文档内容
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合
题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填
错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．2或﹣2
2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=13B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC
4．下列一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
为（ ）
A．k＞1B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1
6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，
则n等于（ ）
A．20 B．21 C．15 D．16
7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣ B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2
8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象
限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（ ）A．4B．5C．6D．2
9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，
AC=6，则CD的长为（ ）
A．7B．7 C．8D．8
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D． ＜a＜
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y=﹣ （x+3）2+1的顶点坐标是 ．
12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则 的值为 ．13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x =﹣3，x =2，则方程a
1 2
（x+m﹣1）2+c=0的根是 ．
14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC=
．
15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距
离为6cm，则AB的长等于 ．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x ，0）B（x ，0）两
1 2
点，点M（x ，y ）是图象上另一点，且x ＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞
0 0 0
0；④a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0．
0 1 0 2
其中正确的结论是 ．（只填写正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣15=0
（2）3x（x﹣2）= （2﹣x）
18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．
19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤
凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季
确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环
制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加
比赛？
21．如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°．（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是 的中点，求证：四边形OADB是菱形．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三
角形时，求m的值．
23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切
于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售
价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元
（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写
出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点
C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的
坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及
E点的坐标．九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合
题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填
错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．2或﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数
的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0，
解得：m=±2，
故选D．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，
同时，考查了一元二次方程的概念．
2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=13B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式
即可．
【解答】解：x2﹣8x=﹣3，
x2﹣8x+16=13，
（x﹣4）2=13．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利
用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC
【考点】垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得CM=DM， ， ，得出BC=BD，再根据圆周角定理得到
∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM， ， ，
∴BC=BD，∠ACD=∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定
理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．
4．下列一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实
数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根判断即可．
⇔
【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0，
⇔ ⇔
∴原方程有两个不相等实数根；
B、∵△=22﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
C、∵△=（﹣2）2﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
D、∵△=﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
故选A．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac
＜0时，方程无解．
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
为（ ）
A．k＞1B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得出判别
式大于0，再求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣1，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2，
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，
则n等于（ ）
A．20 B．21 C．15 D．16
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有1个小棋子，第二个图形
中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共有
1+2+3+4+…+n= n（n+1），由此联立方程求得n的数值即可．
【解答】解：∵第一个图形中有1个小棋子，
第二个图形中有1+2=3个小棋子，
第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，
…
∴第n个图形共有1+2+3+4+…+n= n（n+1），
∴ n（n+1）=210，
解得：n=20．
故选：A．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决
问题．
7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣ B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】因为两点的纵坐标都为4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式x= 求解
即可．
【解答】解：∵两点的纵坐标都为4，
∴此两点是一对对称点，
∴对称轴x= = =1．
故选B．【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化
为顶点式或用公式x= 求解．
8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象
限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．2
【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO
的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，
∵AC=OC，∠BAO=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径=OA=4．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握
圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，
AC=6，则CD的长为（ ）A．7B．7 C．8D．8
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分
∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出
CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．
【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，弧AD=弧BD，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
，
∴△AFD≌△BGD（HL），
∴AF=BG．
在△CDF和△CDG中，
，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CF=CG．
∵AC=6，AB=10，
∴BC= =8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ．
故选B．【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平
分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D． ＜a＜
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的符号，根据对称轴b用a表示出的
代数式，进而根据当x=2时，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可．
【解答】解：抛物线开口向上，a＞0
图象过点（2，4），4a+2b+c=4
则c=4﹣4a﹣2b，
对称轴x=﹣ =﹣1，b=2a，
图象与y轴的交点﹣1＜c＜0，
因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0，
实数a的取值范围是 ＜a＜ ．
故选：D．
【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式
的特点，是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y=﹣ （x+3）2+1的顶点坐标是 （﹣ 3 ， 1 ） ．【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=﹣ （x+3）2+1，
∴顶点坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是
x=h，是解决问题的关键．
12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则 的值为 ﹣ 1 或 4 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，
然后利用分式的性质计算 的值．
【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0，
a﹣4b=0或a+b=0，
所以a=4b或a=﹣b，
当a=4b时， =4；
当a=﹣b时， =﹣1，
所以 的值为﹣1或4．
故答案为﹣1或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．
13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x =﹣3，x =2，则方程a
1 2
（x+m﹣1）2+c=0的根是 x =﹣2 ， x =3 ．
1 2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】把后面一个方程中的x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中的x，从而可得x﹣1=﹣
3或x﹣1=2，再求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x =﹣3，x =2（a，m，c均为常数，a≠0），
1 2
∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m 2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，
]解得x=﹣2或x=3．
故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x =﹣2，x =3．
1 2
故答案是：x =﹣2，x =3．
1 2
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC= 100 °
．
【考点】圆周角定理．
【分析】由AD=AB，∠BDC=25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得
∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．
【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25°，
∴∠ABD=∠BDC=25°，
∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距
离为6cm，则AB的长等于 8 或 4 ．
【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，
再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD
的长，再根据勾股定理求得AB的长．
【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD= = =8．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB= = =8 （cm）；
如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，∴BD= = =8，
∴AD=10﹣6=4，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB= = =4 （cm）．
故答案为：8 或4 ．
【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x ，0）B（x ，0）两
1 2
点，点M（x ，y ）是图象上另一点，且x ＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞
0 0 0
0；④a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0．
0 1 0 2
其中正确的结论是 ①、④ ．（只填写正确结论的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】推理填空题；数形结合．
【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与
b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称轴与x=
﹣1的大小关系可推出2a﹣b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y
的符号来确定a+b+c的符号，根据a、x ﹣x 、x ﹣x 的符号可确定a（x ﹣x ）（x ﹣x ）的符号．
0 1 0 2 0 1 0 2
【解答】解：由抛物线的开口向下可得a＜0，
由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=﹣ ＜0，则a与b同号，因而b＜0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的对称轴x=﹣ ＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②错误；
由图可知当x=1时y＜0，即a+b+c＜0，故③错误；
∵a＜0，x ﹣x ＞0，x ﹣x ＞0，∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0，故④正确．
0 1 0 2 0 1 0 2
综上所述：①、④正确．故答案为①、④．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定
于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位
置，2a与b的大小决定于a的符号及﹣ 与﹣1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取
相关信息是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣15=0
（2）3x（x﹣2）= （2﹣x）
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程变形得到3x（x﹣2）+ （x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0或x﹣3=0，
x+5=0或x﹣3=0，
所以x =﹣5，x =3；
1 2
（2）3x（x﹣2）+ （x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x+ ）=0，
x﹣2=0或3x+ =0，
所以x =2，x =﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．
18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），则可设交点
式y=ax（x﹣8），然后把顶点坐标代入求出a即可．
【解答】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=4，
而抛物线在x轴上截得的线段长为8，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣8），
把（4，2）代入得a•4•（﹣4）=2，解得a=﹣ ，
所以抛物线解析式为y=﹣ x（x﹣8），即y=﹣ x2+x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设
其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式
来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．
19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤
凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【专题】新定义．
【分析】根据x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，列出方程组，求出m，n的
值，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：
解得： ，
则m2+n2=（﹣2）2+12=5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键是根据已知条件列出方程组，用到
的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季
确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环
制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加
比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组x个球队比赛总场数= x（x﹣
1），由此可得出方程．
【解答】解：设初中组共有x个队参加比赛，依题意列方程x（x﹣1）=45，
解得：x =10，x =﹣19（不合题意，舍去），
1 2
答：初中组共有10个队参加比赛．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队
之间的关系．
21．如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°．
（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是 的中点，求证：四边形OADB是菱形．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由 = 得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断
△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到
∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，由D是 的中点得 = ，则根据圆周角定理得
∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，
OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．
【解答】证明：（1）∵ = ，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，
∵D是 的中点，
∴ = ，
∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，
又∵OD=OA，OD=OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形，∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，
∴OA=AD=DB=BO，
∴四边形OADB是菱形．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条
弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边
三角形的判定与性质和圆周角定理．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三
角形时，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可
得出答案；
（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x =8，得出82﹣8
1
（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1） 2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
]
（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一
个解为8；
设AB=x =8，则有：
1
82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0，
解得：m =7，m =8．
1 2
则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切
于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；正方形的性质．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可
得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得
OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r，由
勾股定理求得OC= r，则可得方程r+ r=10 ，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE=OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∴OF=OE=OA，
即：CD是⊙O的切线．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴AC= =10 ，
∵OE⊥BC，
∴OE=EC，
设OA=r，则OE=EC=r，
∴OC= = r，
∵OA+OC=AC，
∴r+ r=10 ，
解得：r=20﹣10 ．
∴⊙O的半径为：20﹣10 ．【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作
出辅助线是解此题的关键．
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售
价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元
（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写
出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．
【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）
=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．
∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x =1，x =10．
1 2
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别
为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点
C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的
坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及
E点的坐标．【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与
对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y
得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与
AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再
根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形
的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立 ，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
解得：m=﹣ ，
即m=﹣ 时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x= ，y= ﹣ =﹣ ，
∴点E的坐标为（ ，﹣ ），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（ ，0），
∴AF= ﹣1= ，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°= × = ，
又∵AC= =3 ，
∴△ACE的最大面积= ×3 × = ，此时E点坐标为（ ，﹣ ）．【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数
法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用
平行线确定点到直线的最大距离问题．2016年3月10日
