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第六章 反比例函数
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
1.下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )
1 2
A.y= B.y=x-1 C.y= D.x+y=2
x2 x+3
【答案】B
k
2.若反比例函数y= 的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是 ( )
x
A.(1,6) B.(3,-2) C.(6,-1) D.(2,-3)
【答案】A
k
【解析】 因为反比例函数y= 的图象经过点P(-2,3),所以k=-6,所以反比例函数的表达式
x
6
为y=- ,所以当x=1时,y=-6,所以点(1,6)不在此反比例函数的图象上.故选A.
x
3 1 2
3.对于三个反比例函数y= ,y=- ,y= ,下列说法错误的是 ( )
x 2x 3x
A.它们的图象都在相同的象限内
B.它们的自变量x的取值范围相同
C.它们的图象都不与坐标轴相交
D.它们图象的两个分支都分别关于原点对称
【答案】A
3 2 1
【解析】 反比例函数y= ,y= 的图象都在第一、三象限,y=- 的图象在第二、四象限,
x 3x 2x
故A中的说法错误.故选A.
-a2-1
4.若点(x,y),(x,y),(x,y)都是反比例函数y= 的图象上的点,且x<00,y0,而由直线的位置,可知k<0,故B项不
合题意;C项,由双曲线位于第二、四象限,可知k<0,则-k+2>0,所以直线应与y轴的正半轴相
交,故C项不合题意;D项,由双曲线位于第二、四象限,可知k<0,而由直线的位置,可知k>0,故
D项不合题意.故选A.
6.某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长
y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是 ( )
A B C D
【答案】C
100 100
【解析】 由长方形的面积公式,可得xy=100,则y= .又∵x≥5,y≥5,∴ ≥5,∴5x≤100,即
x x
100
x≤20,∴x的取值范围为5≤x≤20,故函数图象是反比例函数y= 在5≤x≤20时的一段曲线.结
x
合选项中的图象知选C.
k
7.已知反比例函数y= 的图象经过点A(-2,-5),则当110
【答案】C
k k
【解析】 ∵反比例函数y= 的图象经过点A(-2,-5),∴-5= ,解得k=10,∴反比例函数的表
x -2
10
达式为y= .∵k>0,∴反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而
x
减小.∵当x=1时,y=10;当x=2时,y=5,∴当10)交于A,B两点,P是线段AB上的点(不与A,B重合),过点
x
A,B,P分别向x轴作垂线,垂足分别是C,D,E,连接OA,OB,OP,设△AOC的面积是S ,△BOD的
1
面积是S ,△POE的面积是S,则( )
2 3A.SS >S C.S=S >S D.S=S 0,所以S = k.因为点
x △AOC 2
k 1 k 1
P在双曲线y= 的上方,所以S > k.因为点B在双曲线y= 上,所以S = k,所以
x △POE 2 x △BOD 2
S=S 0)及y= 2 (x>0)的图象分别交于点A,B,
1 x 2 x
连接OA,OB,已知△OAB的面积为2,则k-k = .
1 2
【答案】4
1 1 1 1 1
【解析】 由题意知S = k,S = k,所以S =S -S = k- k= (k-k )=2,所以
△OAP 2 1 △OBP 2 2 △OAB △OAP △OBP 2 1 2 2 2 1 2
k-k =4.
1 2
k
15.如图,一次函数y=x+m与反比例函数y= 的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,已知
x
k
点A的坐标为(2,1),则不等式组00,k>0)的图象经过点A,且交AB边于点
x
C,过点A,C分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,若△AOB的面积为6,OD=DE=EB,则反比例
函数的表达式为 .
4
【答案】y=
x
【解析】 因为△AOB的面积为6,OD=DE=EB,所以OB=3OD,所以△AOD的面积为2,所以
4
k=4,所以y= .
x
三、解答题(本大题共5小题,共46分)
19.(8分)某汽车油箱的容积为70 L,小王把油箱加满油后准备驾驶汽车从县城到300 km外的
省城接客人,在接到客人后立即按原路返回,请回答下列问题:
(1)油箱加满油后,汽车能够行使的总路程y(单位:km)与平均耗油量x(单位:L/km)之间有怎样
的函数关系?(2)如果小王以平均每千米耗油0.1 L的速度驾驶汽车到达省城,在返程时由于下雨,小王降低
了车速,此时每行驶1 km的耗油量增加了一倍,如果小王一直以此速度行驶,油箱里的油是否
够回到县城?如果不够用,至少还需加多少油?
【解析】 (1)由题意,得xy=70,故油箱注满油后,汽车能够行驶的总路程y与平均耗油量x之
70
间的函数关系式为y= (x>0).
x
(2)∵0.1×300=30(L),0.2×300=60(L),30+60=90>70,
∴油箱里的油不够用.
30+60-70=20(L).
答:油箱里的油不够回到县城,至少还需加20 L油.
20.(8分)如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,-2).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移√5个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状,并
证明你的结论.
k
【解析】 (1)设反比例函数的表达式为y= (k≠0).
x
∵点A(m,-2)在直线y=2x上,∴-2=2m,
∴m=-1,∴A(-1,-2).
k k
又∵点A在y= 的图象上,∴-2= ,∴k=2,
x -1
2
∴反比例函数的表达式为y= .
x
(2)四边形OABC是菱形.证明如下:
∵A(-1,-2),∴OA=√12+22=√5.
由题意知,CB∥OA且CB=√5,∴CB=OA,
∴四边形OABC是平行四边形.
2 2
∵点C(2,n)在y= 的图象上,∴n= =1,
x 2
∴C(2,1),∴OC=√22+12=√5,
∴OC=OA,∴四边形OABC是菱形.
2
21.(8分)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,m),B(-2,n)两点,一
x
次函数图象与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)求一次函数的表达式;2
(2)观察图象,写出 >kx+b时自变量x的取值范围;
x
(3)连接OA,在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P,使得S =2S ?若存在,请求
△OCP △OCA
出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
【解析】 (1)∵反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A,B,点A,B的横坐
x
标分别为1,-2,
∴A(1,2),B(-2,-1).
{ k+b=2,
把A,B的坐标代入y=kx+b,得
-2k+b=-1,
{k=1,
解得
b=1,
∴一次函数的表达式为y=x+1.
2
(2)由题中图象可得, >kx+b时自变量x的取值范围是x<-2或00),
y
∵k=9 600>0,
∴其图象在第一象限,且Q随y的增大而减小.
9600
∴当y=400时,Q取最小值,最小值为 =24.
400
即当这种玩具的月销售量不超过400个时,每个玩具的固定成本至少为24元.
由(1)知y=-2x+860,
∵-2<0,∴y随x的增大而减小.
∴当y=400时,x取最小值,最小值为230.
即当这种玩具的月销售量不超过400个时,销售单价最低为230元.
2 k
23.(12分)如图1,反比例函数y= (x>0)和y= (k<0,x<0)的图象分别是l 和l.射线OM交l 于
x x 1 2 1
点A(1,a),射线ON交l 于点B,∠MON=90°,连接AB交y轴于点P,AB∥x轴.
2
(1)求k的值;
(2)如图2,将∠MON绕点O旋转,射线OM始终在第一象限,且交l 于点C,射线ON在第二象
1
DO
限,且交l 于点D,连接CD交y轴于点Q,在旋转的过程中, 的值是否发生变化?若不变化,
2 CO
DO
求出 的值;若变化,请说明理由.
CO
4 3
(3)在(2)的旋转过程中,当点Q为CD的中点时,问点( , )是不是直线CD与l 的另一个交点?
3 2 1
请说明理由.图1 图2
2
【解析】 (1)将A(1,a)代入y= ,得a=2,
x
∴点A的坐标为(1,2),
∵AB∥x轴,∴AB⊥OP,∴OP=2,AP=1.
易证△OPA∽△BPO,
OP AP OP2
∴ = ,即BP= =4.
BP OP AP
∵点B在第二象限,∴点B的坐标为(-4,2).
k
将B(-4,2)代入y= ,得k=-8.
x
DO
(2) 的值不变.
CO
8
由(1)可知,l 的函数表达式为y=- .
2 x
如图,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F.
2 8
设OE=m,OF=n,则C(m, ),D(-n, ),
m n
2 8
∴CE= ,DF= .
m n
DF OF DO
易证△DFO∽△OEC,∴ = = ,
OE CE OC
8 n
∴n= 2 ,∴m2n2=16.
m m
∵m>0,n>0,
4 4
∴mn=4,∴n= ,即OF= ,
m m
DO 4 2
∴ = ÷ =2.
OC m m4 3
(3)点( , )是直线CD与l 的另一个交点.理由如下:
3 2 1
当点Q为CD的中点时,OE=OF,
4
∴m= .
m
∵m>0,∴m=2,
∴C(2,1),D(-2,4),
设直线CD的表达式为y=k x+b,则
1
3
{k =- ,
{2k +b=1, 1 4
1
解得
-2k +b=4, 5
1 b= ,
2
3 5
∴直线CD的表达式为y=- x+ .
4 2
4 2 3 5 3
把x= 分别代入y= 和y=- x+ ,可得y都等于 ,
3 x 4 2 2
4 3
∴点( , )是直线CD与l 的另一个交点.
3 2 1
