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专题 05 利用二次函数解决实际问题
拱桥问题
1．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面 的宽度
为 ，拱高（ 的中点到水面的距离） 为 ．求图像的解析式．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，设 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，C为坐标
系原点，先由题意得 ， ，进而可得A、B、D三点坐标，再用待定系数法求
图象的解析式即可．
【详解】解：设 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，C为坐标系原点，
由题意得 ， ， ，则 ，A(−4,0)，B(4,0)，
∵抛物线过 ，A(−4,0)，B(4,0)三点，
∴可设抛物线解析式为 ，
将A(−4,0)将入 得， ，
解得： ，
图象的解析式为： （答案不唯一）．
2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个
不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到
底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学
的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度．
【答案】 米
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以 中点O为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出
抛物线解析式，根据解析式求出 和 ，进而求出 和 ，即可求解．
【详解】解：如图，以 中点O为原点建立平面直角坐标系，由题意知 ， ， ，
， ， ， ，
设抛物线解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
，
，
，
即所需三根不锈钢管立柱的总长度为 米．
3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，
大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底
用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，
为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为
．(1)求该函数的解析式；
(2)思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
【答案】(1)
(2)①7.2米
②21米或49米
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键．
（1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式；
（2）①依据题意，由桥长70米，该桥平均分布9根石柱支撑，每两根石柱间的距离是 (米)，再结
合（1），当 时求出y的值即可；
②结合（1），当 时，求出x的值即可得解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
∴ ，
答：该函数图象的解析式为 ；（2）解：①若该桥平均分布9根石柱支撑，则每根石柱的距离为 （米），
即离桥头最近的石柱桥面位置距桥头为7米，
在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为7，代入解析式可得，
当 时， ，
∴离桥头最近的石柱长度为7.2米．
②若石柱的高度为16.8米，由题意得 ，
当 时， ，
解得 或 ，
∴若石柱的高度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有21米或49米．
4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：
如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽 ，最大高度 ．车辆双向通行，规定车辆必须
在中心线两侧、距离道路边缘 的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 的空隙．你能否根
据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图2，小东以 点为原点，地面 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
请你帮小东解决问题：
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少 ？
(3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形 的三条边 组成的“支撑架”，使
两点在抛物线上， 两点在地面 上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三
根木杆 、 的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．
【答案】(1)
(2)3米(3)这个支架总长的最大值为15米
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析
式
【分析】本题主要考查二次函数解析式，二次函数图象与性质以及二次函数的应用：
（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入解析式，运用待
定系数法即可求出函数解析式；
（2）把 代入解析式，求出 的值，再减去 即可；
（3）设点 ，则 ， ，然后根据 列出函数解析式，由
二次函数的性质求最大值．
【详解】（1）解：∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度 为12米，
∴ ，
设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∵ （米）
∴通过隧道车辆的高度限制应为3米；
（3）解：设点 ，则 ， ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值是15，
∴这个支架总长的最大值为15米．
投球问题
1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线
呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以 为原点建立如图所
示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高 为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【答案】(1)
(2)球不能射进球门
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当 时， ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线 ，把点 代入得： ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：当 时，
，
球不能射进球门．
2．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小
球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段 处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知 ，且每个回收
箱的宽、高分别是 、 ，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【答案】(1)抛物线L的函数解析式为 ；
(2)小球P在x轴上的落点坐标为 ；
(3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）对于 ，令 ，求解一元二次方程，据此计算即可求解；
（3）由题意先求出，当 和 时，求得对应 的值，再设竖直摆放的回收箱有 个，根据题意得出关于 的不等式组，求出 的整数解即可．
【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P
移动的水平距离为2，
∴顶点坐标为 ，
∴设抛物线L对应的函数解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线L对应的函数解析式为 ；
（2）解：对于 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴小球P在x轴上的落点坐标为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，对于 ，
当 时， ；
当 时， ；
设竖直摆放的回收箱有 个，
则 ，
解得 ，
∵ 是正整数，
∴ 可以是3或4或5或6或7，答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．
3．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起投
篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出手，
篮球在距离篮筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方
向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
【答案】(1)
(2)0.2米
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）设抛物线的表达式为 ，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ，求出A的坐标为 ，然后把A的坐标
代入（1）中所求解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
由题意可知，抛物线上的点B的坐标为 ．
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；（2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ．
， ．
由题意可得点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米；
4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据
压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距
离 （单位：m），飞行高度 （单位：m）的变化数据如表．
飞行水平距离 0 8 12 20 24
飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8
探究发现 与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
(1)直接写出 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发
现解决下列问题：
①若发射平台相对于地面的高度为 ，求火箭落到地面时飞行的水平距离；
②在地面上设置回收区域 ．为了能使火箭落到 内（不包括端点 ，我们
可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围．
【答案】(1) ；
(2)①火箭落到地面时飞行的水平距离为40m；②发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于 且小
于 ．
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①令二次函数 代入函数解析式即可求解；
②设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞机相对于安全线的飞行高度 ，然后代入
两个端点即可求解．
【详解】（1）解：由表中数据可知， 与 成二次函数关系，
∴设 ，且过 三点，
∴ ，
解得， ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：①当 时， ，
解得， （舍去）， ，
所以，火箭落到地面时飞行的水平距离为 ；
②∵ ，
∴
设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞行高度为 ，
当 时， ，
解得， ；
当 时， ，
解得， ，
∴ ，即发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于 且小于 ．喷水问题
1．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆
垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射
的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷
射的水柱落地点与O的距离为多少米．
【答案】6米
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线 作
为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为 ，经过点 ，设抛物线解析式为
，将 代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将
代入求解即可．
【详解】解：以直线 作为y轴，以地面为x轴，
由题意可得，抛物线的顶点为 ，经过点 ，
∴设抛物线解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，
∴调高后的抛物线解析式为 ，即 ，
将 代入得 ，
整理得： ，
，
解得： ， （舍去），
∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米．
答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米．
2．（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距 米，两人身高都是 米．以水平
线为 轴，小明所站立线为 轴建立如图所示直角坐标系，点 是小明水枪的喷口，小明的喷水枪
喷出的水行走的路线为抛物线 ，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标
为 ，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线 ，且其过点 ．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果 是抛物线 的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析；
(2)小亮能喷到小明，理由见解析．
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】（ ）根据抛物线 过点 ，代入求出 ，得出抛物线 解析式，在将 代入解析式求出 即可判断；
（ ）根据抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 为 ，再根据抛物线 过点
，即可求出抛物线 解析式，再算出 时， 的值，即可判断；
本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线 ，
∵当 时， ，
∵ 且小于 ，
∴小明能喷到小亮；
（2）∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴设抛物线
∵抛物线 过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线 为 ，
又∵当 时， ，
∵ 且小于 ，
∴小亮能喷到小明．3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌
溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范
围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发
现，以地面为 轴，以喷枪所在直线为 轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地
面的距离为 ，水流的最高点与喷枪的水平距离为 ，且满足 ．
请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到 ，参考数据 ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将 代入 即可求解；
（2）将 代入 即可求解；
（3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为 ，将 代入求出a的值，再令 ，
求出对应的x的值即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
即该喷枪的出水口到地面的距离为 ，
故答案为： ；（2）解：将 代入 ，得 ，
即水流的最高点到地面的距离为 ；
（3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，水流的最高点到地面的距离为 ，
此时抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
解得 ， （负值舍去），
水流的射程约为 ．
4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出
拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为 ，水柱的最大高
度为 ．
(1)当射水鱼在原点 处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在 处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点 出发．①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以 的速度水平向右逃离，同时射水鱼以 的速度水平向右
追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
【答案】(1)
(2)①射水鱼需要向右游动 才能击中昆虫；②经过 射水鱼恰好能击中昆虫
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①令 ，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程 速度”求解即可
÷
【详解】（1）解： 水柱的最大高度为 ，
，
射水鱼在原点 处，
将 代入 8，得 ，
解得 或 （舍去），
水柱的解析式为
（2）解：①令 ，得 ，
解得 或 ，
，
，
射水鱼需要向右游动 才能击中昆虫．
②由题意得， ，
经过 射水鱼恰好能击中昆虫．
图形问题
1．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为 米，花圃面积为 平方米．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求 的最大面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】（ ）根据矩形的面积公式即可求解；
（ ）根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意求出 关于 的函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得， ，
即 ；
（2）解： ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________
【答案】(1)5米
(2)4；48
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：
（1）用总长减去三个宽即为 的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；
（2）用总长减去三个宽即为 的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽 为x米，则花圃的长为 米，根据题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，
答： 的长是5米；
（2）解：根据题意得： ，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，S取得最大值，最大值为48，
即当x为4时，花圃 的面积最大，最大面积是 ．
故答案为：4；48
3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为
的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过 ，设 的长为 ，
矩形区域 的面积为 ．(1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围；
(2)当 的长度是多少时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)
(2) 的长度是 时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数
的性质解答．
（1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过 和 ，可以
求得x的取值范围；
（2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当 的
长度是多少时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是多少．
【详解】（1）解：设 的长为 ，则 的长为 ，
，
岸堤的可用长度不超过 ，
，
解得 ，
又 ，
，
，
y与x之间的函数解析式是 ，自变量x的取值范围是 ；
（2） ，
当 时，y随x的增大而减小，
，当 时，y取得最大值，此时 ，
答： 的长度是 时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是 ．
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 表示墙
面，已知 ， 米， 米）和总长为 米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场
（细线表示篱笆，小型农场中间 也是用篱笆隔开），点D在线段AB上，设 的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示 的长；
(2)若要求所围成的小型农场 的面积为 平方米，求 的长；
(3)求小型农场 的最大面积．
【答案】(1)
(2) 的长为 米
(3)12平方米
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
（1）根据题意结合图形即可求解；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（3）设小型农场 的面积为 ，求出关于 的长 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答.
【详解】（1）∵点 在线段AB上，
米，
（2）解：∵点 在线段AB上，
，即 ，
；∵ 的面积为 平方米，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ 的长为 米；
（3）解：设小型农场 的面积为 ，
则 ，
∵
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当 时， 最大，最大为12平方米．
图形运动问题
1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 开始沿边 向点 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动（不与点 重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；
(1)求出 的面积 随出发时间 的函数解析式；
(2)求经过多少秒，四边形 的面积最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)当 时，四边形 面积最小，最小值是【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综
合)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解
析式配方求最值，是解决问题的关键．
（1）根据 ， ，得到 ， 根据 ， ，运用三角形的面积公式计算
即可；
（2）根据 ，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ 中， ， ，
∴ ；
（2）
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积最小，最小值是 ．
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 从点 出
发，沿边 以 的速度向点 移动；点 从点 出发，沿边 以 的速度向点 移动．已知 、
两点分别从点 ， 同时出发．问：(1)经过几秒， 的面积等于 ？
(2)五边形 的面积最小值是多少？
【答案】(1)经过4秒或2秒， 的面积等于
(2)五边形 的面积最小，最小值为
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是二次函数的最值问题及一元二次方程的应用；
（1）设经过 秒， 的面积等于 ，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设经过 秒，五边形 的面积最小，根据题意得出五边形 的面积表达式，求出其最小
值即可．
【详解】（1）
设经过 秒 ， 的面积等于 ，
， ，点 从点 出发，沿边 以 的速度向点 移动；点 从点 出发，沿边
以 的速度向点 移动，
， ，
的面积 ，
解得 或2，
经过4秒或2秒， 的面积等于 ；
（2）
设经过 秒，五边形 的面积最小，
由（1）知， 的面积 ，
五边形 的面积，
当 时，五边形 的面积最小，最小值为 ．
3．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，在 中， ，动点P从点
A出发沿射线 方向以 的速度移动，动点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动，如果
P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为 ，
的面积为y．
(1)当 时，求 的面积；
(2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质．
【答案】(1)
(2)
(3)图象见解析， 随着 的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、列二次
函数关系式
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图
象与性质是解题的关键．
（1）当 时，则 ， 根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知，当 时， ， ， ，则 ，当时， ，则 ，然后作答即可；
（3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可．
【详解】（1）解，当 时， ， ，
∴
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（2）解：由题意知，当 时， ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
综上所述， ；
（3）解：图象如下：
由图象可知， 随着 的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3．
4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ， 为
上一点， ，动点 以每秒1个单位的速度从点 出发，在三角形边上沿 匀速运动，
到达点 时停止．以 为边作正方形 ，设点 的运动时间为 ，正方形 的面积为 ，探究与 的关系．
(1)如图1，在点 由点 到点 的运动过程中， 关于 的函数解析式为__________；
(2)在点 由点 到点 的运动过程中，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请
根据图象信息，求 关于 的函数解析式及线段 的长．
(3)若存在3个时刻 对应的正方形 的面积均相等．若 ，则此时正方形 的
面积等于_________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）先求出 ，进而求出 ，则 ；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时， ，由此求出当 时， ，可设S关于t的
函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，进而求出当 时，求
得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，设
是函数 上的两点，则 ， 是函数上的两点，由此可得 ，则 ，根据题意可以
看作 ，则 ；②由（3）①可得 ，再由 ，得到 ，
继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在 匀速运动，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时， ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ，
∴可设S关于t的函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴S关于t的函数解析式为 ，
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ；
（3）解：①∵点P在 上运动时， ，点P在 上运动时 ，
∴可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数上的两点，
∴ ，
∴ ，
∵存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
∴可以看作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解
题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
销售问题
1．（24-25九年级上·全国·期末）某商店销售一种台灯，若按每个 元的价格销售，每周可卖出50个，若
按每个 元的价格销售，每周可卖出 个，已知每周销售量 （个）与价格 （元/个）之间满足一次函数关系．
(1)试求 与 之间的函数关系式；
(2)这种台灯的进价是10元/个，当价格定为多少时，才能使每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)售价定为 元/件时，每周的最大利润 元
【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据单个利润乘以数量等于总利润构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，由题意，得
，
解得： ．
与 的函数关系式为： ；
（2）解：∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， ，
∴售价定为 元/件时，每周的最大利润 元．
2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品
每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．设这种商品每天的销售利润为
w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售
价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
(3)售价应定为每千克25元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的
关键．
（1）根据利润 销量 一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把 代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴w与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，且最大值为 ；
∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当 时，可得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元．
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 年 月 日，甘肃发生 级地震．某商场为了将利润捐献给
灾区，特准备以 元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量 （件）与每件
的售价 （元）满足以下表格中的一次函数关系：（元） … …
（件） … 6 …
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的售价 间的函数关系式；
(3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)每件商品的售价定为 元最合适，最大销售利润为 元
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与
二次函数)
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握一次函数的应用，二
次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）依题意得， ；
（3）由题意知， ，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：设 关于 的函数解析式为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：依题意得， ，
∴ ；
（3）解：由题意知， ，
∵ ，∴当 时， 的值最大，最大值为 ，
∴每件商品的售价定为 元最合适，最大销售利润为 元．
4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为 元/两，某
商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量 （两）与售价 （元/两） 之间的函数关
系如图中的线段 所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出 与 之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润 元，求 关于 的函数表达式，当售价 为多少元/两时，销售利润 最
大，该月进货数量应定为多少？
(3)若该商店某月进货 两，如果销售不完，就以亏本 元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月
月利润最大？（注：“两”是一种质量单位）
【答案】(1) ；
(2) ，销售单价 为 元时利润 最大，该月进货数量应定为 两；
(3)售价定为 元/两时，当月月利润最大．
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）由题意可得 ，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（ ）设当月月利润为 元，可得 ，进而
可得抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴 越近，函数值 越大，由 得 ，
据此即可求解；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
点 在函数 上，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
（2）解：由题意可得， ，
∵ ，
当 时， 取得最大值，此时 ，
即 关于 的函数表达式是 ，销售单价 为 元时利润 最大，该月进货数量应定为
两；
（3）解：设当月月利润为 元，
则 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴 越近，函数值 越大，
该商店进货 两，
，
解得 ，
当 时， 取得最大值，
答：售价定为 元/两时，当月月利润最大．
5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销
售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，
每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
(1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且 ），帮助做
“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．【答案】(1)每顶头盔应降价20元；
(2) 或4．
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系式．
（1）设每顶头盔应降价 元，则每顶头盔的销售利润为 元，平均每周的销售量为 顶，
根据每周销售头盔获得的利润 每顶头盔的销售利润 平均每周的销售量，即可得出关于 的一元二次方
程，解之即可得出 的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定 的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为 元，每顶头盔售价为 元，利用每周销售头盔获得的利润 每顶头
盔的销售利润 平均每周的销售量，即可得出 关于 的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于
的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，再结合 且 为整数，即可得出 的值．
【详解】（1）解：设每顶头盔应降价 元，则每顶头盔的销售利润为 元，平均每周的销售量为
顶，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
，
，
．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为 元，每顶头盔售价为 元，
依题意得： ．
抛物线的对称轴为 ，开口向下，当 时，利润仍随售价的增大而增大，
，
解得： ，
又∵ ，且 为整数，
或 ．6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已
知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之
间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示：
x（元/瓶） 22 24 26 27
y（瓶） 90 80 70 65
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）
(2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶
的售价为多少元？
(3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的 ，设这种消毒洗手液每天的总
利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) 与 之间的函数关系式为
(2)这批消毒洗手液每瓶的售价为27元
(3)售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的
关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式．
（1）设 与 之间的函数关系式为 ，将表格中的数据代入求解即可；
（2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可，
（3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的 确定自
变量的取值，即可求解．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将 时 ，和 时 代入得，
，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．（2）由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶，
，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵尽量给顾客实惠，
∴ ．
答：这批消毒洗手液每瓶的售价为27元．
（3）
，
∵每瓶利润不允许高于进价的 ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，总利润为 最大，此时 （元）．
∴售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元．
