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3.2 平面直角坐标系
7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（6道）
一、直角坐标系中点的坐标
1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）点C在第四象限内，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
则点C的坐标是（ ）
A．(3,−5) B．(−3,5) C．(5,−3) D．(−5,3)
【答案】A
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据第四象限点的横坐标为正数，纵坐标为负数，进行作答即可．
【详解】解：∵点C在第四象限内，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点C的坐标是(3,−5)，
故选：A
2．（24-25七年级下·天津和平·期末）在方格纸上有A，B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则
点A的坐标为(−1,2)．若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（ ）
A．(1,2) B．(1,−2) C．(−1,2) D．(−1,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．当坐标系原点改变时，点的
坐标会相应改变．原题中，以B为原点时A的坐标为(−1,2)，说明A在B的左1单位、上2单位的位置．因
此，以A为原点时，B的坐标应为原坐标的相反数．
【详解】以B为原点时，A的坐标为(−1,2)，表示A在B左侧1个单位、上方2个单位的位置．
当以A为原点时，B的位置相对于A应向右移动1个单位，向下移动2个单位，
因此B的坐标为(1,−2)．
故答案选：B．
3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）方格纸上有A，B两点，若以B为原点建立平面直角坐标系，则点A
的坐标为(3,−1)，若以A为原点建立平面直角坐标系（横轴与纵轴的正方向与原平面直角坐标系一致），
则点B的坐标为（ ）
A．(3,1) B．(3,−1) C．(−3,1) D．(−3,−1)
【答案】C【分析】本题考查坐标系原点变化时点的坐标变化规律．当原点由B变为A时，点B的新坐标是原坐标的
相反数．
【详解】解：以B为原点时，A的坐标为(3,−1)，
则：A在B的右3个单位、下1个单位处．
当以A为原点时，B的位置相对于A应为左3个单位、上1个单位处，
故B的坐标为(−3,1)．
故选C．
4．（天津市西青区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）已知点P(x,y)在第三象限，且到x
轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点P的坐标是（ ）
A．(−6,−4) B．(−4,−6) C．(4,6) D．(6,4)
【答案】A
【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据第三象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离与坐标的关
系求解．
【详解】∵点P(x,y)在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，
∴点P的坐标为(−6,−4)，
故选：A．
二、判断点所在象限
1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）点(−1,π)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点(−1,π)在第二象限，
故选：B
2．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知x，y满足(x−y) 2+❑√x+2025=0，则在直角坐标系中，点
P(x,y)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由非负数性质可知，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必为零，由此可解出x和y的值，进而
确定点P所在的象限．
【详解】解：∵ (x−y) 2+❑√x+2025=0，(x−y) 2≥0，❑√x+2025≥0，
∴x−y=0且 x+2025=0，
∴ x= y，x=−2025，
∴ y=−2025，
∴P(−2025,−2025)，
∴点P(x,y)位于第三象限．
故选：C．
3．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．(5,2) B．(−4,−2) C．(3,−4) D．(−4,2)
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴
上的点的特征即可判断．
【详解】解：A．(5,2)在第一象限，故本选项不合题意；
B．(−4,−2)在第三象限，故本选项不合题意；
C．(3,−4)第四象限，故本选项不合题意；
D．(−4,2)在第二象限，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若点A(a，b)在第二象限，则点B(−a，b+1)在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限
（+，+） ；第二象限（−，+）；第三象限（−，−）；第四象限（+，−）．
根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可
得B点的坐标符号．
【详解】解：∵点A(a,b)在第二象限，则a<0（横坐标为负），b>0（纵坐标为正）；
∴点B(−a,b+1)的横坐标为−a，因为a<0，所以−a>0（正数）；
∴点B的纵坐标为b+1；由于b>0，则b+1>1>0（仍为正数）；
∴ 因此，点B的横、纵坐标均为正，位于第一象限；故选：A .
三、已知点所在象限求参数
1（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，若点A(2,m)在x轴上，则点B(m−1,2+m)所
在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．根据x轴上点的坐标特征确定m的值，再代入点B
的坐标，判断其所在象限．
【详解】解：点A(2,m)在x轴上，因此其y坐标为0，即m=0．
将m=0代入点B的坐标，得B(−1,2)．
判断坐标(−1,2)的符号：横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限．
故选：B．
2．（24-25七年级下·西藏·期中）点P(m−2,m+5)在y轴上，则m等于（ ）
A．2 B．5 C．−2 D．−5
【答案】A
【分析】本题考查了点在y轴上的坐标特征．根据点在y轴上的坐标特征，横坐标为0计算即可．
【详解】解：∵点P(m−2,m+5)在y轴上，
∴m−2=0，
解得：m=2
故选：A．
3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知AB∥y轴，A(1,−2)，且AB=4，B点在第四象限，则B点的
坐标为 ．
【答案】(1,−6)
【分析】本题考查了平行于y轴的直线上的点的坐标特征以及判断点所在象限，理解并掌握相关知识是解
题关键．首先根据平行于y轴的直线上的点的坐标特征为“横坐标相等”确定B点的横坐标，然后分点B在
点A上方和点B在点A下方两种情况分别判断，即可获得答案．
【详解】解：设B(m,n)，
∵A点的坐标为(1,−2)，且AB∥y轴，
∴m=1，
∵AB=4，∴|n+2)=4，
∴n=2或n=−6，
∴当点B在点A上方时，B(1,2)，此时该点位于第一象限，不符合题意；
当点B在点A下方时，B(1,−6)，此时该点位于第四象限，符合题意．
故答案为：(1,−6)．
4．（24-25七年级下·天津河东·期末）已知点P(a+3,2a+4)在x轴上，a= ．
【答案】−2
【分析】本题考查根据点的位置，求点的坐标，根据x轴上的点的纵坐标为0，得到2a+4=0，进行求解
即可．
【详解】解：由题意，得：2a+4=0，
∴a=−2；
故答案为：−2
5．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知点M(3a−4,2a−6)在第四象限的角平分线上， 则a的值
为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是根据第四象限的角平分线上点的坐标特点得出关于a的方
程．根据第四象限的角平分线上点的横纵坐标是互为相反数列出关于a的方程，解之即可．
【详解】解：∵点M(3a−4,2a−6)在第四象限的角平分线上，
∴3a−4+2a−6=0，
解得a=2，
故答案为：2．
四、坐标系描点
1．（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(3,5)，(1,1)，
(4,2)．若存在点C，使得直线AP平分△ABC的面积，(6,5)，(6,6)，(7,3)，(7,4)这四个点中，可作为点C
的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出
点是解题的关键．
先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出S ，S ，再比较即可．
△ABP △APC
【详解】解：如图，连接AP，CP，
∵A(3,5)，B(1,1)，P(4,2)，
1 1 1
S =4×3− (3−1)×(5−1)− ×3×1− ××1=5
△ABP 2 2 2
当点C坐标为(6,5)时，
1 1 9
∴S =3×3− (4−3)×(5−2)− (6−4)×(5−2)= ，
△APC 2 2 2
∴S ≠S
△APC △ABP
∴AP不能平分△ABC的面积，
故点C坐标不能为(6,5)；
当点C坐标为(6,6)时，1 1 1
∴S =3×4− (4−3)×(5−2)− (6−4)×(6−2)− (6−3)(6−5)=5，
△APC 2 2 2
∴S =S ，即AP平分△ABC的面积，
△APC △ABP
故点C坐标能为(6,6)；
当点C坐标为(7,3)时，
1 1 1
∴S =4×3− (4−3)×(5−2)− (7−4)×(3−2)− (7−3)(5−3)=5
△APC 2 2 2
∴S =S ，即AP平分△ABC的面积，
△APC △ABP
故点C坐标能为(7,3)；
当点C坐标为(7,4)时，
1 1 1 11
∴S =4×3− (4−3)×(5−2)− (7−4)×(4−2)− (7−3)(5−4)=
△APC 2 2 2 2
∴S ≠S ，
△APC △ABP
∴AP不能平分△ABC的面积，
故点C坐标不能为(7,4)；
综上，可作为点C的有(6,6)和(7,3)，共2个，
故选：B．
2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是(−2,3)，实验室的
位置是(1,4)．
(1)在学校的平面示意图中建立平面直角坐标系；
(2)已知办公楼的位置是(−2,1)，教学楼的位置是(2,2)，在图中标出办公楼和教学楼的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的建立与点的坐标的应用，熟练掌握平面直角坐标系的构成及点
的坐标表示位置的方法是解题的关键．
（1）设旗杆所在位置为A(−2,3)，实验室所在位置为B(1,4)．观察可知，可将旗杆向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点作为坐标原点(0,0)．即坐标原点为过旗杆水平向右2格，竖直向下3格的点，以此
建立平面直角坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上．
（2）在已建立的平面直角坐标系中，办公楼坐标为(−2,1)，即从原点向左2个单位，向上1个单位的点；
教学楼坐标为(2,2)，即从原点向右2个单位，向上2个单位的点，据此在图中标出相应位置．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
3．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知点A，B，C，D的坐标分别为(−2,1),(−3,−2),(3,−2),(1,2)．
(1)请你在平面直角坐标系中分别描出点A，B，C，D，并顺次连接AB,BC,CD,DA．
(2)在（1）的作图下，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析(2)16
【分析】（1）根据点坐标描点确定位置，连接解答即可．
（2）利用分割法求面积解答即可．
本题考查了坐标与位置，图形的面积，熟练掌握坐标与位置，分割法求面积是解题的关键．
【详解】（1）解：根据点A，B，C，D的坐标分别为(−2,1),(−3,−2),(3,−2),(1,2)，画图如下：
．
1 1
（2）解：根据题意，得S =3×3+2× ×1×3+ ×2×4=16．
四 边 形ABCD 2 2
4．（24-25七年级下·江苏南通·期中）在直角坐标系内描出各点，并依次用线段连接各点：A(0,0)，
B(9,0)，C(7,5)，D(2,7)．并求这个四边形ABCD的面积．
【答案】描点见解析，四边形ABCD的面积为42．
【分析】本题考查了点的坐标，三角形的面积，梯形的面积，首先在平面直角坐标系中，描出各点即可，
过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，根据S =S +S +S 即可求解，
四 边 形ABC△DAFD 梯 形CEF△DBCE
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：平在面直角坐标系中，描出各点如图，过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，
∴S =S +S +S
四 边 形ABC△DAFD 梯 形CEF△DBCE
1 1 1
= ×2×7+ ×(5+7)×5+ ×2×5
2 2 2=7+30+5
=42．
5．（24-25七年级下·天津东丽·期中）四边形的各顶点坐标分别是A(−4,−2)，B(3,−2)，C(2,2)，
D(−2,3)．
(1)在给出的平面直角坐标系中描出点A，B，C，D；
(2)求出四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)25
【分析】本题考查坐标与图形性质，解题关键是利用了平面直角坐标系与点的关系．
（1）在平面直角坐标系中描出A，B，C，D各点的位置即可；
（2）顺次连接A，B，C，D即可得到四边形ABCD，根据一个梯形面积和两个直角三角形的面积之和即
可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求，1 1 1
（2）四边形ABCD的面积= ×2×5+ (5+4)×4+ ×1×4=25．
2 2 2
五、坐标系点的规律探究
1．（湖北省咸宁市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图，正方形ABCD的顶点A的坐标
为(−2,0)，顶点B的坐标为(1,0)，动点P从点A出发，沿着正方形的边按逆时针方向（
A−B−C−D−A−B−⋯）不停地移动，每次移动2个长度单位，移动1次后点P的坐标为(0,0)，移动
2次后点P的坐标为(1,1)，移动3次后点P的坐标为(1,3)，移动4次后点P的坐标为(−1,3)，…，依此类推，
移动2025次后点P的坐标为（ ）
A．(0,3) B．(−1,3) C．(−2,0) D．(1,3)
【答案】D
【分析】本题考查点平移的坐标变换，通过观察分析，总结归纳出点P的坐标变化规律是解题的关键．
通过求出移动5次后点P的坐标为(−2,2)，移动6次后点P的坐标为(−2,0)，移动7次后点P的坐标为(1,1)，
移动8次后点P的坐标为(1,3)，…，总结归纳得出点P每运动6次一循环，再根据2025÷6=337...3，即
可求解．
【详解】解：动点P从点A出发，沿着正方形的边按逆时针方向（A−B−C−D−A−B−⋯）不停地移
动，每次移动2个长度单位，
移动1次后点P的坐标为(0,0)，
移动2次后点P的坐标为(1,1)，
移动3次后点P的坐标为(1,3)，
移动4次后点P的坐标为(−1,3)，
移动5次后点P的坐标为(−2,2)，
移动6次后点P的坐标为(−2,0)，
移动7次后点P的坐标为(1,1)，
移动8次后点P的坐标为(1,3)，
…∴点P每运动6次一循环，
∵2025÷6=337...3，
∴移动2025次后点P的坐标为(1,3)，
故选：D．
2．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(−1,1)，C(−1,−2)，
D(1,−2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，
并按A→B→C→D→A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
（ ）
A．(−1,1) B．(1,−2) C．(1,1) D．(0,−2)
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据点的坐标求出绕四边形ABCD一周的长度，从而确定2022个单
位长度的细线的另一端落在第203圈的第二个单位长度，即可得到答案．
【详解】解：∵A(1,1)，B(−1,1)，C(−1,−2)，D(1,−2)，
∴AB=2，BC=3，CD=2，AD=3，
∴绕四边形ABCD一圈的长度为2+3+2+3=10，
∵2022÷10=202⋯2，
∴细线另一端所在位置为第203圈的第二个单位长度，即点B位置，
∴细线另一端所在位置的点的坐标是(−1,1)，
故选：A．
3．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O ，O ，O ，
1 2 3
π
…，组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则经
2
过2025s时，点P的坐标是（ ）A．(2022,1) B．(2023,0) C．(2024,−1) D．(2025,1)
【答案】D
【分析】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
1
【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为 ×2π×1=π，
2
π
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，
2
1
∴点P每秒走 个半圆，
2
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1s时，点P的坐标为(1,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2s时，点P的坐标为(2,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3s时，点P的坐标为(3,−1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4s时，点P的坐标为(4,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5s时，点P的坐标为(5,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6s时，点P的坐标为(6,0)，…，
∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1，0，−1，0为一个周期依次循环，
∵2025÷4=506⋯⋯1，
∴P的坐标是(2025,1)．
故选：D．
4．（重庆市大足区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，
A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，A (1,−1)，A (2,−1)，A (2,0)，A (2,1)，A (3,1)…，按这样的规律，
1 2 3 4 5 6 7 8
则点A 的坐标为（ ）
20
A．(6,1) B．(7,1) C．(7,0) D．(7,−1)【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，熟练掌握通过找循环节、分析余数确定点
坐标的方法是解题的关键．观察点的坐标规律，可发现每6个点为一组循环，计算20除以6的余数，确定
A 在循环组中的位置，进而推出其坐标．
20
【详解】解：找规律：
A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，A (1,−1)，A (2,−1)，A (2,0)；
1 2 3 4 5 6
A (2,1)，A (3,1)，A (3,0)，A (3,−1)，A (4,−1)，A (4,0)…
7 8 9 10 11 12
可见每6个点循环一次，循环节内点坐标变化有规律．
20÷6=3⋯⋯2，即经过3个完整循环，余下2个点．
一个循环节对应x坐标增加2（如A −A ，x从0到2 ），3个循环后x坐标为3×2=6 ．
1 6
余下2个点，对应循环节内第2个点（A 、A 等），其坐标特征为(n,1)（n 为对应x值 ），这里
2 8
n=6+1=7（因为余下2个点，第一个循环节A 是(1,1)，第二个循环节A 是(3,1)，规律是循环节内第2
2 8
个点x坐标为循环次数对应的x值加1 ）．
∵ 循环规律及计算得 A 坐标符合(7,1)特征
20
∴A (7,1)
20
故选：B ．
六、已知两点坐标求两点距离
1．（24-25八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，点P(1，2)到原点的距离是（ ）
A．❑√5 B．❑√3 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的距离公式．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用
勾股定理直接计算即可．
【详解】解：点P(1，2)到原点的距离是❑√(1−0) 2+(2−0) 2=❑√12+22=❑√1+4=❑√5
故选：A．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，A(3,2)，B(0,4)，则AB的长为 ．
【答案】❑√13
【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌
握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】解：∵A(3,2)，B(0,4)，∴AB=❑√(3−0) 2+(2−4) 2=❑√13，
故答案为：❑√13．
3．（24-25八年级下·福建福州·期中）材料：如果平面直角坐标系内有两点M(x ,y )，N(x ,y )，那么
1 1 2 2
这两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即|x −x )（或
1 2
|y −y )），那么根据勾股定理，其两点间的距离MN=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2．例如：M(2,1)，N(3,2)，
1 2 1 2 1 2
则MN=❑√(2−3) 2+(1−2) 2=❑√2．
解决问题：
(1)如图，已知A(3,7)，B(−3,−1)，则AB两点的横向距离BC=_____，纵向距离AC=_____，根据勾股
定理可得AB=_____；
(2)若点A(3,3)，点B在x轴上，AB=5，请根据上述材料，求点B坐标；
【答案】(1)6；8；10
(2)(7,0)或(−1,0)
【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标间的距离，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意
是解题关键．
（1）根据题目所给两点间的距离公式求解即可．
（2）设B(x,0)，根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可．
【详解】（1）解：∵A(3,7)，B(−3,−1)，
∴AB两点的横向距离BC=|3−(−3))=6，纵向距离AC=|7−(−1))=8，
AB=❑√[3−(−3)) 2 +[7−(−1)) 2 =10；（2）解：∵点B在x轴上，
∴设B(x,0)，
∴AB=❑√(x−3) 2+32=5，
∴(x−3) 2+9=25，即(x−3) 2=25−9=16，
∴x−3=4或x−3=−4，
∴x=7或x=−1，
∴点B坐标为(7,0)或(−1,0)．
七、求点到坐标轴的距离
1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）点P(m,n)在第三象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，则
点P坐标为 ．
【答案】(−2,−5)
【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：
第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)，注意点到x轴的距离是纵坐标的绝
对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得
答案．
【详解】解：点P(m,n)在第三象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，则点P坐标为(−2,−5)，
故答案为：(−2,−5)．
2．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）若点P的坐标是(3,−2)，则它到x轴的距离是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查点的坐标，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：点P到x轴的距离是|−2|=2，
故答案为：2．
3.（24-25七年级下·西藏·期中）已知点P在第二象限，且到x轴和y轴距离分别是3和2，则点P的坐标为
．
【答案】(−2,3)
【分析】本题主要考查了点到坐标轴距离，以及各象限内点的坐标特征．根据点到x轴距离等于纵坐标绝
对值，到y 距离等于横坐标绝对值，结合点P在第四象限，即可得出结论．
【详解】解：设点P的坐标是(x,y)，∵点P到x轴和y轴距离分别是3和2，
∴|y)=3，|x)=2，
∴x=±2，y=±3，
∵点P在第二象限，
∴x<0，y>0，
∴x=−2，y=3，
∴点P的坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)．
4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）P点横坐标是−3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是 ．
【答案】(−3,5)或(−3,−5)
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离
等于横坐标的绝对值是解题的关键．
根据点P到x轴的距离为5，可得点P的纵坐标是5或−5，即可求解．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为5，
∴点P的纵坐标是5或−5，
∵点P的横坐标是−3，
∴点 P的坐标为(−3,5)或(−3,−5)
故答案为：(−3,5)或(−3,−5)．
5．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M (x ,y )，
1 1 1
M (x ,y )，我们把d=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2叫做M ，M 两点间的距离，记作d(M ,M )．如
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A(−2,3)，B(2,5)，则d(A,B)=❑√(−2−2) 2+(3−5) 2=2❑√5．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若A(3❑√2,0)，B(0,4❑√2)，直接写出d(A,B)的值；
(2)当A(a,1)，B(−1,4)的距离d(A,B)=5时，求出a的值；
(3)若在平面内有一点C(x,y)，使式子❑√(x+1) 2+(y−4) 2+❑√(x−3) 2+(y+1) 2有最小值，请求出这个最
小值．
【答案】(1)5❑√2；(2)a=3或−5
(3)❑√41
【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键．
（1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案；
（2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案；
（3）由材料中两点之间的距离公式，理解❑√(x+1) 2+(y−4) 2+❑√(x−3) 2+(y+1) 2表示动点C(x,y)到定
点(−1,4)的距离与动点C(x,y)到定点(3,−1)的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ A(3❑√2,0),B(0,4❑√2)，
由材料中两点之间的距离公式可知d(A,B)=❑√(3❑√2−0) 2+(0−4❑√2) 2=5❑√2；
（2）解：∵ A(a,1),B(−1,4)，d(A,B)=5，
∴ d(A,B)=5=❑√(a+1) 2+(1−4) 2=❑√(a+1) 2+9，即(a+1) 2+9=25，
∴(a+1) 2=16，解得a+1=±4，即a=3或a=−5；
（3）解：由材料中两点之间的距离公式可知❑√(x+1) 2+(y−4) 2+❑√(x−3) 2+(y+1) 2表示动点C(x,y)到
定点(−1,4)的距离与动点C(x,y)到定点(3,−1)的距离之和，
∴根据两点之间线段最短，要使式子❑√(x+1) 2+(y−4) 2+❑√(x−3) 2+(y+1) 2有最小值，则三点共线，且
C在两个定点之间，
则这个最小值为❑√(3+1) 2+(4+1) 2=❑√41．
1．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，O是坐标原点，O (1,2)、O (2,1)、O (3,3)、O (4,2)、
1 2 3 4
O (5,4)、…，按此规律进行下去，则点O 的坐标是（ ）
5 2025A．(2025,1014) B．(2025,1013) C．(2024,1012) D．(2024,1013)
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，根据题意得到当Q 为奇数项时的坐标规律是解题的关键．根据题
n
意可知当Q 为奇数项时，其横坐标为n，纵坐标依次为2，3，4，5，……，设奇数
n
n+1
n=2k−1(k=1,2,3,……)，则对应的纵坐标为k+1，然后由k= ，用n表示出纵坐标，得到规律，即
2
可解题．
【详解】解：∵2025为奇数，根据题意，O (1,2)、O (3,3)、O (5,4)、O (7,5)、……
1 3 5 7
∴当Q 为奇数项时，其横坐标为n，纵坐标依次为2，3，4，5，……
n
设奇数n=2k−1(k=1,2,3,……)，
则对应的纵坐标为k+1，
n+1
此时k= ，
2
n+1 n+3
∴奇数项的纵坐标为 +1= ，
2 2
(
n+3)
∴当Q 为奇数项时，其坐标为 n, ，
n 2
∴Q (2025,1014)．
2025
故选：A．
2．（24-25七年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，一个阴影区域如图所示，已知点A(2,15)，
B(❑√5,3)，C(−5,2)，D(−0.5,❑√15)，则在阴影区域内的点是（ ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】此题主要考查了点的坐标以及无理数的大小估算，根据阴影区域的横纵坐标范围判断即可，正确
掌握各象限内点的坐标特点以及无理数的大小估算是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，阴影区域横坐标范围是−1≤x≤3，纵坐标范围是0≤ y≤3.5，
A、由A(2,15)，可知15>3.5，
∴不在阴影区域内，不符合题意；
B、由B(❑√5,3)，可知2<❑√5<3,0<3<3.5，
∴在阴影区域内，符合题意；
C、由C(−5,2)，可知−5<−1，
∴不在阴影区域内，不符合题意；
D、D(−0.5,❑√15)，可知4<❑√15<5，
∴不在阴影区域内，
故选：B．
3．（24-25七年级下·重庆开州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从(0,−1)处出发，沿着箭头所
示方向运动，每当碰到射线CD或射线AB时都会反弹，第一次碰到射线时的坐标为(1,−2)，第二次为
(4,1)，第三次为(7,−2)…，当第29次碰到射线时的坐标为（ ）
A．(87,1) B．(88,1) C．(85,−2) D．(88,−2)【答案】C
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，找出规律是解题的关键．
根据碰到射线时的坐标得到奇数次纵坐标为−2，奇数次横坐标为次数的3倍减2，据此即可求解．
【详解】解：第一次碰到射线时的坐标为(1,−2)，
第二次为(4,1)，
第三次为(7,−2)
第四次为(10,1)
第五次为(13,−2)
⋮
以此类推，奇数次纵坐标为−2，
奇数次横坐标为次数的3倍减2，
∴第29次碰到射线时的横坐标为29×3−2=85，纵坐标为−2，
故选：C．
4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单
位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点(1,0)，(2,0)的位置，然后向右滚动，第1次
滚动使点C落在点(3,0)的位置，第2次滚动使点D落在点(4,0)的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2024
次滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A．(2023,0) B．(2024,0) C．(2024,1) D．(2025,0)
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标的规律，列举几次滚动后A点的坐标，找到滚动次数与A点坐标之间的规律，
据此即可求解，找到滚动次数与A点坐标之间的规律是解题的关键．
【详解】解：滚动1次后，A (2,1)，
1
滚动2次后，A (4,1)，
2
滚动3次后，A (5,0)，
3
滚动4次后，A (5,0)，
4
滚动5次后，A (6,1)，
5⋯，
每滚动4次为1个循环 ，
∴A (4n+2,1)，A (4n+4,1)，A (4n+5,0)，A (4n+5,0)，
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2024÷4=505…4，
∴A (4×505+5,0)，即A (2025,0)，
2024 2024
故选：D．
5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点P(a+1,❑√a+1)在第 象限．
【答案】一
【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，点的坐标，先根据算术平方根的定义得到a≥0，进而判断点
的横、纵坐标的取值范围解答即可．
【详解】解：∵❑√a有意义，
∴a≥0，
∴a+1>0，❑√a+1>0，
∴点P(a+1,❑√a+1)在第一象限，
故答案为：一．
6．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点P(2a−3,a+6)，解答以下问题：
(1)若点P在第二象限的角平分线上，求点P的坐标．
(2)已知直线PQ∥y轴，且点Q的坐标为(3,−2)，求点P的坐标．
【答案】(1)P(−5,5)
(2)P(3,9)
【分析】（1）根据第二象限角平分线的性质，第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，据此列
出关于a的方程求解，进而得到点P坐标．
（2）依据平行于y轴的直线上的点横坐标相等这一性质，列出关于a的方程求解，从而确定点P坐标 ．
本题主要考查了平面直角坐标系中象限角平分线的性质以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，熟练掌
握这些性质和特征是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点P(2a−3,a+6)在第二象限的角平分线上，
∴(2a−3)+(a+6)=0
∴a=−1
∴P(−5,5)
（2）解：∵PQ∥y轴，且点Q的坐标为(3,−2)∴2a−3=3
∴a=3．
∴P(3,9)
7．（24-25七年级下·山西忻州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较
大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点A(−3,5)的“长距”为______；
(2)若点B(4−2a,−2)是“完美点”，求a的值；
(3)若点C(−2,3b−2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9−2b,−5)，试说明：点D是
“完美点”．
【答案】(1)5
(2)a=1或a=3
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题
目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点A(−3,5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5．
（2）解：点B(4−2a,−2)是“完美点”，
∴|4−2a)=|−2)，
∴4−2a=2或4−2a=−2，
解得：a=1或a=3；
（3）解：点C(−2,3b−2)的长距为4，且点C在第二象限内，
∴ 3b−2=4，解得b=2，
∴9−2b=5，
∴点D的坐标为(5,−5)，
∵点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴D是“完美点”．
8．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知点P(5−2m,3m+6)，分别根据下列条件求出点P的坐标．(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P到两坐标轴的距离相等；
(4)点P与点Q(4,3)的连线平行于x轴．
【答案】(1)P(9,0)
( 27)
(2)P 0,
2
(27 27)
(3) , 或(27,−27)
5 5
(4)P(7,3)
【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键：
（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可；
（2）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可；
（3）根据点P到两坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可；
（4）根据平行于x轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点P在x轴上，
∴纵坐标为0，即3m+6=0
∴m=−2，
∴P(9,0)；
（2）∵点P在y轴上，
∴横坐标为0，即5−2m=0，
5
∴m= ，
2
( 27)
∴P 0, ；
2
（3）∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数
1
∴①5−2m=3m+6，即m=− ；
5
(27 27)
∴P , ；
5 5
②(5−2m)+(3m+6)=0，即m=−11，
∴P(27,−27)；(27 27)
综上：P , 或P(27,−27)；
5 5
（4）∵点P与点Q(4,3)的连线平行于x轴，
∴点P的纵坐标是3，
即：3m+6=3，
∴m=−1，
∴P(7,3)．
9．（21-22八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(b,0)，C(−1,2)，且
❑√2a+4与|a+2b−4)互为相反数．
(1)求实数a与b的值；
1
(2)在y轴上存在点M，使得S = S ，求出点M的坐标（S表示面积）
△COM 2 △ABC
【答案】(1)a=−2，b=3
(2)(0,5)或(0,−5)
【分析】此题考查相反数，算术平方根，平面直角坐标系，坐标与图形性质，三角形的面积，能求出A、
B的坐标是解题的关键．
（1）根据相反数得出方程❑√2a+4+|a+2b−4)=0，求出a、b的值即可；
1
（2）求出AB的长，根据三角形的面积求出△ACB的面积，再根据S = S 求出OM，即可得出M
△COM 2 △ABC
的坐标．
【详解】（1）解：∵❑√2a+4与|a+2b−4)互为相反数，
∴❑√2a+4+|a+2b−4)=0，
∴2a+4=0，a+2b−4=0，
∴a=−2，b=3；
（2）∵a=−2，b=3，
∴A(−2,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−2)=5，
∵C(−1,2)，1
∴△ABC的面积= ×5×2=5，
2
1
∵在y轴上存在一点M，使S = S ，
△COM 2 △ABC
1 1
∴ ×OM×1= ×5，
2 2
解得：OM=5，
即M点的坐标是(0,5)或(0,−5)．
1．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的
点．其顺序按图中“→”方向依次排列：(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→⋯根据这个规律，
第2020个点的坐标为（ ）．
A．(45,5) B．(45,6) C．(45,7) D．(45,8)
【答案】A
【分析】按照正方形的个数，边上的点数为解题突破口，分析探索规律，解答即可．
本题考查的知识点是平面直角坐标系上的点坐标规律探究，解题关键是根据题意找到规律．
【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有1+3=4=22个点，且终点为(1,1)；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有1+3+5=9=32 个点，且终点为(3,0)；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有1+3+5+7=16=42个点，且终点为(1,3)；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有1+3+5+7+9=25=52个点，且终点为(5,0)；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1) 2个点，且终点为
(1,n)；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1) 2个点，且终点为
(n+1,0)；∵2025=452=(44+1) 2，
∴第44个正方形每条边上有45个点，连同前边所有正方形共有2025个点，且终点为(45,0)；
∴第2020个点，向上平移5个即(45,5)，
故选：A．
2．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点P(3,5)，Q(−1,5)，则线段PQ的长为
．
【答案】4
【分析】本题考查了求平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是观察两坐标的特征再求解．
根据两点的纵坐标相同，可知两点间的距离为横坐标的差（大的减小的）．
【详解】解：∵点P(3,5)，Q(−1,5)，它们的纵坐标相同，
∴PQ=3+(−1)=4，
故答案为：4．
3．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，规定点(x,y)的“豫点”是(y+2,−x+2)，例如：点
M(1,2)的“豫点”是(2+2,−1+2)即M (4,1)；点M (4,1)的“豫点”是(1+2,−4+2)即M (3,−2)；
1 1 2
…，则M 的“豫点”的坐标是 ．
2025
【答案】(3,−2)
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意先求得前几个点的坐标，找到规律，4次一循环，可得M
2025
和M (3,−2)一样，即可求解．
2
【详解】解：依题意，点M(1,2)的“豫点”是(2+2,−1+2)即M (4,1)；
1
点M (4,1)的“豫点”是(1+2,−4+2)即M (3,−2)；
1 2
点M (3,−2)的“豫点”是(−2+2,−3+2)即M (0,−1)
2 3
点M (0,−1)的“豫点”是(−1+2,0+2)即M (1,2)
3 4
点M (1,2)的“豫点”是(2+2,−1+2)即M (4,1)
4 5
点M (4,1)的“豫点”是(1+2,−4+2)即M (3,−2)，……
5 6
4次一循环，
∵2025÷4=506……1
∴M 的“豫点”的坐标是(3,−2)，
2025
故答案为：(3,−2)．
4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作CA⊥x轴于点
A(a,0)，点B(0,b)是y铀正半轴上的一点，且a、b满❑√a−3+|b−4)=0，S =9．
四边形AOBC(1)求C点坐标；
(2)D为x轴上一点，若S =5，求D点坐标；
△BCD
(3)在直线BC上有一点P，使3BP=4CP，求P点坐标．
【答案】(1)(3,2)；
(2)(1,0)或(11,0)；
12 20
(3)( , )或(12,−4)．
7 7
【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求
图形的面积是银题的关键．
（1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，再根据图形面积与坐标关
系求解即可；
（2）设点D的坐标为(x,0)，分三种情况：①当点D在OA上时，即0≤x≤3，②当点D在x轴负半轴上时，
即x<0，③当点D在点A右边时， i)3≤x≤6，ii) x>6，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当点P在点B、C之间时，②当点P在线段BC延长线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵❑√a−3+|b−4)=0
∵❑√a−3≥0，|b−4)≥0，
∴a−3=0，b−4=0，
解得：a=3，b=4，
∴A(3,0)，B(0,4)，
∵CA⊥x轴于点A(a,0)，
∴设点C的坐标为(3,c)，
1 1
∵S = (AC+OB)⋅OA= (c+4)×3=9
四边形AOBC 2 2
∴c=2
∴点C的坐标为(3,2)．
（2）解：设点D的坐标为(x,0)，分三种情况：①当点D在OA上时，即0≤x≤3，如图，
∵S =S −S −S
△BCD 四 边 形AOBC△ACD △BOD
1 1
∴5=9− (3−x)×2− x×4
2 2
解得：x=1
∴点D的坐标为(1,0)；
②当点D在x轴负半轴上时，即x<0，如图，
∵S =S +S −S
△BCD 四 边 形AOB△CBOD △ACD
1 1
∴5=9+ (−x)×4− (3−x)×2
2 2
解得：x=1不符合题意，舍去；
③当点D在点A右边时，i)3≤x≤6，如图，
∵S =S +S −S
△BCD 四 边 形AOB△CACD △BOD
1 1
∴5=9+ (x−3)×2− x×4
2 2
解得：x=1，不符合题意，舍去；ii) x>6，如图
∵S =S −S −S
△BCD △BOD 四 边 形AOBC△ACD
1 1
∴5= x×4−9− (x−3)×2
2 2
解得：x=11
∴点D的坐标为(11,0)；
综上，若S =5，点D的坐标为(1,0)或(11,0)．
△BCD
（3）解：∵3BP=4CP
4
∴BP= CP
3
∴点P在射线BC，分两种情况：①当点P在点B、C之间时，连接OP，OC，过点P作PM⊥OB于M，
PN⊥OA于N，如图，
1
∴S = OB⋅PM=2PM，
△OPB 2
1
S = OB⋅PM=6，
△OBC 2
∵3BP=4CP
∴BP:BC=4:7，
4
∴S = S ，
△OBP 7 △OBC4
∴2PM= ×6，
7
12
∴PM= ，
7
24
∴S =2PM=
△OPB 7
24 18
∴S =6− =
△OCP 7 7
∵S =S +S −S
△OCP △OPN 梯 形ACPN△OAC
18 1 12 1 ( 12) 1
∴ = × PN+ (PN+2) 3− − ×3×2
7 2 7 2 7 2
20
解得：PN= ，
7
(12 20)
∴P , ；
7 7
②当点P在线段BC延长线上时，连接OP，OC，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，延长CA交
PM于Q，如图，
1
∴S = OB⋅PM=2PM，
△OPB 2
1
S = OB⋅PM=6，
△OBC 2
∵3BP=4CP，
∴BP:BC=4:1，
1
∴S = S ，
△OBC 4 △OBP
1
∴6= ×2PM，
4
∴PM=12，∴S =2PM=24
△OPB
∴S =24−6=18
△OCP
∵S =S +S −S
△OCP 梯 形OMQ△CPCQ △OPM
1 1 1
∴18= (2OM+2)×3+ (2+OM)(12−3)− OM×12
2 2 2
解得：OM=4
∵点P在第四象限，
∴P(12,−4)．
(12 20)
综上，点P的坐标为 , 或(12,−4)．
7 7
5．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和点B，若存在点C，使得
∠ABC=90°且BC=AB，这样得到的点C称为点A关于点B的“相关点”．
(1)如图1，已知点P的坐标为(3,1)，
①则点P关于点O的“相关点”坐标为_______；
②在D(1,3),E(1,2),F(2,−1)这三个点中，点P为点O关于点_______的“相关点”．
(2)如图2，若点A坐标为(0,2)，点B坐标为(a,0)，
①在下列三个点中：M(1,−1),N(−3,1),Q(2,−1)，能成为点A关于点B的“相关点”的是_______；
②直接写出点A关于点B的“相关点”的坐标_______（用a表示）．
【答案】(1)①(−1,3)或(1,−3)；②E,F
(2)①M,N；②(a+2,a)或(a−2,−a)
【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识，正确理解“相关点”的定义是解题
关键．
（1）①根据“相关点”的定义画出图形（见解析），过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，证出△OAG≌△POH，根据全等三角形的性质可得OG=PH=1，AG=OH=3，求出点A,B的坐
标，由此即可得；
②参考（1）的思路，过点K作KS⊥y轴于点S，过点P作x轴的垂线，交SK延长线于点，证出
△KOS≌△PKT，根据全等三角形的性质可得OS=KT，SK=PT，再求出OS,SK的长，可得点K的坐
标，同理可得点L的坐标，由此即可得；
（2）①当a>0时，如图（见解析），AB⊥DE，且AB=BD=BE，则点D,E即为所求，过点DF⊥x轴
于点F，证出△OAB≌△FBD，根据全等三角形的性质可得BF=OA=2，DF=OB=a，则可得点D的坐
标，利用中点公式可得点E的坐标；当a<0时，同样的方法可得点L,H的坐标，然后可得点A关于点B的
“相关点”的横、纵坐标满足关系，据此分析点M,N,Q即可得；
②由（2）①的方法即可得出答案．
【详解】（1）解：①如图，AB⊥OP，且OP=OA=OB，则点A,B即为所求．
过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
∴∠AGO=∠OHP=90°，
∴∠OAG+∠AOG=90°，
∵P(3,1)，
∴OH=3,PH=1，
∵AB⊥OP，
∴∠POH+∠AOG=90°，
∴∠OAG=∠POH，
在△OAG和△POH中，
{∠AGO=∠OHP=90°
)
∠OAG=∠POH ，
OA=PO∴△OAG≌△POH(AAS)，
∴OG=PH=1，AG=OH=3，
∴A(−1,3)；
同理可得：B(1,−3)；
∴点P关于点O的“相关点”坐标为(−1,3)或(1,−3)，
故答案为：(−1,3)或(1,−3)．
②当所求的点位于OP的上方时，
如图，OK⊥PK，且OK=PK，则点K即为所求．
过点K作KS⊥y轴于点S，过点P作x轴的垂线，交SK延长线于点T，
∴∠OSK=∠KTP=90°，
∴∠KOS+∠OKS=90°，
∵P(3,1)，
∴ST=3,OS−PT=1，
∵OK⊥PK，
∴∠PKT+∠OKS=90°，
∴∠KOS=∠PKT，
在△KOS和△PKT中，
{∠OSK=∠KTP=90°
)
∠KOS=∠PKT ，
OK=KP
∴△KOS≌△PKT(AAS)，
∴OS=KT，SK=PT，
∵ST=SK+KT=3，
∴PT+OS=3，{PT+OS=3) {OS=2)
联立 ，解得 ，
OS−PT=1 PT=1
∴SK=1，
∴K(1,2)；
当所求的点位于OP的下方时，
同理可得：L(2,−1)；
故答案为：E,F．
（2）解：①当a>0时，
如图，AB⊥DE，且AB=BD=BE，则点D,E即为所求．
过点DF⊥x轴于点F，
∴∠AOB=∠BFD=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵A(0,2),B(a,0)，
∴OA=2,OB=a，
∵AB⊥DE，
∴∠FBD+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠FBD，
在△OAB和△FBD中，
{∠AOB=∠BFD=90°
)
∠OAB=∠FBD ，
AB=BD
∴△OAB≌△FBD(AAS)，
∴BF=OA=2，DF=OB=a，
∴OF=OB+BF=a+2，
∴D(a+2,a)，设点E的坐标为E(m,n)，
m+a+2
{ =a)
2 {m=a−2)
∴ ，解得 ，
n+a n=−a
=0
2
∴E(a−2,−a)；
当a<0时，
如图，AB⊥HL，且AB=BL=BH，则点L,H即为所求．
同理可得：L(a−2,−a)，H(a+2,a)；
综上，点A关于点B的“相关点”的坐标为(a+2,a)或(a−2,−a)．
∴点A关于点B的“相关点”的横、纵坐标满足a+2−a=2或a−2+(−a)=−2，
点M(1,−1)的横、纵坐标满足1−(−1)=2，能成为点A关于点B的“相关点”，
点N(−3,1)的横、纵坐标满足−3+1=−2，能成为点A关于点B的“相关点”，
点Q(2,−1)的横、纵坐标满足2−(−1)=3≠2，2+(−1)=1≠−2，不能成为点A关于点B的“相关点”，
故答案为：M,N．
②由（2）①可知，点A关于点B的“相关点”的坐标为(a+2,a)或(a−2,−a)，
故答案为：(a+2,a)或(a−2,−a)．
6．（24-25七年级下·北京·期中）对平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x ，y )和N(x ，y )，我们定
1 1 2 2
义|x −x )+|y −y )为点M和点N的“绝对和距离”，记作d(M，N)，即
1 2 1 2
d(M，N)=|x −x )+|y −y )．
1 2 1 2(1)若点A(1，3)，点B(−3，5)，则d(A，B)=___________；
(2)在点C (4，2)，C (−4，2)，C (−2，−4)，C (0，5)中，与原点O“绝对和距离”为6的点是
1 2 3 4
___________；
(3)已知点P(m，−2)，Q(m+4，−2)，F(m+4，6)，E(m，6)，若PQFE所组成的图形上存在一
点K，使得d(K，O)=6，则m的最大值为___________，最小值为___________．
【答案】(1)6
(2)C ，C ，C
1 2 3
(3)−10，6
【分析】本题考查了新定义运算，坐标与图形；理解题意，数形结合并正确计算是解题的关键．
（1）根据“绝对和距离”d(M，N)的定义求解即可；
（2）计算出四点与原点的“绝对和距离”，即可求解；
（3）画出图形，结合定义得出当EQ在y轴左侧，点K在EQ与x轴的交点上时，m最小，此时点
K(m+4，0)，求出最小值即可；当PF在y轴右侧，点K在PF与x轴的交点上时，m最大，此时点
K(m，0)，求出最大值即可．
【详解】（1）解：d(A，B)=|1−(−3))+|3−5)=4+2=6；
故答案为：6；
（2）解：d(C ,O)=|4−0)+|2−0)=6；d(C ,O)=|−4−0)+|2−0)=6；
1 2
d(C ,O)=|−2−0)+|−4−0)=6；d(C ,O)=|0−0)+|5−0)=5；
3 4
显然d(C ,O)=d(C ,O)=d(C ,O)=6；
1 2 3
所以与原点O“绝对和距离”为6的点是C ，C ，C ；
1 2 3
故答案为：C ，C ，C ；
1 2 3
（3）解：∵P(m，−2)，Q(m+4，−2)，F(m+4，6)，E(m，6)，
∴PF∥EQ∥y轴，PQ∥EF∥x轴；
如图，当EQ在y轴左侧，点K在EQ与x轴的交点上时，m最小，此时点K(m+4，0)；
∵d(K，O)=6，
∴|m+4)=6，
解得：m=−10或m=−2（舍去），
∴m的最小值为−10；如图，当PF在y轴右侧，点K在PF与x轴的交点上时，m最大，此时点K(m，0)；
∵d(K，O)=6，
∴|m)=6，
解得：m=6或m=−6（舍去），
∴m的最大值为6；
故答案为：−10，6．
