文档内容
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（ ）
A．﹣5 B．2C．3D．5
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上
洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以
其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
5．小明乘车从广州到北京，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象
（ ）
A． B．C． D．
6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔
顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（ ）
A．（20 ﹣1.5）mB．（20 +1.5）m C．31.5mD．28.5m
7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C． ： D．3：2
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中
心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题（每题4分）
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=______．
10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面______，这种投影
称为正投影．
11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是______．12．反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______．
13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，
则OE的长为______cm．
14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如
果AB=9，BD=3，那么CF的长度为______．
15．某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平
方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．
16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点
A的反比例函数表达式为y=﹣ ，则过点B的反比例函数表达式为______．
三、解答题
17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣ ．
18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购
买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．
（1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是______；
（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求
出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率．
20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE的长．
21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ．
五、解答题
22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿
正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：
sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044， ≈1.732，结果精确到0.1海里）
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间
（结果精确到0.1小时）23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A
的坐标为（﹣1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB
于点F，求△CEF的面积．
24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x
（元/千克）（0＜x＜30）存在下列关系：
x（元/千克） 5 10 15 20
y（千克） 4500 4000 3500 3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正
比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么
此时市场处于平衡状态．
（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格
与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系
发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，
该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市
场价格为多少元？25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的
点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）求边AB的长；
（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，
且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．
①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；
②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出
线段EF的长度．九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（ ）
A．﹣5 B．2C．3D．5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】方程整理为一般形式后，找出常数项即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣5=0，
则常数项为﹣5，
故选A．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的左边看可得直角三角形 ，
故选：A．
3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上
洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以
其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【分析】画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可
得解．
【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，
所以，P= = ．
故选B．
4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
5．小明乘车从广州到北京，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据时间x、速度y和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得y= ，则y是x的
反比例函数，且x＞0．
【解答】解：由题意可得：y= （x＞0），
故y是x的反比例函数．
故选：B．
6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔
顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（ ）A．（20 ﹣1.5）mB．（20 +1.5）m C．31.5mD．28.5m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】作AC⊥BE于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC中选择适当的三角函数求出
BC即可得解．
【解答】解：过点A作AC⊥BE于点C．
根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．
∴BC=AC×tan30°=20 ．
故古塔BE的高为BC+CE=（20 +1.5）m．
故选B．
7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C． ： D．3：2
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答
即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3，
∴这两个三角形的相似比为 ： ，
∴这两个三角形的周长的比为 ： ，
故选：C．
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中
心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
二、填空题（每题4分）
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA= ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：sinA= = ，
故答案为： ．
10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 垂直 ，这种投
影称为正投影．
【考点】平行投影．【分析】根据正投影定义解答．
【解答】解：在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影，
故答案为：垂直．
11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是 2 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，
则b的值为2．
故答案为：2
12．反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 k ＜ 3
．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k﹣3的符号，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故答案为：k＜3．
13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，
则OE的长为 4 cm．
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．
【解答】解：∵OE∥DC，AO=CO
∴OE是△ABC的中位线∵AB=AD=8cm
∴OE=4cm．
故答案为4．
14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如
果AB=9，BD=3，那么CF的长度为 2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．
【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，
∴CF=2．
故答案为：2．
15．某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平
方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．【考点】一元二次方程的应用．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为
x，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）2=2880，
（1+x）2=1.44．
1+x=±1.2．
所以x =0.2，x =﹣2.2（舍去）．
1 2
故x=0.2=20%．
即：这个增长率为20%．
故答案是：20%．
16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点
A的反比例函数表达式为y=﹣ ，则过点B的反比例函数表达式为 y= ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】解直角三角形求得 = ，然后过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=﹣ 上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质
可求得△BOD的面积，可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴tan30°= = ，如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△AOC∽△OBD，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
设A点坐标为（x ，y ），
A A
∵点A在函数y=﹣ 的图象上，
∴x y =k=﹣1，
A A
∴S = |k|= ，
△AOC
∴S =3S = ，
△OBD △AOC
设B点坐标为（x ，y ），
B B
∴ x y = ，
B B
∴x y =3，
B B
∴过B点的反比例函数的解析式为y= ，
故答案为：y= ．
三、解答题17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣ ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=2× ﹣1﹣
= ﹣1﹣（ ﹣1）
=0．
18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，代入数据即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴ ，
∴AC2=AB•AD，
∵AD=2，BD=1，
∴AB=3，∴AC= ．
19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购
买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．
（1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是 ；
（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求
出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，直接利用概率公式求解即可
求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好买到A种笔记本
和C种笔记本的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，
∴若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是： ；
故答案为： ．
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好买到A种笔记本和C种笔记本的有2种情况，
∴恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率为： = ．20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
又∵AC=24，
∴AE=14，EC=10，
∵CD平分∠ACB交AB于D，
∴∠ACD=∠DCB，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DE=EC=10．
21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由当x=1时，y=0求出a的值，选取合
适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[1﹣ ]÷
= •= ，
∵y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，
∴2﹣a﹣a2=0，解得a =1，a =﹣2，
1 2
当a=1时，原式=3；
当a=﹣2时，a+2=0，原式无意义．
故原式=3．
五、解答题
22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿
正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：
sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044， ≈1.732，结果精确到0.1海里）
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间
（结果精确到0.1小时）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠A=42°，再根据AM的值
求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；
（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的值，最
后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=42°，
∴∠A=42°，
∵AM=180海里，∴MD=AM•sin42°≈120.4（海里），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离约为120.4海里；
（2）在Rt△DMB中，
∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°，
∵MD=120.4海里，
∴MB= ≈139，0，
∴139.0÷20≈7.0（小时），
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.0小时．
23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A
的坐标为（﹣1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB
于点F，求△CEF的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解
析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；
（2）将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F的
横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段
的长度后，即可计算△CEF的面积．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y=x﹣1，可得：m=﹣1﹣1=﹣2，
将点A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y= ，可得：k=﹣1×（﹣2）=2，
故反比例函数解析式为：y= ．
（2）将点P的纵坐标y=﹣1，代入反比例函数关系式可得：x=﹣2，
将点F的横坐标x=﹣2代入直线解析式可得：y=﹣3，
故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，
故可得S = CE×EF= ．
△CEF
24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x
（元/千克）（0＜x＜30）存在下列关系：
x（元/千克） 5 10 15 20
y（千克） 4500 4000 3500 3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正
比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么
此时市场处于平衡状态．
（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格
与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系
发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市
场价格为多少元？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）通过描点画图可知y是x的一次函数，从而利用待定系数法即可求出该解析式；
（2）令y=z，求出此时的x，则农民的总销售收入是xy元；
（3）可设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，因为该地区农民的总销售收入比未精加工
市场平衡时增加了17600元，则a（﹣100a+5000）=40000+17600，解之即可．
【解答】解：（1）描点．
因为由图象可知，y是x的一次函数，
所以设y=kx+b，
由x=5，y=4500；x=10，y=4000得：
则
所以
即y=﹣100x+5000
（2）∵y=z，
∴﹣100x+5000=400x，
∴x=10．
∴总销售收入=10×4000=40000（元）
∴农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元．（3）设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，则
a（﹣100a+5000）=40000+17600，
解之得：a =18，a =32．
1 2
∵0＜a＜30，
∴a=18．
∴这时该农副产品的市场价格为18元/千克．
25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的
点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）求边AB的长；
（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，
且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．
①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；
②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出
线段EF的长度．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；（2）利用面积比可求得PC的长，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的长；
（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN交PB于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，
得到EF= PB，且可求出PB的长，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ = = ，
∴CP=4，
设AB=x，则AP=x，DP=x﹣4，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP2=AD2+DP2，
即x2=82+（x﹣4）2，解得x=10，
即边AB的长为10；
（3）解：①如图所示，
②EF的长度不变，理由如下：
作MQ∥AN，交PB于点Q，如上图，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，∵ME⊥PQ，
∴PE=EQ= PQ，
∵BN=PN，MP=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=BF，
∴QF= QB，
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，
又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4，
∴PB=4 ，
∴EF=2 ，
即EF的长度不变．2016年9月20日
