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第一学期人教版八年级数学期中模拟卷一
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ，
1 1
∠A
1
BC与∠A
1
CD的平分线相交于点A
2
，得∠A
2
，⋯，∠A
3
BC与∠A
3
CD的平分线相
交于点A ，得∠A ，则∠A 的度数为（ ）
4 4 4
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
【分析】
根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知
， ， ，依此类推可知 的度数
【详解】
解： 与 的平分线交于点 ，
，
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，
同理可得， ，
．
故选：A．
【点睛】
本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考
查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．
2．一个三角形的三个外角之比为 ，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或
直角三角形
【答案】A
【分析】
根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．
【详解】
解：∵三角形的三个外角之比为5∶2∶5，
∴三角形的三个外角的度数为：150°，60°，150°，
∴三角形对应的内角度数为30°，120°，30°，
∴此三角形是等腰三角形，
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和定理，解此题的关键是求出各个内角的度数．
3．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于
D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（
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A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【答案】D
【分析】
根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD
的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则
四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是
1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
【详解】
解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是 ，
∴四边形ADGF的面积是2−1− ＝ ，
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1： ＝3：2．
故选：D．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【点睛】
此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶
点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
4．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于 ，
交 于 ，过点 作 于 ，下列四个结论：
① ；
②当 时， ；
③若 ， ，则 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】B
【分析】
由角平分线的定义结合三角形内角和可判定①，在AB上取一点H，使BH=BE，进而
可证△HBO≌△EBO，则有∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AH=AF，
进而可判定②，作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可判定③．
【详解】
解：∵ 和 的平分线 、 相交于点 ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴ ，
∴
，
故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴ ，
∵OB=OB，
∴△HBO≌△EBO（SAS），更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴ ，
∴ ，故②正确；
作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，如图所示：
∵ 和 的平分线 、 相交于点 ，
∴点 在 的平分线上，
∴ ，
∴ ，故③正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．如图， 是 的边 上的中线， ，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长 至点E，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
然后运用三角形三边关系可得结果．
【详解】
如图，延长 至点E，使 ，连接 ．
∵ 为 的 边上的中线，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三
角形是解题的关键．
6．如图， ，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过 ， ，得到 ，得到
，即可得解；
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的全等判定，准确分析判断是解题的关键．
7．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【详解】
解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
8．如图，在 中， 、 的平分线交于点 ，若 ，
，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在CB上取CE=AC，连接BP，则BP是∠ABC的角平分线，得到
，证明△ACP≌△ECP，AP=EP，∠CAP=∠CEP，根据
BC=AP+AC，BC=BE+CE，得到BE=EP=AP则∠EBP=∠BPE=20°，再由三角形外角的
性质求得∠CAP=∠CEP=∠EBP+∠BPE=40°，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】
解：如图所示，在CB上取CE=AC，连接BP，则BP是∠ABC的角平分线，
∴ ，
∵PC是∠ACB的角平分线，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴∠ACP=∠ECP，
在△ACP和△ECP中
，
∴△ACP≌△ECP（SAS），
∴AP=EP，∠CAP=∠CEP，
∵BC=AP+AC，BC=BE+CE，
∴BE=EP=AP
∴∠EBP=∠BPE=20°，
∴∠CAP=∠CEP=∠EBP+∠BPE=40°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAP=80°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三
角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出
图形进行求解即可．
【详解】
如图1
；
如图2
，故顶角 ．
故选D
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，
必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
10．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋
转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时
针旋转 得到；②点 与 的距离为4；③ ；④ ；
⑤ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【答案】A
【分析】
证明△ ≌△BOC，又∠OB ＝60°，所以△B A可以由△BOC绕点B逆时针旋
转60°得到，故结论①正确；由△OB 是等边三角形，可知结论②正确；在△AO
中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AO 是直角三角形；进而求得∠AOB
＝150°，故结论③正确； 故结论④错误；将△AOB
绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至 点．利用旋转变换构造等
边三角形与直角三角形，将S +S 转化为 ，计算可得结论⑤正确．
△AOC △AOB
【详解】
解：如图，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝ B，AB＝BC，
∴△B A≌△BOC，
又∵∠OB ＝60°，
∴△B A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接O ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵OB＝ B，且∠OB ＝60°，
∴△OB 是等边三角形，
∴O ＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△B A≌△BOC，
∴ A＝5．
在△AO 中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AO 是直角三角形，∠AO ＝90°，
∴∠AOB＝∠AO +∠BO ＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
，故结论④错误；
如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至 ，
易知△AO 是边长为3的等边三角形，△CO 是边长为3、4、5的直角三角形，则
，故结
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综上所述，正确的结论为：①②③⑤，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判
定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点，在判定结论⑤时，
将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①至结论④解题思路的拓展应用．
二、填空题(共24分)
11．已知 中， ，现将 折叠，使点 、 两点重合，折痕所在的直
线与直线 的夹角为 ，则 的度数为___________ ．
【答案】 或
【分析】
首先根据题意画出图形，当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1，由翻折的性质可知：
EF⊥AB，从而可求得∠A，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得
∠B；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2，由翻折的性质可知：EF⊥AB，从而可求
得∠DAE，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠B．
【详解】
当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴∠A＋∠AFE＝90°，
∴∠A＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝ ×（180°﹣∠A）＝55°；
当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠D＋∠DAE＝90°．
∴∠DAE＝90°﹣20°＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠B＋∠C＝∠DAE，
∴∠B＝ ∠DAE＝35°，
故答案为：55°或35°．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质、等腰三角形的性质；这里要分类讨论：分别就等腰三角
形的顶角是锐角和钝角两种情况进行讨论．
12．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G
重合），过点D作DE∥AC交AB于点E，∠EDB的角平分线所在直线交AB于点H，
交射线AG于点F，则∠B与∠AFD之间的数量关系是__．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【答案】∠AFD=90°﹣ ∠B
【分析】
利用角平分线的定义可得∠BAF＝ ∠BAC，∠HDB＝ ∠EDB，由于DE∥AC，则
∠EDB＝∠C，可得∠HDB＝ ∠C；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的
和可得∠AHF＝∠B＋∠HDB，在△AHF中，利用三角形的内角和定理列出关系式后
整理即可得出结论．
【详解】
解：∵AG平分∠BAC，
∴∠HAF＝ ∠BAC．
∵DH平分∠EDB，
∴∠HDB＝ ∠EDB．
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C．
∴∠HDB＝ ∠C．
∵∠AHF为△HDB的外角，
∴∠AHF＝∠B＋∠HDB．
在△AHF中，由三角形的内角和定理可得：
∠BAF＋∠AHF＋∠AFD＝180°．
∴ ∠BAC＋∠B＋∠HDB＋∠AFD＝180°．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴ ∠BAC＋∠B＋ ∠C＋∠AFD＝180°．
∵在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴ ∠BAC＋ ∠C＝90°－ ∠B．
∴90°－ ∠B＋∠B＋∠AFD＝180°．
∴ ∠B＋∠AFD＝90°．
∴∠AFD＝90°－ ∠B．
故答案为：∠AFD＝90°－ ∠B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理及其推论，角平分线的定义，平行线的性质．充
分利用三角形的内角和等于180°是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上
一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是__．
【答案】
【分析】
如图，取AC的中点N，连接MN，BN，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中
位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【详解】
解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∵AN=NC= AC= ，
∴BN= AC=
∵点M是CD的中点，
∴DM=MC，
∴MN= AD=1
∴BM≤BN＋NM，
∴BM≤ +1= ，
即BM的最大值是 .
【点睛】
本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
14．如图， 中， 在 边上， ， 在 边上， ，过点 作
，交 于 ．若 ， ，则 的长为______．
【答案】
【分析】
在 上截取 ，连接 ，作 于 ，证明 ，
再根据全等三角形对应边相等的性质解得 ， ，在
中，利用勾股定理解得 ，最后由平行线分线段成比例解题即可．
【详解】
解：在 上截取 ，连接 ，作 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴ ，
所以 ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，
掌握相关知识是解题关键．
15．如图，在 中， ，F是 边上的中点，则
________1．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【分析】更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
连接AE，先证明 得出 ，根据三角形三边关系可得结果．
【详解】
如图，连接 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵F是 边上的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟知全等三角形的判定定理
与性质是解题的关键．
16．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交
AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com的周长的最小值为____．
【答案】10
【分析】
如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM＋MD
的最小值，进而即可求解．
【详解】
解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ •BC•AD＝ ×6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD＋BD＝AD＋ BC＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的
关键．
17．如图，在 中， ， 平分 ，点 ， 分别是 和 上的
任意一点，连接 ，设 的面积为 ， ．
（1）当点 ， 重合时， _______________________．
（2）连接 交 于点 ，则 _______________________ （填“ ”，“ ”，
“ ”，“ ”或“ ”）；
【答案】
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得解；
（2）连接PC，根据垂直平分线的性质证明 ，得到 ，得到
，再根据D、P、C的位置判断即可；
【详解】
（1）∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
当点 ， 重合时， ，
∵ 的面积为 ，
∴ ；
故答案是 ．
（2）连接PC，
由（1）可得： ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当D、P、C三点共线时， ，
当D、P、C三点不共线时， ，
∴ ；
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、三线合一的性质、三角形三边关系、全等三角形
的判定与性质，准确计算是解题的关键．
18．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即 ．若把n个相同规格的等臂圆规
的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下： ，
， ， ，…根据上述规律请你写出
__________．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】
张角度数变化如下： ， ， ， ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com…由此可以得到张角的度数变化规律为 ，再由三角形内角和定理求解
即可得到答案．
【详解】
解析：由张角度数变化可知顶角 ，
∵ ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，图形的变化规律，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题(共46分)
19．(本题8分)如图，将 沿 边翻折至 ．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
（1）求证： ；
（2）延长 至 ，延长 交 于 ．求证： ；
（3）在（2）的条件下，延长 至 ，连 ，连接 ，并延长 至 ，作
的平分线交 延长线于 ，若 ， ， ，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】
（1）由翻折性质得到 ， ，再三角形外角性质解题；
（2）由三角形外角性质解得 ， ，再求角的差；
（3）延长 至 ，由角平分线的性质及三角形外角性质解得 ，
，再结合三角形内角和180°，得到 ，继而代
入计算解题
【详解】
解：（1）延长 至
∵ 翻折至 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com（2）设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（3）延长 至 ，由（1）知 ，
∵ ，∴ ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵ 平分 ，
∴ 是 两个外角平分线交点，
∵ 是 的外角
∴ ，
∴ ①
∵ ，
∴ ②
在 中
∴ ③
把①、②代入③得
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
答： 的度数是 ．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质、角平分线性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，
掌握相关知识是解题关键．
20．(本题8分)小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报
说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现
在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本
的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24
元的书，请问：笔记本的单价为多少元？
【答案】（1）见解析；（2）6元
【分析】
（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价＝单价×数量，
结合购买两种书30本共花费（700−38）元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出x，y的值，结合x，y的值为整数，即可得出小明搞错了；
（2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（30−a）本，笔记本的单
价为b元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得
出a＝14＋ ，结合0＜b＜10，且a，b均为整数，可得出b＝2或6，将b值代入a
＝14＋ 中可求出a值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定b值．
【详解】
解：（1）设20元的书买了 本，24元的书买了 本，由题意，得
，解得 ，
∵ ， 的值为整数，故 ， 的值不符合题意（只需求出一个即可）
∴小明搞错了；
（2）设20元的书买了 本，则24元的书买了 本，笔记本的单价为 元，
由题意，得： ，
化简得：更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵ ，∴ 或6．
当 ， ，即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去
当 ， ，即20元的书买了16本，则24元的书买了14本
∴ ．
答：笔记本的价格为6元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
21．(本题10分)在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线
于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ．
（1）如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ．
（2）若直线 绕点 旋转到图2的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，
此时 ， ， ，求 的长度．
（3）若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【答案】（1）见解析；（2） ；（3）线段 、 和 的位置关系为
，数量关系为 或 或
【分析】
（1）根据平行线的性质证得 再根据 ， 即可得
到 ，得到 ．
（2）延长 与 的延长线相交于点 ．证明 ，推出 ，
求出 的面积即可解决问题．
（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线 与线段 交于一点
时，当直线 与线段 交于一点时，当直线 与线段 的延长线交于一点时，当直
线 与线段 的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式
分别证明即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1，
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
又 为 边中点，
，
在 和 中，
，
，
．
（2）解：如图2，延长 与 的延长线相交于点 ，
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，
，
又 为 中点，
，
又 ，
∴在 和 中，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com，
，
， ， ，
∵ ， ，
，
，
，
，
，
．
（3）位置关系： ，
数量关系：分四种情况讨论
∵ 直线 于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ，
∴ ，
①如图3，当直线 与线段 交于一点时，
由（1）可知 ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
，
即 ，
，
，
，
∵ ，
．
②当直线 与线段 交于一点时，
如图，延长 交 的延长线于点 ．
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，
又 为 边中点，
，
在 和 中，
，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com，
．
，
即 ，
，
，
，
∵ ，
．
③如图4，当直线 与线段 的延长线交于一点时．
由（2）得： ，
， ，
∴ ，
即 ，
．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
④当直线 与线段 的延长线交于一点时，
如图，延长 交 的延长线于点 ．
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，
，
又 为 中点，
，
又 ，
∴在 和 中，
，
，
， ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴ ，
即 ，
．
综上所述，线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系为
或 或 ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以
及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运
用全等三角形的判定与性质．
22．(本题10分)如图，已知射线 ， 是射线 上的一个动点（不与点 重
合）， 、 分别在射线 上且满足 平分 ， 平分 ，过 作
交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，点 在 上运动，当 ，求此时 的大
小？
（3）若 ，当 为直角三角形时，请直接写出 的度数．
【答案】（1）60°；（2）96°；（3）135°- 或135°-
【分析】更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
（1）先推出∠BAM=120°，根据角平分线的定义，可得∠BAC=2∠CAD，
∠CAM=2∠CAE，进而即可求解；
（2）设∠BAD=x，由 ，得x+60°= （180°-x-60°），求解x的值，进
而即可求解；
（3）分两种情况：①当 为直角三角形，∠BAC=90°时，②当 为直角三角
形，∠BCA=90°时，分别求出 即可．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴∠BAM=180°-60°=120°，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴∠BAC=2∠CAD，∠CAM=2∠CAE，
∴2∠CAD+2∠CAE=∠BAM=120°，
∴ =∠CAD+∠CAE=60°；
（2）设∠BAD=x，
∵ ，∠B=60°，
∴∠BAM=120°，
∵ ，
∴∠BAE=∠AEF，
当 时，即x+60°= （180°-x-60°），
解得：x=12°，
∴∠BAD=12°，∠BAE=60°+12°=72°，
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=∠BAF-2∠BAD=120°-24°=96°；
（3）∵ ， ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴∠BAM=180°- ，
当 为直角三角形，∠BAC=90°时，
∴∠CAF=180°- -90°=90°- ，
∴∠CAE= (90°- )，
∴ =∠BAE=90°+ (90°- )=135°- ；
当 为直角三角形，∠BCA=90°时，
则∠CAF=∠BCA=90°，∠CAE= ∠CAF=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°- +45°=135°- ，
∴ =∠BAE=135°- ．
综上所述： =135°- 或135°- ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，掌握方程思想
和分类讨论思想方法是解题的关键．
23．(本题10分)如图，在 ， ， ， 是 上一点，
于 ， 是 上一点， 于 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，在射线 上有一点 ，连接 ， ，求 的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接 ，若 ，求 的长．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）1.5
【分析】
（1）由题意易得 ，然后可证 与 全等，进而根据全等三角
形的性质可求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，进而根据平行线的性质可求
解；
（3）延长 、 交于 ，过点 作 于 ，由题意易证 与 全
等，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ （AAS），
∴ ．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com解：（2）由（1）可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（3）延长 、 交于 ，过点 作 于 ，如图所示：
由（1）（2）可证 ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵ ，
∴ ≌ （ASA），
∴ ，
∵ 都为等腰直角三角形，且BC为它们的公共斜边，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ （AAS），
∴ ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及直角三角形
的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及直角三
角形的性质是解题的关键．
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