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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号的四
个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑）.
1．在2、0、﹣1、3四个数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
2．如图所示的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简 的结果是（ ）
A．2 B．4 C． D．±
4．计算（a2bc）3的结果是（ ）
A．a3b3c B．a9b3c3 C．a3bc3 D．a6b3c3
5．下调查方式中，不合适的是（ ）
A．浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式
B．了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式
C．了解iPhone6s手机的使用寿命，采用普查的方式
D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式
6．如图，a∥b，AB⊥a，BC交于b于E，若∠1=47°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．133° C．120° D．100°
7．数据：14，10，12，13，11的中位数是（ ）
A．14 B．12 C．13 D．11
8．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8
9．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考
虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与
铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图
形一共有6颗棋子，…，则第⑦个图形棋子的个数为（ ）
A．76 B．96 C．106 D．116
12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边
上，反比例函数y= （k≠0）的图象经过B，C和边EF的中点M，若S =8，则正方形
四边形ABCD
DEFG的面积是（ ）A． B． C．16 D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．中国第一汽车集团公司2015年营业额高达68000亿，把数据68000用科学记数法表示为
．
14．计算：（π﹣2015）0﹣（﹣1）2015﹣|﹣3|= ．
15．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 ．
16．如图，△ABC中，∠C是直角，AB=6cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋
转，使点C旋转到AB边延长线上的D处，则AC边扫过的图形众人阴影部分的面积是 ．
17．从﹣1，0，1，3，4，这五个数中任选一个数记为a，则使双曲线y= 在第一、三象限且
不等式组 无解的概率是 ．
18．如图，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩
的B点重，∠FGE=90°，FG=3．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向运动，当点
F恰好经过BD时，将△EFG绕点F逆时针旋转α°（0°＜α°＜90°），记旋转中的△EFG为△E′F′G′，在旋转过程中，设直线E′G′与直线BC交于N，与直线BD交于M点，当△BMN为
以MN为底边的等腰三角形时，FM的长为 ．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解方程组： ．
20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，
AD∥BC．求证：AD=BC．
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（1）2x（x+1）﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣1）2
（2）（x﹣1﹣ ） ．
22．本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的效果，
九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等
级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不
同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为 ；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学
介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
23．图中线段AB表示某工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道的一侧点A出发，沿着坡度
为1：1.5的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为
23°，继续飞行至点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面的高度EF=800米．
（1）分别求隧道AC和BC段的长度；
（2）建工集团安排甲、乙两个金牌施工队分别从隧道两头向中间施工，甲队负责AC段施工，
乙队负责BC段施工，乙每天的工作量是甲的2倍，两队同时开工5天后，甲队将速度提高
25%，乙队将速度提高了150%，从而两队同时完成，求原计划甲、乙两队每天各施工多少米．
（参考数据：tan23°≈0.4，cos23°≈0.9）
24．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：
max{1，﹣2}=1，
max{﹣3，﹣7}=﹣3
（1）求max{﹣x2+1，2}；
（2）已知max{﹣x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，max{x2﹣x﹣6，m（x﹣1）}=m（x﹣1）．直接写出实数m的取值范围．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡种对应的位置上.
25．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接
DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置
关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论
是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时
线段CF的长（直接写出结果）．
26．如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．
（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，
M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的
速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间
为（t 0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的 时对应的t值．九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号的四
个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑）.
1．在2、0、﹣1、3四个数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜2＜3，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数＜0＜正数，两个负数，绝对值大
的反而小，是一道基础题．
2．如图所示的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的定义，结合选项图形进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不轴对称图形，故本选项错误；
D、不轴对称图形，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合．3．化简 的结果是（ ）
A．2 B．4 C． D．±
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】利用二次根式的乘法法则，对二次根式化简．
【解答】解： = =2 ．
故选C．
【点评】主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，
因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）
的二次根式叫最简二次根式．
4．计算（a2bc）3的结果是（ ）
A．a3b3c B．a9b3c3 C．a3bc3 D．a6b3c3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：（a2bc）3=a6b3c3，故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方．
5．下调查方式中，不合适的是（ ）
A．浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式
B．了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式
C．了解iPhone6s手机的使用寿命，采用普查的方式
D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似解答．
【解答】解：浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式合适，A不合题意；
了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式合适，B不合题意；
了解iPhone6s手机的使用寿命，采用普查的方式不合适，C符合题意；了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式合适，D不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象
的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，
应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．如图，a∥b，AB⊥a，BC交于b于E，若∠1=47°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．133° C．120° D．100°
【考点】平行线的性质．
【分析】先作辅助线延长AB交直线b于点F，再利用平行线的性质和三角形外角和内角的关
系求角的度数．
【解答】解：延长AB交直线b于点F，
∵a∥b，AB⊥a，
∴AB⊥b，
∴∠BFE=90°；
∵∠1=47°，∠2是三角形BEF的一个外角，
∴∠2=∠BFE+∠1=90°+47°=137°．
故选A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用三角形外角的性质求解是解
答此题的关键．
7．数据：14，10，12，13，11的中位数是（ ）A．14 B．12 C．13 D．11
【考点】中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数
为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：10、11、12、13、14，12处在中间一位是中位数．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力，要明确定义，一些学生往往
对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排
好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为
所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，
解得α=4．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程
1 2
x2+px+q=0的两根时，x +x =﹣p，x x =q，反过来可得p=﹣（x +x ），q=x x ，前者是已知系数
1 2 1 2 1 2 1 2
确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
9．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=50°．
∴∠C=180°﹣50°=130°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关
键．
10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考
虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与
铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
【解答】解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块
完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C．
【点评】本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定
要通过求解析式来解决．
11．图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图
形一共有6颗棋子，…，则第⑦个图形棋子的个数为（ ）A．76 B．96 C．106 D．116
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】通过观察图形得到第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；
第②个图形中棋子的个数为1+5=6；
第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×（1+2）=16；
…
所以第n个图形中棋子的个数为1+5（1+2+…+n﹣1）=1+ ，然后把n=7代入计算即
可．
【解答】解：观察图形得到第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；
第②个图形中棋子的个数为1+5=6；
第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×3=16；
…
所以第n个图形中棋子的个数为1+5（1+2+…+n﹣1）=1+ ，
当n=7时，1+ =106．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或
按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边
上，反比例函数y= （k≠0）的图象经过B，C和边EF的中点M，若S =8，则正方形
四边形ABCD
DEFG的面积是（ ）A． B． C．16 D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据正方形面积公式得到正方形的边长，判断△AOD和△ABH是等腰直角三角形，
得出B点坐标，根据B点坐标得到反比例函数解析式，设DN=a，则EN=NF=a，根据正方形的
性质易得E，F的坐标，求得M点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a
的方程，解方程求出a的值，最后计算正方形DEFG的面积．
【解答】解：作BH⊥y轴于B，连结EG交x轴于P，如图，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S =8，
正方形ABCD
∴AB=AD=2 ，
∴OD=OA=AH=BH= ×2 =2，
∴B点坐标为（2，4），
把B（2，4）代入y= 得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y= ，设DN=a，则EN=NF=a，
∴E（a+2，a），F（2a+2，0），
∵M点为EF的中点，
∴M点的坐标为（ a+2， ），
∵点M在反比例函数y= 的图象上，
∴ =8，
整理得3a2+4a﹣32=0，解得a = ，a =﹣4（舍去），
1 2
∴正方形DEFG的面积=4 DNDF=4 = ．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形
的性质；理解坐标与图形性质，记住线段中点的坐标公式；会解一元二次方程．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．中国第一汽车集团公司2015年营业额高达68000亿，把数据68000用科学记数法表示为
．
【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将68000用科学记数法表示为：6.8×104．
故答案为：6.8×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．计算：（π﹣2015）0﹣（﹣1）2015﹣|﹣3|= ．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】首先根据零指数幂的运算方法，一个数的乘方的运算方法，以及绝对值的求法，分别
求出（π﹣2015）0、（﹣1）2015、|﹣3|的值是多少，然后从左向右依次计算即可．
【解答】解：（π﹣2015）0﹣（﹣1）2015﹣|﹣3|
=1﹣（﹣1）﹣3
=2﹣3
=﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律
在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；
②00≠1．
15．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，
又∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比为3：4．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．16．如图，△ABC中，∠C是直角，AB=6cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋
转，使点C旋转到AB边延长线上的D处，则AC边扫过的图形众人阴影部分的面积是 ．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】由将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，可
得△ABC≌△EBD，由题给图象可知：S =S +S ﹣S ﹣S =S ﹣S
阴影 扇形ABE △BDE △ABC 扇形BCD 扇形ABE
可得出阴影部分面积．
扇形BCD
【解答】解：∵△ABC中，∠C是直角，AB=6cm，∠ABC=60°
∴AC=3 cm，BC=3cm．
∵将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，
∴△ABC≌△EBD．
由题给图象可知：
S =S +S ﹣S ﹣S
阴影 扇形ABE △BDE △ABC 扇形BCD
= + ×3×3 ﹣ ×3×3 ﹣
=12π﹣3π
=9π．
故答案为：9π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
17．从﹣1，0，1，3，4，这五个数中任选一个数记为a，则使双曲线y= 在第一、三象限且
不等式组 无解的概率是 ．【考点】概率公式；解一元一次不等式组；反比例函数的性质．
【分析】由双曲线y= 在第一、三象限且不等式组 无解，可求得a的取值范围，
然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵双曲线y= 在第一、三象限，
∴7﹣3a＞0，
解得：a＜ ，
∵不等式组 无解，
∴a≤3，
∴双曲线y= 在第一、三象限且不等式组 无解，则a＜ ，
即a=﹣1，0，1；
∴使双曲线y= 在第一、三象限且不等式组 无解的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及反比例函数的性质、不等式组无解．注意根据题意求
得a的取值范围是关键．
18．如图，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩
的B点重，∠FGE=90°，FG=3．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向运动，当点
F恰好经过BD时，将△EFG绕点F逆时针旋转α°（0°＜α°＜90°），记旋转中的△EFG为
△E′F′G′，在旋转过程中，设直线E′G′与直线BC交于N，与直线BD交于M点，当△BMN为
以MN为底边的等腰三角形时，FM的长为 ．【考点】旋转的性质．
【分析】如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，求出RT、RC，利用
△BTR∽△MG′F得 ，列出方程即可解决．
【解答】解：如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC= = =12，
在△BRT和△BRC中，
，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，设RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD2+RT2=RD2，
∴x2+12=（5﹣X）2，
∴x= ，
∴BR= = = ，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴ ，
∴ ，
∴FM=3 ．
【点评】本题考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、角平分线的性质，全等三角形的判定和
性质、相似三角形的判定和性质，正确画出图象是解题的关键．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】把第一个方程乘以4，然后利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解： ，
①×4得，8x﹣4y=20③，②+③得，11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①得，4﹣y=5，
解得y=﹣1，
所以，方程组的解是 ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当
未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，
AD∥BC．求证：AD=BC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的
方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（1）2x（x+1）﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣1）2
（2）（x﹣1﹣ ） ．
【考点】整式的混合运算；分式的混合运算．
【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并
即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=2x2+2x﹣x2+4+x2﹣2x+1=2x2+5；
（2）原式= = =x+4．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
22．本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的效果，
九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等
级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不
同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为 ；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学
介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去A、B、C等级的人数得到D等级人数，然后用360°乘以D等级所占的
百分比得到D等所在的扇形的圆心角的度数，再补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用1800乘以D等级所占百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数为10÷40%=25（人）；
（2）D等级的人数为25﹣4﹣10﹣8=3，
所以D等所在的扇形的圆心角的度数=360°× =43.2°，
条形统计图补充为：
（3）1800× =216（人），
所以估计不及格的人数为216人；
故答案为25人，43.2°，216人；
（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
23．图中线段AB表示某工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道的一侧点A出发，沿着坡度
为1：1.5的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为
23°，继续飞行至点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面的高度EF=800米．
（1）分别求隧道AC和BC段的长度；
（2）建工集团安排甲、乙两个金牌施工队分别从隧道两头向中间施工，甲队负责AC段施工，
乙队负责BC段施工，乙每天的工作量是甲的2倍，两队同时开工5天后，甲队将速度提高
25%，乙队将速度提高了150%，从而两队同时完成，求原计划甲、乙两队每天各施工多少米．
（参考数据：tan23°≈0.4，cos23°≈0.9）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；分式方程的应用．
【分析】（1）要求AC和BC的长度，只要求出AB的长度，根据坡度为1：1.5，EF的长度为
800米，可以求得AF的长度，AC与CD的关系，根据点B的俯角为45°，可以求得BF的长度，
从而可以求得AB的长度，进而求得隧道AC和BC段的长度；
（2）根据题意可以知道原计划甲、乙两队工作效率的关系，然后根据两队同时开工5天后，甲
队将速度提高25%，乙队将速度提高了150%，从而两队同时完成，可以列出相应的方程组，
从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，tan∠A= ，∠DBC=23°，∠EBF=45°，
∵ ，EF=800，∠EFB=90°，∠EBF=45°，
∴AF=1200，设CD=2x，则AC=3x，BF=800，
∴AB=AF+BF=1200+800=2000，
∵ ，∠DBC=23°，
解得，x=250
∴3x=750，BC=2000﹣750=1250，
即隧道AC的长度是750米，BC段的长度是1250米；
（2）设原计划甲队每天施工x米，乙队每天施工y米，
解得 ，
即原计划甲队每天施工175米，乙队每天施工350米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题、分式方程的应用，解题的关键是明
确题意，找出题目中的数量关系，列出相应的方程组并解答．
24．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：
max{1，﹣2}=1，
max{﹣3，﹣7}=﹣3
（1）求max{﹣x2+1，2}；
（2）已知max{﹣x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，max{x2﹣x﹣6，m（x﹣1）}=m（x﹣1）．直接写出实数m的取值范围．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【分析】（1）比较﹣x2+1与2的大小，得到答案；（2）根据题意﹣x2﹣2x+k＜﹣3，变形成k＜x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，可知当x=﹣
1，x2+2x﹣3的最大值为﹣4，即可确定k的取值范围；
（3）根据当﹣1≤x≤2时，y=x2﹣x﹣6的值小于y=m（x﹣1）的值，解答即可．
【解答】解：（1）∵﹣x2≤0，
∴﹣x2+1≤1，
∴﹣x2+1＜2．
∴min{﹣x2+1，2}=2，
（2）∵max{﹣x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，
∴﹣x2﹣2x+k≤﹣3．
∴k≤x2+2x﹣3，
∵x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴当x=﹣1，x2+2x﹣3的最小值为﹣4，
∴k≤﹣4；
（3）对于y=x2﹣x﹣6，当x=﹣1时，y=﹣4，
当x=2时，y=﹣4，
由题意可知抛物线y=x2﹣x﹣6与直线y=m（x﹣1）的交点坐标为（﹣1，﹣4），（2，﹣4），
所以m的范围是：﹣4≤m≤2．
【点评】本题考查的是与二次函数和一次函数有关的新定义，根据题意理解新定义的计算公
式是解题的关键，注意：一次函数和二次函数的性质的运用．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡种对应的位置上.
25．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接
DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置
关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论
是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时
线段CF的长（直接写出结果）．
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据
∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，
AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可
以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的
值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，
∴DF= BE，CF= BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，
∴AD=GB，
∵AC=BC，
∴AC﹣AD=BC﹣GB，
∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF=GF．
∴DF=CF，DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF=BF，
∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，
∵AC= ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得
DH= ，
∴DF= ，
∴CF=
∴线段CF的长为 ．【点评】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌
握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
26．如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．
（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，
M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；
（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的
速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为（t 0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的 时对应的t值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用配方法或公式法求顶点坐标，求出最小AE即可求出点F坐标．
（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使
得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．
（3）分两种情形①PG∥FB时；②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，
QJ⊥PD′于J．分别求解即可．
【解答】解：（1）∵y= x2﹣2x﹣6 = （x﹣2 ）2﹣8 ，
∴顶点D坐标（2 ，﹣8 ），
由题意E（4 ，﹣8 ），A（﹣2 ，0），B（6 ，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，
∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2 ，
∴点F坐标（0，﹣2 ）．（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使
得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．
∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CN+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′
（两点之间线段最短），
∴此时四边形CMNF的周长最小．
∵C′F=3
∴GN= C′F= ，
∴﹣（a+ ）=2 + ，
∴a=﹣ ，
∵C′F′= =5 ，
∴四边形CMNF的周长最小值=5 +5 =10 ．
（3）如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．由题意可知BD= =4 ，DQ=2 t，
∵S PQG= S = S ，
△ △DPQ △PD′Q
∴PG= PD′= PD=2 = BF，
情形①PG∥FB时，∵PF=PD，
∴BG=GD，
∴PG= BF=2 ，
在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，
∴HQ=2 t，HD=4 t，
∵∠QPD′=∠QPD=45°，
∴PH=HQ=2 t，
∴PH+HD=PD，
∴6 t=4 ，
∴t= ．情形②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．
由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，
∴MG′=MG= ，
∴G′D=BD﹣GG′= ，
∵ = = ，
∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，
∴QK=QJ，
∴ = =2，
∴QD= × = ，
∴t= = ，综上所述t= 或 秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的 ．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、锐角三角函数、角平分线性质定理
等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会添加常用辅助线，学会利用面积法得到线段
之间关系，学会利用对称解决最小值问题，属于中考压轴题．
