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专题 15 数列构造求解析式必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．数列 中， ， ，则 （ ）
A．32 B．62 C．63 D．64
【答案】C
【分析】
把 化成 ，故可得 为等比数列，从而得到 的值.
【详解】
数列 中， ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，所以 为等比数列，公比为 ，首项为 .
所以 即 ，故 ，故选C.
2．在数列 中， ，且 ，则 的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得 ，即可得到 是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通
项公式计算可得；
【详解】
解：∵ ，∴ ，由 ，得 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ，即
．
故选：A
3．设数列{a }满足a＝1，a＝3，且2na ＝(n－1)a ＋(n＋1)a ，则a 的值是（ ）
n 1 2 n n－1 n＋1 20
A．4 B．4
C．4 D．4
【答案】D
【分析】
首先证得{na－(n－1)a }为常数列，得到 ，进而证得数列 是以1为首项，5为公
n n－1
差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.
【详解】
因为2na＝(n－1)a ＋(n＋1)a ，
n n－1 n＋1
所以na－(n－1)a ＝(n＋1)a －na
n n－1 n＋1 n
故数列{na－(n－1)a }为常数列，且 ，
n n－1
所以 ，即 ，
因此数列 是以1为首项，5为公差的等差数列，
所以 ，因此
所以a ＝ .
20
故选：D．
4．设数列{a }中，a＝2，a ＝2a ＋3，则通项a 可能是（ ）
n 1 n＋1 n n
A．5－3n B．3·2n－1－1
C．5－3n2 D．5·2n－1－3
【答案】D
【分析】用构造法求通项.
【详解】
设 ，则 ，
因为a ＝2a＋3，所以 ，
n＋1 n
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
，所以
故选：D
5．已知数列 满足： ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对 两边取倒数后，可以判断 是首项为1，公差为 的等差数列，即可求得.
【详解】
由数列 满足： ，
两边取倒数得： ，即 ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以
故选:D
6．已知数列 中， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，由等差数列的性质及通项可得 ，即可得解.
【详解】
令 ，则 ， ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 .
故选：D.
7．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得出数列 是等比数列，然后可利用数列 的奇数项仍然为等比数列，求得和 ．
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列 也是等比数列，公比为 ，首项为3．
所以 ．
故选：A．8．已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知关系求得数列 是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．
【详解】
由题意 ，
由 得 ，即 ，所以数列 是等比数
列，仅比为4，首项为4，
所以 ．
故选：C．
9．已知数列 满足递推关系， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由递推式可得数列 为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
即数列 是以2为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
故选：D.10．已知数列 满足： ， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取倒数，可得 是以 为首项， 为公比的等比数列，由此可得结论.
【详解】
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，
∴ .
故选：B.
11．数列 满足 ，且 ，若 ，则 的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
依题意，得 ，可判断出数列{2na}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a=2，即其首
n 1项为2，从而可得a= ，继而可得答案．
n
【详解】
∵ ，即 ，
∴数列{2na}为公差是1的等差数列，
n
又a=1，
1
∴21a=2，即其首项为2，
1
∴2na=2+（n﹣1）×1=n+1，
n
∴a= ．
n
∴a=1，a= ，a= ，a= ＞ ，a= = ＜ = ，
1 2 3 4 5
∴若 ，则n的最小值为5，
故选C．
12．已知数列 满足 ， ，则满足不等式 的 （ 为正整数）的值为
（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
先求得 的通项公式，然后解不等式 求得 的值.
【详解】
依题意 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 得 ，即 ，
即 ，
，
而 在 上递减，
所以由 可知 .
故选：D
13．在数列 中， ， ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】
根据递推关系可得数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得
，即求.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
则 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C14．已知数列 满足 ，且 ，则 的第 项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在等式 两边取倒数，可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得
.
【详解】
当 且 ，在等式 两边取倒数得 ，
，且 ，所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
因此， .
故选：A.
15．数列 中，若 ， ，则该数列的通项 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
据递推关系式可得 ， 利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，即数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
故 ，
故选：A
16．已知数列 满足 ，且 ， ，则数列 前6项的和为（ ）.
A．115 B．118 C．120 D．128
【答案】C
【分析】
由题干条件求得 ，得到 ，构造等比数列可得数列 的通项公式，再结合等比数列求和
公式即可求得数列 前6项的和.
【详解】
，则 ，
可得 ，
可化为 ，
有 ，得 ，
则数列 前6项的和为 .
故选：C
第II卷（非选择题）
二、填空题
17．已知数列 满足 ，则 __________．
【答案】【分析】
先判断出 是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到 ，从而求出 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
由 ，所以 为首项为2，公比为3的等比数列，
所以 ，
所以 .
故答案为：
18．已知数列 的各项均为正数，且 ，则数列 的通项公式 ______．
【答案】
【分析】
因式分解可得 ，结合 ，即得解
【详解】
由 ，
得 ．
又 ，所以数列 的通项公式 ．
故答案为：
19．已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式 ______．
【答案】
【分析】利用条件构造数列 ，可得数列为等差数列即求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
即 ．又 ， ，
∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，
∴数列 的通项公式 ．
故答案为： .
20．若正项数列 满足 ，则数列 的通项公式是_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件将原等式变形成 ，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列 中， ，则有 ，
于是得 ，而 ，因此得：数列 是公比为2的等比数列，
则有 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
故答案为：21．若数列 满足 ， ， ，且 ，则 ______．
【答案】15
【分析】
根据题意整理可得 ，所以 为常数列，令 即可得解.
【详解】
由 可得 ，
两边同除 可得 ，
故数列 为常数列，
所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：15
22．数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 ___．
【答案】
【分析】
由给定条件借助 消去 ，求出 即可得解.
【详解】
因 ， ，而 ，则 ，
于是得 ，又 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
从而有 ，即 ， ，时， ，而 满足上式，
所以 ， .
故答案为：
23．在数列 中， ， ， ，则 ________.
【答案】460
【分析】
由已知可得 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，由此可求出 的通项
公式，得出所求.
【详解】
，
，即 ,
所以 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ，
.
故答案为：460.
三、解答题
24．已知数列 满足 ， .
（1）若数列 满足 ，求证： 是等比数列；（2）求数列 的前n项和 .
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由递推公式可得 ，即 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得；
（1）
解：因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，
即 ， ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）
解：由（1）可得 ，即 ，所以
所以
25．已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， ．
求数列 ， 的通项公式；
【答案】 ，
【分析】
利用 求 通项公式，构造 是等比数列，求 通项公式即可；
【详解】解：数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时， ．
当 时， ，显然也适合上式．
所以 ；
因为数列 满足 ， ．
所以 ，
所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列．
故 ，
所以 .
26．已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】
首先证得 是等差数列，然后求出 的通项公式，进而求出 的通项公式；
【详解】
解：因为 ，
所以令 ，则 ，解得 ，
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，
所以 ；
27．已知列 满足 ，且 ， ．
（1）设 ，证明：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）根据题设递推式得 ，根据等差数列的定义，结论得证.
（2）由（1）直接写出通项公式即可.
【详解】
（1）由题设知： ，且 ，
∴ 是首项、公差均为1的等差数列，又 ，则数列 为等差数列，得证.
（2）由（1）知： .
28．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）已知 ， ，设___________，求数列 的通项公式.
在① ，② ，③ ，这3个条件中，任选一个解答上述问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.【答案】（1） ；（2）见解析.
【分析】
（1）根据等差数列的性质可求 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 ，从而可得 为常数列，据此可求 的通项，
从而可求相应的 的通项公式.
【详解】
（1）因为 为等差数列，故 ，故 ，
而 ，故 即 ，所以等差数列 的公差为1，
所以 .
（2）因此 ，故 ，
所以 ，所以 为常数列，
所以 ，所以 ，
若选①，则 ；
若选②，则 ；
若选③，则 .
29．设数列 满足 ，且 ， .
（1）求 ， 的值；（2）已知数列 的通项公式是： ， ， 中的一个，判断 的通项公式，并求
数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【分析】
（1）由递推公式得 ，结合已知 是首项为3，公比为3的等比数列，写出 的通项
公式，进而求 ， 的值；
（2）由（1）得 ，再应用分组求和及等差、等比前n项和公式求 .
【详解】
（1）∵ ，即 且 ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列，即 ，
∴ ，则 ， .
（2）设 ，由（1）知 ，又 .
∴ ，
.
30．已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）构造 ，结合已知条件可知 是首项为2，公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用
累加法有 ，即可求 的通项公式；
（2）由（1）知： ，易知 在 上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.
【详解】
（1）令 ，则 ，而 ，
∴ 是首项为2，公差为4的等差数列，即 ，
∴ ，又
，
∴ .
（2）由题设， ， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，故 且在 上单调递增，又
，
∴当 时， 的最小值 .任务二:中立模式(中档)1-50题
一、单选题
1．已知数列 满足 ，记数列 前 项和为 ，
则（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
由 可得 ，利用累加法可求得 ，求得
的范围，从而可得 的范围，从而可得出答案.
【详解】
解：由 可得 ，
化简得 ，
累加求和得 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，
即 ， ．
，
，
所以 ，
即 ．
故选：B.
2．已知数列 满足 ， ，设 ，若数列 是单调递减
数列，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将递推关系式整理为 ，可知数列 为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求
得 ，从而得到 的通项公式；根据数列 的单调性可采用分离变量法得到 ，结合导数
的知识可求得 ，由此可得结果.
【详解】
由 得： ．
，即 ，
是公差为 的等差数列． ， ，
， ．
是递减数列， ， ，即 ，
即 ． 只需 ，
令 ，
，在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ， 当 时， ，
即 ， ，即实数 的取值范围是 ．
故选：B．
3．已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得 ，即可得到 是以 为首项， 为公比的等比数列，再根据
等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解:因为 ， ，所以 ，整理得 ，所以数
列 是以 为首项， 为公比的等比数列．所以 ，解得 ．
故选：A
4．设数列 满足 ，若 ，且数列 的前 项和为 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 的递推关系求出 的通项公式，代入 的表达式中，求出 的通项，即可求解 的前 项和
【详解】
由 可得 ,
∵ , ∴ ,
则可得数列 为常数列 ，即 , ∴
∴ ,
∴ .
故选: D
5．数列 满足 ， ，若 ，且数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A．64 B．80 C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得 ，即数列 是等差数列，由此求出 ，分别令
可求出 .
【详解】
数列 满足 ， ，
则 ，
可得数列 是首项为1、公差为1的等差数列，
即有 ，即为 ，则 ，
则
.
故选：C.
6．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 可得 ，从而得数列 以 为首项，2为公比的等
比数列，根据 ，可化为 ，从而即可求得答案.
【详解】
由 可得 ，
若 ，则 ，与题中条件矛盾，故 ，
所以 ，即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以
，所以 ，
故选：A．
7．已知数列 满足 ， ，若 ，当 时， 的最
小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将已知递推关系式变形可得 ，由此可知数列 为等差数列，由等差数列通项公式
可取得 ，进而得到 ；由 可上下相消求得 ，结合 解不等式可求得 的最小值.
【详解】
由 得： ，
，
，即 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 ，
，
由 得： ，又 ， 且 ，
的最小值为 .
故选：C.
8．数列 各项均是正数， ， ，函数 在点 处的切线过点 ，
则下列命题正确的个数是（ ）．
① ；
②数列 是等比数列；③数列 是等比数列；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到 ，整理得到 ，利用构造
法求出数列的通项，即可判断；
【详解】
解：由 得 ，
所以 ，
∴ （*），
① ， ，
， ，
∴ ，正确；
②由（*）知 ，
∴首项 ， ，∴ 是等比数列，正确；
③ ，首项 ，不符合等比数列的定义，错误；
④由②对可知： ，
两边同除 得 ，
令 ，∴ ， ．∴ ，
，即数列 是恒为0的常数列．
∴ ，故错误．
故选：B．
9．已知数列 满足 ， ，若 ， ，且数列
是单调递增数列，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由数列递推式 得到 是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入
，当 时， ，且 求得实数 的取值范围.
【详解】
解：由 得，
则
由 ，得 ，
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，由 ，
得 ，
因为数列 是单调递增数列，
所以 时， ，
，即 ，
所以 ，
又∵ ， ，
由 ，得 ，得 ，
综上：实数 的取值范围是 .
故选：C.
10．已知数列 满足 ， .若 ，则数列 的通项公式 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
变形为 可知数列 是首项为2，公比为2的等比数列，求出 后代入到
可得结果.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
又 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，所以 .
故选：C.
11．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件为 ，结合等差数列的性质可得 ，即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
当 时， ，
所以 中最小的一项是 .
故选：B.12．已知数列 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令 ，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得
的值.
【详解】
由 可得 ，
，根据递推公式可得出 ， ， ，
进而可知，对任意的 ， ，
在等式 两边取对数可得 ，
令 ，则 ，可得 ，则 ，
所以，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，
，
即 .
故选：B.
13．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，若 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】转化条件为 ，由等差数列的定义及通项公式可得 ，求得满足 的
项后即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
又 ，所以数列 是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 ，其余各项均大于0，
所以 .
故选：A.
14．数列 满足 ，那么 的值为（ ）．
A．4 B．12 C．18 D．32
【答案】D
【分析】
首先根据题中所给的数列的递推公式，得到 ，从而得到数列 是以 为首项，以 为
公差的等差数列，进而写出 的通项公式，将 代入求得结果.
【详解】
由 可得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
故选：D.
15．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得 即数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，从而得到 ，
再用错位相减法求和，即可得解；
【详解】
解：由 ，所以 ，得 .
所以数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
设 的前 项和为 ，则 ，
两边同乘2，得
，
两个式子相减得
，
所以 ，所以 .
故选：A16．若数列 的首项 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A．1980 B．2000 C．2020 D．2021
【答案】A
【分析】
由条件 可得 ，从而数列 是首项为21，公差为
1的等差数列，由 ，可得 ，得出 的通项公式，进一步得出答案.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以数列 是首项为21，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ . ，
故选：A.
17．设数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列的通项与前 项和的关系 ,将 转换为 的递推公式,继而构
造数列求出 ,再得到 关于 的表达式,进而根据函数的性质可得 的增减性求解即可.
【详解】由题,当 时, ,整理得 ,即数列 是以1为首
项,2为公差的等差数列.所以 ,故 .
所以 ,令函数 ,则 .
故数列 是一个递增数列,当 时, 有最小值 .
故选：B
18．已知数列 的首项 ，则 （ ）
A．7268 B．5068 C．6398 D．4028
【答案】C
【分析】
由 得 ，所以构造数列 为等差数列，算出 ，求
出 .
【详解】
易知 ，因为 ，所以 ，
即 ， 是以3为公差，以2为首项的等差数列.
所以 ，即 .
故选 ：C
19．已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
递推关系式乘以 ，再减去3，构造等比数列求通项公式.【详解】
因为 ， ，
所以 ，
整理得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，
解得 .
故选：A.
20．如果数列 满足 ， ，且 ，则这个数列的第10项等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设条件知 ，所以 ，由此能够得到 为等差数列，从而得到第10项的
值．
【详解】
解：
，
，，
，即 为等差数列．
，
， ，
为以 为首项， 为公差的等差数列．
，
．
故选： ．
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式
_______________________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得 ，从而有 是以 为首项， 为公差的等差数列，进而可得 ，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】
解：由 ,得 ，则 ，
由 得 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
当 时，
，
所以 ，
当 时， 也适合上式，
所以 ，
故答案为： .
22．设数列 满足 ， ， ，数列 前n项和为 ，且 （ 且
）．若 表示不超过x的最大整数， ，数列 的前n项和为 ，则 的值为
___________．【答案】2023
【分析】
根据递推公式，可知 从第2项起是等差数列，可得 ，再根据累加法，可得
，由此可得当 时， ，又 ，由此即可求出 .
【详解】
当 时， ，
，
，
，
从第2项起是等差数列.
又 ， ， ， ，
，
当 时，
，
（ ），
当 时， .又 ，
.
故答案为：2023
23．已知 是数列 的前 项和， ， ， ，求数列 的通项公式
___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件构造 ，可得 是公比为 的等比数列，即
，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ， ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以当 时，
， ， ， ， ，
以上各式累加可得：，
因为 ，
所以 ；
又 符合上式，所以 .
故答案为： .
24．设数列 满足 ， ， ，数列 前n项和为 ，且 （ 且
）．若 表示不超过x的最大整数， ，数列 的前n项和为 ，则 的值为
___________．
【答案】2023
【分析】
根据递推公式，可知 从第2项起是等差数列，可得 ，再根据累加法，可得
，由此可得当 时， ，又 ，由此即可求出 .
【详解】
当 时， ，
，
，
，从第2项起是等差数列.
又 ， ， ， ，
，
当 时，
，
（ ），
当 时， .
又 ，
.
故答案为：2023.
25．已知数列 中 ， ，设 ，求数列 的通项公式________．
【答案】
【分析】
首先判断 是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列 的通项公式.
【详解】
依题意 ，则 ，两边取倒数并化简得 ，
即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
故答案为：
26．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 ______.
【答案】
【分析】
将已知递推关系式变形为 ，令 ，采用倒数法可证得数列 为等差数列，利
用等差数列通项公式求得 后，整理可得所求通项公式.
【详解】
由 得： ，
设 ，则有 ，即 ，又 ，
数列 是以 ， 为公差的等差数列， ，
，即 ， .故答案为： .
27．若数列 满足 ， ，则数列 的通项公式 ________.
【答案】
【分析】
由 ，可得 ，设 ，即 ，先求出的 通项公式，进而
得到答案.
【详解】
由 ，可得 ，设
则 ，则
所以 是以1为首项，3为公比的等比数列.
则 ，则 ，所以
故答案为：
28．已知数列 中， ，且满足 ，若对于任意 ，都有 成立，
则实数 的最小值是_________.
【答案】2
【分析】
将已知等式化为 ，根据数列 是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将
不等式化为 恒成立，求出 的最大值即可得解.
【详解】
因为 时， ，所以 ，而 ，所以数列 是首项为3公差为1的等差数列，故 ，从而 .
又因为 恒成立，即 恒成立，所以 .
由 得 ，得 ，
所以 ，所以 ，即实数 的最小值是2.
故答案为：2
29．在数列 中， ，且 ，则 ______.(用含 的式子表示)
【答案】
【分析】
将条件变形为 ，即数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，
然后可算出答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，
所以
所以 .
故答案为：30．若数列 满足 ，且 ，则 ________.
【答案】
【分析】
由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，
则通项 ，
可得： ，
则 .
故答案为： .
31．在数列 中， ， ， 是数列 的前 项和，则 为
___________.
【答案】
【分析】
将 化为 ，再由等比数列的定义和通项公
式､求和公式，可得所求和.
【详解】
解：由 ， ，
可得 ，
即 ，所以数列 是以 为首项､2为公差的等差数列，
所以 ，
由 ， .
故答案为： .
32．若数列 满足 ， ，则使得 成立的最小正整数 的值是______.
【答案】
【分析】
根据递推关系式可证得数列 为等比数列，根据等比数列通项公式求得 ，代入不等式，结合
可求得结果.
【详解】
， ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ，
由 得： ，即 ，
， 且 ， 满足题意的最小正整数 .
故答案为： .
33．已知数列 满足 ， ，则 ________.
【答案】
【分析】转化原式为 ，可得 是以1为首项，1为公差的等差数列，即得解
【详解】
依题意， ，故 ，故数列 是以1为首项，1
为公差的等差数列，故 ，则 .
故答案为：
34．已知数列{a }满足 （n∈N*），且a =6，则{a }的通项公式为_____.
n 2 n
【答案】
【分析】
由题意令n=1可得a ，当 时，转化条件可得 ，进而可得 ，即可得解.
1
【详解】
因为数列{a }满足 （n∈N*），所以 ，
n
①当n=1时， 即a =1，
1
②当 时，由 可得 ，
∴数列 从第二项开始是常数列，
又 ，∴ ，
∴ ，又 满足上式，
∴ .
故答案为： .
35．设数列 满足 ， ， ， ，则 ______.
【答案】
【分析】
由题意可得， ，化简整理得 ，令
，可得 ，由此可得 ，从而可求出答案．
【详解】
解：∵ ， ，
∴当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，且 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
36．已知数列 满足 ， ，若 ，则数列 的首项的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
利用构造法求得 ，由 可得出 ，可得 ，进而可求得
的取值范围.
【详解】
， .
若 ，得 ，可知 ，此时， ，数列 是递减数列，不合乎题意；
若 ，得 ，则数列 是以 为公比的等比数列，
所以， ，则 ，
，且 ，
即 ，
整理得 ， ，则 ，
易知数列 是单调递减数列，则 ，解得 .
因此，数列 的首项的取值范围为 .
故答案为： .
37．数列 满足 ， （ ， ），则 ______.
【答案】【分析】
利用项和转换，得到 ，故 是以 为首项， 为公差的等差数列，可得 ，再
借助 ，即得解.
【详解】
由于 ，
即
故 是以 为首项， 为公差的等差数列
由于
故答案为：
38．已知数列 满足 ， ，则通项公式 _______.
【答案】
【分析】
先取倒数可得 ,即 ,由等比数列的定义可得 时, ,即
,再检验 时是否符合即可【详解】
由题,因为 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,所以 ,
所以当 时, ,则 ,即 ,
当 时, ,符合,
所以 ,
故答案为:
39．数列 满足： ， ， ，令 ，数列 的前 项
和为 ，则 __________．
【答案】
【详解】
由递推关系整理可得： ，则：
，据此可得：以上各式相加可得： ，
再次累加求通项可得： ，
当 时该式也满足题意，综上可得： ，则：
40．数列 满足 ,记 ,则数列 的前 项和 ________．
【答案】
【详解】
试题分析：由 得 ，且 ，所以数列 构成以1为首项，2为公差的等差
数列，所以 ，从而得到 ，则 ，
所以 , ,
两式相减，得
所以 .
三、解答题
41．已知在数列 中， ，且 .
（1）求 ， ，并证明数列 是等比数列；
（2）求 的通项公式；
（3）求 的值.【答案】
（1）-4，-15，证明见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）代值计算出 ， ，根据递推公式可得据 ，即可证明；
（2）由（1）可知 是以-2为首项，以3为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（3）分组求和，即可求出答案.
（1）
解：因为 ，且
所以 ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，且 ，
∴数列 是等比数列，
（2）
解：由（1）可知 是以 为首项，以3为公比的等比数列，
即 ，
即 ；
（3）
解：.
42．已知S ＝4－a － ，求a 与S .
n n n n
【答案】a＝n· ，n∈N*；S＝4－ .
n n
【分析】
由题得S＝4－a－ ，S ＝4－a － ，n≥2，两式相减化简即得a 与S
n n n－1 n－1 n n.
【详解】
∵S＝4－a－ ，
n n
∴S ＝4－a － ，n≥2，
n－1 n－1
当n≥2时，S－S ＝a＝a －a＋ － .
n n－1 n n－1 n
∴a＝ a ＋
n n－1
∴ ，∴2na－2n－1a ＝2，
n n－1
∴{2na}是等差数列，d＝2，首项为2a.
n 1
∵a＝S＝4－a－ ＝2－a，
1 1 1 1
∴a＝1，∴2na＝2＋2(n－1)＝2n.
1 n
∴a＝n· ，n∈N*，
n
∴S＝4－a－ ＝4－n· － ＝4－ .
n n
43．设各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的公差 ；
（2）数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；
（2） .
【分析】
（1）根据 ， ， 成等比数列可得 ，利用 表示出 和 ，解方
程组可求得 ，结合 可得结果；
（2）由（1）可得 ，整理得 ，可知数列
为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.
（1）
（1）设等差数列 的公差为 ，
， ， 成等比数列， ，即 ，
又 ，解得： 或 ；
当 时， ，与 矛盾， ，
即等差数列 的公差 ；
（2）
由（1）得： ， ，即 ，
，又 ，解得： ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，，整理可得： .
44．已知数列 中， ， .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）数列 满足的 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切
恒成立，求 的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）将递推公式两边取倒数，即可得到 ，从而得到 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，从而得到 ，再利用错位相减法求和即可得到 ，即可得到
，对一切 恒成立，再对 分奇偶讨论，即可求出 的取值范围；
（1）
解：由 ，得
∴ ，
所以数列 是以3为公比，以 为首项的等比数列 .
（2）
解：由（1）得 ，即 .所以
.
两式相减得: ，
∴
因为不等式 对一切 恒成立，
所以 ，对一切 恒成立，
因为 单调递增
若 为偶数，则 ，对一切 恒成立，∴ ；
若 为奇数，则 ，对一切 恒成立，∴ ，∴
综上： .
45．数列 ， 的每一项都是正数， ， ，且 ， ， 成等差数列， ， ， 成
等比数列．
（1）求数列 ， 的值．
（2）求数列 ， 的通项公式．
（3）记 ，记 的前n项和为 ，证明对于正整数n都有 成立．
【答案】（1）24；36；（2） ， ；（3）证明见解析.
【分析】
(1)由条件取特殊值求 ， ；(2)由条件证明数列 为等差数列，由此可求数列 ， 的通项公式；(3)利用裂项相消法求 ，由此证明 .
【详解】
解：（1）由 得 ，
又 得 ，
（2）∵ ， ， 成等差数列，∴ ①，
又∵ ， ， 成等比数列，∴ ，②
当 时， ③
由②③代入①得 ， ，
∴ 是以 为首项 的等差数列，
∴ 则 ，
时， ，
经验证 也符合，∴ ．
（3）由（2）知 ，
则
成立．
46．已知数列 满足 ，其中 .（1）求证 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，若 对任意的 恒成立，求p的最小值.
【答案】（1）证明见解析， ；（2）最小值为1.
【分析】
（1）根据 ，可得 ，从而可得 ，
即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列 的通项公式；
（2） ，即 ，设
，利用作差法证明数列 单调递减，从而可得出答案.
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列.
，∴ .
（2）解：∵ ，∴ ，
即 对任意的 恒成立，
而 ，
设 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴数列 单调递减，
∴当 时， ，∴ .
∴p的最小值为1.
47．已知数列 的前n项和为 ，满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1）证明见解析， ； （2） .
【分析】
（1）由 ，化简得到 ，得出 ，利用等差数列的定义，得到数列表示首项为 ，公差为 的等差数列，进而求得 .
（2）由题意，化简得到 ，结合裂项法，即可求解.
【详解】
（1）因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由 ，
则数列 的前n项和：
，即 .
48．已知数列{a }满足a＝ ，S 是{a }的前n项和，点(2S ＋a ，S )在 的图象上．
n 1 n n n n n＋1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）若c ＝ n，T 为c 的前n项和，n∈N*，求T .
n n n n
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意得到 ，进而证得数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
从而可以求出结果；（2）错位相减法求出数列的和即可.
【详解】
（1）∵点(2S＋a，S )在 的图象上，∴ ，
n n n＋1
∴ .
∵ ，
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，即 ,
（2）∵ ,
∴ ，①
∴ ，②
①－②得 ，
∴ .
49．已知数列{a }满足aa…a ＝1 a ．
n 1 2 n n
（1）求证数列{ }是等差数列，并求数列{a }的通项公式；
n
（2）设T ＝aa……a ，b ＝a 2T 2，证明：b+b+…+b ＜ ．
n 1 2 n n n n 1 2 n
【答案】（1）证明见解析，a＝ ；（2）证明见解析.
n
【分析】
（1）由题设得 ，进而构造 与 的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求
a，即可得a；
1 n（2）由（1）求得T 与b，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．
n n
【详解】
（1）∵aa…a＝1 a①，则aa…a ＝1 a ②，
1 2 n n 1 2 n+1 n+1
∴两式相除得： ，整理得 ，
∴ ，则 ，
∴ ，又n＝1时有a＝1 a，解得： ，
1 1
∴ ，
∴数列{ }是以 为首项， 为公差的等差数列，
∴ ，即 .
（2）由（1）得：T＝aa…a＝ ，
n 1 2 n
∴b＝ ，
n
∴b+b+…+b＜ ，得证．
1 2 n
50．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设 是数列 的前 项和，证明 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析．
【分析】（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列 是公比为 的等比数列，根据等比数列的通
项公式求出 ；
（2）由（1）和条件求出 ，利用作差法判断出数列 的单调性，可求出 的最大值，再求实数 的取
值范围；
（3）由（1）化简 ，利用裂项相消法求出 ，利用函数的单调性判断出 的单调性，结合 的
取值范围求出 的范围，即可证明结论．
【详解】
解：（1）由已知 ，
可得 ，所以 ．
所以数列 是 为首项，公比为 的等比数列．
则 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
，
．
，所以 ，
所以则当 ， ，即 ，
当 ， ，即 ， 是最大项且 ，
．
（3） ，
又令 ，显然 在 时单调递减，所以 ，
故而 ．任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．数列 满足 ， ， ，设 ，记 表示不超过 的最
大整数．设 ，若不等式 ，对 恒成立，则实数 的最大值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先通过构造等比数列求出数列 的通项公式，并进而用累加法求出 的通项公式及 的通项
公式.最后利用裂项相消法将 化简后取整，整理 的最小值后得解
【详解】
由题意得：，
，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
又 ， ，…， ， ，由累加法
， ；
， ，，
，
， ， ， ，
对 恒成立， ，则实数 的最大值为 .
故选：C.
2．已知数列 满足 ， 且 ，则数列 前36
项和为（ ）
A．174 B．672 C．1494 D．5904
【答案】B
【分析】
由条件可得 ，由此求出数列 的通项，进而求得数列 的通项，再利用分组求和方
法即可计算作答.
【详解】
在数列 中， ，当 时， ，
于是得数列 是常数列，则 ，即 ，
因 ， ，则 ，
因此， ， ，显然数列 是等差数列，
于是得 ，
所以数列 前36项和为672.
故选：B3．已知数列 ，满足 .若 ， 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
根据 可知数列 为等比数列，将 代入 后将其变形可知数列 为等差数
列，即可解得 ；将 ， 代入 即可解出答案.
【详解】
因为 .
所以数列 为以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
， ,
所以数列 为以3为首项， 为公差的等差数列.
所以 .
.
故选：C.
4．已知数列 由首项 及递推关系 确定.若 为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有
“坏数”从小到大排成数列 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】
由 得 ，所以数列 为等差数列,则 ，
求出数列 ，当分母为0，得 ，即 时，数列 为有穷数列，得出 ，
即 ，又 ， ，根据单调性可得答案.
【详解】
由 ，得
则 ，即
所以数列 为等差数列,则
则 ，所以
当 时, ，满足条件.
当分母为0，得 ，即 时，数列 为有穷数列.
当 时, 数列 为有穷数列.则
当分母为0时， 无意义，此时数列 为有穷数列，此时对应 的值为
所以 ，由 ，则 ，即设 ，则
所以 在 上单调递增.
所以
设设 ，则
所以 在 上单调递增.
所以
所以选项C正确
故选：C
5． 为数列 的前n项和， ，对任意大于2的正整数 ，有
恒成立，则使得 成立的正整数 的最
小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】
先由题设条件求出 ，得到： ，整理得： ，从而有数列
是以3为首项，2为公差的等差数列，求出 ，再利用累加法求出 ，然后利用裂项相消法整理 可得 ，解出 的最小值．
【详解】
解：依题意知：当 时有 ， ， ， ，
， ，即 ，
，即 ， ，
又 ， ， ，
数列 是以3为首项，2为公差的等差数列， ，
故 ， ， ， ， ，
由上面的式子累加可得： ， ，
， ．
由 可得：
，
整理得 ， 且 ，
解得： ．所以 的最小值为6．
故选：B．
6．数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简得到 ，记 ，得到 ， 是以 为公差的等差数列，
计算得到答案.【详解】
由 ，
故 ，记 ，则 ，
两边取倒数，得 ，所以 是以 为公差的等差数列，
又 ，所以 ，所以 ，
故 .
故选：C.
7．设数列 的前 项和为 ，且 是6和 的等差中项．若对任意的 ，都有 ，则
的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据等差中项的概念列出关系式，再利用 与 之间的关系，得到关于 的递推关系式，
求得 的表达式，再计算 的取值范围，再计算 的取值范围解出题目.
【详解】
由 是6和 的等差中项，得 ，令 得 ，又 ，
得 ，
则 是首项为 ，公比为 的等比数列, 得 ．若 为奇数， ；若 为偶数， ．
而 是关于 的单调递增函数，并且 ， ，故 最小值是 ，
故此题选B．
8．数列 满足 ， ， ，若数列 为单调递增数列，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件求出数列 通项，再由数列 为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.
【详解】
数列 中， ， ，则有 ，而 ，
因此，数列 是公比为2的等比数列， ，即 ，
则 ，因数列 为单调递增数列，即 ， ，
则 ， ，
令 ，则 ， ，当 时， ，当 时， ，
于是得 是数列 的最大值的项，即当n=3时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
9．数列 满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列 使得对任意正整数p，q都满足B．存在数列 使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列 使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列 使得对任意正整数p，q都满足
【答案】C
【分析】
依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.
【详解】
由 ，得 ，
令 ， ，
则当 时，数列 满足题设，所以A正确；
由 ，得 ，
令 ，则当 时，数列 满足题设，所以B正确；
由 ，
令 ，得 ， ， ， ，
令 ，得 ， ， ，
则 ， ，从而 ，与 矛盾，所以C错误；
由 ，得 ，
令 ，则当 时，数列 满足题设，所以D正确.故选：C
10．已知 ，又函数 是 上的奇函数，
则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由 在R上为奇函数，知 ，令 ，则 ，得到
.由此能够求出数列 的通项公式.
【详解】
解: 在R上为奇函数，故 ，代入得:
当 时， .令 ，则 ，上式即为: .
当 为偶数时：
.
当 为奇数时：.
综上所述， .
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．两个数列 ､ 满足 ， ， ， （其中 ），则 的
通项公式为 ___________.
【答案】
【分析】
依题意可得 ，即 ，即可得到 的特征方程为
，求出方程的根，则设数列 的通项公式为 ，根据 、 得到方程
组，求出 ，即可得到 的通项公式；
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 的特征方程为 ，
解得特征根 或 ，
所以可设数列 的通项公式为 ，因为 ， ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ；
故答案为：
12．已知数列 满足 ，则 ________
【答案】
【分析】
等价变形 ，换元设 ，得
，两边取对数，得 是首项 ，公比 的等比数列，求出
可解 .
【详解】
， ，
，设 ，则 ， ，两边取对数，
， ，所以 是首项 ，公比 的等比数列，
， ，
故答案为：
13．设 是函数 的极值点，数列 满足 ，若表示不超过 的最大整数，则 __________．
【答案】2019
【分析】
求 ，可得 ，即 ，可得 .设 ，则数列
是公比为2的等比数列.求出 ，从而求出 ，裂项法求 ，即得所求值．
【详解】
， .
是 的极值点，
，即 ，
.
设 ，可得 ，又 ，
数列 为首项为1，公比为2的等比数列，
.
.
，
.，
∴ .
故答案为：2019．
14．已知数列 中的 分别为直线 在 轴、 轴上的截距，且 ，则数列
的通项公式为_____________．
【答案】
【详解】
试题分析：由已知得： ，已知条件可化为 ，设 ，可化
为： ，则 ，解得： ，即 ，所以数列
是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ．两边同时除以 转化为：
，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以
．
15．已知数列 的前 项和 满足： ，则 为__________．
【答案】
【分析】
当 时， ，将已知式子变形得： ，继而推出，可知数列 为等比数列，求解 即可.
【详解】
当 时， ，
，也即： ，
，即： ，
当 时， ，解得： ， ，
数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
，即 .
故答案为： .
三、解答题
16．已知数列 满足： ， ，数列 满足： ， ，求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】
首先利用三角换元法简化 和 的递推式，然后进一步利用数列知识求解数
列 和 的通项公式，再通过三角函数线所具有的性质即可求解.
【详解】证明：由已知得 ，可设 ，
则 ．
所以 ，即 ，
又 ，求得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 ，从而 ；
令 ，则 ．
又 ，所以 ，
则 ，即 ，又由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 ，从而 ，
由三角函数线性质可知，当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ．
17．(1)已知数列 ，其中 ， ，且当 时， ，求通项公式 ；
(2)数列 中， ， ， ，求 ．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
(1)由 可得 ，结合等差数列通项公式及累加法可求数列 的通
项公式，
(2)由 可得 ，利用累加法求 ，再通过构造等比数
列求数列 的通项公式.
【详解】
(1)由 得： ，
令 ，则上式为 ．
因此 是一个等差数列， ，公差为1，故 ．
由于 ，
又 ， ，即 ．
(2)由递推关系式，得 ，
令 ，则 ，且 ．
符合该式，
，
令 ，则 ，即 ，
即 ，且 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列．，即 ，
.
18．设二次函数 满足：（i） 的解集为 ；（ii）对任意 都有 成
立.数列 满足： ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）求证：
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用赋值法，令 代入不等式即可求解.
（2）根据不等式的解集可设 ，将 代入即可求解.
（3）由（2）可得 ，从而可得 ，得出 ，令
，构造 为等比数列，利用等比数列的通项公式可得 ，进而求出 ，
放缩后由等比数列的前 项和公式即可求解.
【详解】
解：（1）由于对任意 都有 成立，
则令 ，得 ，则 ；
（2）由于 的解集为 ，可设 ，由 ，可得 ，则 ；
（3）证明： ，
则 ，即有 ，
令 ，则 ，由于 ，
则有 ， ，即有 ，
则 ，则 ，
则
，
所以原不等式成立.
19．已知数列 的前 项和 满足 ， ，证明：对任意的整数 ，有
.
【答案】证明见解析
【分析】
由 与 的关系，结合待定系数法可求得 ，由于通项中含有 ，考虑分项讨论，
分析得出当 且 为奇数时， ，然后分 为奇数和偶数进行分类讨论，结合
放缩法以及等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.
【详解】当 时， ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
两式作差得 ，即 ，
设 ，即 ，
所以， ，得 ，所以， ，
故数列 是公比为 的等比数列，且首项为 ，
所以， ，故 ，
由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当 且 为奇数时，
（减项放缩）.
①当 且 为偶数时，
；
②当 且 为奇数时，
所以，
.因此，对任意的整数 ，有 .
20．已知数列 中， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）已知数列 ，满足 .
（i）求数列 的前 项和 ；
（ii）若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， ；（2）（i） ；（ii） .
【分析】
（1）根据题意，可得 ，进而可以证明 是以3为首项，3为公比的等比数列，由此
可得出数列 的通项公式．
（2）（ⅰ）由（1）得 ，结合错位相减法即可求出 ；
（ⅱ）由（ⅰ）可得 对一切 恒成立，令 ，则 是递增数列，由
此可求得 的取值范围．
【详解】
解：（1） ， ， ，
是以3为首项，3公比的等比数列， .所以 ；
（2）（i）由（1）得 ， ，
，
两式相减，得： ，
（ii）由（i）得 ，
令 ，则 是递增数列，
若n为偶数时， 恒成立，又 ， ，
若n为奇数时， 恒成立， ， ， .
综上， 的取值范围是
