文档内容
3.3 轴对称与坐标变化-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2022八上·越秀期中）在平面直角坐标系中，点A(−3，2)关于y轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点A（-3，2）关于y轴的对称点，纵坐标与A点纵坐标相同，横坐标与A点
横坐标互为相反数，故对称点坐标为（3，2），所以对称点在第一象限．
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求解即可。
2．（2024八上·嘉峪关期中）若点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称，则m+n=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-7
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称．
∴m=−4，n=3．
∴m+n=−4+3=−1．
故选：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律"关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数"可
求得m、n的值，把m、n的值代入所求代数式计算即可求解．
3．（2024八上·花都期末）若点P(a,b)与点P'(1,−2)关于x轴对称，则点A(3a−b,a+b)关于y轴对
称的点A'的坐标是（ ）
A．(−1,3) B．(1,3) C．(−1,−3) D．(5,1)
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点P(a,b)与点P'(1,−2)关于x轴对称，
则a=1，b=2
∴3a−b=1，a+b=3
∴A(1,3)
∵点A(1,3)关于y轴对称的点A'
1 / 21∴A'(−1,3)．
故选：A．
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横
坐标互为相反数；此题先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a和b的值，再确定点A的坐标，最
后根据关于y轴对称的点的坐标特点求出点A'的坐标．
4．（2024八上·雅安期末）已知，√(a−2) 2+|b+1|=0，则点P(a，b)关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A．(2，−1) B．(−2，−1) C．(−2，1) D．(2，1)
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵√(a−2) 2+|b+1|=0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
则点P(2,−1)，
则点P(2,−1)关于原点对称的点的坐标为(−2,1)
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出a，b的值，再结合关于原点对称的点的坐
标特征：它们的坐标符号相反，求解即可。
5．（2024八上·镇海区期中）若P(−2a+1,a+1)关于y轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（
）
1 1 1 1
A．
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P(−2a+1,a+1)关于y轴的对称点为(2a−1,a+1)，且此点在第一象限，
{2a−1>0
∴
a+1>0
1
解得：a> ．
2
故选：D．
2 / 21【分析】先求出点P(−2a+1,a+1)关的对称点为(2a−1,a+1)，再利用第一象限内点的特点得到
2a-1>0且a+1>0，解之即可．
6．（2024八上·深圳期中）若点A(4,m+5)与点B(n−5,3)关于y轴对称，则(m+n) 2024（ ）
A．1 B．−1 C．2024 D．−7
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点A(4,m+5)与点B(n−5,3)关于y轴对称，
∴n−5=−4，m+5=3，
解得：n=1，m=−2，
∴(m+n) 2024=(−2+1) 2024=(−1) 2024=1；
故答案为：A．
【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出m，m的值，再代入
求值即可．
7．一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述
中，正确的是( ).
A．原图案各点一定都在x轴上
B．原图案各点一定都在y轴上
C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴
D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵ 在x轴上的点的坐标为（x，0），与题意不相符
∴A选项是错误的.
∵在y轴上的点的坐标为（0，y），与题意不相符
∴B选项是错误的.
∵ 关于x轴对称的点的特征：横坐标不变， 纵坐标变为原来的相反数 ，与题意相符
∴C选项是正确的
∵ 关于y轴对称的点的特征：纵坐标不变， 横坐标变为原来的相反数，与题意不相符
∴D选项是错误的.
3 / 21故答案为：C.
【分析】由平面直角坐标系上的点的特点为可知选项A、B错误的；由关于对称轴对称的点的特征可
知选项D是错误的，选项B是正确的.
8．（2024八上·沅江开学考）已知点P(m-1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，则nm的值为（ ）
1 1
A．-2 B． C．- D．1
2 2
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m-1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，
∴m-1=-2，n+2=4，
解得：m=-1，n=2，
1
∴nm=2-1=
，
2
故答案为：B.
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）可得m-1=-2，
n+2=4，求出m、n的值，再将其代入nm求解即可.
二、填空题
9．（2025八上·余姚期末）点P(m,3)和点Q(2,n)关于x轴对称，则m+n的值为 ．
【答案】−1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m,3)与点Q(2,n)关于x轴对称，
∴m=2，n=−3，
∴m+n=2−3=−1．
故答案为：-1．
【分析】点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y），据此求出m和n的值，最后再求出m与n
的和即可.
10． 在平面直角坐标系中，如果点A(2a-1，-8)绕原点旋转180°后与点B(-5，3b-1)重合，那么a=
，b= .
【答案】3；3
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点A(2a-1，-8)绕原点旋转180°后与点B(-5，3b-1)重合
4 / 21∴ 2a-1 =5， 3b-1=8
解得 a=3，b=3
故答案为：3，3.
【分析】根据题意可知点A与点B关于原点中心对称，则 2a-1 =5， 3b-1=8，解得a=3，b=3。
11．（2021八上·铁锋期末）在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点
A的坐标是(√3，√2)，则经过第2021次变换后所得的点A的坐标是 ．
【答案】(√3，−√2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可知：点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位
置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4=505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为
(√3，−√2).
故答案为：(√3，−√2)．
【分析】先求出每四次对称为一个循环组依次循环，再根据2021÷4=505…1，求解即可。
12．（2024八上·武威期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,4)，B(1,2)，C(3,−1)，请你在
坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA=BA，PC=BC，则点P的坐标是 ．
5 / 21【答案】(5,2)
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵A(3,4)，B(1,2)，C(3,−1)，
∴AC∥y轴，
作点B关于AC的对称点P，如图所示：
则PA=BA，PC=BC，
∵BP=4，
∴点P的坐标是(5,2)，
故答案为：(5,2)
【分析】先根据点A和点C的坐标得到AC∥y轴，作点B关于AC的对称点P，则PA=BA，
PC=BC，根据BP的长即可得到点P的坐标。
13．（2024八上·长兴月考）在平面直角坐标系中，已知点A(m,4)，与点B(5,n)关于x轴对称，那
么(m+n) 2011的值为
【答案】1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点A(m,4)，与点B(5,n)关于x轴对称，
∴m=-5，n=4，
∴(m+n) 2011=(-5+4) 2011=1，
故答案为：1.
6 / 21【分析】根据关于x轴对称的坐标性质得到：m=-5，n=4，进而将其代入代数式计算即可.
14．（2024八上·四川期中）如图在12×12的表格中记O为(0,0)，M(−4,3)，△ABC三个顶点分别位
于格点上，直线l位于格子横线上，N在l的格点上运动，当N为 时（填写有序数对），
△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'三个顶点都在格点上．
【答案】(−1,0)
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：由BC与AC的位置可知，
当MN与直线l的夹角为 45°时， A， B， C三个点关于直线MN的对称点都在格点上.
如图所示，
所以点N为( (−1,0).
故答案为： (−1,0).
【分析】根据题意，画出点N符合条件的示意图即可解决问题.
三、解答题
15．（2025八上·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2),B(2,8)，点C与点B关于
y轴对称.
7 / 21（1）画出点C的位置，并求点C的坐标.
（2）连接AB,AC,BC，求△ABC的面积.
（3）将点A向右平移n个单位得到点D，连接CD，若AB⊥CD，请你直接写出n的值.
【答案】（1）解：如下图，点C(−2,8).
（2）∵A(−4,2),B(2,8) ，C(−2,8).
∴BC=4
1
∴S = ×4×6=12
△ABC 2
即△ABC的面积=12
（3）n=8
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（3）根据题意，画出图形
8 / 21若AB⊥CD，则△BEC是等腰直角三角形
由此可以判断出△ADE也是等腰直角三角形
故D（4，2）
因此，将点A向右平移8个单位得到点D
故答案为：n=8.
【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标特征，即可解答；
（2）在平面坐标系内，根据点的坐标表示线段长，再利用三角形的面积公式解答即可；
（3）根据题意，画出图形，利用等腰三角形的判定及性质即可确定点D的坐标，再由点的平移规律
即可求得n的值.
16．（2024八上·武威期末）如图，在直角坐标系中，已知点A(1,2),B(−1,3),C(2.5,−1)，直线l是
第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段AB，作出线段AB关于直线l的轴对称图形A B ．
1 1
（2）发现：请写出坐标平面内任一点P(a,b)关于直线l的对称点P'的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得QA+QC最小，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图，线段A B 即为所作；
1 1
9 / 21（2）解：由题意得P(a,b)关于直线l的对称点P'的坐标为P' (−b,−a)；
（3）解：点Q即为所作，Q(1,−1)，
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A ,B 位置，进而连接即可求解；
1 1
（2）根据轴对称的性质得出点P(a,b)关于直线l的对称点P'的坐标；
（3）根据轴对称-最短距离问题连接A C交直线l于点Q，进而即可求解。
1
（1）如图，线段A B 即为所作；
1 1
（2）由题意得，P(a,b)关于直线l的对称点P'的坐标为P' (−b,−a)；
（3）如图，点Q即为所作，Q(1,−1)，
17．在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴.
10 / 21（1）已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC关于y轴的对称
图形是△ABC，△ABC 关于直线l的对称图形是△ABC，写出△ABC 三个顶点的坐标.
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
（2）已知点P(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P，点P 关于直线l的对称点是P，
1 1 2
求PP 的长.
2
【答案】（1）解：∵ △ABC关于y轴的对称图形是△ABC，
1 1 1
∴A，B，C 的坐标分别为：A（2，0），B（1，0），C（1，2）
1 1 1 1 1 1
∵ △A BC 关于直线l的对称图形是 △ABC ，
1 1 1 2 2 2
∴A，B，C 的坐标分别为：A（4，0），B（5，0），C（5，2）
2 2 2 2 2 2
（2）解：由点P（-a，0）与P 关于y轴对称，得P（a，0）．
1 1
又∵P 与P 关于直线x=3对称，
1 2
x+a
设P（x，0），可得 =3，
2 2
即x=6－a，
∴P（6－a，0）．
2
则PP =6-a-(-a)=6．
2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得A，B，C 的
1 1 1
坐标，再根据关于平行于y轴的直线对称的点的纵坐标不变，横坐标之和为对称轴所过点M的横坐
标的2倍，可得A，B，C 的坐标；
2 2 2
x+a
（2）求出点P 的坐标，设P（x，0），根据（1）的方法得 =3， 求解可得x的值，P和P 的
1 2 2 2
横坐标相减，即可得 PP 的长.
2
18．（2023八上·南岗月考）对于实数x、y我们定义一种新运算M（x，y）＝mx+ny（其中m、n均为
非零的常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数值我们称为点M的线性数，记作
M（x，y），其中x、y叫做线性数的一个数对．例如：若M（x，y）＝x+2y，则M（1，3）＝
1×1+2×3＝7，数值7是当m＝1，n＝2时，点（1，3）的线性数．
（1）若M（x，y）＝x+3y，则M（3，3）＝ ；
（2）已知M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，求m、n的值；
（3）在（2）的条件下，求点M（3，2）关于x轴对称的点的线性数．
【答案】（1）12
（2）解：∵M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，
11 / 21{2m+n=7
∴ ，
3m−n=3
解得
{m=2
，
n=3
∴m，n的值分别为2，3．
（3）解：∵点M（3，2）关于x轴对称的点为 （3，﹣2），
在（2）的条件下：2×3+3×（﹣2）＝0，
答：点M（3，2）关于x轴对称的点的线性数为0．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵M（x，y）＝x+3y，
∴M(3，3)=3+3×3=12，
故答案为：12.
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
{2m+n=7
（2）根据题意得到关于m和n的方程组为： ，进而解方程组即可；
3m−n=3
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到点M（3，2）
关于x轴对称的点，进而根据题意列式计算即可.
四、实践探究题
19．（2024八上·罗湖期末）我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应
用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题.
（1）【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中，A(3，4)，B(1，2)，C(5，1).
作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，并标注出点D，E，F；
（2）【拓展应用】
12 / 21如图1，点P是x轴上一动点，并且满足PA+PB的值最小，请在图中找出点P的位置（保留作图痕
迹），并直接写出PA+PB的最小值为 .
（3）【实际应用】
如图2，某地有一块三角形空地ABC，已知∠ABC=45∘，G是△ABC内一点，连接GB后测得
GB=20米，现当地政府欲在三角形空地ABC中修一个三角形花坛GMN，点M，N分别是AB，BC
边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问△GMN的周长最少约多少米?（保留整数）（
√2≈1.41，√3≈1.73）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）2√10
（3）解：作点G关于AB、BC的对称点G 、G
2 1
连接G G 交AB、BC于M、N即为所示
1 2
∴GB=G B=G B=20m，GM=G M，GN=G N
1 2 2 1
∠GBM=∠G BM，∠GBN=∠G BN
2 1
∵∠ABC=∠GBM+∠GBN=45∘
∴∠G BG =90∘
1 2
∴G G =20√2=20×1.41=28.2m
1 2
13 / 21∵C =GM+MN+GN
△GMN
=G M+MN+G N≥G G
2 1 1 2
∴C 最小周长为28m
△GMN
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，则
△DEF就是所求的图形；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，则PB＝PB'，所以PA+PB＝
PA+PB'＝AB'，此时PA+PB的值最小，即可由A（3，4），B'（1，﹣2），求得AB'
=√(3−1) 2+(4+2) 2=2√10，即可解答；
（3）分别作点G关于直线AB、BC的对称点G、G，连接G、G 分别交AB、BC于点M，N，
1 2 1 2
连接GG 、GG 、BG 、BG BG，则GM+GN+MN＝GM+GN+MN＝GG，此时△GMN的周长最小，
1 2 1 2、 2 1 1 2
可求得∠GBG ＝∠GBG +∠GBG ＝2（∠ABG+∠CBG）＝90°，再根据勾股定理求得GG
1 2 2 1 1 2
=√G B2+G B2=20√2≈28（米），则△GMN的周长最少约28米．
1 2
20．（2024八上·乐平期末）综合探究：
“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画
出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，
而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中△ABC的面积是______；
（2）若△MNP的边长分别为√m2+16n2、√9m2+4n2、√4m2+4n2（m>0，n>0，且m≠n），
试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积．
（3）拓展应用：求代数式：√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)的最小值．
14 / 217
【答案】（1）
2
（2）解：∵△MNP的边长分别为√m2+16n2、√9m2+4n2、√4m2+4n2（m>0，n>0，且m≠n），
∴△MNP的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m,2n的直角三角形的
斜边；直角边长为2m,2n的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
1 1 1
由图可知：S =4m⋅3n− ⋅2m⋅2n− ⋅4m⋅n− ⋅2m⋅3n=5mn；
△MNP 2 2 2
（3）解：√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)，可以看成平面直角坐标系中x轴上一点(x,0)到点(0,1)的距
离与(x,0)到点(4,2)的距离和的最小值，如图：
设A(0,1)，B(4,2)，P(x,0)，
则：PA+PB=√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)，
过点A作x轴的对称点A'，
15 / 21则：A'(0,−1)，PA+PB=PA'+PB≥A'B，
当且仅当A'，P，B三点共线时，PA+PB的值最小，即为A'B的长，
∵A'(0,−1)，B(4,2)，
∴A'B=√42+(2+1) 2=5．
∴√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)的最小值为5．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
1 1 1 7
（1）解：由图可得：S =3×3− ×1×2− ×2×3− ×1×3= ；
△ABC 2 2 2 2
7
故答案为： ；
2
【分析】
（1）根据三角形的面积等于这个三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；
（2）根据题意可知：△MNP的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为
3m,2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m,2n的直角三角形的斜边．同（1）的方法即可求解；
（3）根据代数式的特征，可将代数式转化为平面直角坐标系中x轴上一点(x,0)到点(0,1)的距离与
(x,0)到点(4,2)的距离和的最小值，结合成轴对称的性质即可求解．
1 1 1 7
（1）解：由图可知：△ABC的面积是3×3− ×1×2− ×2×3− ×1×3= ；
2 2 2 2
7
故答案为： ；
2
（2）△MNP的边长分别为√m2+16n2、√9m2+4n2、√4m2+4n2（m>0，n>0，且m≠n），
∴△MNP的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m,2n的直角三角形的
斜边；直角边长为2m,2n的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
16 / 211 1 1
由图可知：△MNP的面积是4m⋅3n− ⋅2m⋅2n− ⋅4m⋅n− ⋅2m⋅3n=5mn；
2 2 2
（3）√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)，可以看成平面直角坐标系中x轴上一点(x,0)到点(0,1)的距离与
(x,0)到点(4,2)的距离和的最小值，如图：
设A(0,1)，B(4,2)，P(x,0)，则：PA+PB=√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)，
过点A作x轴的对称点A'，则：A'(0,−1)，PA+PB=PA'+PB≥A'B，当且仅当A'，P，B三点共线
时，PA+PB的值最小，即为A'B的长，
∵A'(0,−1)，B(4,2)，
∴A'B=√42+(2+1) 2=5．
∴√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)的最小值为5．
五、综合题
21．（2022八上·中山期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格格点上，点B坐标为
(3，1)．
17 / 21（1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点B'的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PC最短，并写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
；
点B'的坐标为(−3，1)；
（2）解：如图所示：作点A关于x轴的对称点A ，连接A C，与x轴的交点即为所找的点P，
1 1
设A C所在直线的函数表达式为y=kx+b，
1
把点A (1，−2)，C(4，4)代入得：
1
{4=4k+b { k=2
，解得： ，
−2=k+b b=−4
∴y=2x−4，
当y=0时，0=2x−4，解得：x=2，
∴点P的坐标为(2，0)．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点B'的坐标
即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A ，连接A C，与x轴的交点即为所找的点P，再求解即可。
1 1
22．（2020八上·东城期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线l经过点 M(3，0) ，且平行
18 / 21于y轴给出如下定义：点 P(x，y) 先关于y轴对称得点 P ，再将点 P 关于直线l对称得点 P'
1 1
，则称点 P' 是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知 A(−4，0)，B(−2，0)，C(−3，1) ，则它们关于y轴和直线l的二次反射点 A'
， B' ， C' 的坐标分别是 ；
（2）若点D的坐标是 (a，0) ，其中 a<0 ，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点 D' ，
求线段 DD' 的长；
（3）已知点 E(4，0) ，点 F(6，0) ，以线段 EF 为边在x轴上方作正方形 EFGH ，若点
P(a，1) ， Q(a+1，1) 关于y轴和直线l的二次反射点分别为 P'，Q' ，且线段 P'Q' 与正方
形 EFGH 的边有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）A' (2，0)，B' (4，0)，C' (3，1)
（2）解：由（1）可知， D (−a，0)，D' (6+a，0) ．
1
DD'=6+a−a=6 ．
（3）解：由（1）可知， P' (6+a，1)，Q' (7+a，1) ，
当 P'Q' 与 EH 有公共点时，
{7+a⩾4，
，∴−3⩽a⩽−2 ．
6+a⩽4，
当 P'Q' 与 FG 有公共点时，
{6+a⩽6，
，∴−1⩽a⩽0 ，∴−3⩽a⩽−2 或 −1⩽a⩽0 ．
7+a⩾6，
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） A(−4，0)，B(−2，0)，C(−3，1) 关于y轴对称的点的坐标分
别为： A (4，0)，B (2，0)，C (3，1) ，
1 1 1
它们关于直线l对称，纵坐标不变，横坐标加上3的2倍与原横坐标的差，即为：
19 / 21A' (2，0)，B' (4，0)，C' (3，1) ，
故答案为： A' (2，0)，B' (4，0)，C' (3，1) ．
【分析】（1）根据 关于y轴和直线l的二次反射点 的定义求点的坐标即可；
（2）先求点的坐标，再求线段的长度即可；
（3）分类讨论，根据题意，列不等式组计算求解即可。
23．（2018八上·孝感月考）如图所示，△ABC的顶点分别为A（-4， 5），B（﹣3， 2），C（4，-
1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△ABC；
1 1 1
（2）写出A、B、C 的坐标；
1 1 1
（3）若AC=10，求△ABC的AC边上的高．
【答案】（1）解： 如图所示，△ABC 即为所求。
1 1 1
（2）解：A（-4， -5），B（﹣3，- 2），C（4，1）
1 1 1
1 1 1
（3）解： 由图可得S△ =6×8× -1×3× -1×3-3×7× =9
ABC 2 2 2
20 / 21又AC=√62+82=10
1
∵ AC×h=S△
2 ABC
∴h=9×2÷10=1.8
所以△ABC的AC边上的高为1.8
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）（2）中由关于X轴对称变换的性质易得A（-4， -5），B（﹣3，- 2），C
1 1 1
（4，1），在坐标系内，描点，连线即可。
可利用割补法计算出三角形ABC的面积，再利用勾股定理得AC的长，最后利用面积关系计算得到
AC边上的高。
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