文档内容
第 07 讲 章节复习专题：一元一次不等式与一元一次不等式组
目录
【考点一 不等式的基本性质】................................................................................................................................4
【考点二 不等式的解与解集】................................................................................................................................6
【考点三 一元一次不等式（组）的定义】............................................................................................................8
【考点四 解一元一次不等式（组）】..................................................................................................................11
【考点五 求一元一次不等式（组）的整数解】..................................................................................................15
【考点六 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】..................................................................................19
【考点七 根据一元一次不等式的解集求参数】..................................................................................................25
【考点八 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】...........................................................................27
【考点九 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.......................................................................29
【考点十 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】...............................................................31
【考点十一 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】.......................................................33
【考点十二 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】...........................................................................35
【考点十三 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】...............................................................................38
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
2.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点06 一元一次不等式（组）的整数解
1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而
非常容易的解决问题．
2.一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点07 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b1，数轴表示见解析；
（ ） ，所有整数解为 ， ，
【分析】（ ）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（ ）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（ ）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来
即可；
（ ）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解；
本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正
确计算是解题的关键．
【详解】解：（ ）去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
不等式的解集在数轴上表示为：
（ ）去分母得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
不等式的解集在数轴上表示为：
（ ）由①得， ，
由②得，x>1，
∴不等式组的解集为x>1，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（ ） ，由①得， ，
由②得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的所有整数解为 ， ， ．
【考点五 求一元一次不等式（组）的整数解】
例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式 的正整数解为 ．
【答案】1，2
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
【详解】解： ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得： ，
系数化为1，得： ，
所以，不等式 的正整数解为1，2．
例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组 的整数解有 个．
【答案】4
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是
解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解．
按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找
出所有整数解．
【详解】解： ，
由 解得： ，
由 解得： ，
不等式组的解集为： ，
它的整数解有： ， ， ， ，共 个，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式 的最小整数解是 ．
【答案】1【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先解出一元一次不等式的解，然后根据整数的定义即可得
出答案．
【详解】解：
，
不等式 的最小整数解是1，
故答案为：1．
∴
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式 的正整数解的个数是 ．
【答案】5
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的正整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定正整数解
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则不等式的正整数解有1、2、3、4、5共5个，
故答案为：5．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组 的整数解为 ．
【答案】0
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，即可得
出整数解．
【详解】解：解不等式组 ，得： ，
∴ ，
∴不等式组的整数解为0；
故答案为：0．4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 的非负整数解是 ．
【答案】3，2，1，0
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．
【详解】解： ，
由①，得： ；
由②，得： ，
∴不等式组的解集为： ；
∴不等式组的非负整数解为：3，2，1，0；
故答案为：3，2，1，0．
5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组 的最大整数解是 ．
【答案】2
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
求出不等式组的解集为 ，即可求出最大整数解．
【详解】解：解不等式 ，得
解不等式 ，得 ，
不等式组的解集为
不等式组的整数解有 ，
不等式组的最大整数解为2．
故答案为：2．
6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组 的所有整数解的和为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键．
分别算出两个不等式的解，即可得出不等式组的解集，然后找到解集中的所有整数解，最后相加即可．
【详解】解： ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的整数解为 ， ， … ，
∴所有整数解的和为 ，
故答案为： ．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组 的所有整数解的和为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元
一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得 ，
解不等式,②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
故其整数解有 ，且 ，
故答案为： ．
【考点六 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
例题1：（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式 的部分解答过程．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
移项，得 ，第三步…
(1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误．
(2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集．
【答案】(1)乘法分配律；三
(2)见解析；数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集【分析】本题主要考查了解一元一次不等式：
（1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可；
（2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类，最后未知数系数化为1．
【详解】（1）解：以上解题过程中．第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误．
故答案为：乘法分配律；三
（2）解：解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得： ，
解得： ，
在数轴上表示不等式的解集，如下：
例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组 ，的部分过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，得 ．
去分母，得 ． 第一步
移项、合并同类项，得 ． 第二步
系数化为1，得 ． 第三步
……
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______；
任务二：请你写出解此不等式组的正确过程．
【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变；任务二： ．
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键．
任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答；
任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可
【详解】任务一：
解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变；故答案为：三；不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变
任务二：
解：由①得， ，
，
，
；
由②得：即 ；
所以原不等式组的解集为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式 的过程，请认真
阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 ． 第四步
系数化为1，得 第五步
任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______．
②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______．
任务二：请你直接写出正确的结果
【答案】任务一：①不等式性质2；②三，
任务二：
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式：
任务一：①根据不等式的性质作答即可；②第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可；
任务二：解不等式即可．
【详解】解：任务一：①第一步的依据是不等式性质2；
故答案为：不等式性质2；
②第三步开始出错，移项时没有变号，正确的应是： ；
故答案为：三， ；
任务二：解：去分母，得： ，去括号，得： ，
移项，得： ，
合并，得： ，
系数化为1，得： ．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式 的过程如下：
解：去分母得 …第一步，
去括号得 …第二步，
移项得 …第三步，
合并同类项得 …第四步，
系数化为1得 …第五步，
(1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________；
(2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的；
(3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；
(4)写出正确的解题过程
【答案】(1)不等式的基本性质2
(2)乘法的分配律
(3)一，去分母时整数没有乘以最小公倍数
(4)见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质、有理数乘法运算律
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在
数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，
“≤”实心圆点向左画折线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的
关键．
（1）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答；
（2）根据乘法的分配律进行计算即可解答；
（3）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答；
（4）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2；
（2）以上解题过程中，第二步是依据乘法的分配律（填写相关的运算律）进行变形的；
（3）第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时整数没有乘以最小公倍数；
（4）
去分母得，
去括号得，移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ．
3．（23-24七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，
完成相应的任务．
解：由不等式①，得 ． 第一步
解得 ． 第二步
由不等式②，得 ． 第三步
移项，得 ． 第四步
合并同类项，得 第五步
解得 第六步
所以，原不等式组的解集是 ． 第七步
任务一：
（1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________；
（2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________；
任务二：
（3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________．
【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）六，化系数为1时没有变号；（3）
【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数
为1；依据：不等式的基本性质．
任务一：
（1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；；
（2）根据等式的性质可判断第五步错误
任务二：
通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集．
【详解】解：任务一：
（1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；
（2）明的解答过程中，第六步开始出现了错误，产生错误的原因是化系数为1时没有变号；
故答案为：（1）不等式的基本性质2；（2）六；化系数为1时没有变号；
任务二：
不等式组正确的解集是 ．
故答案为： ．4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组 时草稿纸上演草的过程：
解不等式②， …………………………第一步
…………………………第二步
…………………………第三步
………………………第四步
(1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 步开始出现错误；
(2)请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示：
所以原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)第一步
(2) ， ，见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键．
（1）根据运算法则进行解答即可；
（2）根据运算法则计算得出解集画图即可．
【详解】（1）解：第一步，
等式两边同时乘以 ，故为 ；
（2）解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
故该不等式解集为： ，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示：
故该不等式解集为： ．
5．（2024·宁夏银川·二模）在解不等式组 时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，
请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得 ……第1
步去括号，得 ……第2步
移项，得 ……第3步
合并同类项，得 ……第4步
两边都除以3，得 ……第5步
任务一：填空：
（1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________；
（2）第3步移项的依据是________；
（3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集．
【答案】任务一：（1）乘法分配律；（2）不等式性质；（3）1，去分母时没给常数项 乘分母的最小公
倍数；任务二： ，过程见解析
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
任务一：（ ）根据乘法分配律即可求解；
（ ）根据不等式的性质即可求解；
（ ）根据去分母时，常数项漏乘最小公倍数，即可求解；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答，再求出不等式②的解集，然后得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：
（ ）第2步去括号依据的运算律是乘法分配律；
（ ）第3步移项的依据是不等式的性质；
（ ）第1步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第1步中常
数项 没有乘以最小公倍数 ；
任务二： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．【考点七 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解 由图像
可以知道， ，只需要根据 写出 的解集，即可求出 的值
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由图像可知 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于x的不等式 的解集为 ，则a的取值范围
是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边同除以或乘以一个负数不等号方向发生改变，
得出 ，求出 即可．
【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目．由关于x的不等式 的解集是 ，知
且 ，据此得出 ，且 ，再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵关于x的不等式 的解集是 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
关于x的不等式 可化为 ，
解得：
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于 的不等式 的解集在数轴上的表示如图，则
a的值是 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集、解一元一次方程，解题的关键是得出
不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于 的方程．
由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于
的一元一次方程，解此方程即可得出结论．
【详解】解：解不等式 得， ，
由数轴可得该不等式的解集为： ，
，
解之得， ．
故答案为： ．
【考点八 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于 的不等式 的正整数解是1，2，3，则整数 的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整
数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴ ，
∴a的取值范围是 ．
∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于 的一元一次不等式 只有2个正整数解，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的特殊解，熟悉掌握不等式的运算方法是解题的关键．
化简 ，得到 ，根据只有2个正整数解列式运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于 的一元一次不等式 只有 个正整数解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于 的不等式 至少有3个负整数解，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ．因为关于 的不等式 至少有3个负整数解，所以该不
等式至少有的三个负整数解是 ， ，
所以 ，
解得
3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如果关于 的不等式 的正整数解仅为 ，那么整数 的
所有取值之和是 ．【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，求出不等式的
解集，根据题意得出 ，即 ，求出 为 ， ，即可求得整数 的所有取值之和为 ．
【详解】解： ，
，
，
关于 的不等式 的正整数解仅为
，
，
整数 为 ，其和为 ，
故答案为 ．
【考点九 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则符
合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出 的取值范
围．
先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有 个整数解可以是 ， ， ， ， ，即可得到
，解得 ，可以求得满足条件的整数 的值，然后求出它们的和即可．
【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
关于 的不等式组有且只有 个整数解，
这 个整数解是 ， ， ， ， ，
，
解得： ，
满足条件的整数 的值为 ， ， ，
符合条件的所有整数 的和为 ，故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围
是 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查解一元一次不等式（组 ，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元
一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组 恰有3个整数解，即可得到关于 的
不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
不等式组 恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得 ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组 只有3个整数解，则a
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组只有3个整数解，即可得到一个关于 的不等式组，从而求得
的范围．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
不等式组只有三个整数解，则整数解一定是3，4，5．
根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数 使关于 的不等式组 有且只有两个整数解，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ，
∵不等式组有解集，
∴ ，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点十 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组 的解集为 ，则 的值是
．
【答案】3【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首
先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是 ，可得 ， ，再解一元一次
方程可得答案．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组 的解集为 ，
， ，
解得： ，
，
故答案为：3．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，根据所给不等式组解得 ， ，根据此不等式组的解集为 ，
即可得；掌握解不等式组的方法是解题关键．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
由不等式②得， ，
∵不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确解不等式组是解题关键．分别解不等式，再根据不等式组无解，确定 的取值范围即可．
【详解】解： ，
解不等式①得：
解不等式②得： ，
不等式组无解，
，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）关于 的不等式组 的解为 ，则 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解
（用 表示出来），再根据其解为 即可得．
【详解】解： ，
解不等式②得： ，
∵关于 的不等式组 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【考点十一 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于 的不等式组 有解，且关于 的方程
有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的
几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
先解方程，再根据不等式组有解求出 的取值范围，然后根据方程 有正整数解得出 ，将
的取值代入，找出符合条件的 值，并相加即可得出答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
该不等式组有解，
，解得 ．
整理方程 ，得 ．
方程 有正整数解，
，解得 ，
．
当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
当 时，解得 ，不符合题意，舍去；
符合条件的所有整数 的和为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由 可得得 ，从而得
到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解： ，
由 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴a的取值范围是 .
故答案为： .
2．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 且关于
的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出 的范围，即可求解．【详解】解方程组 得：
∵方程组的解满足
∴ ，解得
解不等式组 得：
∵关于 的不等式组 无解
∴ ，解得
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出 的
取值范围是解此题的关键．
3．（2024·山东东营·二模）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】根据 、 是二元一次方程组 的解可知 的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵ 、 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
∵关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念
是解题的关键．
【考点十二 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
例题：（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线 与直线 交点的横坐标是4，则不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集．
从图象上找到 在 上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵直线 与直线 交点的横坐标是4，
∴不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当 时，
，当 时， ，当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识，
根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论．正确地识别图象是解题的关键．
【详解】解：观察图象：
当 时，是图中一次函数图象与 轴交点的纵坐标，则 ；
，是指一次函数图象在 轴上方图象，则此情况 ；时，如图所示：
，是指一次函数图象在直线 下方图象，也就是 轴右侧的一次函数
图象，则此情况 ；
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数 中两个变量x，y的部分对应值如下表
所示：
x … 0 1 …
y … 7 5 3 1 …
那么关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知， 随着 的增大而减小，且 时， ，进而
得到当 时， ，即可．
【详解】解：根据表格可知， 随着 的增大而减小，且 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数 （ 、 是常数，且 ），
的图像交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到，当 时，函数的图象都在函数 的图象的上方，由此得到不等式 ，即 的解集．
【详解】解：如图所示，一次函数 与 的图像交于点 ，
∴不等式 ，即 的解集为
故答案为： ．
【考点十三 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某中学计划购买 型和 型课桌凳共200套，经招标，购买一套
型课桌凳比购买一套 型课桌凳少用40元，且购买4套 型和5套 型课桌凳共需1820元．
(1)求购买一套 型课桌凳和一套 型课桌凳各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买 型课桌凳的数量不
能超过 型课桌凳数量的 ，学校购买 型课桌凳x套，总费用为 元．
①求出 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
②该校本次购买 型和 型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费．
【答案】(1)购买一套 型课桌凳180元，一套B型课桌凳220元
(2)① （ ，且 为整数）；②该校本次购买 型和 型课桌凳共有3种购买方案．
当购买 型课桌凳80套， 型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为 元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用，一次函数的增减性质，根据已知得出不等式
组，求出 的值是解答关键．
（1）设购买一套 型课桌凳 元，则一套 型课桌凳 元，根据题意列出方程求解；
（2）①设 型桌 套，则 型桌 套，购买桌凳总费用为 元，根据题意列出方程和不等式求解；
②利用要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买 型课桌凳的数量不能超过 型课桌
凳数量的 ，列出不等式组求解．
【详解】（1）解：设购买一套 型课桌凳 元，则一套 型课桌凳 元，
由题意得 ，
解得 ，
则 ．
答：购买一套 型课桌凳180元，一套 型课桌凳220元．
（2）解： 设 型桌 套，则 型桌 套，购买桌凳总费用为 元，
根据题意得 ，且 ，
解得 ，
（ ，且 为整数）．
， 为整数，
∴ ， ， ，
∴共 套方案．
∵ ， 随 的增大而减小，
∴ 时，总费用最低， 有最小值 （元），
此时 ．
即当总费用最低的方案是：购买 型课桌凳80套， 型课桌凳120套时．
答：该校本次购买 型和 型课桌凳共有3种购买方案．当购买 型课桌凳80套， 型课桌凳120套时，
总费用最低，最低消费为40800元．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零
件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做
多少件零件？
【答案】这个工人计划每天做12件或13件零件
【分析】本题主要考查了解不等式组，根据题意列出不等式组，求出解集，再判断整数解即可．
【详解】解：设这个工人计划每天做x个零件，根据题意，得
，
解得 ，
则 或13，
所以这个工人计划每天做12或13个零件．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部
甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资
金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种
型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为 元
(2)四种【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组和不
等式组是解答关键．
（1）先设甲型号手机每台售价为 元，乙型号手机的每部进价为 元，根据题意列出方程组，解方程组即
可求解；
（2）设购进甲型号手机 部，则购进乙型号手机 部，根据题意列出不等式组，求出 的取值范围，
即可得出进货方案．
【详解】（1）解：设甲型号手机每台售价为 元，乙型号手机的每部进价为 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为 元；
（2）解：设购进甲型号手机 部，则购进乙型号手机 部，
根据题意，得： ，
解得： ，
为整数，
取 或 或 或10，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机 部，购进乙型号手机 部；
方案二：购进甲型号手机 部，购进乙型号手机 部；
方案三：购进甲型号手机 部，购进乙型号手机 部；
方案四：购进甲型号手机10部，购进乙型号手机10部．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某校准备在某超市为学生购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和
100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元．
(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)该超市给出以下两种优惠方案．
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
若该校准备购买毛笔50支，宣纸 张 ，则选择哪种方案（只能选择其中一种）更划算？请说明理
由．
【答案】(1)毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为 元/张
(2)当 时，选择方案A划算；当 时，两种方案费用相同；当 时，选择方案B划
算
【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出毛笔和宣纸的单价；
（2）利用总价=单价×数量，可分别用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用，分
， 及 三种情况，求出a的取值范
围或a的值，进而可得出：当 时，选择方案A划算；当 时，选择两种方案费用相同；
当 时，选择方案B划算．
【详解】（1）解：设毛笔的单价为 元/支，宣纸的单价为 元/张，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为 元/张．
（2）解：选择方案A所需费用为 元；
选择方案B所需费用为 元．
当 时，解得 ．
，
；
当 时，解得 ；
当 时，解得 ．
综上所述，当 时，选择方案A划算；当 时，两种方案费用相同；当 时，选择
方案B划算．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，利用含a
的代数式表示出选择两种方案所需费用．
