大值恒为正数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）分 ， 和 三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得出结论.
【详解】（1） ，
当 时， ， ，
又 ，故曲线 在 处的切线方程为 ；
（2） ，
解得知 ， ，
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 递减， 递增，
故极大值为 ；
若 ，则 ，
所以函数单调递减，无极大值；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 递减， 递增，
故极大值 ，综上， 的极大值恒为正数．
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数 的定义域；
（2）求导；
（3）解方程 ，当 ；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值；
②如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值.
11．（2024·广东广州·一模）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间和极小值；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为 ，极小值为1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数求出单调区间及极值.
（2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.
【详解】（1）函数 ， ，求导得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 的递增区间为 ；递减区间为 ， 的极小值为 .
（2）证明：当 时，令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，则 ， 在 上单调递增，
因此 ，所以 .
12．（2024·湖南·二模）已函数 ，其图象的对称中心为 .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由 的图象关于 对称，得到 ，列出方程组即可求解；
（2）由（1）得到函数 的解析式，求出 ，利用 判断 根的情况，分类讨论确定零点的
个数.
【详解】（1）因为函数 的图象关于点 中心对称，故 为奇函数，
从而有 ，即 ，
，
，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可知， ， ， ，①当 时， ， ，所以 在 上单调递增，
， ，
函数 有且仅有一个零点；
②当 时， ， ，
有两个正根，不妨设 ，则 ，
函数 在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
函数 有且仅有一个零点；
③当 时， ，
令 ，解得 或 ，
有两个零点；
④当 时， ， ，
有一个正根和一个负根，不妨设 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
函数 有且仅有三个零点；
综上，当 时，函数 有三个零点；
当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有一个零点.
13．（2024·湖南邵阳·二模）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)极小值 ，无极大值；
(2) .
【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值;
（2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.
【详解】（1） .
令 ，得 ，令 ，得 .
故 在 单调递减，在 单调递增.
在 处取得极小值 ，无极大值.
（2） 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 ，则只需 即可.
.
易知 均在 上单调递增，
故 在 上单调递增且 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
.故 ，故 的最大值为 .
14．（2024·山东济南·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)讨论 极值点的个数.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点
个数.
【详解】（1）当 时， 定义域为 ，
又 ，
所以 ，
由 ，解得 ，此时 单调递增；
由 ，解得 ，此时 单调递减，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）函数 的定义域为 ，
由题意知， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，即 极值点的个数为 个；
当 时，易知 ，
故解关于 的方程 得， ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
即 极值点的个数为 个.
综上，当 时， 极值点的个数为 个；当 时， 极值点的个数为 个.
15．（2024·山东青岛·一模）已知函数 ．
(1)若 ，曲线 在点 处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据 可得 ，即可利用点斜式求解，
（2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解.
【详解】（1）当 时， ， 解得
又因为 ，所以切线方程为： ，即
（2） 的定义域为 ，当 时，得 恒成立， 在 单调递增
当 时，令 ，
（i）当 即 时，
恒成立， 在 单调递增
（ii）当 即 时，
由 得， 或 ，
由 得，
所以 在 ， 单调递增，
在 单调递减
综上：当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 ， 单调递增；
在 单调递减
16．（2024·福建漳州·一模）已知函数 ， 且 ．
(1)证明：曲线 在点 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析【分析】（1）先利用导数的几何意义求得 在 处的切线方程，从而得证；
（2）分类讨论 与 ，利用导数与函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 在 处的切线方程为: ，
当 时， ，故 ，
所以曲线 在点 处切线的方程过坐标原点.
（2）由（1）得 ，
当 时， ，则 ，故 单调递减；
当 时，令 则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
17．（2024·江苏南通·二模）设函数 .已知 的图象的两条相邻对称轴
间的距离为 ，且 .
(1)若 在区间 上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线 在 处的切线，证明：l与曲线 有唯一的公共点.
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）根据周期以及 可求解 ，进而根据整体法即可求解，
（2）求导，根据点斜式求解切线方程，进而构造函数 ，利用导数判断函数的
单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意可得周期 ，故 ，
，
由于 ，故 ，
故 ，
当 时， ，
由于 在区间 上有最大值无最小值，故 ，解得 ，
故 .
（2） ， ，
，
故直线 方程为 ，
令 ，则 ，
故 在定义域内单调递增，又 ，
因此 有唯一的的零点 ，
故l与曲线 有唯一的交点，得证.18．（2024·重庆·一模）（1）已知函数 ，（ 为自然对数的底数），记 的最
小值为 ，求证： ；
（2）若对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）对 求导，利用导数求出 最小值，即 ，然后得到 ，进而证明不等式；
（2）将 变形为 ，构造函数 ，利用导数
求单调性和最值，证明恒成立，求出 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 ， ，
因为 ， ，
当 时，即 ，
当 时， ， 在 ， 上单调递增，
当 时， ， 在 ， 上单调递减，
当 时，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 .综上， .
（2） ，即 ，
所以 ，即 ，
令 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，
令 ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，，
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为 在 上恒成立，利用
分离参数思想再求最值即可.
19．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ， ，
(1)求曲线 在点 处的切线方程：
(2)当 时，求 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导即可根据点斜式求解直线方程，
（2）分类讨论 和 时，导函数的正负，构造函数 和
，利用导数判断导函数正负，进而确定函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由 得 ，所以 ，
所以所求切线方程为 ，即
（2） 时， ，
，当 时， ，此时 ，故 单调递增，
当 时， ，
接下来证明：当 时， ，
令 又 ，
故当 单调递减，
当 单调递增，
故 有最小值 ，因此 ，即 ，
，
令 ，
故 单调递增，即 ，
所以 ，故 在 单调递增，
综上可得 在 单调递增， ，
当 而 ，因此 ，
所以 的值域为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；
（2）法一：在（1）的基础上得到 ， ，再构造函数得到 ，得到
，从而得到结论；
法二：即证 ，构造函数 ，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到
，证明出结论.
【详解】（1）由已知得， 在 上恒成立，
设
，解得 ， ，解得 ，
在 上为减函数，在 上为增函数，
，即 ，
；
（2）法一：由（1）知 时， 恒成立，
取 ，得 成立， 时取等号．所以当 时， ，
设 ，故 时， ，
在 上为增函数，
，
．
所以 时， ，即 ．
由此可证，当 时， ，结论得证．
法二：当 时，若证 成立．即证 ，
设 ， ，
设 ，
当 时， 在 上为增函数．
，
在 上为增函数， ，
由此可证，当 时， 成立．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
21．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数 的单调性，即可求解；
（2）先利用导数证明不等式 ，分离变量可得 恒成立，进而
，即可求解.
【详解】（1）函数 ， 的定义域为 ，且 ．
当 时， ， 恒成立，此时 在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减．
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）设 ，则 ，
在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增，
所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立）．
依题意， ， 恒成立，即 恒成立，
而 ，当且仅当 时等号成立．
因为函数 在 上单调递增， ， ，
所以存在 ，使得 成立．
所以 ，即a的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒
成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 的图象在 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 是其定义域上的增函数；
(3)若 ，其中 且 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）首先代入 到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解.（2）对 求导后，令 ，对 继续求导发现，对于任意的 有 ，故只
需要证明 时， ， 时， 即可.
（3）由（2）得 ，进一步令 ， ，结合题意知 时， ，
时， ，对 分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意 ，即切点为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）由 ，设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
又 ，所以对于任意的 有 ，即 ，
因此 在 单调递增，在 单调递增，
即 ，则 ，
所以 时， ， 单调递减，所以 ，即 ，即 ，
时， ， 单调递增，所以 ，即 ，即 ，
所以 是其定义域上的增函数.
（3）由（2）可知， 时， ，所以 ，故 ，
令 ， ，
由题意 时， ， 时， ，若 ，则当 时， ，不满足条件，
所以 ，
而 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
若 ，则当 时， ， 单调递减，此时 ，不满
足题意；
若 ，则当 时， ， 单调递减，此时 ，不满
足题意；
若 ，则当 时， ， 单调递增，此时 ，
且当 时， ， 单调递增，此时 ，满足题意，
所以 ，解得 ，
综上所述， .
【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到 在 单调递增，在 单调递增，之后还要继续
说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解.
23．（2024·山东枣庄·一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求导得 ，分两种情况当 时，当 时，求方程 的解，分析
的符号，进而可得的单调性．
（2）方法一：化简不等式，证明 ，函数 有唯一零点，由此证明 ，
证明 时，满足条件， 时不满足条件即可；
方法二：化简不等式，并分离变量可得 ，利用导数研究 的单调性及最
小值，由此可求 的取值范围.
【详解】（1）由题意知 定义域为
且 ．
令 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增．
②当 时， ，记 的两根为 ，
则 ，且 ．
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）方法一：，化简得 ．
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，当且仅当 取等号，
令 ，因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增．
又因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ①，
所以 ，当且仅当 时取等号．
①当 时， 成立．
②当 时，由①知 ， ．
所以 与 恒成立矛盾，不符合题意．
综上 ．
方法二 ：
不等式 ，可化为 ，
所以 ．
令
则 ．令 ，则 ．
所以 在 上单调递增．
又 ，
所以 ，使 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由 得 ，
即 ．
设 ，则
所以 在 上单调递增．
由 ，得 ，
所以 ，
即有 ，且
所以 ，
所以 ．
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1) 恒成立 ；
⇔
(2) 恒成立 .
⇔
24．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ．(1)讨论 的单调性；
(2)求证： ；
(3)若 且 ，求证： ．
【答案】(1) 在区间 上单调递减
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求 ，令 ，求 ，讨论 的大小可证得 ，即
，即可得出 的单调性；
（2）法一：要证 ，即证 ，记 ，讨论 的
单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证 即证
即可.
（3）法一：由（1）可知 为减函数，所以 ，要证 即证
，构造函数证明即可；法二：先证 ，即 ，则
，再结合基本不等式即可证明.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
记 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减．
（2）法一：先证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
再证 ，即证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 在 递增，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
法二：构造函数 ，
当 时， 单调递增， ，所以 ，
构造函数 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，即 ，即 成立．所以 ，
所以 ，
则只需证明 ，即 ，而 显然成立，
所以 ．
（3）法一：由（2）知 的最大值为0．
因为 且 ，则 之中至少有一个大于1，
不妨设 ，则 ，由（1）可知 为减函数，所以 ，
所以 ，
因为
，
记 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
法二：先证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
所以 ，
因为 且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，则 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导 ，易得 在 上单
调递增求解；
（2）方法一： 分 ， ， ， ，由 求解；方法二：当 时， 成立，当 时， 成立，当 时，转化为
恒成立，由 求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
在 上单调递增又 ，
的值域是 .
（2）方法一：①当 时，
，
②当 时，
，
在 上单调递增， 成立.
③当 时，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
，使得当 时 ，故 在 上单调递减，
则 ，
④当 时，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
，即 在 上递增，则 成立.
综上所述，若函数 恒成立，则 .
方法二
当 时， 成立，当 时， 成立，
当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
又 ，
令 ，
，
当 时， ，
，
在 上单调递增.，
，故 ，
，又 ，
，故 .
【点睛】方法点睛：对于 恒成立问题，法一：由 求解；法二：转化为
由 求解.
26．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)如果1和 是 的两个极值点，且 的极大值为3，求 的极小值；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)当 时，且函数 在区间 上最大值为2，最小值为 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)18
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 和 是方程 的两根，利用韦达定理求出 、
的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出 的值，最后求出极小值；
（2）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）依题意 ， 即可求出 、 的范围，再求出导函数，结合特殊值可得
有两个实数根 ，且 ，即可得到 是 的极大值点， 是 的极小值点，则 ， ，结合韦达定理得到 ，再由 ，
即可求出 、 的值，从而得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 和 是 的两个极值点，所以 和 是方程 的两根，
故 ，解得 ，即 ，
所以 ，
因为 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调增，在区间 上单调减，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）当 时 定义域为 ，
又 ，令 ，解得 或 ，
若 ，则当 时， ；当 时， ．
故 在区间 单调递增，在 上单调递减；
若 ，则 恒成立，所以 在区间 单调递增；
若 ，则当 时， ；当 时， ．故 在区间 单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在区间 单调递增，在 上单调递减；
当 时 在区间 单调递增；
当 时 在区间 单调递增，在 上单调递减．
（3）当 时， ，
由题意得： ，即 ，①
，即 ，②
由①、②可知， ， ．③
因为 ， ，
， ，
所以 有两个实数根 ，且 ，
当 时， ，当 时， ，
故 是 的极大值点， 是 的极小值点．
由题意得 ， ，
即 ，
两式同向相加得： ，④
注意到 ， ， ，代入④得 ，
由③可知 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 ，又 ，所以 时成立，
所以 ，从而 ．
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到 、 的取值范围，再结合零点存在性定理得到
有两个实数根 ，且 ，从而推导出 .
27．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值；
(2)若过原点可以作两条直线与曲线 相切，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案；（2）设切点分别为 ，根据导数的几何意义，表示出切线方程，将原问题转化为方程
两个不同的根的问题，构造函数，利用导数求得其最小值的表达式，分类讨论，结合零
点存在定理，即可求得答案.
【详解】（1）由 ，得 ，
令 得 ，则 在 上单调递减，
令 得 ，则 在 上单调递增，
则 的极小值为 ;
（2） ，
设切点分别为 ，
则 在 处的切线方程为 ，
又切点过原点，所以 ，
即 ，同理 ，
所以 为方程 两个不同的根，
设 ，则 ，
若 ，则 在 单调递减， 不可能有两个不同的根，不符合题意；
若 ，令 得， 在 单调递减，令 得 在 单调递增，
所以 ，
若 ，即 ，则 ，
此时方程 没有两个不同的根，不符合题意；
若 ，即 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
即 ，又 的图象是不间断的曲线，
所以存在 满足 使得 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：难点在于根据切线的条数求解参数范围。解答时将问题转化为方程
两个不同的根的问题，然后构造函数，利用导数，求得函数最小值，分类讨论，结合零
点存在定理求解即可.
28．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
(1)函数 ，求 的最小值 ；(2)若 为函数 的两个零点，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可求解最值，
（2）根据 ，故 ，进而构造函数 ，由导数求解单
调性，结合零点存在定理与不等式的性质即可求.
【详解】（1）由 可得 ，
则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 的最小值为 ，故 .
（2）由于 为函数 的两个零点，所以 也是 的两个零点，
故 ，故 ， ，
,
令 ，
令 ，则 ，
当 时, ,故 单调递增，故 ，则 ，
所以由零点存在定理可知， ，
设 ，
则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，故当 ，
故 故 ，
故
，
所以由零点存在定理可知， ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
29．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求证： ；
(2)函数 有两个极值点 ， ，其中 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.【分析】（1）构造 求导，再构造 应用导数研究单调性求函
数符号，进而确定 符号，判断 单调性即可证结论；
（2）令 ， ，问题化为证 成立，根据极值点有 ，构造
研究单调性和最值，研究 有两个零点求 范围，即可证.
【详解】（1） ，则
令 ，则 ，
在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增．
所以 ，
综上， ，即 在 上单调递增，故 ，
即 时， 成立．
（2）由题设 ， 有两个极值点 ， ，则 ①，
要证 成立，即证 成立．
令 ， ，即证 成立．
①式可化为 ，则 ，
令 ， ，
在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减．，要使 有两个零点，则 ，
当 时， ，若 与 交于 ，则 ，
当 时，由（1）知 ，若 与 交于 ，则 ，
，
所以 成立，则 ．
【点睛】关键点点睛：第二问，令 ， ，将问题化为证明 成立，通过构造
，研究 有两个零点求 范围为关键.
30．（2024·福建莆田·二模）已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)若函数 有两个零点 ．
①求 的取值范围；
②证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论判断 的单调性，结合单调性和最值分析证明；
（2）①令 ，整理可得 ，设 ，求导，利用导数判断
单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于 ，构建函数证明 即可.
【详解】（1）由题意可得：函数 ，且 ， ，
若 ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，可得 ；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
可得 ，
且 ，则 ，则 ；
综上所述：当 时， .
（2）①由题意可得： ，
令 ，整理可得 ，
设 ，则 ，
且 ，可知 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 内单调递减，在 内单调递增，
由题意可知： 有两个零点，则 ，解得 ，
若 ，令 ，则
则 ，可知 在 内有且仅有一个零点；
且当 趋近于 ， 趋近于 ，可知 内有且仅有一个零点；
即 ，符合题意，综上所述： 的取值范围为 ；
②由①可知： ，即 ，
若 ，等价于 ，
等价于 ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，则 ，
即 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
可得 ；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，可知 在 内单调递增，则 ，
可得 在 内恒成立，可知 在 内单调递增，
则 ，即 ，
不妨设 ，则 ，
且 ， 在 内单调递减，可得 ，
即 ，可得 ；
即 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
