文档内容
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形
2．关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1=0的一个根是0，则a值为( )
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．已知 = ，那么下列各式不一定成立的是( )
A．2x=3yB． = C． = D． =
4．两个边数相同的多边形相似应具备的条件是( )
A．各角对应相等
B．各边对应成比例
C．各角对相等，各边对应相等
D．各角对应相等，各边对应成比例
5．方程（x+2）2=4的根是( )
A．x =4，x =﹣4 B．x =0，x =﹣4 C．x =0，x =2 D．x =0，x =4
1 2 1 2 1 2 1 2
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )
A．20 B．15 C．10 D．5
7．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中
一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是( )
A． B． C． D．
8．如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x 和x ，那么x •x 等于( )
1 2 1 2
A．2B．0C． D．﹣
第 1 页 共 18 页9．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．方程x（x﹣1）=0的解是：__________．
12．方程7x2+2x+3=0的根的情况是__________．
13．在四边形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，在这四个条件
中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是__________．
14．小华做小孔成像实验（如图），已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板之
间的小孔纸板应放在离蜡烛__________cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
15．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是
__________．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为
__________cm．
17．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．若该公司这两年缴税的年均增长率相同，
设这个增长率为x，求这个增长率则可列方程为__________．
18．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，
那么这个条件可以是__________．
19．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为__________．
第 2 页 共 18 页20．如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为 ．若五边形ABCDE
的，面积为20cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为__________．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
21．解下列方程
（1）x（2x﹣7）=3x
（2）x2﹣2x﹣3=0．
22．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放
在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶
数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请
说明理由．
23．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0.5米时，求长臂端点
应升高了多少米？
24．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制
成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
25．如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线AC的长．
第 3 页 共 18 页四、解答题（二）：本大题共4小题，共30分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
26．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x =2，x =﹣1（舍去）．
1 2
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x =1（舍去），x =﹣2．
1 2
∴x =2，x =﹣2是原方程的根．
1 2
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
27．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木
（如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地
带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资
金是否够用？并说明理由．
28．某超市销售一种旅游纪念品，平均每天可售出20套，每套盈利40元．“十一”期间，商
场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果
每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天销售这种纪念品盈利1200元，
那么每套应降价多少元？
29．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE
的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
第 4 页 共 18 页第 5 页 共 18 页九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形
【考点】直角梯形．
【分析】对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形
的对角线一定不相等．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方形、矩形、等腰梯形的性质．
2．关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1=0的一个根是0，则a值为( )
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=0代入已知方程，得到关于a的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求a的
值．
【解答】解：把x=0代入x2+x+a﹣1=0，得
a﹣1=0，
解得a=1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，
一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．已知 = ，那么下列各式不一定成立的是( )
A．2x=3yB． = C． = D． =
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，即可解答．
【解答】解：∵ = ，
∴2x=3y，
A、2x=3y，成立；
B、 得到2x=3y，成立；
C、 得到3x=2y，不成立；
第 6 页 共 18 页D、 得到2x=3y，成立；
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．
4．两个边数相同的多边形相似应具备的条件是( )
A．各角对应相等
B．各边对应成比例
C．各角对相等，各边对应相等
D．各角对应相等，各边对应成比例
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
解答．
【解答】解：两个边数相同的多边形相似应具备的条件是各角对应相等，各边对应成比例，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相
等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．
5．方程（x+2）2=4的根是( )
A．x =4，x =﹣4 B．x =0，x =﹣4 C．x =0，x =2 D．x =0，x =4
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】根据方程的特点，用直接开平方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（x+2）2=4，
x+2=±2，
解得：x =0，x =﹣4．
1 2
故选B．
【点评】此题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解
的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且
a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方
程解”．
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )
A．20 B．15 C．10 D．5
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．
【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
第 7 页 共 18 页∴AC=AB=5
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．
7．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中
一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到
同一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况，
∴征征和舟舟选到同一社团的概率是： = ．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x 和x ，那么x •x 等于( )
1 2 1 2
A．2B．0C． D．﹣
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x +x = ，x x = ．
1 2 1 2
【解答】解：这里a=3，c=0，则x •x = =0．
1 2
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．
9．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平行
【考点】多边形．
【分析】根据正方形、矩形的性质，即可解答．
第 8 页 共 18 页【解答】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都
相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等．
故选C．
【点评】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．方程x（x﹣1）=0的解是： x=0 或 x=1 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．
【解答】解：依题意得：
x=0或x﹣1=0
∴x=0或x=1
故本题的答案是x=0或x=1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12．方程7x2+2x+3=0的根的情况是无实根．
【考点】根的判别式．
【分析】把a=7，b=2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=7，b=2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×3×7＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：无实根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣
4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜
0时，方程没有实数根．
第 9 页 共 18 页13．在四边形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，在这四个条件
中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；平行四边形的判定．
【专题】计算题．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形ABCD是平行四边形的情况数，即
可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种，分别
为（2，1）；（3，1）；（1，2）；（4，2）；（1，3）；（4，3）；（2，4）；（3，4），
则P= = ．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．小华做小孔成像实验（如图），已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板之
间的小孔纸板应放在离蜡烛5cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用蜡烛焰AB是像A′B′的一半，得出AB距离O与A′B′到O的距离比值为1：2，进
而求出答案．
【解答】解：设蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛xcm，根据题意可得：
= ，
解得：x=5，
则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛5cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
15．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是13．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看
看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
第 10 页 共 18 页（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x =2，x =4，
1 2
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边
的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为
4cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】本题用矩形的性质即可求解．
【解答】解：因为矩形ABCD的对角线AC与BD互相平分且相等，
故BD=AC=2AB=4cm，
故答案为4cm．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，属于基础题，用到矩形的性质对角线相等且互
相平分．
17．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．若该公司这两年缴税的年均增长率相同，
设这个增长率为x，求这个增长率则可列方程为 40 （ 1+x ） 2 =48.4 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设该公司的年增长率为x，则去年总收入是40（1+x）万元，今年总收入是40（1+x）2万
元，而今年的总收入为48.4万元，依此即可列出方程求解．
【解答】解：设该公司的年增长率为x，根据题意得
40（1+x）2=48.4．
故答案为：40（1+x）2=48.4．
【点评】此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式a（1+x）
2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．
18．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，
那么这个条件可以是 AB=AD 或 AC⊥BD 等 ．
【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质．
【专题】开放型．
【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩
形是正方形添加条件．
第 11 页 共 18 页【解答】解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角
线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．
故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途
经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
19．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为24．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为24．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2=24
故答案为24
【点评】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．
20．如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为 ．若五边形ABCDE
的，面积为20cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为5．
【考点】位似变换．
【分析】直接利用位似图形面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
【解答】解：∵五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为 ，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1：4，
∵五边形ABCDE的面积为20cm2，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
21．解下列方程
（1）x（2x﹣7）=3x
（2）x2﹣2x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
第 12 页 共 18 页（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）整理得：2x2﹣10x=0
2x（x﹣5）=0，
2x=，0x﹣5=0，
x =0，x =5；
1 2
（2）x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x =3，x =﹣1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此
题的关键．
22．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放
在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶
数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请
说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法 ．
【专题】探究型．
【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋
中，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即
可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口
袋中，
故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的
标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ．
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
第 13 页 共 18 页故这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．
23．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0.5米时，求长臂端点
应升高了多少米？
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用相似三角形的判定与性质直接得出比例式求出答案．
【解答】解：设长臂端点升高了x米，
则 = ，
解得：x=8，
答：长臂端点应升高了8米．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
24．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制
成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目
条件列出方程，求出其解就可以．
【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x =﹣70（不符合题意，舍去），x =5．
1 2
答：金色纸边的宽度为5cm．
【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次
方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．
25．如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线AC的长．
第 14 页 共 18 页【考点】菱形的性质．
【分析】（1）首先证明△ABD是等边三角形，则∠DAB=60°，然后利用菱形的性质求解；
（2）在直角△AOB中利用勾股定理求得AO的长，根据AC=2AO即可求解．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD的边长AB=AD= =10（cm），
又∵BD=10cm，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠DCB=60°，∠ABC=∠ADC=120°；
（2）∵∠DAC= ∠DAB=30°，
∴AO=AD•cos∠DAC=10× =5 （cm），
∴AC=2AO=10 cm．
【点评】本题考查了菱形的性质，正确证明△ABC是等边三角形是关键．
四、解答题（二）：本大题共4小题，共30分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
26．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x =2，x =﹣1（舍去）．
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当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x =1（舍去），x =﹣2．
1 2
∴x =2，x =﹣2是原方程的根．
1 2
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；绝对值．
【专题】阅读型．
【分析】参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，
考虑问题要周全．
【解答】解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，
x2﹣x=0，
x =0（舍去），x =1．
1 2
（2）设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，
x2+x﹣2=0，
解得x =1（舍去），x =﹣2．
1 2
第 15 页 共 18 页∴原方程解为x =1，x =﹣2．
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【点评】解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．
27．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木
（如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地
带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资
金是否够用？并说明理由．
【考点】相似三角形的应用；梯形．
【专题】应用题．
【分析】此题是梯形与相似三角形的综合知识的考查，解题时要注意将实际问题转化为数学
问题解答，要注意相似三角形的面积比是相似比的平方．
【解答】解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AMD∽△CMB，
∵AD=10，BC=20，
∴ ，
∵S =500÷10=50（m2）
△AMD
∴S =200m2，
△BMC
还需要资金200×10=2000（元），
而剩余资金为2000﹣500=1500＜2000，
所以资金不够用．
【点评】此题主要考查梯形的有关知识，三角形相似的判定及性质，是一个典型的将图形知识
与实际问题相结合的题目．
28．某超市销售一种旅游纪念品，平均每天可售出20套，每套盈利40元．“十一”期间，商
场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果
每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天销售这种纪念品盈利1200元，
那么每套应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每
天在销售这种纪念品盈利1200元，可列方程求解即可．
【解答】解：设每套降价x元，
由题意得：（40﹣x）=1200
x2﹣30x+200=0，
（x﹣10）（x﹣20）=0，
第 16 页 共 18 页解得：x =10或x =20
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为了减少库存，所以x=20．
答：每套应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，然
后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的
解．
29．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE
的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明
△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再
根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可
知必须是AB=AC．
【解答】解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
第 17 页 共 18 页∴▱AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明
确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
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