文档内容
3.3 轴对称与坐标变化
5大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、坐标系上点关于坐标轴的对称
1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−1,2) B．(1,−2) C．(−1,−2) D．(2,−1)
【答案】B
【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标变换规律为：横坐标不变，纵坐标
取相反数．
【详解】解：点M(1,2)关于x轴对称时，其横坐标1保持不变，纵坐标2变为−2，
因此对称点的坐标为(1,−2)，
故选B．
2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）在平面直角坐标系中，点P(2,−3)关于y轴对称的点的坐标为
（ ）
A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−3,−2) D．(3,−2)
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标规律，横坐标互为相反数，纵坐标
不变，直接计算即可，熟练掌握点的坐标的关于y对称的特点是解此题的关键．
【详解】解：点P(2,−3)关于y轴对称时，横坐标变为相反数，即−2，纵坐标保持不变，仍为−3，因此
对称点的坐标为(−2,−3)，
故选：A．
3．（北京市顺义区2024一2025学年下学期八年级教学质量检测数学试卷）在平面直角坐标系中，点
A(1,2)关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(−1,−2) D．(1,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标变换规律：横坐
标取相反数，纵坐标不变，直接求解即可，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标变换规律是解此题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A(1,2)关于y轴的对称点的坐标是(−1,2)，故选：B．
4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标是
（ ）
A．(2,3) B．(2,−3) C．(−2,3) D．(−2,−3)
【答案】B
【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为
相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标是(2,−3)，
故选：B．
二、坐标系上点关于其他直线对称的变化
1．（2025·山西·模拟预测）剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，
点A与点B对称，点C与点D对称．将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(3,0)，(5,0)，
(1,4)，则点D的坐标为 ．
【答案】(7,4)
【分析】本题考查了轴对称的性质，由点A与点B对称，求得对称轴为直线x=4，再根据点C与点D对称，
即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点A与点B对称，(3,0)，(5,0)，
∴对称轴为直线x=4，
∵点C与点D对称，(1,4)，
∴点D的坐标为(7,4)，
故答案为：(7,4)．
2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知△ABC(1)画出△ABC关于直线x=2对称的图形△A B C ；并直接写出△A B C 的面积____；
1 1 1 1 1 1
(2)若点P(a,b)在△ABC内部，点P和点P 关于直线x=2对称，则P 的坐标是______；
1 1
【答案】(1)作图见解析，5．
(2)(4−a,b)
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
是解题的关键．
（1）找到点A,B,C关于x=2的对称点，再进行连线即可得到△A B C ；利用割补法求出△A B C 的面
1 1 1 1 1 1
积的面积即可．
（2）根据图形，根据轴对称的特征即可求出P 的坐标；
1
【详解】（1）解：如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
1 1 1
由图可知：S =2×6− ×1×6− ×2×2− ×4×1=5；
△A 1 B 1 C 1 2 2 2
故答案为：5．
（2）解：∵点P(a,b)在△ABC内部，点P和点P 关于直线x=2对称，
1∴P 的坐标是(4−a,b)
1
3．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点P(2m+4,m−1)．
(1)若点P在x轴上，求m的值；
(2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标；
(3)若点P(8,1)与点Q(a,b)关于直线x=1对称，则点Q的坐标是______．
【答案】(1)m=1
(2)P(0,−3)
(3)(−6,1)
【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0得出m−1=0，求解即可；
（2）由题意可得2m+4−(m−1)=3，求出m的值即可得解；
（3）根据对称的性质可得b=1，8+a=2×1，求出a的值即可得解．
【详解】（1）解：∵点P(2m+4,m−1)在x轴上，
∴m−1=0，
∴m=1；
（2）解：∵点P(2m+4,m−1)的横坐标比纵坐标大3，
∴2m+4−(m−1)=3，
∴m=−2，
∴2m+4=0，m−1=−3，即P(0,−3)；
（3）解：∵点P(8,1)与点Q(a,b)关于直线x=1对称，
∴b=1，8+a=2×1，
∴a=−6，
∴Q(−6,1)．
4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为
A(−2,4),B(−1,1),C(−3,2)．(1)画出△ABC关于x轴的对称图形为△A B C ，并写出顶点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC关于直线x=1所对称的图形△A B C ，并写出顶点A 的坐标；
2 2 2 2
(3)在y轴上画出点P，使△PAB的周长最小．
【答案】(1)见解析，A (−2,−4)
1
(2)见解析，A (4,4)
2
(3)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称−最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关
键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作图，再根据图形写出坐标即可；
（3）作点B关于y轴的对称点B ，连接B A交y轴于点P，由轴对称可知PB=PB ，所以
3 3 3
PB+PA=PB +PA=B A，根据两点之间线段最短，可知此时PB+PA最小，即△PAB的周长最小，故
3 3
点P即为 所求；
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
由图可得，A (−2,−4)；
1（2）解：如图所示，△A B C 即为所求，
2 2 2
由图可得，A (4,4)；
2
（3）解：如图所示，点P即为所求．
三、坐标系上的对称变化
1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且
OA=2，AB=4，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于点D，则点D的坐标为 ．( 3)
【答案】 0,
2
【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠
的性质可得：B′C=OA=2，∠B=∠B′=90°，OD+CD=OC=4，证明△AOD≌△CB′D(AAS)，得出
AD+OD=4，再由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得：BC=B′C，∠B=∠B′=90°，
∵OA=2，AB=4，四边形OABC是长方形，
∴B′C=OA=2，OD+CD=OC=AB=4，
{
∠B′=∠AOD
)
在△AOD和△CB′D中， ∠ADO=∠CDB′ ，
AO=B′C
∴△AOD≌△CB′D(AAS)，
∴AD=CD，
∴AD+OD=4，
∵AD2=AO2+OD2，
∴(4−OD) 2=22+OD2，
3
解得：OD= ，
2
( 3)
∴点D的坐标为 0, ，
2
( 3)
故答案为： 0, ．
2
2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，
B(−5,3)，C(−2,2)．
(1)请在图中画出 △ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的△A B C ；
1 1 1(2)△A B C 关于原点对称得到△A B C ，请在图中画出△A B C ；并写出A 坐标；
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，(−3,−3)
(3)4
【分析】本题考查了坐标与图形．
（1）根据平移作图即可；
（2）根据对称作图即可，根据图像即可得到A 坐标；
2
（3）根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）解：△A B C 如图所示；
2 2 2
由图可知：A 坐标为(−3,−3)；
2
1 1 1
（3）解：3×3− ×1×3− ×1×3− ×2×2=4，
2 2 2
∴△ABC的面积为4．
3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于y轴对称，右边图案中的左、右两
朵花花心的坐标分别是(2,5)和(3,4)．(1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标；
(2)如果将右边图案沿x轴向右平移2个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？
【答案】(1)左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是(−3,4)和(−2,5)；
(2)它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为(4,5)和(5,4)．
【分析】本题考查坐标系中的对称和平移，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，以及 点
的坐标平移规律．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得出左边图案中的左、右两朵花花心的坐标；
（2）根据平移规律，即可得出花心坐标发生的变化，以及变化后的坐标．
【详解】（1）解：∵左、右两幅图案关于y轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是(2,5)和
(3,4)，
∴左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是(−3,4)和(−2,5)，
答：左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是(−3,4)和(−2,5)．
（2）解：如果将右边图案沿x轴向右平移2个单位长度，那么它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标
不变，
∵右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是(2,5)和(3,4)，
∴沿x轴向右平移2个单位长度后，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标将变为(4,5)和(5,4)，
答：它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为(4,5)和(5,4)．
4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点
A的坐标为(2,4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)直接写出点A关于x轴的对称点A 的坐标．
2
【答案】(1)作图见解析，(−2,4)(2)(2,−4)
【分析】本题考查作图—轴对称图形，
（1）根据轴对称的性质，得出△ABC的三个顶点各个对应点，再顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解即可；
熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所作，点A 的坐标为(−2,4)；
1 1 1 1
（2）点A关于x轴的对称点A 的坐标为(2,−4)．
2
四、坐标系中的动点问题
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点A(3,7),B(3,2)，点P为直线AB上一点，且PA=4PB，则
点P的坐标为（ ）
( 1)
A．(3,1) B．(3,3) C．(3,3)或 3, D．(3,1)或(3,3)
3
【答案】C
【分析】设P(3,y)，则点P一定在点A的下方，故PA=7−y，PB=|2−y)，根据题意PA=4PB，建立
绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解．
本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设P(3,y)，则点P一定在点A的下方，故PA=7−y，PB=|2−y)，根据题意PA=4PB，
得7−y=4(2−y)或7−y=4(y−2)，
1
解得y= 或y=3，
3( 1)
故点P的坐标为(3,3)或 3, ，
3
故选：C．
2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点
A(a,0),B(0,b)，且a，b满足(a−6) 2+❑√b−8=0，连接AB．
(1)请直接写出a，b的值；
(2)若点P(m,0)满足△ABP的面积等于12，求点P的坐标；
(3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上
以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当△ABD的面积等于△ABC面积的2倍时，请直
接写出点C的坐标．
【答案】(1)a=6,b=8
(2)P(3,0)或P(9,0)
( 44)
(3)(0,−4)或 0,
7
【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解；
1
（2）根据坐标可得OB=8，AP=|6−m)，根据S = AP⋅OB=12求解；
△ABP 2
（3）设运动时间为t，则BC=t，OD=2t，AD=|2t−6)，当△ABD的面积等于△ABC面积的2倍时，
1 1
OB⋅AD=2× BC⋅OA，代入数值求出t的值，即可得出答案．
2 2
【详解】（1）解：∵ (a−6) 2+❑√b−8=0，
∴ a−6=0，b−8=0，
∴ a=6,b=8；
（2）解：由（1）得a=6,b=8，∴ A(6,0),B(0,8)，
∴ OB=8，AP=|6−m)，
∵ S =12，
△ABP
1 1
∴ AP⋅OB= ×|6−m)×8=12，
2 2
解得m=3或m=9，
∴ P(3,0)或P(9,0)；
（3）解：设运动时间为t，则BC=t，OD=2t，
∵ A(6,0)，
∴ OA=6，
∴ AD=|2t−6)，
1 1
当△ABD的面积等于△ABC面积的2倍时， OB⋅AD=2× BC⋅OA，
2 2
1 1
∴ ×8×|2t−6)=2× t×6，
2 2
12
解得t=12或t= ，
7
t=12时，点C的纵坐标为：8−12=−4；.
12 12 44
t= 时，点C的纵坐标为：8− = ；
7 7 7
( 44)
∴点C的坐标为(0,−4)或 0, ．
7
【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用
参数构建方程解决问题．
3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点
C，已知A(a,0)，C(0,c)，其中a，c满足关系式(a−6) 2+❑√c+8=0，点P从O点出发沿折线
OA→AB→BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．(1)a= ；c=_________；
(2)当点P到AB的距离为4个单位长度时，求t的值；
(3)点P在运动过程中，连接OP，PC．
①用含t的代数式表示点P的坐标；
1
②是否存在点P使得三角形OPC的面积是四边形OABC面积的 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存
3
在，请说明理由．
【答案】(1)6，−8
(2)t=1或t=9
(3)①P(2t,0)或P(6,6−2t)或(20−2t,−8)；②存在，P(4,0)，P(4,−8)
【分析】主要考查平面直角坐标系中动点问题，算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，熟练掌握相
关知识并灵活运用为解题关键．
（1）根据非负性，求出a，c的值，即可；
（2）根据a，c的值，得到点A，B，C的坐标，根据点P到AB的距离为4个单位长度时，根据图形得
到运动路程，即可求出结果；
（3）①根据P点的运用轨迹，分为P点在OA上，在AB上，在BC上三种情况，求出结果即可；②分别当
P点在OA上，在AB上，在BC上三种情况时讨论得出结果．
【详解】（1）解：∵(a−6) 2+❑√c+8=0，(a−6) 2≥0，❑√c+8≥0，
∴a−6=0，c+8=0，
∴a=6，c=−8，
故答案为：6，−8；
（2）∵a=6，c=−8，
∴A(6，0)，C(0，−8)，B(6，−8)，
∵当点P到AB的距离为4个单位长度时，
∴当P在线段OA上，点P到AB的距离为4个单位长度时，则6−2t=4，
∴t=1；
当P在线段BC上，点P到AB的距离为4个单位长度时，
∴点P的运动轨迹路程为：6+8+4=18，
∴t=18÷2=9（秒）；
综上所述，运动过程中，当点P到AB的距离为4个单位长度时，t=1或t=9．
（3）①如图，当0≤t<3时，点P在线段OA上，
OP=2t,P(2t,0)
；
当3≤t<7，点P在线段AB上，
PA=2t−6,P(6,6−2t)
；
当7≤t≤10时， 点P在线段BC上，
PC=20−2t,P(20−2t,−8)
；
1
②存在点P使得三角形OPC 的面积是四边形OABC的面积的 ，理由如下：
3
∵四边形OABC的面积=6×8=48，
1
∴ ×48=16，
3
1
当0≤t<3时，三角形OPC的面积= ×8×2t=8t，
2∴8t=16，
∴t=2，P(4,0)；
1
当3≤t<7时，三角形OPC的面积= ×8×6=24≠16，
2
∴此时不存在点P；
1
当7≤t≤10时，三角形OPC的面积= ×8×(20−2t)=16，
2
∴t=8,P(4,−8)；
∴综上所述当t=2时，P(4,0)，当t=8时，P(4,−8)．
4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践，如图在长方形ABCO中，O为平面直角坐
标系的原点，点A坐标为(4,0)，点C的坐标(0,6)，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单
位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动，
(1)求点B的坐标
(2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】(1)(4,6)
(2)(4,4)
(3)4秒或8秒．
【分析】本题考查了坐标与图形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据点A、C的坐标得到OA=4，OC=6，再结合长方形的性质求解即可；
（2）由题意可知，当点P移动到4秒时，点P的移动距离为8，再根据点P的移动路线可知，点P在AB上，
写出点P的坐标即可．
（3）分两种情况讨论：①当点P在AB上时；②当点P在OC上时，分别求出点P的移动距离，再求出点P
移动的时间即可．
【详解】（1）解：∵点A坐标为(4,0)，点C的坐标(0,6)，
∴OA=4，OC=6，∵长方形ABCO，
∴AB=OC=6，OA=BC=4，∠OAB=∠OCB=90°，
∴点B的坐标为(4,6)；
（2）解：当点P移动到4秒时，点P的移动距离为4×2=8，
∵点P沿着O→A→B→C→O的路线移动，且OA=4，AB=6，
∴点P在AB上，坐标为(4,8−4)，即(4,4)．
（3）解：①如图，当点P在AB上时，
∵
点P移动到距离x轴4个单位长度，
∴AP=4，
∴点P的移动距离为OA+AP=8，
∴点P移动的时间为8÷2=4秒；
②如图，当点P在OC上时，
∵
点P移动到距离x轴4个单位长度，
∴OP=4，
∴点P的移动距离为OA+AB+BC+OC−OP=16，
∴点P移动的时间为16÷2=8秒；
综上可知，点P移动的时间为4秒或8秒．
五、坐标系上的最短路径问题
1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)，
B(2,0)，C(5,3)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB C ；
1 1
(2)若点P为y轴上一动点，使得PB +PC 值最小，在y轴上画出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P
1 1
的坐标______．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，P(0,1)
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画图即可；
（2）连接BC ，BC 与y轴的交点即为点P．
1 1
【详解】（1）解：如图，△AB C 即为所求；
1 1
（2）如图，点P即为所求；
由图可知：P(0,1)．2.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）（1）请在给定的平面直角坐标系中画出△ABC关于y轴对称的图形
△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）在y轴上找出一点M，使MB+MC的值最小．（不写画法，保留画图痕迹）
【答案】（1）见解析，C (1,−1)；（2）见解析
1
【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可；
1 1 1
（2）连接CB 交y轴于点M，连接CM，点M即为所求．
1
【详解】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
C (1,−1)
1
；
（2）如图，点M即为所求．3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，
B(2,1)，C(5,1)．
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ，并分别写出A ，B ，C 的坐标．
1 1 1 1 1 1
(2)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ，△A B C 的面积为______．
2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上画出点P使PA+PB最小．
【答案】(1)图见解析，A (−1,3)，B (−2,1)，C (−5,1)
1 1 1
(2)图见解析，3
(3)见解析
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，直角坐标系，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
（1）先根据对称的性质作图，再根据所作图形写出A ，B ，C 的坐标即可；
1 1 1
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）由于点A、A 关于y轴对称，所以AP=A P，则PA+PB=PA +PB，当A 、P、B共线时，
1 1 1 1
PA+PB最小，所以连接A B交y轴于点P，点P即为所求．
1
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求，A (−1,3)，B (−2,1)，C (−5,1)；
1 1 1 1 1 1（2）如图，△A B C 即为所求，
2 2 2
1
△A B C ×3×2=3
2 2 2 2
的面积为： ，
故答案为：3；
（3）如图，连接A B交y轴于点P，点P即为所求．
1
4．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A(−4,4)、
B(−2,1)、C(0,3)．(1)求△ABC的面积；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)在y轴上有一点M，使得AM+BM的值最小，请直接写出点M的坐标：________（横、纵坐标值精确
到整数值）
【答案】(1)5
(2)画图见解析，A′(−4,−4)，B′(−2,−1)，C′(0,−3)
(3)M(0,2)
【分析】本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）利用割补法求三角形的面积即可；
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（3）作点A关于y轴的对称点A ，连接A B交y轴于点M即为所求．
1 1
1 1 1
【详解】（1）△ABC的面积=3×4− ×2×3− ×2×2− ×1×4=5；
2 2 2
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；
∴A′(−4,−4)，B′(−2,−1)，C′(0,−3)；（3）如图所示，作点A关于y轴的对称点A ，连接A B交y轴于点M即为所求；
1 1
由网格特点得，点M的坐标为M(0,2)．
1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点M(a,3)，点N(2,b)关于y轴对称，则(a+b) 2024的值（ ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，代数式求值，关键
是掌握点的坐标的变化规律．
根据点M(a,3)，点N(2,b)关于y轴对称特征，求得a，b的值，代入即可求解．
【详解】解：点M(a,3)，点N(2,b)关于y轴对称，
∴a=−2，b=3，
则(a+b) 2024=(−2+3) 2024=1．
故选：C．
2．（24-25七年级下·重庆·期末）若点A(4,m+3)与点B(n−2,5)关于x轴对称，则m+n的值为
．
【答案】−2
【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵
坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键．根据点A(4,m+3)与点B(n−2,5)关于x轴对称，，可知∴m=−8,n=6，代入m+n直接求值即可得到答
案．
【详解】解：∵点A(4,m+3)与点B(n−2,5)关于x轴对称，
∴n−2=4,m+3=−5，
∴m=−8,n=6，
∴m+n=−8+6=−2．
故答案为：−2．
3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，
C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)△A B C 的面积是____________．
1 1 1
【答案】(1)见详解
7
(2)
2
【分析】本题考查了作轴对称图形和求格点三角形面积；掌握轴对称图形的作法及割补法求面积是解题的
关键．
（1）按要求作出图形，即可求解；
（2）正方形的面积减去3个直角三角形的面积，即可求解；
【详解】（1）解：如图，∴△A B C
1 1 1
为所求作图形；
（2）解：由图得：
1 1 1
S =3×3− ×3×1− ×2×1− ×2×3
△A 1 B 1 C 1 2 2 2
7
= ．
2
7
故答案为： ．
2
4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(3,0)，且平行于y
轴，给出如下定义：点P(x,y)先关于y轴对称得点P ，再将点P 关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P
1 1
关于y轴和直线l的二次反射点．
(1)已知A(−4,0)，B(−2,1)，写出点A、点B关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′的坐标；
(2)若点C的坐标是(a,0)，其中a<0，点C关于y轴和直线l的二次反射点是点C′，求线段CC′的长．
【答案】(1)A′(2,0)，B′(4,1)
(2)6
【分析】本题考查了轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用．
（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′ (6+a,0)，则可得出答案．
【详解】（1）解：∵A(−4,0)，
∴点A关于y轴对称点的坐标为(4,0)，
∵(4,0)关于直线l对称的点A′ (2,0)，
∴A(−4,0)关于y轴和直线l的二次反射点A′的坐标(2,0)，
∵B(−2,1)，
∴点B关于y轴对称点的坐标为(2,1)，
∵(2,1)关于直线l对称的点B′ (4,1)，
∴B(−2,1)关于y轴和直线l的二次反射点B′的坐标(4,1)，
（2）解：∵点C的坐标是(a,0)，a<0
∴点C关于y轴对称点的坐标为(−a,0)，
∴(−a,0)关于直线l对称的点C′ (6+a,0)，
∴CC′=6+a−a=6．
5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(2,4)，
(1,2)，(5,3)和(−1,−2)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A B C （点A ，B 分别是点A，B的对应点），并写出点C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)在图中的平面直角坐标系中画出点E，使得以D，E，A ，B 四点组成的四边形是轴对称图形，且对称
1 1
轴是y轴，并写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)见详解，E(−2,−4)【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称和轴对称图形，坐标变换，解题的关键是正确理解坐标系中对
称的性质．
（1）根据轴对称的特征得出点A、B、C的位置再顺次连接即可得解；
（2）根据轴对称的特征得出点E，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：△ABC关于x轴对称的△A B C ，如图1即为所求；
1 1 1
由图可知，C (5,−3)；
1
（2）如图2，四边形ABDE即为所求，
由图可知，E(−2,−4)．
6．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在
x轴、y轴上，BC∥x轴，BA⊥x轴，点B的坐标为(a,b)，且(a−6) 2+|b−4)=0．(1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________．
(2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形OPA的
面积与长方形OABC面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形APQ的面积是长方形OABC的面积的2倍？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(6,0)，B(6,4)
(2)4秒
(3)Q(−6,0)或(18,0)
【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
（1）由(a−6) 2+|b−4)=0，可得a−6=0，b−4=0，解得a=6，b=4，则A(6,0)，B(6,4)；
（2）设P(0,m)，则S =3m，由题意知S =OA×OC=6×4=24，S =S ，得到
△OPA 长 方 形OABC △OPA 长 方 形OABC
3m=24，进一即可求出答案；
1 1
（3）由（2）可知P(0,8)，设Q(n,0)，得S = AQ×OP= ×|6−n)×8，由S =2S 列
△APQ 2 2 △APQ 长 方 形OABC
方程，求出n的值即可．
【详解】（1）解：∵ (a−6) 2+|b−4)=0，
∴ a−6=0，b−4=0，
解得a=6，b=4，
∴ A(6,0)，B(6,4)．
故答案为：A(6,0)，B(6,4)．
1 1
（2）解：设P(0,m)，则S = OP×OA= m×6=3m，
△OPA 2 2
由题意知S =OA×OC=6×4=24，S =S ，
长 方 形OABC △OPA 长 方 形OABC
∴ 3m=24，解得m=8，
8
∴ t= =4（秒），
2
∴点P的运动时间为4秒；
（3）解：由（2）可知P(0,8)
1 1
设Q(n,0)，则AQ=|6−n)，S = AQ×OP= ×|6−n)×8，
△APQ 2 2
∵ S =2S
△APQ 长 方 形OABC
1
∴ ×|6−n)×8=48，
2
解得n=−6或n=18，
∴ Q(−6,0)或(18,0)
7．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，
过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，已知点A(0,m)，N(n,0)，且❑√m−4+|n−6)=0．若点P从点
E出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1个单位长度的速
度沿x轴向右移动.
(1)m= ，n= ，点E坐标为 .
(2)求经过几秒AP=OQ？
(3)若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，请直接写出此时点P的坐标.
【答案】(1)4，6，(6,4)
(2)2s
( 4 )
(3)(4,4)， − ,4
3
【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可；
（2）设经过x秒，AP=OQ，列方程求出x的值即可；
（3）分点P在y轴右侧时和点P在y轴左侧时两种情况，根据以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是
10cm2列方程求出x的值，即可求出P点的坐标.本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结
合与方程思想是解题的关键.
【详解】（1）解：∵❑√m−4+|n−6)=0，
∴m−4=0 ，n−6=0，
∴m=4，n=6，
∴点E 坐标为(6,4)；
故答案为：4，6，(6,4).
（2）解：∵E(6,4)，
∴AE=ON=6，
设经过x秒，AP=OQ，
依题意，得6−2x=x，
解得x=2 ，
∴经过2秒AP=OQ.
（3）解：当点P在y轴右侧时，
(6−2x)+x
依题意，得 ×4=10 ,
2
解得x=1,
则6−2x=4,
此时点P 的坐标为(4,4);
当点P在y轴左侧时，
(2x−6)+x
依题意，得 ×4=10 ,
2
11
解得x=
,
3
4
则2x−6=
,
3
( 4 )
此时点P 的坐标为 − ,4 ．
3
( 4 )
综合以上可得点P的坐标为(4,4)或 − ,4 ．
3
8．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,0)，其中a，b满
足❑√a+1+(b−3) 2=0．(1)填空：a=_____，b=_____；
(2)若在第三象限内有一点M(−2,m)，用含m的式子表示△ABM的面积．
3
(3)在（2）条件下，当m=− 时，点P是x轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，
2
求点P的坐标．
【答案】(1)−1；3
(2)−2m
(3)(−5,0)或(11,0)
【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标
与图形、分类讨论是解题的关键．
（1）利用算术平方根和平方的非负性，得出a+1=0，b−3=0，求出a、b的值即可；
（2）根据点A、B的坐标，求出AB，根据坐标与图形，得出△ABM的边AB上的高=−m，根据三角形的
面积公式，得出答案即可；
（3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由△PBM的面积是△ABM的面积的2倍，得出
PB=2×AB=2×4=8，分“当点P在点B的左侧时”和“当点P在点B的右侧时”两种情况，根据坐标与
图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵❑√a+1+(b−3) 2=0，❑√a+1≥0，(b−3) 2≥0，
∴❑√a+1=0，(b−3) 2=0，
∴a+1=0，b−3=0，
∴a=−1，b=3，
故答案为：−1；3；
（2）解：由（1）得a=−1，b=3，
A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4，
∵在第三象限内有一点M(−2,m)，∴m<0，
∴△ABM的边AB上的高=−m，
1
∴S = ×4×(−m)=−2m；
△ABM 2
（3）解：∵A(−1,0)，B(3,0)，点P是x轴上的动点，
∴△PBM的边PB上的高和△ABM的边AB上的高相等，
又∵三角形的面积=底×高÷2，△PBM的面积是△ABM的面积的2倍，
∴PB=2×AB=2×4=8，
∴当点P在点B的左侧时，
3−8=−5 P (−5,0)
，则点 的坐标为 ，
当点P在点B的右侧时，
3+8=11 P (11,0)
，则点 的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为(−5,0)或(11,0)．
9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，
AB=CD=4，BC=DE=3，有个点P从A→B→C→D运动，每秒钟1个单位，同时点Q从
O→E→D也以每秒1个单位运动，运动时间为t，
(1)写出B，C，D三个点坐标．
(2)当t=6秒时，求△OPQ的面积．
(3)当P到x轴距离等于Q到y轴距离时，求时间t．【答案】(1)B(4,6)，C(4,3)，D(8,3)
(2)12
(3)t=4或t=5
【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面
积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．
（1）根据题意，先求得OE和OA，再写出点的坐标即可；
（2）先判断点P和Q所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可；
（3）分4种情况①0
