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第三章 位置与坐标
【知识点01】平面直角坐标系
1.有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
2.坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.
3.平面直角坐标系
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方
向；
③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在 x轴上，又在y轴
上).
4.点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应
y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作 （ a , b ） . 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗
号.
5.坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之
外，其他区域之间都没有公共点.
6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过
来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也
就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
7.象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限
(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.
注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标
也相应发生改变.
8.坐标平面内点的位置特点
①坐标原点的坐标为 （ 0 ， 0 ） ；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9.点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x
轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d =
10.坐标平面内对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
11.平行于坐标轴的直线的表示
①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为
纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差
的绝对值；
②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为
横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差
的绝对值.
12.象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【知识点02】图形在坐标系中的平移
1.点的平移
在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”
2.图形的平移
在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原
图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新
图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
3.关于坐标轴对称的点的坐标关系
4.坐标方法的简单应用
①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积
将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如
矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.
易错点1 利用平面直角坐标系的性质求参数问题
1. 求参数时，易忽略点所在象限对坐标符号的限制，要先确定象限，再结合坐标特征列方程。
2. 利用平行、对称等性质求参数，易混淆不同位置关系对应的坐标规律，需牢记各类位置关
系的坐标变化特点。
例1．已知点 ，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P在y轴上；
(3)点P在过点 且与x轴平行的直线上．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的坐标，一元一次方程的应用，用到的知识点为：y轴上的点的
横坐标为0；平行于x轴的直线上的点的横坐标相等．
（1）根据点P的纵坐标比横坐标大3列出方程 ，进而求解即可；
（2）根据点P在y轴上列出方程 ，进而求解即可；
（3）根据点P在过 且与x轴平行的直线上列出方程 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得 ，
∴ ， ，
∴P点的坐标为 ；
（2）解：根据题意得： ，
解得 ，
∴ ，
∴P点的坐标为 ；
（3）解：根据题意得： ，
解得 ，
∴ ，
∴P点的坐标为 ．
易错点2 点在平面直角坐标系中的规律探究问题
1. 易忽略点所在象限或坐标轴，导致坐标符号判断错误，探究规律前要先明确点的位置特
征。
2. 找规律时，易混淆横、纵坐标的变化规律，应分别分析横、纵坐标的变化，再综合总结。例2．如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第
1
三次将 变换成
.
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将 变换成 ，则 的坐标是 ， 的坐标
是 ．
(2)若按第（1）题找到的规律将 进行n次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有
何变化，找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ．
(3)若按第（1）题找到的规律将 进行n次变换，得到 ，则 的面积S为 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据点 的变化，可找出点 的坐标；同理可得出点 的坐标；
（2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点 的坐标；
（3）由点 的坐标可得出 的长度，再根据三角形的面积公式即可求出 的面积．
【详解】（1）∵ ，
∴ ；∵ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（2）解：由（1）可知 的横坐标每次扩大2倍,纵坐标为3， 的横坐标每次
扩大2倍，纵坐标不变，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，三角形面积，正确找到点的坐标变化规律是解
题的关键．
易错点3 平面直角坐标系中的新定义型问题
易错总结
对新定义理解不透彻，未精准把握定义中的条件和规则，就匆忙解题，从而出现逻辑错误；
在运用新定义进行计算或推理时，忽略特殊情况，导致结果不完整。
注意事项
拿到题目后，要逐字逐句研读新定义，圈画关键信息，可通过简单示例辅助理解；解题过程
中，仔细分析各种可能情况，对特殊点、边界值等进行单独讨论，确保答案的准确性和完整
性。
例3．在平面直角坐标系中，对于点A ，若点B的坐标为 ，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A 的“4级关联点”点B的坐标为 ，即B
．
(1)点P 的“3级关联点”是_________；
(2)若点C 的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若存在点 ，使得 轴，且 ，求点 的坐标．（提示：先由（2）求出
点 的坐标）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)点 的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据新定义即可求解；
（2）由题意可得点C 的“2级关联点”点D的坐标为 ，再根据点D在x轴上，得到
，求解即可得出答案；
（3）由 轴，得到点 的横坐标为 ，设点 的纵坐标为 ，根据 ，得到 ，求解
即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
点P 的“3级关联点”是 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意可得：
点C 的“2级关联点”点D的坐标为： ，
∵点D在x轴上，
∴ ，∴ ，
∴ ，点 ；
（3）解：由（2）可知，点 ，
∵ 轴，
∴点 的横坐标为 ，
设点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
易错点4 平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题
易错总结
一是在确定三角形或多边形顶点位置时，考虑情况不全，遗漏某些满足条件的点， 比如忽略
坐标轴负半轴上可能存在的点；二是计算面积公式运用错误，特别是涉及到不规则图形转化
为规则图形求面积时，分割或补形出现偏差，导致面积计算错误。
注意事项
全面考虑点在坐标系中的位置，从各个象限以及坐标轴正负方向去分析；准确选择和运用面
积公式， 对于不规则图形，认真分析其与规则图形的关系，确保转化过程正确。
例4．如图1，在平面直角坐标系中，点 ， ，且实数 、 满足
．(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)如图1， 为线段 上一点，且 ，求点 的坐标；
(3)如图2，将线段 平移至 ，使点 的对应点 落在x轴上，点 的对应点 落在 轴上，连接 、
， 为线段 上一点， 为 轴上一动点，若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用 可得 ，解出 、 的值即可求出．
（2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作 于点
G，过点C分别作 于点M， 于点N，连接 ，首先得到 ，
求出 ，得到 ， ， ，由 求出 ，
进而求解即可；
（3）设 与y交于K，连接 ，则 ，得出 ，因为 ，故
，由 代数求解即可．
【详解】（1） ，
，，
， ．
（2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作 于点
G，过点C分别作 于点M， 于点N，连接
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∴ ；（3）∵点 ， ，由平移可得点 ， ，
设 与y交于K，
连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
或 ．
一、单选题
1．点 到 轴的距离为3，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】根据点到 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，列出方程求解 的值．本题主要考查点的坐标特征，熟练掌握点到 轴的距离与纵坐标的关系（点 到 轴的距离为 ）是解题的关键．
【详解】解：∵点 到 轴的距离为 ，
∴ 或 ．
解得 ，或解得 ．
故选：D ．
2．在平面直角坐标系中，点 关于x轴的对称点为 ， 关于直线 的对称点为 ，则点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－对称及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟悉关于x轴、直线
对称时点的坐标变化规律是解题的关键．根据题意，用m表示出点 的坐标，据此进行判断即可．
【详解】解：由题知，
点P(−1,m2+1)关于x轴的对称点 的坐标可表示为(−1,−m2−1)，
点 关于直线 的对称点 的坐标可表示为(−m2−1,−1)，
因为 ， ，
所以点 在第三象限．
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A从 依次跳动到 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，……，按此规律，则点 的坐标
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图象与点坐标可知，每跳动10次，点 的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0， ，
循环出现，由 ，可得 ，求解作答即可．
【详解】解：由题意知：每跳动10次，点 的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0， ，
循环出现，
，
，
即 ，
故选：A．
二、填空题
4．已知点 ， 关于y轴对称，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可
得答案．
【详解】解： 点 ， 关于y轴对称，
， ，，
故答案为： ．
5．已知 ， 都是实数，设点 ，若满足 ，则称点 为“友好点”．若点
是“友好点”，则 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“友好点”的定义是解题关键．根据新定义得出
，解方程求得 ，进而求得 的坐标．
【详解】解：∵点 是“友好点”，
∴ ，
解得： ，
∴
∴
故答案为： ．
6．在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点
；把 先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点 ；把 先向下平移3
个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点 ；把 先向下平移4个单位长度，再向右平移4
个单位长度，得到点 ，…，按此规律依次进行下去，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考
题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向
上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点 的坐标为 ，
由此求解即可．
【详解】解： 把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点 ；
把点 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点 ；
把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；
把点 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 ，
第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一
个点，
到 是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
到 是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，
到 是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，
到 是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
到 是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
可以看作每四次坐标变换为一个循环，点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
三、解答题
7．已知点 ，解答下列各题．
(1)若点 在 轴上，试求出点 的坐标．
(2)已知点 ，且 轴，试求出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题运用了平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题，关键是用好数形结合的数学思想．
（1）根据“y轴上的点横坐标为0”列式计算即可求解；
（2）根据“ 轴时，纵坐标相等” 列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点 在y轴上，
；
（2）解：∵ ，且 轴，
，
，
．8．已知平面直角坐标系中一点 ．
(1)当点 在 轴上时，求出点 的坐标；
(2)当点 在过点 、且与 轴平行的直线上时，求出点 的坐标；
(3)当点 到两坐标轴的距离相等时，求出 的值．
【答案】(1)点 的坐标为
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据 轴上点的横坐标为 列方程求出 的值，再求解即可；
（2）根据平行于 轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解 的值，再求解即可．
（3）根据点 到 轴的距离列出绝对值方程求解 的值．
【详解】（1）解： 点 在 轴上，
，
解得 ，
所以， ，
所以，点 的坐标为 ；
（2）解： ，且 平行于 轴，
，
解得 ，
，
点 的坐标为
（3）解：根据题意，得 或 ，
解得 或 ．
所以 的值是 或 ．
9．在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，
其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________，点 的坐标为___________，点 的坐标
为___________．
(2)直接写出点 到点 的距离：___________．
【答案】(1) ； ； ；
(2)1012
【分析】（1）根据题意可得点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；……由
此发现规律，即可求解；
（2）根据 ，可得点 的坐标为 ，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
……
由此发现，点 的坐标为 ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：∵ ，
∴点 的坐标为 ，即 ，
∵点 的坐标为 ，
∴点 到点 的距离1012．
故答案为：1012【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点 的坐标为
是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中， ， 且满足 ，过C作 轴于B．
(1)求a，b的值：
(2)求 的面积：
(3)若 交y轴于Q，而Q的坐标为 ，在y轴上是否存在点P，使得 和 的面积相等？若
存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)8
(3)存在，点P为 或
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合运用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
（1）根据平方以及平方根的非负性进行求解即可；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点 ，求出 的面积，利用面积相等即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：由（1）可知 ，
轴于B，，
；
（3）解：存在，理由如下：
设点 ，
Q的坐标为 ，
，
，
和 的面积相等，
，
解得 或 ，
故点P为 或 ．
11．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于 轴的对称点，我们把
这个过程称为点的“优化变换”．若点 经过“优化变换”后得到的点 与点 重合，我们称点 为不动
点．
(1)点 经过“优化变换”后的坐标为_____；
(2)请判断点 ， 是否为不动点？说明理由；
(3)已知点 为不动点，求 的值．
【答案】(1)
(2)点 不是不动点；点 是不动点(3)
【分析】（1）根据“优化变换”求解即可；
（2）根据新定义的含义得到 变换后的点的坐标为 ，结合新定义可得答案，同理可判断
是不动点；
（3）根据新定义的含义得到 变换后的点的坐标为 ，结合新定义建立方程可得答案．
【详解】（1）点 向左平移5个单位长度为
点 关于 轴的对称点为 ；
（2）解：把 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，即 ；
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
∴ 与 不重合，不是不动点；
把 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，即 ；
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
∴ 与 重合，是不动点；
（3）解：点 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
而点 为不动点，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解
题的关键是掌握以上知识点．
12．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点 与 两点即为等距点．
(1)已知点A的坐标为
①点 ， ， 中，与点A为“等距点”的是____；
②若点M的坐标为 ，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标；
(2)若点 与点 两点为“等距点”，在y轴上有一点 ，连接 ， ， ，
．若三角形 的面积为三角形 的面积的 倍时，求出b的值．
【答案】(1)①C，D；②点 或
(2) 或
【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程．
（1）①根据“等距点”的定义作答即可；
②根据“等距点”的定义列出方程即 的取值范围，再计算即可；
（2）根据“等距点”的定义求出 ， 或 ， ，根据面积法列方程计算即可．
【详解】（1）①解：点 到x，y轴的距离中的最大值为4，
到x，y轴的距离中的最大值为 ，不是点A的“等距点”；
到x，y轴的距离中的最大值为 ，是点A的“等距点”；
到x，y轴的距离中的最大值为 ，是点A的“等距点”；
故答案为：C，D；
②解：∵A，M两点为“等距点”
∴ 或 且 ，
解得： ， ， 且
∴ 或∴点 或
（2）解：∵点 与点 两点为“等距点”
∴ 或
解得：
∴ ， 或 ， （舍去）或 ， 或 ，
（舍去）
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时
分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K
∴
∴
∴
∴
∴当 ， 时
与y轴交于点K
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述， 或
