文档内容
专题 22.4 拱桥问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】根据下列素材，探索完成任务．
如何设计跳绳的方案
参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2
人，共计8人，他们在同一平面内站成一路
纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，
素材1 可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队
员水平间距AB为5米，他们的手到地面的
高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2
米．
某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男
生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人为
素材2
1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，
跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决
在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛
任务1 确定长绳在最高点时的形状
物线的函数表达式．
若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳
任务2 探究站队的方式
能否顺利甩过所有队员的头顶？
为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低
任务3 设计位置方案 的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求
出左边第一位队员横坐标的取值范围．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键；
任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待
定系数法求解二次函数的解析式即可；
5
任务二：如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两
2
侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当x=2.25或x=2.75时， 当x=1.75或x=3.25时， 当x=1.25或x=3.75时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是
取值范围即可．
【解题过程】
解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得，(0,1)，(5,1)在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为(2.5,2)，
( 5) 2
设抛物线解析式为y=a x− +2，
2
25
∴ a+2=1，
4
4
解得a=− ，
25
4 ( 5) 2
∴抛物线的函数解析式为y=− x− +2；
25 2
任务二：
4 ( 5) 2
∵y=− x− +2，
25 2
5
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
5
如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学
2
站中间，女同学站两边，
对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是2，3，∴有1个1.65米的女生的横坐标为1或4，
4 ( 5) 2 49
当x=2时或x=3时，y=− x− +2= =1.96>1.70，
25 2 25
4 ( 5) 2 46
当x=1.5或x=3.5时，y=− x− +2= =1.84>1.70
25 2 25
4 ( 5) 2 41
当x=1或x=4时，y=− x− +2= =1.64<1.65，
25 2 25
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列，
4 ( 5) 2
当x=2.25或x=2.75时，y=− x− +2=1.99>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.75或x=3.25时，y=− x− +2=1.91>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.25或x=3.75时，y=− x− +2=1.75>1.65，
25 2
∴站队方式符合要求，
4 ( 5) 2
当y=1.65时，则− x− +2=1.65，
25 2
10+❑√35 10−❑√35
∴x = ，x = ，
1 4 2 4
10−❑√35 5
∴左边第一个队员的横坐标的范围为： 0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随
x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．16．（2024·贵州毕节·三模）如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函
数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线
的顶点在C处，对称轴OC与横梁AB相互垂直，且CO=5，AB=10．
（1）建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且DE:EF=4:3，
求EF的长；
（3）根据（1）中求解得到的函数表达式，若当p≤x≤p+1时，函数的最大值与最小值的差为1，求p的
值．17．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线
型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如
图1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所
示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽
略不计），经费预算为40000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．18．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛
15
物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已如水面宽OA是16m；当水面上升 m时，水面
8
宽减少了2m ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为10m ，露出水面的高度为3.5m ，该货船能否正常通过这座拱
桥？请说明理由；
（3）现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形BCDE灯带来美化桥面，点C在抛物线上且BC与水面
平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于7.5m，求矩形
BCDE灯带的周长l范围．19．（2024·贵州·模拟预测）如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座
桥的模型， 它的两桥塔AD，BC 之间的悬索DPC 是抛物线型(如图②所示)，悬索上设置有若干
条 垂直于水平线AB的吊索，图中， AD=BC=10cm，AB=32cm，悬索上最低点P 到AB的垂直
距离PO=2cm． (悬索 DPC与 AB在同一平面内)
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）根据设计要求，从抛物线的顶点P 开始，每相隔2cm 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于4cm
时，需加固．求此条抛物线有多少条吊索需要加固；
（3）若抛物线经过两点E(m,y )，F(m+2,y )，抛物线在E，F之间的部分为图象G(包括 E，F
1 2
两点)，图象G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，当t=1 时，求m 的值．20．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大
桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内
连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨
地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布
置为180+460+180=820m．
3
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为 ，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间
20
的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函
数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决
问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低
点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．（1）请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
（2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分
的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能
看到彩车的时间是否超过6分钟；
（3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（−70，−21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平
距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右
侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
