文档内容
专题 16 函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，
属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1【答案】B
【解析】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
4．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
至少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【答案】
【解析】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .故答案为： ， .
8．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，
当 时同理可得；
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
9．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
【方法技巧与总结】
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对 进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原
函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ， 对 于 三 次 函 数 ， 其 导 函 数 为
，根的判别式 ．判别式
图象
增区间：
增区间：
单调性 ， ； 增区间：
减区间：
图象
（1）当 时， 恒成立，三次函数 在 上为增函数，没有极值点，有且只有一
个零点；
（2）当 时， 有两根 ， ，不妨设 ，则 ，可得三次函数
在 ， 上 为 增 函 数 ， 在 上 为 减 函 数 ， 则 ， 分 别 为 三 次 函 数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若 ，则 有且只有 个零点；
② 若 ，则 有 个零点；
③ 若 ，则 有 个零点．
特别地，若三次函数 存在极值点 ，且 ，则
地解析式为 ．
同理，对于三次函数 ，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图
象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点
，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在
该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点
一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 ．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明 ．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合
题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【核心考点】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
【典型例题】
例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 至少存在一个零点
所以 有解
即 有解
令 ，
则
因为 ，且由图
象可知 ，所以
所以 在 上单调递减，令 得
当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减
所以
且当 时
所以 的取值范围为函数 的值域，即
故选：A
例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数 ，记 ，若函数
至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数 定义域是 ， ， ，设
，则 ，设 ，则， ，
易知 ，即 也即 在 上恒成立，所以 在
上单调递增，又 ，因此 是 的唯一零点，当 时， ，当 时， ，所以
在 上递减，在 上递增， ，函数 至少有一个零点，则
， ．故选A．
考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．
例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数 （其中 为自然对数的底数），
若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意得，函数 至少存在一个零点，且 ，
可构造函数 和 ，
因为 ，开口向上，对称轴为 ，所以 为单调递减， 为单调递增；
而 ，则 ，由于 ，所以 为单调递减， 为单调递增；
可知函数 及 均在 处取最小值，所以 在 处取最小值，
又因为函数 至少存在一个零点，只需 即可，即：
解得： .
故选：D.
核心考点二：函数嵌套问题
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】A【解析】
在 和 上单增， 上单减，又当 时，
时， 故 的图象大致为：
令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不仿设 ，当 时，恰有
，此时 ，有 个根， ，有 个根，当 时必有 ，此时 无
根， 有 个根，当 时必有 ，此时 有 个根， ，有 个根，综上，
对任意 ，方程均有 个根，故选A.
例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数 ， 若关于x的方
程 有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，则 有四个不同的解，
因为 ，
所以 为偶函数，且当 时， 为增函数，
所以当 时， 为减函数，
所以 ，即 ，
当 时， ，
则 ，
令 ，解得 ，所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
又 ，
作出 时 的图象，如图所示：
所以当 时， 的图象与 图象有2个交点，且设为 ，
作出 图象，如下图所示：
此时 与 分别与 有2个交点，即 有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为 .
故选：A
例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数 ，若关于 的方程 有且
仅有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
因为 ，所以 ，
当 ， ；当 ， ，
所以 在 和 单调递减，在 单调递增，
且当 时， ， ，
故 的大致图象如图所示：
关于 的方程 等价于 ，
即 或 ，
由图知，方程 有且仅有一解，则 有两解，
所以 ，解得 ，
故选:C.
核心考点三：函数整数解问题
【典型例题】
例7．（2023·福建宁德·高三）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为当 时， 恒成立，
可得 在 上恒成立，不妨设 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 在 上仅有一个实数根，设为 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，
将 代入可得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，因为 为整数，所以 .
故选：C.
例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知 ，关于x的一元二次不等式 的解
集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．21 C．26 D．30
【答案】B
【解析】
设 ，其图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，如图所示，
若关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，
则 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，故所有符合条件的a的值之和是 .
故选：B.例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x]表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如[﹣1.2]=
﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f（x）=（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三个不同的零点x，x，x，若[x]+[x]+
1 2 3 1 2
[x]=6，则实数a的取值范围是（ ）
3
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 ，
由 ，得 或 ，
解得 或 ，
令 ， ，令 ，解得 .
所以 ， ， 为增函数，
， ， 为减函数.
.
又因为 ，当 时， ， 时， ，
作出 的图象：
由 的图象可知： ， ， ，
由 , ，得 .
又因为 ，
若 ，则 ， ，舍去.
若 ，则 ， 或 或 .
要使 ，则 ，所以 .故选：B
核心考点四：唯一零点求值问题
【典型例题】
例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数 有唯一零点，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数 的定义域为 ，则 ， ，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
当 时， ，当 时， ，
则存在 ，使得 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
，
由于函数 有唯一零点，
则 ，
由 ，解得 ，
所以， ，
令 ，其中 ，
，，则 ， ， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，且 ， ，
从而可得 ，解得 .
故选：C.
例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知条件可知
由函数奇偶性易知
令 ， 为偶函数.
当 时， ，
单调递增，当 时， 单调递减， 仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在 处有极小值，
则函数只有 一个零点，即 ，
解得 ，
故选：A
例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函
数，且 ，若函数 有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或1
【答案】A
【解析】
解：已知 ，①且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，
则 ，
得： ，②
①+②得： ，
由于 关于 对称，
则 关于 对称，
为偶函数，关于 轴对称，
则 关于 对称，
由于 有唯一零点，
则必有 ， ，
即： ，
解得： 或 .
故选：A.
核心考点五：等高线问题
【典型例题】
例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数 ，若方程 的
个不同实根从小到大依次为 ， ， ， ，有以下三个结论：① 且 ；②当 时，
且 ；③ ．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题绘制函数 如图所示，
可知函数 的图象关于直线 对称，
又 ，可得 且 ，
故结论①正确，当 时，由 解得 ，
即 或 ，解得 ， ， ， ，
此时 和 均成立，
故结论②正确，
由图可知 ，
则由 得 ，
解得 ，即 ，
同理可得 ，
由①有 ， ，
则 ，
解得 ，
则结论③正确.
故选：D.
例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数 ，若方程 有3个不同的实根
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，当 或 时， ， 时， ，
所以 在 和 上都递增，在 上递减，
， ，
极大值 极小值
当 时， ， 时， ，
所以当 时， 有三个不同的实根，
设3个不同的实根为 ，则 ， ．
，设 ，则 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，又 ， ，
所以 的取值范围是 ，即为 的取值范围．
故选：A．
例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数 ，其中 ，若方程
有四个不同的实根 、 、 、 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ， ，可得 ，即 ，
所以， ，作出函数 的图象如下图所示：
因为方程 有四个不同的实根，则 ，解得 ，由已知可得 、 是方程 的两根，则 ，
满足 ，可得 ，
满足 ，可得 ，
因此， ，
当 时， 随着 的增大而增大，则 ，
因此， .
故选：B.
核心考点六：分段函数零点问题
【典型例题】
例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数 ，若方程 有4个不相同
的解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在一个坐标系内分别作出 和 的图像如上图示:
要使方程 有4个不相同的解，
只需 和 的图像有4个交点，所以00恒成立，需要 ，此时 ,
当 时，设函数 ,
当直线 与函数 图象相切时，设切点坐标为 ,则 ,∴ ,即
所以当函数 图象在直线 下方时， ，
∴ ,
记 ,则 ,
令 ，解得
当 时 , 单调递增；当 时， ， 单调递减，
∴ ,
综上， 的最大值为： ，
故答案为： .
核心考点十七：三次函数问题
【典型例题】
例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次
函数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B【解析】由 ，可得 ， ，令 ，
得 ，又 ，所以对称中心为 ，所以
，…， ， .
所以 ．
故选：B.
例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数
都有对称中心，其对称中心为 （其中 ）.已知函数 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得, , ,令 ，解得： ，
所以函数 的对称中心为： ，又 ，所以 .
故选：C
例51．（2023·全国·高三月考（文））已知 ， ， ，若三次函数 有三个零
点 ， ， ，且满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
，即 ，
得 ，代入得 ，
∵ ，
，解得 ，设三次函数的零点式为 ，
比较系数得 ， ，
故
故选：D.
核心考点十八：切线问题
【典型例题】
例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数 叙述
正确的是（ ）
①函数 的图象一定是中心对称图形；
②函数 可能只有一个极值点；
③当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点；
④当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【解析】① 的对称轴为 的轴对称图形，所以 必定是中
心对称图形，且对称中心为 ，所以①正确：（或者可用
证明）
②由于函数 的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为 ， ，斜率 ，
切线为 ，所以
，化简得： ，∴ 或者 ，所以当
时，即 时，切线与 有唯一的交点，当 时，切线与 有两个不同的
交点，所以③正确；
④过点 的切线的切点不一定是 ，设切点为 ，则切线方程为
，因为 在切线上，所以 ，将
， ， 代入化简可得： ，∴ 或者 ，所以
当 时，即 时，切线只有一条，当 时，切线有两条，所以④错误；
故选：A
例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数 的图象与曲线C:
存在公共切线，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 的切点为 ,该切线斜率 ,
所以切线方程为 ,
的切点为 ,所以切线方程为 ,
由于该两切线方程为同一方程,利用待定系数法,可得
,解得
得到新方程为 ,
构造函数 解得 ,表示 与 存在着共同的交点,而 过定点 ,
得到 过 的切线方程,设切点为 ,则 ,该切点在该直线上,代入,得到 ,
解得 ,
所以直线斜率为 ,要使得 与 存在着交点,
则 ,结合 ,所以a的取值范围为 ，故选A．
例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点 可以作曲线 的两条切线，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点 ， ，因为 ，即 ，
则切线方程为 ，
由 得 ，
则由题意知，关于 的方程 有两个不同的解．
设 ，则 ，由 得 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
故 的图像如下图所示：
故 ．
故选:D．
核心考点十九：任意存在性问题
【典型例题】
例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式
恒成立，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D． .
【答案】D
【解析】
题设不等式化为 ，即 ，
， ，
易知 是减函数， 时， ，
所以由不等式 上恒成立得 .
故选：D.
例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 ，总有 ，使成立，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可知： ， 成立，即 ，
又对 ， ，所以 ，
又 可看作 与 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
由 ， ，可取 ，所以 的直线方程为 ，
设 与 平行且与 相切于 ，所以 ，所以 ，所以切线为 ，
当 与 平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在 的中间，
此时 与 在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，
此时 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，此时 或 或 ，
所以 的范围是 ，
故选：B.
例57．（2023·全国·高二课时练习）已知 ，若 ，且 对任意 恒成
立，则k的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
因为 ，且 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立.
令 （ ），则 .
令 （ ），则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增.
因为 ， ，
所以方程 在 上存在唯一实根 ，满足 .当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 ，故 ，
所以 ， ，
所以 ，故整数k的最大值是4.
故选：B.
核心考点二十：双参数最值问题
【典型例题】
例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知 ，且 ，对任意 均有
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故 与 的符号相同，
当 时， ；当 时， .
所以， 与 的符号相同.
，
令 ，所以，当 时， 恒成立，
令 ，可得 ， ， .
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当 ， 时，则 ，当 时， ，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当 ， 时，则 ，
若 ，若 、 、 均为正数，
①若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意.
③若 、 、 都不相等，记 ，则当 时， ，不合乎题意.由上可知， ，当 时，若使得 恒成立，则 ，如下图所示，
所以，当 ， 时，且 ， 时，当 时， 恒成立；
对于C选项，当 ， 时，则 ，
①若 时，则当 时， ，不合乎题意；
②当 时，构造函数 ，其中 ， ，
函数 在 上单调递增，则 ， .
当 时，由于 ，则 ，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当 ， 时，则 ，此时 、 、 为正数.
①当 、 、 都不相等时，记 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；
③当 时， ，当 时， ， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.
例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数 ， ，若对
， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，
令 ，则 ， 恒成立，即 恒成立，即
令
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减.
令
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减；
故选：B
例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当 时，不等式 ， ，
恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
解：设 ，
则 ，
当 时，因为 ，
所以 ，所以 在 递增；
时， ，与 矛盾，所以不符题意；
当 时，令 ，可得 ，
当 ， ， 递增；当 ， 时， ， 递减．
所以 的最大值为 ，
所以由题意可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
设 （a） ，
则 （a） ，
当 时， （a） ， （a）递增，
当 ， 时， （a） ， （a）递减，
所以 （a）的最大值为 ，
所以 的最大值为 ．
故选：C．
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
【典型例题】
例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 ，在函数 图象上任
取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， 在 单调递减， 设
.设 则 在 上单调递减，则
对 恒成立，则 对 恒成立， 则
，解之得 或 .又 ，所以 .
例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数 是定义在R上的函数，且 是奇函数， 是偶
函数， ，记 ，若对于任意的 ，都有 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设有： ，即 ，解得 ，
∴ ，
对于任意的 ，都有 ，即函数 在(1,2)上单调递减，
∴ 或 ，解得 ．
故选：C
例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 ，若对任意的 ， ，且 ，
都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可知 在 上呈增函数，所以 ，解得 ．
故选：D.
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典型例题】
例64．设二次函数 在 上有最大值，最大值为 （a），当 （a）取最小值时，
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】解： 在 上有最大值 （a），且当 时， 的最大值为 ，
即 且 （a） ，
当 时，即 时， （a）有最小值2，
故选： ．
例65．（2023春•绍兴期末）已知函数 ， ， ，设 的最大值为 ，若
的最小值为1时，则 的值可以是
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】解：因为 ，而函数 ， ， ，
因为 ， ， ，
且 ， ， ，
则 ， ， ， ，
由题意可得：存在 ，对于任意的 ，使得 的最小值为1，
由于在数轴上的点 ，和点 之间的距离恰好为2，
因此要使 的最小值为1，则必有 ，且 ，
解得 ， ．
故选： ．
例66．（2023•济南模拟）已知函数 ，若对任意的实数 ， ，总存在 ， ，
使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】解： 存在 ， ，使得 成立， ，
对任意的实数 ， ， ， ；
可看作横坐标相同时，函数 与函数 图象上点的纵向距离，
则问题等价于求函数 与函数 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；
如图，
记 ， ，连接 ，则图中直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 与直线 平行，且与函数 相切于点 ， ，
又 ，令 ，解得 ，
切点 ，则切线 的方程为 ，
当直线 与直线 ， 平行且与两直线距离相等时，
即恰好处于两直线正中间的位置时，
函数 与函数 图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，
此时 ，此时， ，
．
故选： ．
法二：记函数 的最大值为 ，
由题意可知， 对任意 ， 恒成立，
所以 ，依题意， ， ， ， ，分别令 ，0，2，
可得 ， ， ， ， （2） ，
所 以 ， ， ，
，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ．
故选： ．
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
【典型例题】
例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数 ， 使得不等式 成立，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
．
记 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
由题意 ，
又因为 ，所以 ，故 ．
另解：正实数 ， ， ，
令 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 （1） ，于是 ，
于是 ，当且仅当 时不等式取等号，
又 ，当且仅当 时不等式取等号，
，
所以 且 ，解得 ，所以 ．
故选： ．
例68．（2023•上饶二模）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【解析】不等式 ，
化为 ，
即 ，
所以 ；
设 ， ， ；
则 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， 单调递减，
所以 的最大值为 （1） ；
又 ，所以 时， ， 单调递减，
时， 单调递增，所以 的最小值为 ；
此时满足 ，即 ；
令 ，解得 ，所以 ．
故选： ．
例69．（2023•崇明区期末）若不等式 对 ， 恒成立，则 的值等于
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】解：当 或 时， ，
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 的图象关于直线 对称，
，
，即 ，又 ，故 ．
．
故选： ．
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【典型例题】
例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，
当 时，
当 时， ，当 时，
，因此当 时， ，选B.
例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 时， ，
所以 ,
因为函数 满足 ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 ， 恒成立，
故 ，
解不等式可得 或 .
例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，又 ，因此当 时，函数 ，从而
，选C.
【新题速递】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数 ，若函数
，存在5个零点，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】A
【解析】如图，先画出函数 的图象.
已知 有5个零点，即方程 有五个实数根.
令 ，方程 有两个实数根 ，
由 的图象可知，
当 时， 有两个实数根， 有三个实数根，可满足 有五个零点.
将 代入 中，得 ，解得 或 .
又因为 ，所以当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意，故选：A.
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ， 若函数 ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
，
，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，
所以我们求出 时零点个数即可，
， ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，而 ，故 在 有1零点，
，故 在 上有1零点，图像大致如图所示：
故 在 上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有2个零点，且 ，故
共5个零点，
故选：D.
3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解析】函数 ，则函数 在 和 上分别单调递减，
且 ，则 ， ，
若 ，不妨设 ，且 ，则 ，同样 ，则
由 ，得 ，于是得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
4．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数 ， ， ，则下列说法中，正确的
是（ ）．
A． B．存在a，b，使得
C． D．存在a，b，使得直线 与圆 相切
【答案】C
【解析】 ，故A错误；
，故B错误；
，故选项C正确；
圆心 到直线 的距离
由 ，故 ，故D错误.故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，动点C在曲线T： 上，若
△ABC面积的最小值为1，则 不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 ，所以 ，即 .
直线 的方程为 ，即 .
因为 ， ，所以 .
则点 到直线 的距离为 .
因为 ， ，所以 .
所以 .
当 时， ，
可得当 时， ，符合题意；
当 时， ，
可得当 时， ，符合题意；
当 时， ，
可得当 时， ，符合题意；
当 时， ，
可得当 时， ，不符合题意.
故 不可能为 .
故选:D.6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P为直线 上一动点，过点P作抛物线 的两条
切线，切点记为A，B，则原点到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】设 ，切点为 ，
由 ，得 ，则 ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 ，
因为 ，所以
在点 处的切线方程为 ，即 ，
因为 ，所以
因为两切线都过点 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以原点到直线 距离为
，当且仅当 时取等号，
所以原点到直线 距离的最大值为 ，
故选：B
7．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知 ， ，直线 与曲线
相切，则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，切线方程为 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值是4.
故选：D.
8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x的不等式 对于任
意 恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】 对于任意 恒成立
等价于 对于任意 恒成立
令 ，则
令 ，则
所以 在 上单调递增，又
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以
由对勾函数可知 ，即
因为 ，即 ， ，
所以 .
故选：C
二、多选题
9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 为函数 的极大值点 D．
【答案】ACD
【解析】由函数 有三个不同的极值点 ， ， ，
只需 有三个零点，即方程 有三个根，
设函数 ，则 ，
令 ，即 ，；令 ，即 或 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的极小值为 ，且当 时， ，如图，当 ，即 时，函数 与 有三个交点，即函数 有三个不同的极值点，故A正
确；
对于B，观察图象可知 ，故B不正确；
对于C，由图象可知，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 为函数 的极大值点，故C正确；
对于D，由 ，即 ，
令 ， ，
则 ，故函数 在 上单调递减，
故 ，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为实数，则下列条件
能使函数 仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】ACD
【解析】由已知可得 的定义域为 .
对于A、当 时， ，则 .
当 或 时， ;当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
因为 且 的图象连续不断，故 的图象与 轴有且只有一个交点，
故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于B、当 时， ，则 .
当 或 时， ;当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有两个交点，
故此时 有且只有两个零点，故该选项不合题意.
对于C、当 时， ，则 在 上恒成立，当且仅当 时取等号，故
在 上单调递增，
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有一个交点，故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于D、当 时， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又因为 ，且 的图象连续不断，
故 的图象与 轴有且只有一个交点，
故此时 有且只有一个零点，故该选项符合题意.
故选:ACD.
12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在 上的函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，都有
，且满足 ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．
C．不等式 的解集为
D．若方程 有两个根 ，则
【答案】ABD【解析】 ，函数定义域为 ，
由 ，有 ，
即 ，函数 为偶函数，故选项A正确；
由 ，得 ，
即 ，∴ ，
有 ，得 ，
∴ ，
得 ， ，故选项B正确；
，
当 时，函数 单调递增，且 ，有 ，即 ，不合题意，故
C选项错误；
方程 ，即 ，
方程有两个根，等价于函数 与函数 的图像有两个交点，其中函数 单调递减，
函数 的图像是开口向下的抛物线，对称轴方程为 ， 时函数单调递减，
若方程 有两个根 ，则有 ，
此时 ，即 ，
若 且 ，则有 ，
∴ ，∴ ，得 ，故选项D正确.
故选：ABD
13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得 在这两
点处的切线重合，则称函数 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A， ，， 时， ， 取得最大值 ，
直线 是函数图象的切线，且过点 ，函数是“切线重合函数”；
B， ， ， 时， ， ， ，
此时 是函数的最大值，
直线 是函数图象的切线，且过点 ，函数是“切线重合函数”；
C， ， ，
时， ， ，
过点 的切线方程是 ，即 ，因此该切线过
图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
D， ， ，令 ，
则 ，所以 即 是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，
也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故选：ABC．
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C： ，曲线E： ，记两条
曲线过点 的切线分别为 ， ，且斜率均为正数，则（ ）
A．若 ， ，则C与E有一个交点
B．若 ， ，则C与E有一个交点
C．若 ，则 与E夹角的正切值为
D．若 ，则 与 夹角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对于A，若 ， ，则 ，
因为双曲线C： 的渐近线为 ，
所以曲线E： 与双曲线C的渐近线为 平行，
所以C与E有一个交点，故A正确；
对于B，若 ， ，则曲线E： ，与双曲线C： 联立，
则 ，即 ，令 ，
则 ，则由 有 ，由 有 ，所以 ，所以 无解，故B错误；
对于C，若 ，曲线E： ，对于双曲线C： ，易知过点 的切线的斜率显然存在，
设切线方程为 ，与 联立有： ，
由 ，解得 ，
因为斜率均为正数，所以 为： ，
则 与E夹角的正切值为 ，故C正确；
对于D，若 ，曲线E： ，则 ，则 ，
则 为： ，其方向向量 ，又 为： ，其方向向量 ，
所以 ，故D错误.
故答案为：AC.
三、填空题
15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数 ， 满足 ， ，则 的值为
____________．
【答案】1
【解析】解法一：由 ，得 ，又因为 ，
所以 ， 是方程 的两个解，
设函数 ， ，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，
则函数 在 上只有一个零点，即方程 只有一个解，
所以 ，∴ ．
解法二：因为 ，所以 ， ，即 ，
设函数 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：1．
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
，设 ，且函数 的零点均在区间
， ， 内，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
即 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 上有唯一的零点，
， ， ， ，
所以 在 上单调递减，
又 ，
，
所以 在 有唯一的零点．
则 的零点在区间 内， 的零点在区间 内，
所以 零点均在区间 中 的最大值为 ， 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ．
故答案为:11.
17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程 有唯一的实数解，实数 的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】令函数 ，依题意，函数 有唯一零点，求导得 ，
当 时， ，无零点，
当 时， ，函数 在 上单调递增， ，当 且 时，，则 在 上存在唯一零点，因此 ，
当 时，当 时， ，当 时， ，函数 在 上递减，在
上递增，
，当且仅当 ，即 时， 在 上存在唯一零点，因此 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数 ，若
，且 的最大值为4，则实数 的值为_______．
【答案】
【解析】令 ，
令 解得 ，因此 在 单调递减， 单调递增
， 的另一个根在 ，因为 ，若 的最大值为4，则 和 不能
同时大于零；
令 ， 在 单调递增
设 ， ， 的最大值为4，即 时， 上的一点切线和 平行，
此时这一切点的横坐标为 ，而 ，因此 ，由此可得 ，解得 ，
故
，即
，解得 或 ，因为 ，所以
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）若存在 ， ，满足 ，其中 为自
然对数的底数，则实数 的取值范围是___________．
【答案】 ,
【解析】因为 ，
所以 ，
当 时，上式变为 ，与 矛盾，当 时，上式为 ，
令 ，则 ， ，
，
令 ， ，
，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以在 上， ， ， 单调递减，
在 上， ， ， 单调递增，
所以 ， 趋向于0或 时， 均趋向于 ，
所以 ，即 ，
所以 或 ，故 的取值范围为 , ．
故答案为： , ．
20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】令 ，依题意 对 恒成立，
，
若 ，则 对 恒成立，符合题意；
若 ，则当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以 ，所以 ，解得 .
若 ，则当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数，故 .
所以 ，所以 ，所以 ，所以 .综上所述： 的取值范围为 .
故答案为：
