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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在﹣2，0，2，﹣3这四个数中，最小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣2 D．﹣3
2．如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1亿元，
将30.1亿用科学记数法表示为（ ）
A．30.1×108 B．3.01×108 C．3.01×109 D．0.301×1010
3．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，
则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4D．x+6=﹣4
4．设a=2 ﹣1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
5．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几
个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
6．某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，
则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60 C．99.60，98.80 D．99.70，99.60
7．如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下
列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．a﹣b=1 C．a+b=﹣1 D．b＞2a
8．如图，过 ▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么
图中的 ▱AEMG的面积S
1
与 ▱HCFM的面积S
2
的大小关系是（ ）A．S ＞S B．S ＜S C．S =S D．2S =S
1 2 1 2 1 2 1 2
9．如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数
据中的（ ）
A．6B．8C．10 D．12
10．附加题：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作
AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11． 的平方根是 ．
12．因式分解：a2b+2ab+b= ．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以点C为圆心，CA为半径的圆
与AB交于点D，则AD的长为 ．
14．如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形
ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S ，正方形PMNQ的
1面积为S ．①AD：AB=1：2；②AP：AB=1：3；③S +S ＞S；④设在△ABC内任意截取一个正
2 1 2
方形的面积为S ，则S ≤S ．上述结论中正确的是 ．
3 3 1
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简
该分式．a2﹣1，a2﹣1，a2﹣2a+1，然后请你自选一个合理的数代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解
答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕原点O旋转180°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司一架航班号为MH370的波音777客机于凌晨
零点左右从吉隆坡飞往北京，计划6：30抵达北京首都国际机场，却在凌晨1：30分失去联系．
已知该飞机起飞时油箱内存有15000升油，起飞后一直保持速度为400km/h匀速直线运动，
且每千米的耗油量为5升，请用不等式的知识求出该飞机在失去联系后能最多航行多少千米？
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，
得到矩形A B C D ，第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位，得到矩
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
形A B C D …，第n次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向平移5个单位，得
2 2 2 2 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1
到矩形A B C D （n＞2）．
n n n n
（1）求AB 和AB 的长．
1 2
（2）若AB 的长为56，求n．
n
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容
器底部的倾斜角为α （∠CBE=α，如图所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视
图及尺寸如图2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S BCQ×高AB）；
△
（3）求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数．（注：sin37°= ，tan37°= ）．
20．面对即将到来的五一小长假，胡老师一家计划用两天时间参观岱山湖、紫蓬山森林公园、
滨湖湿地公园、三国遗址公园四个景区中的两个；第一天从4个景区中随机选择一个，第二
天从余下3个景区中再随机选择一个，如果每个景区被选中的机会均等．
（1）请画树状图或表格的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求滨湖湿地公园被选中的概率．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过
B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC= 时，求⊙O的半径．
七、（本题满分12分）
22．自2010年6月1日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电
时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴．为确保商家利润不受损失，补贴
部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表：
补贴额度 新家电销售价格的10%
说明：电视补贴的金额最多不超过400元/台；
洗衣机补贴的金额最多不超过250元/台；
冰箱补贴的金额最多不超过300元/台．
为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、冰箱共100台，这批家电的进价和售价如下表：
家电名称 进价（元/台） 售价（元/台）
电视 3900 4300
洗衣机 1500 1800
冰箱 2000 2400
设购进的电视机和洗衣机数量均为x台，这100台家电政府需要补贴y元，商场所获利润w
元（利润=售价﹣进价）
（1）请分别求出y与x和w与x的函数表达式；
（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应
该怎样安排进货？若这100台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？八、（本题满分14分）
23．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，则易证 ．（选择正确答案填空）
①AM+CN＞MN；② （AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN= ∠ABC，在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系是否仍然成立？若成立
给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC与∠ADC互补．点M、N分别在DA、CD
的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请写出
猜想并证明．九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在﹣2，0，2，﹣3这四个数中，最小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣2 D．﹣3
【考点】有理数大小比较．
【专题】计算题．
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个
负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜0＜2，
∴最小的数是﹣3，
故选D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一
切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1亿元，
将30.1亿用科学记数法表示为（ ）
A．30.1×108 B．3.01×108 C．3.01×109 D．0.301×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将30.1亿用科学记数法表示为：3.01×109．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，
则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4D．x+6=﹣4
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．
【解答】解：（x+6）2=16，
两边直接开平方得：x+6=±4，
则：x+6=4，x+6=﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已
知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求
得方程解”来求解．
4．设a=2 ﹣1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出2 的大小，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵2 = ，9＜12＜16，
∴3＜2 ＜4，
∴2＜2 ﹣1＜3，即a在2和3之间．
故选B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出2 的大小是解答此题的关键．
5．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几
个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【考点】余角和补角．
【专题】计算题．【分析】本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．
【解答】解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．
故选：B．
【点评】正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．
6．某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，
则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60 C．99.60，98.80 D．99.70，99.60
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；
数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．
故选B．
【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇
数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则
找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
[来源:学科网]
7．如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下
列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．a﹣b=1 C．a+b=﹣1 D．b＞2a
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对
称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对
称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于
（0，c）．
【解答】解：∵OC=1，∴c=1，
又∵x=1时，y＞0，
∴a+b+1＞0，
∴a+b＞﹣1，
∴选项A不正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
又∵c=1，
∴ac=a＞0，
∴选项B不正确；
∵OA=1，
[来源:学科网ZXXK]
∴x=﹣ ＜﹣1，
又∵a＞0，
∴b＞2a，
∴选项C不正确；
∵OA=1，
∴x=﹣1时，y=0，
∴a﹣b+c=0，
又∵c=1，
∴a﹣b=﹣1，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确二次函数各项的系数和图形的关系．
8．如图，过 ▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么
图中的 ▱AEMG的面积S
1
与 ▱HCFM的面积S
2
的大小关系是（ ）A．S ＞S B．S ＜S C．S =S D．2S =S
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得
出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM
的面积相等，相减即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中；
∵ ，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
[来源:Zxxk.Com]
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S =S ．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关
键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面
积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
9．如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数
据中的（ ）
A．6B．8C．10 D．12【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于
20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于
10，看哪个符合就可以了．
【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选B．
【点评】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范
围是解题的关键．
10．附加题：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作
AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】综合题．
【分析】根据实际情况求得自变量的取值范围．
【解答】解：
∵S = PD×AE= AD×AB，
△APD
∴xy=3×4
∴xy=12，即：y= ，为反比例函数，
当P点与C点重合时，x为最小值：x=3，
当P点与B点重合时，x为最大值：x=BD= =5，
∴3≤x≤5．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用面积公式求得函数关系式，
特别是要确定自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11． 的平方根是 ± ．
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】线算出 =3，从而得出结论．
【解答】解：∵ =3，3的平方根为± ，
故答案为：± ．
【点评】本题考查了数的平方根，解题的关键是牢记非负数的平方根有两个．
12．因式分解：a2b+2ab+b= b （ a+ 1 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提取公因式b，剩下的正好是（a+1）的完全平方．
【解答】解：原式=b（a2+2a+1）=b（a+1）2．
故答案为：b（a+1）2．
【点评】本题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式b，剩下是（a+1）的完
全平方．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以点C为圆心，CA为半径的圆
与AB交于点D，则AD的长为 ．【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AB= ，利用三角形面积公式求出CE，根据勾股
定理求出AE，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB于E，
则AE= AD，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB= = ，
×AB×CE= AC×BC，即 ×CE= ，
解得，CE= ，
AE= = ，
则AD=2AE= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的两条弧．
14．如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形
ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S ，正方形PMNQ的
1面积为S ．①AD：AB=1：2；②AP：AB=1：3；③S +S ＞S；④设在△ABC内任意截取一个正
2 1 2
方形的面积为S ，则S ≤S ．上述结论中正确的是 ①②④ ．
3 3 1
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】①如图1：根据等腰三角形的性质求解；
②图2：同图1的证法；
③由（1）得出的AB、AD、AP、AB的关系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，这样就能表示
出S 、S 和S，然后进行比较即可；
1 2
④结合③，即可求得答案．
【解答】解：①图1中，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADFE是正方形，
∴AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2；故正确；
②图2中，同理：PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；故正确；
③图1中，S =（ a）2= a2，
1
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ= a，
∴S =（ a）2= a2，
2
∴S +S =（ + ）a2= a2，
1 2∵S= a2= a2，
∴S +S ＜S；故错误；
1 2
④由③可得：在△ABC内任意截取一个正方形的面积为S ，则S ≤S ；故正确．
3 3 1
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握面积的
求解方法是关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简
该分式．a2﹣1，a2﹣1，a2﹣2a+1，然后请你自选一个合理的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】开放型．
【分析】根据分式的定义即可构造一个分式，然后取一个使得分式有意义的值代入即可．
【解答】解： = = ，
当a=2时，原式= =3．
或 = ，
当a=2时，原式= = ．
【点评】本题考查分式的定义，分式的约分，理解题意是解题的关键，取值时注意使得分式有
意义．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解
答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕原点O旋转180°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点
坐标；
（2）将△A B C 中的各点A 、B 、C 绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A 、B 、C ，连
1 1 1 1 1 1 2 2 2
接各对应点即得△A B C ．
2 2 2
【解答】解：（1）如图所示：点A 的坐标（2，﹣4）；
1
（2）如图所示，点A 的坐标（﹣2，4）．
2
【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然
后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司一架航班号为MH370的波音777客机于凌晨
零点左右从吉隆坡飞往北京，计划6：30抵达北京首都国际机场，却在凌晨1：30分失去联系．
已知该飞机起飞时油箱内存有15000升油，起飞后一直保持速度为400km/h匀速直线运动，
且每千米的耗油量为5升，请用不等式的知识求出该飞机在失去联系后能最多航行多少千米？【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】根据飞机的耗油量得出它飞行的最大距离，进而得出的不等式求出答案．
【解答】解：设该飞机在失去联系后能航行x千米，
1：30﹣0：00=1.5（小时），
由题意得：1.5×400×5+5x≤15000
解得：x≤2400．
答：该飞机在失去联系后最多能航行2400千米．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意结合飞机飞行的距离得出正确不
等关系是解题关键．
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，
得到矩形A B C D ，第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位，得到矩
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
形A B C D …，第n次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向平移5个单位，得
2 2 2 2 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1
到矩形A B C D （n＞2）．
n n n n
（1）求AB 和AB 的长．
1 2
（2）若AB 的长为56，求n．
n
【考点】平移的性质；一元一次方程的应用；矩形的性质．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据平移的性质得出AA =5，A A =5，A B =A B ﹣A A =6﹣5=1，进而求出AB
1 1 2 2 1 1 1 1 2 1
和AB 的长；
2
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出AB =（n+1）×5+1求出n即可．
n
【解答】解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩
形A B C D ，
1 1 1 1
第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形A B C D …，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
∴AA =5，A A =5，A B =A B ﹣A A =6﹣5=1，
1 1 2 2 1 1 1 1 2
∴AB =AA +A A +A B =5+5+1=11，
1 1 1 2 2 1
∴AB 的长为：5+5+6=16；
2（2）∵AB =2×5+1=11，AB =3×5+1=16，
1 2
∴AB =（n+1）×5+1=56，
n
解得：n=10．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出
AA =5，A A =5是解题关键．
1 1 2
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容
器底部的倾斜角为α （∠CBE=α，如图所示）．
探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视
图及尺寸如图2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 平行 ，BQ的长是 3 dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S BCQ×高AB）；
△
（3）求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数．（注：sin37°= ，tan37°= ）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的
长；
（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；
（3）求出∠BCQ的正切值即可得到其度数．
【解答】解：（1）CQ∥BE，BQ= =3dm；
故答案为：平行，3；（2）V液= ×3×4×4=24（dm3）；
（3）过点B作BF⊥CQ，垂足为F，
∵ ×3×4= ×5×BF，
∴BF= ，
∴液面到桌面的高度 ；
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，
∴α=∠BCQ=37°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握四边形的体积计算以及对三视图的认识，
正确理解棱柱的体积的计算是关键．
20．面对即将到来的五一小长假，胡老师一家计划用两天时间参观岱山湖、紫蓬山森林公园、
滨湖湿地公园、三国遗址公园四个景区中的两个；第一天从4个景区中随机选择一个，第二
天从余下3个景区中再随机选择一个，如果每个景区被选中的机会均等．
（1）请画树状图或表格的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求滨湖湿地公园被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）用A、B、C、D分别表示岱山湖、紫蓬山森林公园、滨湖湿地公园、三国遗址公园
四个景区，然后画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）在12种等可能的结果中找出滨湖湿地公园被选中的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）用A、B、C、D分别表示岱山湖、紫蓬山森林公园、滨湖湿地公园、三国遗址公
园四个景区，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）滨湖湿地公园被选中的结果数为6，
所以滨湖湿地公园被选中的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过
B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC= 时，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明
OM⊥AE；
（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．
【解答】（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE= BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=
∴BE=2，cos∠ABC=
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB= =6
设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴
∴
解得
∴⊙O的半径为 ．【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三
角形等知识点．
七、（本题满分12分）
22．自2010年6月1日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电
时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴．为确保商家利润不受损失，补贴
部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表：
补贴额度 新家电销售价格的10%
说明：电视补贴的金额最多不超过400元/台；
洗衣机补贴的金额最多不超过250元/台；
冰箱补贴的金额最多不超过300元/台．
为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、冰箱共100台，这批家电的进价和售价如下表：
家电名称 进价（元/台） 售价（元/台）
电视 3900 4300
洗衣机 1500 1800
冰箱 2000 2400
设购进的电视机和洗衣机数量均为x台，这100台家电政府需要补贴y元，商场所获利润w
元（利润=售价﹣进价）
（1）请分别求出y与x和w与x的函数表达式；
（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应
该怎样安排进货？若这100台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？
【考点】一次函数的应用．
【专题】优选方案问题．
【分析】（1）由于电视机每台售价4300元，其10%为430元，超过400元，故其补贴额为400
元；而洗衣机、冰箱的补贴额度不超过400元，故按照其销售价格的10%计算即可．
（2）根据商场决定购进每种家电不少于30台，即电视机和洗衣机数x≥30台；冰箱100﹣
2x≥30台，列出不等式组解答即可．【解答】解：（1）y=400x+1800×10%x+2400×10%（100﹣2x）=100x+24000
商场所获利润：W=400x+300x+400（100﹣2x）
=﹣100x+40000．
（2）根据题意得 ，
解得30≤x≤35，
因为x为整数，所以x=30，31，32，33，34，35，因此共有6种进货方案．
对于W=﹣100x+40000，
∵k=﹣100＜0，30≤x≤35，
∴当x=30时，W有最大值，
所以当购进30台电视，30台洗衣机，40台电冰箱时商场将获得最大的利润．
因此政府的补贴为y=100×30+24000=27000元．
【点评】此题将一元二次方程与不等式组相结合，以实际问题为载体，体现了数学的实用价值，
也对同学们阅读理解能力提出了较高的要求，是考试中常见常新的题目．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，则易证 ③ ．（选择正确答案填空）
①AM+CN＞MN；② （AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN= ∠ABC，在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系是否仍然成立？若成立
给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC与∠ADC互补．点M、N分别在DA、CD
的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请写出
猜想并证明．【考点】四边形综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）设BD于MN交于点H，如图1（1），根据正方形的性质得∠ABH=∠CBH=45°，
BA=BC，由于∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，则∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，再证明
△ABM≌△CBN得到BM=BN，AM=CN，接着根据等腰三角形的性质可判断BH⊥MN，于是
根据角平分线的性质得MA=MH，NH=NC，所以有MN=AM+CN；
（2）把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），根据旋转的性质得BM=BP，
AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，再证明点P在DC的延长线上，则NC+CP=NP，利用
∠MBN= ∠ABC=45°得到∠NBP=45°，接着可证明△BNM≌△BNP，则MN=NP，于是有
MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】如图2，由于∠ABC+∠ADC=180°，根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD=180°，则
∠BAM=∠BCD，根据旋转的定义，可把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，则根据
旋转的性质得∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，则∠BCQ=∠BCD，则可判断点Q
在CN上得到CN=CQ+MQ=AM+NQ，然后证明△BMN≌△BQN得到MN=QN，则
CN=AM+MN．
【解答】（1）解：设BD于MN交于点H，如图1（1），
∵BD为正方形ABCD的正方形，
∴∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，
∵∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，
∴∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，
在△ABM和△CBN中
，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=BN，AM=CN，
而∠HBM=∠HBN，
∴BH⊥MN，
∴MA=MH，NH=NC，
∴AM=MH=HN=NC，∴MN=AM+CN；
故答案为③；
（2）解：在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系仍然成立．理由如下：
把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），
∴BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，
∵∠BCP+∠BCN=180°，
∴点P在DC的延长线上，
∴NC+CP=NP，
∵∠MBN= ∠ABC=45°，
∴∠NBP=45°，
在△BNM和△BNP中
，
∴△BNM≌△BNP，
∴MN=NP，
∴MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】解：如图2，∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠BCD，
∵AB=BC，
∴把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，
∴∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，
∴∠BCQ=∠BCD，
∴点Q在CN上，
∴CN=CQ+MQ=AM+NQ，
∵∠MBN= ∠ABC，
∴∠MBN= MBQ，
[来源:Zxxk.Com]
∴∠MBN=∠QBN，在△BMN和△BQN中
[来源:Zxxk.Com]
，
∴△BMN≌△BQN，
∴MN=QN，
∴CN=AM+MN，
即MN=CN﹣AM．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质；灵活应用全等三
角形的判定与性质解决线段相等的问题；解决本题的关键是构建全等三角形．
