第六章 反比例函数
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
1.下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )
1 2
A.y= B.y=x-1 C.y= D.x+y=2
x2 x+3
【答案】B
k
2.若反比例函数y= 的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是 ( )
x
A.(1,6) B.(3,-2) C.(6,-1) D.(2,-3)
【答案】A
k
【解析】 因为反比例函数y= 的图象经过点P(-2,3),所以k=-6,所以反比例函数的表达式
x
6
为y=- ,所以当x=1时,y=-6,所以点(1,6)不在此反比例函数的图象上.故选A.
x
3 1 2
3.对于三个反比例函数y= ,y=- ,y= ,下列说法错误的是 ( )
x 2x 3x
A.它们的图象都在相同的象限内
B.它们的自变量x的取值范围相同
C.它们的图象都不与坐标轴相交
D.它们图象的两个分支都分别关于原点对称
【答案】A
3 2 1
【解析】 反比例函数y= ,y= 的图象都在第一、三象限,y=- 的图象在第二、四象限,
x 3x 2x
故A中的说法错误.故选A.
-a2-1
4.若点(x,y),(x,y),(x,y)都是反比例函数y= 的图象上的点,且x<0<x <x ,则下列各式
1 1 2 2 3 3 x 1 2 3
中正确的是 ( )
A.y<y <y B.y<y <y C.y<y <y D.y<y <y
1 3 2 2 3 1 3 2 1 1 2 3
【答案】B
-a2-1
【解析】 ∵k=-a2-1<0,∴反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y
x
随x的增大而增大.∵x <0<x <x ,∴y>0,y<y <0,∴y<y <y .故选B.
1 2 3 1 2 3 2 3 1
k
5.反比例函数y= 与一次函数y=kx-k+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
xA B C D
【答案】A
【解析】 B项,由双曲线位于第一、三象限,可知k>0,而由直线的位置,可知k<0,故B项不
合题意;C项,由双曲线位于第二、四象限,可知k<0,则-k+2>0,所以直线应与y轴的正半轴相
交,故C项不合题意;D项,由双曲线位于第二、四象限,可知k<0,而由直线的位置,可知k>0,故
D项不合题意.故选A.
6.某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长
y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是 ( )
A B C D
【答案】C
100 100
【解析】 由长方形的面积公式,可得xy=100,则y= .又∵x≥5,y≥5,∴ ≥5,∴5x≤100,即
x x
100
x≤20,∴x的取值范围为5≤x≤20,故函数图象是反比例函数y= 在5≤x≤20时的一段曲线.结
x
合选项中的图象知选C.
k
7.已知反比例函数y= 的图象经过点A(-2,-5),则当1<x<2时,y的取值范围是 ( )
x
A.-10<y<-5 B.-2<y<-1 C.5<y<10 D.y>10
【答案】C
k k
【解析】 ∵反比例函数y= 的图象经过点A(-2,-5),∴-5= ,解得k=10,∴反比例函数的表
x -2
10
达式为y= .∵k>0,∴反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而
x
减小.∵当x=1时,y=10;当x=2时,y=5,∴当1<x<2时,5<y<10.故选C.
k
8.如图,直线l和双曲线y= (x>0)交于A,B两点,P是线段AB上的点(不与A,B重合),过点
x
A,B,P分别向x轴作垂线,垂足分别是C,D,E,连接OA,OB,OP,设△AOC的面积是S ,△BOD的
1
面积是S ,△POE的面积是S,则( )
2 3A.S<S <S B.S>S >S C.S=S >S D.S=S <S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】D
k 1
【解析】 因为双曲线y= 的图象在第一象限,且经过点A,易知k>0,所以S = k.因为点
x △AOC 2
k 1 k 1
P在双曲线y= 的上方,所以S > k.因为点B在双曲线y= 上,所以S = k,所以
x △POE 2 x △BOD 2
S=S <S .故选D.
1 2 3
9.春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿
舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5 min的集中药物喷洒,再封
闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中
的持续时间x(min)之间存在函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又
成反比例函数,如图所示.下面四个选项中错误的是 ( )
A.经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10 mg/m3
B.室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 min
C.当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于35 min,才能有效杀灭某种传染
病毒,此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2 mg/m3时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达
到2 mg/m3开始,需经过59 min后,学生才能进入室内
【答案】C
【解析】 根据题中图象,易知A项正确,不符合题意;由题意可得,当0≤x≤5时,一次函数关系
式为y=2x.令y=8,则x=4.由题图可知,当x=15时,y=8,15-4=11,所以室内空气中的含药量不
1 1
低于8 mg/m3的持续时间达到了11 min,所以B项正确,不符合题意;当y=5时,x=2.5.当x≥15
1
120
时,反比例函数的关系式为y= .令y=5,得x=24.24-2.5=21.5<35,所以C项错误,符合题意;
2 x 2
令y=2,x=1,令y=2,x=60,60-1=59,所以从室内空气中的含药量达到2 mg/m3开始,需经过59
1 2
min后学生才能进入室内,所以D项正确,不符合题意.故选C.3
10.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y= 上,点C,D分别是x轴、y轴上的动点(C,D不同时与
x
原点重合),则四边形ABCD的周长的最小值为 ( )
A.5√2 B.6√2 C.2 √10+2√2 D.8√2
【答案】B
3
【解析】 分别把点A(a,3),B(b,1)代入y= ,得a=1,b=3,则点A的坐标为(1,3),点B的坐标为
x
(3,1).如图,分别作点A关于y轴的对称点P,点B关于x轴的对称点Q,则点P的坐标为(-1,3),
点Q的坐标为(3,-1),连接PQ分别交x轴、y轴于点C、点D,此时四边形ABCD的周长最小.
四边形ABCD周长为DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB=√(-1-3)2+(3+1)2+
√(1-3)2+(3-1)2=4√2+2√2=6√2.故选B.
二、填空题(本大题共8小题,每题3分,共24分)
11.已知一个反比例函数的图象经过点(-2,-3),则这个反比例函数的表达式为 .
6
【答案】y=
x
k
【解析】 设这个反比例函数的表达式为y= (k≠0),则k=(-2)×(-3)=6,所以这个反比例函数
x
6
的表达式为y= .
x
12.已知反比例函数y=(m+2)xm2-5,则它的图象位于第 象限.
【答案】一、三
【解析】 因为函数y=(m+2)xm2-5是反比例函数,所以m2-5=-1,且m+2≠0,所以m=2,所以y=
4
,所以其图象位于第一、三象限.
x
3 1 2
13.设函数y= 与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),则 + 的值是 .
x a b
【答案】-23 1
【解析】 ∵函数y= 与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),∴ab=3,b=-2a-6,∴b+2a=-6,∴ +
x a
2 b+2a -6
= = =-2.
b ab 3
k k
14.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y= 1 (x>0)及y= 2 (x>0)的图象分别交于点A,B,
1 x 2 x
连接OA,OB,已知△OAB的面积为2,则k-k = .
1 2
【答案】4
1 1 1 1 1
【解析】 由题意知S = k,S = k,所以S =S -S = k- k= (k-k )=2,所以
△OAP 2 1 △OBP 2 2 △OAB △OAP △OBP 2 1 2 2 2 1 2
k-k =4.
1 2
k
15.如图,一次函数y=x+m与反比例函数y= 的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,已知
x
k
点A的坐标为(2,1),则不等式组0<x+m≤ 的解集为 .
x
【答案】1<x≤2
【解析】 将A(2,1)代入y=x+m,得m=-1,∴一次函数的解析式为y=x-1,令y=0,得x=1,∴点C
k
的坐标为(1,0).结合题中图象可知,0<x+m≤ 的解集为1<x≤2.
x
16.如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A,D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半
k
轴上,点F在AB上,点B,E在反比例函数y= 的图象上,且OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边
x
长为 .
【答案】2k
【解析】 因为OA=1,OC=6,所以点B的坐标为(1,6).因为点B在反比例函数y= 的图象上,
x
6
所以k=6,所以y= .设正方形ADEF的边长为a,则点E的坐标为(a+1,a).因为点E在反比例
x
6
函数y= 的图象上,所以a(a+1)=6,所以a=2或a=-3(不合题意,舍去).故正方形ADEF的边长
x
为2.
2
17.如图,直线y=kx(k<0)与双曲线y=- 交于A(x , y ),B(x , y )两点,则3x y -8x y 的值
x 1 1 2 2 1 2 2 1
为 .
【答案】-10
2
【解析】 ∵直线y=kx(k<0)与双曲线y=- 交于A(x,y),B(x,y)两点,∴xy=-2,xy=-2,x=-
x 1 1 2 2 1 1 2 2 1
x,y=-y ,∴xy=-x y,xy=-x y,∴3xy-8xy=-3xy+8xy=(-3)×(-2)+8×(-2)=-10.
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
k
18.如图,△AOB的边OB在x轴上,反比例函数y= (x>0,k>0)的图象经过点A,且交AB边于点
x
C,过点A,C分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,若△AOB的面积为6,OD=DE=EB,则反比例
函数的表达式为 .
4
【答案】y=
x
【解析】 因为△AOB的面积为6,OD=DE=EB,所以OB=3OD,所以△AOD的面积为2,所以
4
k=4,所以y= .
x
三、解答题(本大题共5小题,共46分)
19.(8分)某汽车油箱的容积为70 L,小王把油箱加满油后准备驾驶汽车从县城到300 km外的
省城接客人,在接到客人后立即按原路返回,请回答下列问题:
(1)油箱加满油后,汽车能够行使的总路程y(单位:km)与平均耗油量x(单位:L/km)之间有怎样
的函数关系?(2)如果小王以平均每千米耗油0.1 L的速度驾驶汽车到达省城,在返程时由于下雨,小王降低
了车速,此时每行驶1 km的耗油量增加了一倍,如果小王一直以此速度行驶,油箱里的油是否
够回到县城?如果不够用,至少还需加多少油?
【解析】 (1)由题意,得xy=70,故油箱注满油后,汽车能够行驶的总路程y与平均耗油量x之
70
间的函数关系式为y= (x>0).
x
(2)∵0.1×300=30(L),0.2×300=60(L),30+60=90>70,
∴油箱里的油不够用.
30+60-70=20(L).
答:油箱里的油不够回到县城,至少还需加20 L油.
20.(8分)如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,-2).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移√5个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状,并
证明你的结论.
k
【解析】 (1)设反比例函数的表达式为y= (k≠0).
x
∵点A(m,-2)在直线y=2x上,∴-2=2m,
∴m=-1,∴A(-1,-2).
k k
又∵点A在y= 的图象上,∴-2= ,∴k=2,
x -1
2
∴反比例函数的表达式为y= .
x
(2)四边形OABC是菱形.证明如下:
∵A(-1,-2),∴OA=√12+22=√5.
由题意知,CB∥OA且CB=√5,∴CB=OA,
∴四边形OABC是平行四边形.
2 2
∵点C(2,n)在y= 的图象上,∴n= =1,
x 2
∴C(2,1),∴OC=√22+12=√5,
∴OC=OA,∴四边形OABC是菱形.
2
21.(8分)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,m),B(-2,n)两点,一
x
次函数图象与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)求一次函数的表达式;2
(2)观察图象,写出 >kx+b时自变量x的取值范围;
x
(3)连接OA,在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P,使得S =2S ?若存在,请求
△OCP △OCA
出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
【解析】 (1)∵反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A,B,点A,B的横坐
x
标分别为1,-2,
∴A(1,2),B(-2,-1).
{ k+b=2,
把A,B的坐标代入y=kx+b,得
-2k+b=-1,
{k=1,
解得
b=1,
∴一次函数的表达式为y=x+1.
2
(2)由题中图象可得, >kx+b时自变量x的取值范围是x<-2或0<x<1.
x
(3)存在.
2
设点P(a, ),由题意可得点C(0,1),
a
∵S =2S ,
△OCP △OCA
1 1
∴ ×(-a)×1=2× ×1×1,解得a=-2,
2 2
∴P(-2,-1).
22.(10分)某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本、降价促销的原则,使生产的玩具能够
全部售出.据市场调查,若每个玩具按280元销售,每月可销售300个;若销售单价每降低1元,
每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月销售量y(个)满足如下关系.
月销售量y/个 … 160 200 240 300 …
每个玩具的固定成本Q/元 … 60 48 40 32 …
(1)写出月销售量y(个)与销售单价x (元)之间的函数关系式;
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月销售量y(个)之间的函数关系式;
(3)若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?
(4)若该厂这种玩具的月销售量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元? 销售单
价最低为多少元?
【解析】 (1)由题意得y=300+2×(280-x)=-2x+860,
即月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2x+860.(2)观察题中表格中的数据,可知两个变量的乘积为定值,因此固定成本Q与月销售量y之间
存在反比例函数关系.
k
设Q= (k≠0),
y
将(160,60)代入,得k=9 600,
9600
∴固定成本Q(元)与月销售量y(个)之间的函数关系式为Q= .
y
9600
(3)将Q=30代入Q= ,得y=320.
y
将y=320代入y=-2x+860,得x=270.
1
∵30÷270= ,
9
1
∴每个玩具的固定成本为30元时,它占销售单价的 .
9
9600
(4)由(2)知Q= (y>0),
y
∵k=9 600>0,
∴其图象在第一象限,且Q随y的增大而减小.
9600
∴当y=400时,Q取最小值,最小值为 =24.
400
即当这种玩具的月销售量不超过400个时,每个玩具的固定成本至少为24元.
由(1)知y=-2x+860,
∵-2<0,∴y随x的增大而减小.
∴当y=400时,x取最小值,最小值为230.
即当这种玩具的月销售量不超过400个时,销售单价最低为230元.
2 k
23.(12分)如图1,反比例函数y= (x>0)和y= (k<0,x<0)的图象分别是l 和l.射线OM交l 于
x x 1 2 1
点A(1,a),射线ON交l 于点B,∠MON=90°,连接AB交y轴于点P,AB∥x轴.
2
(1)求k的值;
(2)如图2,将∠MON绕点O旋转,射线OM始终在第一象限,且交l 于点C,射线ON在第二象
1
DO
限,且交l 于点D,连接CD交y轴于点Q,在旋转的过程中, 的值是否发生变化?若不变化,
2 CO
DO
求出 的值;若变化,请说明理由.
CO
4 3
(3)在(2)的旋转过程中,当点Q为CD的中点时,问点( , )是不是直线CD与l 的另一个交点?
3 2 1
请说明理由.图1 图2
2
【解析】 (1)将A(1,a)代入y= ,得a=2,
x
∴点A的坐标为(1,2),
∵AB∥x轴,∴AB⊥OP,∴OP=2,AP=1.
易证△OPA∽△BPO,
OP AP OP2
∴ = ,即BP= =4.
BP OP AP
∵点B在第二象限,∴点B的坐标为(-4,2).
k
将B(-4,2)代入y= ,得k=-8.
x
DO
(2) 的值不变.
CO
8
由(1)可知,l 的函数表达式为y=- .
2 x
如图,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F.
2 8
设OE=m,OF=n,则C(m, ),D(-n, ),
m n
2 8
∴CE= ,DF= .
m n
DF OF DO
易证△DFO∽△OEC,∴ = = ,
OE CE OC
8 n
∴n= 2 ,∴m2n2=16.
m m
∵m>0,n>0,
4 4
∴mn=4,∴n= ,即OF= ,
m m
DO 4 2
∴ = ÷ =2.
OC m m4 3
(3)点( , )是直线CD与l 的另一个交点.理由如下:
3 2 1
当点Q为CD的中点时,OE=OF,
4
∴m= .
m
∵m>0,∴m=2,
∴C(2,1),D(-2,4),
设直线CD的表达式为y=k x+b,则
1
3
{k =- ,
{2k +b=1, 1 4
1
解得
-2k +b=4, 5
1 b= ,
2
3 5
∴直线CD的表达式为y=- x+ .
4 2
4 2 3 5 3
把x= 分别代入y= 和y=- x+ ,可得y都等于 ,
3 x 4 2 2
4 3
∴点( , )是直线CD与l 的另一个交点.
3 2 1
