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专题 22.5 销售利润问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为
按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：
y= { 20x(0≤x≤5) )
．
10x+100(55，
故：10x+100=200，解得：x=10
答：小强第10天生产的产品数量为200件．
（2）由图象得，①当0≤x≤10时，a=5.2．
②当100，
∵w随x的增大而增大，
当x=5时，w有最大值为：56×5=280（元）；
当50，
∵w随x的增大而增大，
故当x=10时，w有最大值为28×10+280=560（元）．
当100，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=10时，y取得最大值1200，
∵当100）给希望工程，当每天销售最大利润
为6000元时，求m的值．
【思路点拨】
x−15
（1）设销售单价为x元，则每件涨价(x−15)元，则销量减少 ×200件，由此可得y与x之间的关系
10
x−15
式为y=700− ×200，整理即可．
10
（2）根据总利润=每件利润×销售量，可得方程(x−10)(−20x+1000)=7500，求出方程的解，再根据
题意选择合适的x的值即可．
（3）根据总利润=（售价−进价−m）×销售量，得w=(x−10−m)(−20x+1000)，求出其对称轴，再根
据二次函数的性质及增减性可得当x=30时，w =6000，由此得−20(30−50)(30−10−m)=6000，
最大
求出m的值即可．
【解题过程】
x−15
（1）由题意得：y=700− ×200，
10
整理得：y=−20x+1000．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴10≤x≤30．
（2）由题意，得：(x−10)(−20x+1000)=7500，
解之得：x =25， x =35，
1 2∵10≤x≤30，
∴x=25．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
w=(x−10−m)(−20x+1000)=−20x2+(1200+20m)x−10000−100m，
m
其对称轴为直线为：x=30+ ≥30．
2
∵10≤x≤30在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当x=30时，w =6000．
最大
∴−20(30−50)(30−10−m)=6000，
解得m=5．
答：m的值为5．
6．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价
格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的
包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x<8吨时，它的平均销售价格y=−x+14，当甲类草莓的销售
量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨．乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单
位：吨）之间的函数关系为s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；
②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利
润，并求出最大的总利润．
【思路点拨】
本题考查了是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大，解题关键是理清售价、成本、利润三者之间
的关系，涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
（1）①当0≤x<8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入−经营总成本
=w +w −3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出甲类草梅
甲 乙
的数量；
（2）本问是方案设计问题，总投入为100万元，这笔100万元包括购买草莓的费用+甲类草莓加工成本+乙类草莓加工成本．其中设甲类草莓为x吨，乙类草莓为y吨，即总投入为2x+3 y=44，再分别求出当
0≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．
【解题过程】
（1）解：①设销售甲类草莓x吨，则销售乙类草莓(20−x)吨．
当0≤x<8时，w =x(−x+14)−x=−x2+13x，
甲
w =9(20−x)−[12+3(20−x))=108−6x，
乙
∴w=w +w −3×20=(−x2+13x)+(108−6x)−60=−x2+7x+48；
甲 乙
当x≥8时，w =6x−x=5x，
甲
w =9(20−x)−[12+3(20−x))=108−6x，
乙
∴w=w +w −3×20=5x+(108−6x)−60=−x+48．
甲 乙
∴w关于x的函数关系式为：
w=
{−x2+7x+48(0≤x<8))
．
−x+48(x≥8)
②当0≤x<8时，−x2+7x+48=30，解得x =9，x =−2，均不合题意；
1 2
当x≥8时，−x+48=30，解得x=18．
∴当该公司获得了30万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有18吨．
（2）解：设投入资金后甲类分到收购的草莓为x吨，乙类为y吨，总投入为3(x+ y)+x+12+3 y=100，
即：2x+3 y=44，
44−2x
当0≤x<8时总利润为w=(−x+14)x+9× −100=−x2+8x+32=−(x−4) 2+48，
3
当x=4时，取到最大值48；
44−2x
当x≥8时，总利润w=6x+9× −100=32为常数，
3
故方案为收购16吨，甲类分配4吨，乙类分配12吨，总收益为48万元．
7．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮
助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w
（元）．据销售记录知：
①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；
②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，
（1）当11≤x≤30时，写出y与x的关系式；（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
（3）若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m元，用于捐资助
学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m的最小整数值．
【思路点拨】
（1）根据前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，可求出当11≤x≤30时，y与
x的关系；
（2）根据日销售额=售价×日销售量，分类讨论在x的取值范围内w的最大值即可得到结论；
（3）根据日销售额=售价×日销售量，分类讨论在x的取值范围内w的最大值，再和31680作比较，从而确
定能获得较大利润的天数，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，
∴当11≤x≤30时，y=500−10(x−10)=−10x+600，
∴当11≤x≤30时，写出y与x的关系式为：y=−10x+600(11≤x≤30)；
（2）由题意得，销售量为：42+2(x−1)=2x+40，
当1≤x≤10时，
w=500(2x+40)=1000x+20000，
∵1000>0，
∴当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
当10＜x≤30时，
w= y(2x+40)=(−10x+600)(2x+40)=−20(x−20) 2+32000，
∵−20<0，
∴当x=20时，w取最大值为32000，
综上所述，当x=20时，w取最大值为32000，
答：当x为第20天时日销售额w最大，最大为32000元；
（3）当1≤x≤10时，
w=500(2x+40)=1000x+20000，
当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
∵31680>30000，
∴1≤x≤10时不可能获得较大利润．
当100）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利
润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差
最大，求a的取值范围．
【思路点拨】
（1）设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，由（1）可得y 和y 的表达式，再列出y关于x
甲 乙 甲 乙
的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值即可；
（3）根据题意得到利润差为y=−50x2+(1800−a)x+1850，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均
为16辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．
【解题过程】
（1）解：设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：y =[50×(50−x)+3000)x−200x=−50x2+5300x，
甲
而y =3500x−1850，
乙
两公司的月利润相等可得：−50x2+5300x=3500x−1850，
解得：x=37或x=−1(舍)，
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）解：设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，
甲 乙
则y =[(50−x)×50+3000)x−200x，
甲
y =3500x−1850，
乙
当甲公司的利润大于乙公司时，034.5即可．
2a
最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结
合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
【解题过程】
（1）解：依题意，当x=36时，y=37；x=44时，y=33，
当31≤x≤50时，设y=kx+b，
{37=36k+b)
则有 ，
33=44k+b
{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=55
1
∴y与x的关系式为：y=− x+55．
2
（2）解：依题意，
∵W =(y−18)⋅m，
{
(40−18)×(5x+50),(1≤x≤30)
)
∴W = 1 ，
(− x+55−18)×(5x+50),(31≤x≤50)
2{
110x+1100,(1≤x≤30)
)
整理得，W = 5 ，
− x2+160x+1850,(31≤x≤50)
2
当1≤x≤30时，
∵W随x增大而增大，
∴x=30时，取最大值W =30×110+1100=4400，
当31≤x≤50时，
5 5
W = x2+160x+1850=− (x−32) 2+4410，
2 2
5
∵− <0，
2
∴x=32时，W取得最大值，此时W =4410，
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元)最大，最大利润为4410元．
（3）解：依题意，得，
5
W =(y+a−18)⋅m=− x2+(160+5a)x+1850+50a，
2
∵第31天到第35天的日销售利润W（元)随x的增大而增大，
b 160+5a
x=− =− >34.5
∴对称轴 2a 5 ，得a>2.5，
2×(− )
2
故整数a的最小值为3．
10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水
果”，每年6~7月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓
陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ kg）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为
(400−4x)kg．
（1）直接写出y与x的函数解析式；（2）求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式；
（3）第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？
【思路点拨】
（1）分当0≤x≤20时，当208450，
∴第35天种植户的销售额w的最大，最大值是8450元．
11．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段
时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润；
（2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？
最大利润是多少？
（3）根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n
元（1≤n≤7），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范
围．
【思路点拨】
（1）设y=kx+b，由题意知，图象过(30,120)，(45,75)两点，待定系数法求得解析式为y=−3x+210，
当y=78时，−3x+210=78，解得x=44，根据利润为：78×(44−15)，计算求解即可；
（2）由题意得，−3x+210≥18，即x≤64，设每天的销售利润为W（元），依题意得，
W =(x−15)(−3x+210)=−3x2+255x−3150 =−3(x−42.5) 2+2268.75，然后根据二次函数的图象与
性质求解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，Q=(x−15−n)(−3x+210)=−3x2+(255+3n)x−3150−210n，则抛物线的对称轴为直线
x=42.5+0.5n，由−3<0，可知当x≤42.5+0.5n时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的
售价每个不能高于45元，可得42.5+0.5n≥45，计算求解然后作答即可．
【解题过程】
（1）解：设y=kx+b，
由题意知，图象过(30,120)，(45,75)两点，
{120=30k+b)
∴ ，
75=45k+b
{k=−3)
解得 ，
b=210
∴y=−3x+210，
当y=78时，−3x+210=78，
解得x=44，
利润为：78×(44−15)=2262（元），
∴当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润2262元；
（2）解：由题意得，−3x+210≥18，
解得x≤64，
设每天的销售利润为W（元），
依题意得，W =(x−15)(−3x+210)=−3x2+255x−3150 =−3(x−42.5) 2+2268.75，
∵−3<0，
∴当x=42.5时，W取最大值，最大值为2268.75，
∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42.5元，最大利润为2268.75元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得，Q=(x−15−n)(−3x+210)=−3x2+(255+3n)x−3150−210n，
∵抛物线的对称轴为直线x=42.5+0.5n，−3<0，
∴当x≤42.5+0.5n时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于45元，
∴42.5+0.5n≥45，
解得n≥5，
又∵1≤n≤7，
∴5≤n≤7．12．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出
200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每
月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于
60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
【思路点拨】
（1）根据题意分别列出当售价上涨和售价下降时的一次函数解析式，再根据实际问题含义写出自变量的
取值范围；
（2）根据利润=（售价-进价）×销量分类讨论列出二次函数关系式，求顶点坐标即为本题答案；
（3）根据题意写出关于利润的二次函数表达式，求出对称轴利用二次函数增减性求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，
又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y
件，
∴上涨了(x−50)元，少卖出了10(x−50)件，
∴y=200−10(x−50)，
整理得：y=−10x+700，
∵每件售价不能高于65元，x为正整数，
∴50≤x≤65；
∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件，
∴下降了(50−x)元，多卖出了12(50−x)件，
∴y=200+12(50−x)，
整理得：y=−12x+800，
∵每件售价不低于48元，x为正整数，
∴48≤x≤50，
故答案为：y=−10x+700；50≤x≤65；y=−12x+800；48≤x≤50．
（2）解：∵由（1）得y=−10x+700和y=−12x+800，
∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题：设：利润为w，
①当价格上涨时，售价为x，此时销量为y=−10x+700，
∴w=(x−40)(−10x+700)，
整理得：w=−10x2+1100x−28000，
∵50≤x≤65且为正整数，−10<0，开口向下利润有最大值，
b 4ac−b2
∴售价x=− =55元时利润最大，最大利润为：w= =2250元，
2a 4a
②当价格下降时，售价为x，此时销量为y=−12x+800，
∴w=(x−40)(−12x+800)，
整理得：w=−12x2+1280x−32000，
∵48≤x≤50且为正整数，−12<0，开口向下利润有最大值，
b 160
∴对称轴x=− = ，当x=50元时，利润最大为：w=2000元，
2a 3
∵2000<2250，
∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元，
故答案为：55;2250；
（3）解：∵售价上涨的情况下，每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除，
由（1）得y=−10x+700，50≤x≤65，
∴w=(x−40−a)(−10x+700)，
整理得：w=−10x2+(1100+10a)x−28000−700a，
b 110+a
∴对称轴为：x=− = ，
2a 2
∵当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，
110+a
∴50≤ ≤60，
2
∴−10≤a≤10，
∵a>0，
∴025，
∴ℎ =29；
（2）①由表格可知m关于P的函数表达式为一次函数，设m=kP+b，将P=0.2，m=0和P=0.3,m=5
{0.2k+b=0) { k=50 )
代入m=kp+b，得 ，解得 ，
0.3k+b=5 b=−10
∴m=50P−10；
1 1
②当10≤t≤25时，P= t− ，
50 5
( 1 1)
∴m=50 t− −10=t−20，
50 5
1
当25≤t≤37时，P=− (t−29) 2+0.4，
160
∴m=50 [ − 1 (t−29) 2+0.4 ) −10=− 5 (t−29) 2+10，
160 16
{ t−20(10≤t≤25) )
综上所述，m=
5 ；
− (t−29) 2+10(25≤t≤37)
16
（3）解：设w=k t+b ，
1 1
{200=20k +b
)
当20≤t≤25时，将(20，200)，(25，300)代入w=k t+b ，得 1 1 ，
1 1 300=25k +b
1 1
{ k =20 )
解得 1 ，
b =−200
1
∴w=20t−200，
根据M=600×提前上市天数+原计划成本−提前上市需要成本，
∴M=600m+200×30−w(30−m)=20t2−600t+4000，
∴当t=25时，M最大值为1500元．m=25−20=5（天）
综上所述，当t=25时，提前上市5天，增加利润的最大值为1500元．
14．（22-23九年级下·湖北黄冈·期中）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系
如图所示，日销量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：
时间第x天 1 3 5 7 9 10 11 12 15
日销量p（千 40
320 360 400 440 480 500 300 0
克） 0
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自
变量x的取值范围；
（3）在这15天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元．
【思路点拨】
（1）是分段函数，利用待定系数法可得y与x的函数关系式；
（2）从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得p与x的函数关系式；
（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．
【解题过程】
（1）解：当00，
∴当50)．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8
周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，
请通过计算估算出n的整数值．
【思路点拨】
本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①利用待定系数法即可求解；
②分1≤x≤4和5≤x≤6两种情况讨论，利用销售额=销售量×销售价格，再运用二次函数的性质求解即
可；
（3）由题意列一元二次方程计算出n的值，再利用估算法即可求解．
【解题过程】
2 2
（1）把(1,4.4)代入y= x+a得：4.4= +a，
5 5
解得：a=4，1 1
把(5,6)代入y=− x2+bx+5得：6=− ×52+5b+5，
10 10
7
解得：b= ，
10
7
故答案为：4， ；
10
（2）①设函数关系式为：m=ky+b ,
{140=4.4k+b)
把(4.4,140)，(6,100)代入得： ，
100=6k+b
{k=−25)
解得： ，
b=250
∴m与y的函数表达式为：m=−25 y+250；
②当1≤x≤4时，
2
∵ m=−25 y+250，y= x+4，
5
∴ m=−10x+150，
∴ w=(−10x+150) (2 x+4 ) =−4x2+20x+600=−4 ( x− 5) 2 +625，
5 2
∵x是正整数，
∴当x=2或3时，w有最大值624；
1 7
当x=5时，y=− x2+ x+5，m=−25 y+250=100，
10 10
1 7
当5≤x≤6时，∵ m=100，y=− x2+ x+5，
10 10
∴ w=100 ( − 1 x2+ 7 x+5 ) =−10x2+70x+500=−10 ( x− 7) 2 + 1245 ，
10 10 2 2
∵x是正整数，5≤x≤6，
∴当x=5时，w有最大值600；
综上所得：第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元；
（3）由题意得：[100(1−n%)+5)×5(1+0.8n%)=5×100 ，
解得：n=−10+5❑√29或n=−10+5❑√29(舍去)，
∵❑√29≈5.4，
∴n≈−10+5×5.4=17．
16．（2023·湖北咸宁·模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（
0288时，即可获得奖励，当0288，即有：W =−20x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
【解题过程】
（1）解：结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0288时，即可获得奖励，
当0288时，有2288，
即有：W =−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40（元），
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180（元）．
17．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与
年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与
年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所
获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用）
年销售量x（万件） … 20 40 …
56
总销售额z（万元） … 1040 …
0
（1）求y与x以及z与x之间的函数解析式；
（2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；
（3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要
使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元．
【思路点拨】
本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据毛利润w=z−y≥1000，结合函数图象求出x的取值范围即可；
（3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数
的性质求解即可．
【解题过程】
（1）解：设y=ax2，
把(100,1000)代入，得1002a=1000，
1
解得a= ，
10
1
∴y= x2 ，
10
设预售总额为z （万元），每件产品的预售额为k （元），则z =k x，
1 1 1 1
设波动总额为z （万元），
2
∵波动总额与年销售量x的平方成正比，
∴设z =k x2 ，
2 2
∴z=z +z =k x+k x2 ，
1 2 1 2
把x=20，z=560；x=40，z=1040代入，{ 20k +400k =560 )
得 1 2 ，
40k +1600k =1040
1 2
{ k 1 =30 )
解得 1 ，
k =−
2 10
1
∴z=30x− x2 ；
10
（2）解：毛利润w=z−y
1 1
=30x− x2− x2
10 10
1
=− x2+30x
5
1
=− (x−75) 2+1125，
5
1
令w=1000，则1000=− (x−75) 2+1125，
5
解得x =50，x =100，
1 2
画出草图如下：
由图知：当50≤x≤100时，w≥1000，
∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是50≤x≤100；
（3）解：设下调m元，
1
则z=(30−m)x− x2 ，
10
1
∴w=− x2+(30−m)x，
5
∵2025年的最高毛利润为720万元，∴w的最大值为720，
0−(30−m) 2
=720
∴ ( 1) ，
4× −
5
解得m =54（不符合题意，舍去），m =6，
1 2
故下调了6元．
18．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）
1
与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p= x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场
2
需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需
求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题：
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值．
（3）若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________
元/千克．
【思路点拨】
（1）设q与x的函数关系式为：q=kx+b，将表格中数据代入，即可求解；
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q，得出不等式，解不等式，即可求解；②由①可知，
当2≤x≤4时，y=(x−2)p，当44，
2
13 105
∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ，
2 4
105
∵ >20，
4
105 13
∴厂家每天获得的最大利润y是 百元，取到最大利润时x的值为 ；
4 2
（3）解：要使每天的利润不低于24百元，
当2≤x≤4时，由（2）知y最大为20，故不存在这种情况；
( 13) 2 105
令− x− + =24，解得：x =5，x =8，
2 4 1 2
由于函数图象开口向下，
∴当5≤x≤8时，每天的利润不低于24（百元），
∴当x=5时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，
故答案为：5．
