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第一章 直角三角形的边角关系单元测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2022·上海奉贤·九年级期中）在 中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
【答案】B
【分析】根据题意可知 大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变．
【详解】解：∵在 中，各边的长度都缩小4倍，
∴各角的大小不变，即 大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余切值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝ ，sinB＝ ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA= ，sinB= ，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3．（2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的
水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A．5 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝ ＝ ．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三
角形．
4．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知 ，在 的两
边上分别截取 ，分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E．连接OE．则
OE的长为（ ）
A． B．2cm C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得， ，从而可证 ， ，四
边形CODE是菱形，再运用菱形的性质及特殊角三角函数值进行计算即可．【详解】解：如图，连接CD交OE于点G，
∵以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形CODE是菱形，
∴ ，即 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形CODE是菱形，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定及性质，以及运用特殊角三角函数值计算相关线段长
度，综合运用以上几何知识是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，
则OC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB= AB=0.8，
在Rt OCB中，sin∠OBC= ，
△
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为
海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA= BP，然后由
PA+PC=AC，得BP+ BP= +1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA= BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+ BP= +1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
7．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）某游乐场一个不等臂跷跷板AB
长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为 ；如
图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为 ，则支撑柱 OH的长为（ ）
A．0.4 米 B．0.8 米 C． 米 D．1.2 米【答案】D
【分析】根据正弦的定义得到 OH=OA，OB=3OH，根据题意列式计算即可．
【详解】解：在Rt AOH中，tanA= ，
△
设OH=3x，AH=4x，
∴OA= =5x，
∴ OH=OA，
sinB= ，
∴OB=3OH，
∵AB=5.6米，
∴ OH+3OH=5.6，
解得：OH=1.2（米），
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）如图， ， ， 底边BC上的高为 ，
底边QR上的高为 ，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系系中，直线 与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 ，连接 ．若 ，
，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵ ，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC ，
∴ ，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y 在第一象限内的图象交于点B，
∴ ，
故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能
够求得点B的坐标．
10．（2022·广东·东莞市光明中学一模）关于三角函数有如下的公式： ，
由该公式可求得 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，代入特殊三角函数值计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差
是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级课时练习）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前
进行体温检测．某学校大门 高6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，
在点D处测得摄像头A的仰角为 ，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄
像头A的仰角为 ，则体温检测有效识别区域 段的长为（ ）A． 米 B． 米 C．10米 D． 米
【答案】B
【分析】先证明 ，在 中， 米， ，由 即可求解．
【详解】解：由题意可知， 米， ， ，
∴ （米）， ，
∴ ，
在 中， 米， ，
∴ （米），
∴ （米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及解直角三角形的应用，掌握特殊角的三角函数是解题的关键．
12．（2022·福建南平·二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线
上，已知相邻平行线间的距离为1，若 ，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长．
【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G，
∵ ， ，DF=2，
∴ ，
∵矩形ABCD，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴矩形ABCD的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题
关键．
13．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的
距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB= ，则线段AB的长的最小值为（ ）A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称点
，连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首
先证明当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结
论．
【详解】解：如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称
点 ，连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt 中，AB= ，
△
∴ 的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB=OA+ ≥ ，
∴当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l'垂直平分线段 ，
∴TB= ，
∴∠ =∠ ，∵∠TBA+∠ =90°，∠TAB+∠ =90°，
∴∠TAB=∠TBA，
∴TA=TB，
∵cos∠AOB=cos∠ATB= ，
∴ ，
∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，
∴BH=TB-TH=2k，
∴AH= =4k，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
解得k= ，
∴AB的最小值 ，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学
会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
14．（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）如图， 与 ，直角顶点重合于点C，点D在
上， ，且 ，连接 ，若 ， ，则 长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，得 ，进而求 ，证 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、三角形的相似、勾股定理，证 是解本题的关键．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：sin30°＝____．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简即可．
【详解】解：sin30°＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，牢记各值是解答此题的关键．
16．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知 是锐角， ，则
=______°．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（2022·上海·九年级期中）在 中， ， ， ，那么 的长是_____．
【答案】
【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：在 中，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．18．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点
，点 在 边上，且 ，连接 交 于点 ，过点 作 ，连接 并延长，交
于点 ，过点 作 分别交 、 于点 、 ，交 的延长线于点 ，现给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有______________．
【答案】①②③④
【分析】①证明 ，可得 ，由等腰三角形的性质可求 ；
②证明 ，可得 ；
③证明 ，可得 ，进而可得结论 ；
④由外角的性质可求 ，由勾股定理可求AG，即可求 ．
【详解】解：①∵四边形 是正方形， ，
∴ ，AC⊥BD，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②如图，过点 作 于 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，故②正确；③在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三
角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）计算：
【答案】4
【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠A=60°
(1)求BC的长．
(2)求sinB
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D ．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt BCD中利
用勾股定理求出BC ； △
（2）Rt BCD中利用边角间关系可得结论．
(1) △
解∶过点C作CD⊥AB，垂足为D ．在Rt ACD中，
∵∠A△=60°， AC=8，
∴∠ACD=30°，
∴AD= ，
∴ ， BD=AB-AD=1．
∴在Rt BCD中， ；
△
(2)
解：在Rt BCD中，
△
∵由（1）知∶ CD= ， BC=7，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及直角三角形的边角间关系是解
决本题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡
，点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在
坡底 处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即 米）到达点 处，此时
在 处测得楼顶 的仰角为 ．（参考数据： ， ， ）（1）求点 到点 的水平距离 的长；
（2）求楼 的高度．
【答案】（1） 米；（2）楼 的高度为 米．
【分析】（1）由 的坡度 ， 可得 设 则 由勾股定理可得
再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过 作 于 先证明四边形 是矩形，可得
设 证明 可得
由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度 ，
设 则
（2）如图，过 作 于
四边形 是矩形，
设由
解得：
经检验： 符合题意，
所以：建筑物 的高为： 米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是
解题的关键．
22．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，在四边形纸片ABCD中， ，AD>CD，将纸
片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点 处，折痕DE交BC于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ， ， ，请直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）依题意 ，又 ，可得 ，证明
，可得CD=CE，则四边相等，可得四边形 是菱形；
（2）由题意易证明 ，又 ，可得 ，可得四边形 为平行四边形，如图，过
作 于 ，再利用锐角三角函数求解 ，从而可得面积．
【详解】（1）证明：依题意
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（2）∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ， 又 ，可得 ．
∴四边形 为平行四边形．
如图，过 作 于 ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应
用，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键．
23．（2022·广东·江门市第二中学二模）如图， 是直角三角形， ．
(1)在 上作一点D，使得 （要求尺规作图，不写做法，保留作图狼迹）；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)8
【分析】（1）以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于 为半径画
弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；
（2）由题意得 ，根据 即 ，计算求解即可．
(1)
解：以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于 为半径画弧交点为
M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；
(2)解：∵ ，
∴
∵ 即
解得
∴ 的长为8．
【点睛】本题考查了作垂线，含30°的直角三角形，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
24．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形
ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时身体前倾，
下半身与地面的夹角∠FGK＝80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG＝125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm，
点D，C，G，K在同一直线上．（结果精确到1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， ≈1.41）
(1)求此时小强腰部点F到墙AD的距离；
(2)此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前
还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？
【答案】(1)80cm
(2)点E不在洗漱盆AB的中点O的正上方，要使点E在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前移动
9cm，
【分析】（1）作 ，根据 即可求解；
（2）作 ，由 ， ，即可得 ，由 即可求解．
（1）解：如图，作 ， ∵
，∴ ，∴
，∵ ， ，∴四边形MDNF是矩形，
∴ ；
（2）如图，作 ， ∵ ， ，∴ ，∵
，∴ ，∵ ，
∴ ∵46.53-17-15=14.53≠48÷2=24，∴点E不在洗漱盆AB的中点O
的正上方，24-14.53≈9cm，要使点E在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前移动9cm．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，正确构造辅助线是解本题的关键．
25．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，
C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方
向行驶，在距离A为 海里的D处拦截到该可疑船只．
(1)求点A到直线CB的距离；
(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保
留一位小数，参考数据： ）
【答案】(1)60海里
(2)能，理由见解析
【分析】（1）先作 的延长线于E，则AE即为点A到直线CB的距离，由题意知 ，
，由三角形内角和定理求得 ，在 中，由30°角对应的直角边等
于斜边的一半可求得AE
（2）分别在 和 中求出DE，BE，进而求得BD，再结合海警船的速度可求得时间
（1）
解：过A作 的延长线于E，如下图所示，
则AE即为点A到直线CB的距离
由题意可知： ， （海里）
（海里）
∴ 点A到直线CB的距离为60海里（2）
解：如下图所示：
由题意知：
在 中，
在 中，
∴海警船从B到D的时间约为25.4÷30 0.85＜1
∴ 海警船能在1小时内拦截到可疑船只
【点睛】本题主要考查了方向角及内角为30°的直角三角形的性质，理解题意作出辅助线是解题关键．
26．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）已知在正方形ABCD中， ，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC
上，使RQ始终与射线AP垂直．
(1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长；
(2)如图2，试探索： 的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若
没有变化，请求出它的比值；
(3)如图3，当点Q在线段AP上，设 ，请用含x的式子表示RM．
【答案】(1) ；
(2) 的比值随点 的运动没有变化，比值为 ；
(3) ．
【分析】（1）由正方形的性质及 可求出 ， ，由勾股定理可求出 ，再由
即可求出结论；（2）证明 ，得 ，即可得 ，故可得出结论；
（3）延长 交 的延长线于点 ，通过证明 求得 ，进而得 ，通过证明
得 ，进而证明 ，利用三角函数得定义即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得 ， ，
在 中， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解： 的比值随点 的运动没有变化 理由如下：如图，∵
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ 的比值随点 的运动没有变化，比值为 ；
（3）解：延长 交 的延长线于点
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
∵
∴
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质及勾股定理，正方形的性质以及三
角函数，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
