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期中考前满分冲刺之优质压轴题
【专题过关】
类型一、一次函数与二次函数图象与性质(选)
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中大致的图象可能
是（ ）A． B． C．
D．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能为
（ ）
A． B． C．
D．
5．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．6．在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
类型二、二次函数的各项系数关系(选)
1．二次函数 的部分图象如图所示，图象经过点 ，对称轴为直
线 ，给出下列结论：① ；② ；③ （ 为常数）；
④ ．
其中正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．抛物线 （ ）的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列说法；①
；② （t为全体实数）；③若图象上存在点 和
，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ；④若直线 与抛物线两交点横坐标为分别为 ， ．则不等式 的解
集为 ．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，二次函数 的图象开口向上，图象经过点 和 且与y
轴交于负半轴，给出四个结论：① ，② ，③ ，④ ．其
中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知抛物线 的对称轴为 ，与x轴正半轴的交点为 ，其部分图
象如图所示，有下列结论：① ；② ； ③若 ， ，
是抛物线上的三点，则 ；④对于抛物线上任意一点 ，不等式
恒成立．其中正确结论的个数有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，抛物线 与x轴交点的横坐标为 ，与y轴正半轴的交点
为C，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴是直线 ，则下列四
个结论：① ；② ；③ ；④若 是抛物线
上两点，则 ．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
类型三、旋转的规律(选)
1．如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点 ，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，…，按这样的运动规律，
动点 第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点 的坐标为 ，第一次：将点 绕原点 逆时针旋转 得到 ；第二次：
作点 关于 轴的对称点 ；第三次：将点 绕点 逆时针旋转 得到 ；第四次：作
点 关于 轴的对称点 ，然后按这四次规律重复，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直角三角形 ，点 、 在直线 上，将 绕着点
顺时针转到位置①，得到点 ，点 在直线 上，将位置①的三角形绕点 顺时针旋转
到位置②，得到点 ，点 在直线 上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点 ，则
（ ）A．674 B．8093 C．8097 D．8100
4．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形 的边 与x轴正半轴重合，
将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，再作 ，关于原点O的中心对称图形，
得到 ，再将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，再作 关于原点O
的中心对称图形，得到 ……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转 ，再作
关于原点O的中心对称图形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中， ，连接 ，作如下变换：第一次：将点A绕原点
O逆时针旋转 得到点 ；第二次：作点 关于x轴的对称点 ；第三次：将点 绕点
O逆时针旋转 得到 ；第四次：作点 关于x轴的对称点 ……按照这样的规律，点
的坐标是（ ）A． B． C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ， ， ，将菱形
绕点 逆时针旋转 得到菱形 ，再将菱形 绕点 逆时针旋转 得
到菱形 ，依次规律，多次旋转后，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
类型四、最值问题(选、填)
1．如图， 在平面直角坐标系中， ， ， 半径为 ， 为 上任意一点，
是 的中点，则 的最小值是（ ）如
A． B． C． D．
2．如图， 是 的直径， ，点A在 上， ， 为 的中点，
是直径 上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如图， ，点C是平面内一动点，且 ，连接 ，将 绕点A逆时针旋
转 ，得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．如图，在等边 中， ，D是平面内一点，线段 绕点A逆时针旋转 至
AE，直线 与 交于点F，若 ，则 的最大值是 ，最小值是 ．5．如图，四边形 中， ，且 ，连接 ．若
，则四边形 的面积为 ， 的最小值为 ．
6．如图，在 中， ， ， ，点D是 边上一动点，将
沿 翻折得 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
类型五、二次函数的应用——投球与喷水问题(选、填、解)
1．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷
中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与
水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为 ，则巩立姣在巴黎夏季奥
运会铅球比赛中的最好成绩是（ ）
A． B． C． D．
2．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线
（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
3．某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点 离地面
3m，此时点 离喷水口的水平距离为 ．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的
函数表达式为 （不要求写出自变量 的取值范围）．
4．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的好成绩。她在某次投掷中，铅球
的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度 （单位： ）与水平距
离 （单位： ）之间的函数关系式为 ，则巩立姣此次的投掷成绩是
．
5．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛
物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着
陆坡上的基准点K（与 相距 ，离地高度 ）为飞行距离计分的参照点，落地点
超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A 滑出，当该运动员飞行的水
平距离（与 相距的距离）为 时，恰好达到最大高度 ，该运动员最后着陆在着
陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标．(1)求抛物线的解析式；
(2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由．
6．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水
柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线 每一个截面均可得到两条关于 对
称的抛物线，以喷水池中心 为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
(1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象
限）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅
站立时必须在水池中心多少米以内？
类型六、二次函数的铅垂高问题(解)
1．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，抛物线顶点为 ， 、 两点关于抛物线的对称轴对称，
直线 恰好经过 、 两点．
(1)求抛物线和直线 的函数解析式；(2)设点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点
的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示线段 的长，并求线段 的最大值；
②当 的面积为 时，求点 的横坐标及 的值．
2．如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
连接 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的值最小，求出点 的坐标；
(3)若点 是线段 上的一动点（不与 ， 重合）， 轴，且 交抛物线于点 ，
交 轴于点 ，求 的面积最大值及此时点 的坐标．
3．如图（1），直线 与 、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两点
的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
(1)求该抛物线的解析式与点 的坐标；(2)当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值；
(3)连接 ，点 在 轴上，点 在对称轴上，是否存在点 ， ，使以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
4．如图，抛物线的顶点为 ，其坐标为 ，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ， ，判断 的形状；
(3)若点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
5．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线 经过点 、
，其顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求线
段 的最大值及此时点 的坐标．
6．已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与 轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积的最大值；
类型七、二次函数与特殊三角形、四边形结合(解)
1．已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（A在 左侧），与 轴交于
点C．
(1)求A、B、C的坐标；
(2)设抛物线的顶点为 ，求四边形 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 与x轴交点A、B，与y轴交于点C．
(1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使 为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标；
(2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当 是以 为直角的等腰直角三角
形时，求N点坐标．3．如图，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存
在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点
，顶点为 ．
(1)求 、 两点的坐标；
(2)连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点 为线段 上的一个动点，过点 作
轴，交抛物线于点 ．设 的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示线段 的长；
②当 为何值时，四边形 为平行四边形，请说明理由；
③当 为何值时， 为直角三角形，直接写出结论．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴交于 ， 点，与
轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；
(2)连接 ， ，并把 沿 翻折，那么是否存在点 ，使四边形 为菱形；
若不存在，请说明理由．
6．如图，直线 与x 轴交于点A，与y轴交于点C，点B在这条直线上，且点B
的横坐标为1，抛物线 经过点A，B，抛物线的对称轴交 于点D，交x轴于
点E．点P 在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交抛物线于点Q．设点P的
横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形 为矩形时，求点Q的坐标；
(3)设线段 的长为 ，
①求d关于m的函数解析式；
②请直接写出当d随m的增大而减小时，m的取值范围．
类型八、二次函数与角度、不等式的结合(解)
1．在平面直角坐标系 中，抛物线 (a为常数)的顶点为D．(1)求点D坐标；
(2)若直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4，过点 作x轴的垂线，交抛物
线于点M，交直线 于点N．
①当 时，求 的长．
②当 时，线段 的最大长度为8，求t的取值范围．
2．已知二次函数 ．
(1)若该二次函数图象经过 ，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论 取何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点；
(3)若 时，点 ， ， 都在这个二次函数图象上且 ，求
的取值范围．
3．已知关于 的二次函数 （ ， 为常数），
(1)若函数图象对称轴为直线 ，求 的值．
(2)若该函数解析式可以写成 ，求证： ．
(3)设 ， ，在（2）的条件下，当 时，函数的最大值与最小值差为
10，求 的最大值．
4．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，C，与y轴交于点
A，其中 ．(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接 ，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点
K，过点K作 轴，垂足为点E，求 的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 ，将该抛物线
向右平移，使得新抛物线 恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 上一点，
连接 ，当 时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
5．平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点 在抛物线上，过点A的直线l与
抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B．
(1)求直线l的解析式；
(2)如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若 ，求点C的横坐标；
(3)如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点 的直线与抛物线交于M，N两点（M
在N左侧），过点N且平行于 的直线与直线 交于点Q，求 面积的最小值．
6．如图1抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧）．(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2) 为抛物线上一点，且满足 ，求点 的坐标；
(3)如图2，点 在抛物线对称轴上，且位于 轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．
若四边形 为平行四边形且其面积为 ，求点 的坐标．
类型九、旋转中的综合问题(解)
1．如图1，B，C，D三点在一条直线上， 和 均为等边三角形，连接BE，AD
交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接MN，求证： ；
(3)如图3，将图1中的 绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），连接CF，
探究线段AF、BF、CF之间的数量关系并说明理由．
2．综合与实践【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形 中， ， 相交于点O，
， ，求证： ．
【变式探究】（2）如图2，在 中， ， ，在 的右侧作
等边 ，取 的中点P，连接 ．
①求证： 是 的垂直平分线；
②若 ，求 的长．
【拓展提高】（3）如图3，在 中， ， ，D为 上的任意
一点，将 绕点A逆时针旋转得到线段 ，旋转角为 ．取 的中点P，连接 ，
猜想 与 的数量关系，并给予证明．
3．综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何
模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1， 中， ， ，在 内部取一点 ，连
接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 与 的
数量关系是________； 与 的数量关系是________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形 内部取一点 ，使 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，延长 交 的延长线于点 ，求证：四边
形 是正方形；
(3)【拓展延伸】在矩形 中，点 为 边上的一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值为
________________
4．如图，点P是正方形 内一点， ， ， ， 沿点A旋
转至 ，连接 ，并延长 与 相交于点 ．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)判断 的形状，并求 的度数．
5．如图，在矩形 中， ， ， ，点P沿 运动，将点P绕点
E逆时针旋转 得到点
(1) 平分矩形面积时，直接写出 的长；
(2) 、Q、C三点共线时，求 的长；
(3)当点P在线段 上运动时，证明点Q到 的距离为定值；
(4) 的最小值为______，点Q的路径长为______．
6．如图， 是等腰直角三角形， ，点 是线段 延长线上一点，将线
段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 交直线 于点 ．(1)若 ，则 ；
(2)探究线段 ， 之间的数量关系，并给出证明；
(3)将“点 是线段 延长线上一点”改为“点 是射线 上一点”，其余条件不变，
若 ， ，则 ．（直接写出答案即可）
类型十、圆中的无刻度尺作图(解)
1．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过
程，实线表示画图结果）．
(1)如图 ， 内接于 ， 是劣弧 的中点，画出 的中线 ；
(2)如图 ， 是 的直径， 是 内一点，画出 的高 ．
2．在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点 、 、 是 与网格线
的三个交点，仅用无刻度直尺在网格中完成作图，不写画法，保留作图痕迹（用虚线表示
画图过程，实线表示画图结果）．(1)如图1，画劣弧 的中点 ，并在圆上画出一点 ，使得 ；
(2)如图2，将线段 绕圆心 逆时针旋转 得到线段 （点 与点 对应）；并过点
作圆 的切线；
3．如图，锐角 是 的内接三角形，E为边 的中点，D在边 的延长线上．请
仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出一条与弦 垂直的直径；
(2)在图2中，作出 的平分线 ．
4．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，已知正七边形 ，分别画出一个以 为边的平行四边形和 为边的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为 ，画出 的中点P，过点A作 的切线 ．
5．用无刻度的直尺完成下列画图．
(1)如图（1）， 的三个顶点在 上， ， ，F是 的中点．
先分别画出 ， 的中点G，H，再画 的内接正五边形 ；
(2)如图（2），正五边形 五个顶点在 上，过点A画 的切线 ．
6．如图是 的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
(1)在图①中，找一格点 ，连接 ，使 （画出一种即可），这样的格点 （与
点 不重合）有 个．
(2)在图②中，找一格点 ，连接 ，使 （画出一种即可）．
(3)在图③中的线段 上画一点 ，连接 ，使 ．
