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专题 16 古典概型与条件概率、全概率、贝叶斯公式
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题型01 古典概型.......................................................................................................................................................1
题型02 条件概率.......................................................................................................................................................3
题型03 相互独立.......................................................................................................................................................5
题型04 全概率公式...................................................................................................................................................7
题型05 贝叶斯公式...................................................................................................................................................9
题型 01 古典概型
【解题规律·提分快招】
1、定义
一般地，若试验 具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2、古典概型的概率公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件
的概率 ．
3、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 与事件 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件 是什么．
4、解题一般步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 ；
（3）分别求出基本事件的个数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；（4）利用公式 求出事件 的概率．
5、解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025·山东潍坊·模拟预测）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取
一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025
的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现 ， ，即将
劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数
（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈
数的概率是（ ）
A． B． C． D．0
3．（2024·江西·模拟预测）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，县委组织部将派前五位大学生村官对四
个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，则其中的
甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作
为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园.假设每个人在进入学校时选
择每个检测点的概率都是 ，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学
生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为 ，则 的概
率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题6．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片
中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为
．
7．（2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或
“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设
起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则 灯区最终仍处于“点亮”
状态的概率为 ．
8．（2024·四川·一模）从1，2，…，2024中任取两数 ， （可以相同），则 个位为8的概率为
题型 02 条件概率
【解题规律·提分快招】
1、定义
一般地，设 ， 为两个事件，且 ，称 为在事件 发生的条件下，事件 发生的
条件概率．
注意：（1）条件概率 中“ ”后面就是条件；（2）若 ，表示条件 不可能发生，此时用
条件概率公式计算 就没有意义了，所以条件概率计算必须在 的情况下进行．
2、性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和1之间，即 ．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为 ．
（3）如果 与 互斥，则 ．
注：①如果知道事件 发生会影响事件 发生的概率，那么 ；
②已知 发生，在此条件下 发生，相当于 发生，要求 ，相当于把 看作新的基本事件空间计
算 发生的概率，即 ．
P(B|A)
3、用定义法求条件概率 的步骤（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算 ， ；
（3）代入公式求 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分
选机筛选出来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 ，把小果筛选为大果的概率为 经过一轮
筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”是真的大果的概率为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·三模）某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还
有两人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两
名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有 八个
数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均
匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三
轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·江西九江·二模）将甲，乙，丙三名志愿者分配到 ， ， 三个社区服务，每人分配到一个社
区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到 社区的条件下，甲分配到 社区的概率为 ．
6．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在 共 所学校中各自选 所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了 所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择 学校开展讲座的概率为
.
7．（2024·甘肃·模拟预测）某校元旦联欢晚会的最后一个环节是一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3
的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在
哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，
并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了1号箱，用 表示 号箱有奖品
，用 表示主持人打开 号箱子 ，则 ，若抽奖人更改了选择，则其
中奖概率为 ．
8．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“ ”的 张卡片.一个人每次从中拿出一张
卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果
他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为 ，则
. .
题型 03 相互独立
【解题规律·提分快招】
1、相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件 ， ，如果 ，则意味着事件 的发生不影响事件 发生的概率．设
，根据条件概率的计算公式， ，从而 ．
由此我们可得：设 ， 为两个事件，若 ，则称事件 与事件 相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件 与 ，若 ，则 ．我们称上式为概率
的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件 ， 互相独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立性，即若事件 ， ，…， 相互
独立，则这 个事件同时发生的概率 ．
2、事件的独立性
（1）事件 与 相互独立的充要条件是 ．
（2）当 时， 与 独立的充要条件是 ．（3）如果 ， 与 独立，则 成立．
3、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件 ， 相互独立⇔ ．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当 时，可用 判断．
4、求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立
的．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中
不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海杨浦·一模）如果 是独立事件， 分别是 的对立事件，那么以下等式不一定成立
的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了 分，受到爸爸表扬的概率为 ，受到妈妈表扬的概
率也为 ，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字 ，从中随机有放回的取两
个球，每次取1个球．事件 “第一次取出的球标的数字为奇数”，事件 “第二次取出的球标的数
字为偶数”，事件 “两次取出的球标的数字之和为5”，事件 “两次取出的球标的数字之和为6”，
则（ ）
A． 与 互斥 B． 与 相互独立
C． 与 相互独立 D． 与 互斥5．（2024·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为 ， ， ，且他们是否被
录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜
的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以
后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575
7．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下
雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，
他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ，不下雨的
概率均为 ，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概
率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均
匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三
轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型 04 全概率公式
【解题规律·提分快招】
1、全概率公式
（1） ；
（2）定理 若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意事件 ，都有 ，且．
注：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即
运用了“化整为零”的思想处理问题，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考
虑．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·二模）某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占 ，次品率为 ；第二
批占 ，次品率为 .现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ）
A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954
2．（2024·内蒙古包头·三模）设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了
其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为 ， ， ，现从这
10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张
牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现
了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．
某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 ，
， ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ，结果这一天他迟到了，在此条
件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）有 个盲盒，其中有 个内有奖品.若抽奖者选定了一
个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定
另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 ；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被
风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中
奖的概率为 ，则对任意符合题意的 ， ，都有（ ）
A． B． C． D．无法确定 与 的大小关系
6．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中 称为
的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知 三个地区分别有 的人患了流感，且这三
个地区的人口数之比是 ，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自
地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
题型 05 贝叶斯公式
【解题规律·提分快招】
1、贝叶斯公式
（1）一般地，当 且 时，有
（2）若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致
这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公
式的意义是导致事件 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了 ， ， ， ， ， 之间的转关系，即
， ， 之间的内在联
系．
2、利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算 ，即 ；
第二步：计算 ，可利用 求解；第三步：代入 求解．
3、贝叶斯概率公式反映了条件概率 ，全概率公式 及乘法公
之间的关系，即 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第 天早上八点以
的概率向存钱罐中存入100元， ．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐
中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 ，乙加工的次品率
为 ，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 ， ，任取一个
零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患 疾病的人化验结果 呈阳性，对未患 疾
病的人化验结果 呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区 疾病的患病
率为 ，则这种检验方法在该地区的误诊率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中
任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的
也是2个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合
理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐
公交车､骑共享单车的概率分别为 ，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为 ，则
小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 .一、单选题
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学
生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来
自高三（1）班的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交
车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率
为0.95．若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）2024年春节期间，有 五部电影上映，小李准备和另3名同
学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看 电影，且4人中恰有2人看同一部电影的概率
为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若
用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验结果，设事件 ；事
件 ：至少有一颗点数为6；事件 ；事件 .则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 为互斥事件 B．事件 与事件 为互斥事件
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为
，加工出来的零件混放在一起．已知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个
零件，记事件 “零件为第i台车床加工” ，事件 “零件为次品”，则 （ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
6．（24-25高三上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个
正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 ，记事件 “得到的
点数为偶数”，记事件 “得到的点数不大于4”，记事件 “得到的点数为质数”，则下列说法正确
的是（ ）A．事件 与 互斥， 与 相互对立
B．
C． 但不满足 两两独立
D． 且 两两相互独立
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会
决定进行赛会志愿者招募．现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目
进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排
到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024·河南新乡·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为 ，掷出的
点数之和为 ，则（ ）
A．事件“ ”和“ ”相等 B．事件“ ”和“ ”互斥
C． 为奇数的概率为 D． 的概率为
9．（2025·湖南永州·模拟预测）设样本空间 含有等可能的样本点，且 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·山西朔州·一模）在信道内传输 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的
信号字母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率均为 ．若输入四个相同的信号
的概率分别为 ，且 ．记事件 分别表示“输入
”“输入 ”“输入 ”，事件 表示“依次输出 ”，则（ ）
A．若输入信号 ，则输出的信号只有两个 的概率为B．
C．
D．
三、填空题
11．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一
个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为
.
12．（2025·云南昆明·一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现
有 枚黑色棋子和 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的
概率为 ．
13．（2025·安徽合肥·一模）袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一
个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球 不再放回 ，并将该小球放回袋中.然后，对袋中
剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 .
14．（2024·安徽·一模）现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第
个袋中有 个红球， 个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取
出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为 ．
15．（2024·天津河北·一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为 ，先用低剂量药物 进行肺癌䈐查，检查
结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验
的准确率为 ，即患有肺癌的人其化验结果 呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果 呈阴性.则
该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌
的概率为 .
16．（2024·湖北荆州·三模）天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧
的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也
会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，
不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨
的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高三开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争
做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年
的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为 ，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后
的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展
望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，
有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 （结果用既约分数表示）
17．（2024·陕西宝鸡·三模）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的
5位棋手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为 ．
18．（2024·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、
乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机
取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，
甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，
则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 .
19．（2024·全国·一模）有4个不透明的袋子 ，每个袋子中均装有形状、大小完全相同的4个小
球，编号分别为1，2，3，4．甲、乙、丙、丁4名同学依次随机从每个袋子中各取出1个球，取出不放回．
已知甲取出的4个小球编号之和为14，乙取出的4个小球编号之和为13，则丙取出的4个小球编号之和大
于6的概率是 ．
