文档内容
八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1-6小题，每题2分；7-16小题，每题3分；共42
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选出答案
后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效）
1．下列图形对称轴最多的是（ ）
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
2．如果分式 的值是零，则x的取值是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=0
3．已知点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3
4．1纳米等于0.000000001米，则35纳米用科学记数法表示为（ ）
A．35×10﹣9米 B．3.5×10﹣9米C．3.5×10﹣10米D．3.5×10﹣8米
5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数为（
）
A．45° B．40° C．35° D．25°
6．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的
度数为（ ）A．40° B．20° C．18° D．38°
8．计算：852﹣152=（ ）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
9．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（
）
A．2B．3C．5D．13
10．若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．4B．﹣4
C．±4 D．以上结果都不对
11．如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组 C．3组 D．4组
12．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax﹣y的值为（ ）
A．6B．5C．﹣1 D．
13．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边
形的边数为（ ）
A．5B．5或6 C．5或7 D．5或6或714．计算 + + 的结果是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，
∠B=30°，则DE的长是（ ）
A．12 B．10 C．8D．6
16．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对
称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡的横
线上，答在试卷上无效）
17．若a﹣1=（﹣1）0，则a= ．
18．当x=2017时，分式 的值为 ．
19．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并
叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=8cm，AB的垂直平分线交BC于点
M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则MN的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，说理过程或演算
步骤，请将解答过程写在答题卡的相应位置，答在试卷上无效）
21．计算
（1）（﹣3ab﹣1）2•（a﹣2b2）﹣3
（2） ÷（a﹣ ）．
22．阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式
=x2+2x+1﹣1﹣3
=（x2+2x+1）﹣4
=（x+1）2﹣4
=（x+1+2）（x+1﹣2）
=（x+3）（x﹣1）
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）x2﹣4x+3
（2）4x2+12x﹣7．23．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：
DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：
DE=DF．
24．元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上
购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价
与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如
果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比
原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
25．（1）如图①，你知道∠BOC=∠B+∠C+∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以
证明；
（2）如图②﹣1，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；
如图②﹣2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；
如图②﹣3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；
（3）如图③，下图是一个六角星，其中∠BOD=70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
°．
26．计算下列各式：（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= （其中
n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
27．（1）问题背景：
如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是
BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同
学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG=BE．连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，
且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙
在指挥中心南偏东70°的
B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以
60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进
2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹
角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1-6小题，每题2分；7-16小题，每题3分；共42
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选出答案
后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效）
1．下列图形对称轴最多的是（ ）
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线
两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称
图形的对称轴．
【解答】解：A、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线；
B、有3条对称轴，即各边的垂直平分线；
C、有1条对称轴，即底边的垂直平分线；
D、有2条对称轴．
故选：A．
2．如果分式 的值是零，则x的取值是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=0
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．
【解答】解：由题意可得x+1≠0且x2﹣1=0，
解得x=1．
故选A．
3．已知点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，则a﹣b的值为（ ）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的
值．
【解答】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，
∴b=1，a=﹣2，
∴a﹣b=﹣3，
故选：C．
4．1纳米等于0.000000001米，则35纳米用科学记数法表示为（ ）
A．35×10﹣9米 B．3.5×10﹣9米C．3.5×10﹣10米D．3.5×10﹣8米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：35×0.000000001=3.5×10﹣8；
故选：D．
5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数为（
）
A．45° B．40° C．35° D．25°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理计算即可
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B=80°，∠E=∠C=30°，
∴∠DAE=180°﹣∠D﹣∠E=70°，
∴∠EAC=∠EAD﹣∠DAC=45°，故选：A．
6．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除
以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】解：依题意得： = ，故选C．
7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的
度数为（ ）
A．40° B．20° C．18° D．38°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABC中已知∠B=36°，∠C=76°，就可知道∠BAC的度数，则∠BAE就可求
出；∠DAE是直角三角形△ADE的一个内角，则∠DAE=90°﹣∠ADE．
【解答】解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故填B．8．计算：852﹣152=（ ）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差进行分解，再计算即可．
【解答】解：原式=（85+15）（85﹣15）
=100×70
=7000．
故选：D．
9．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（
）
A．2B．3C．5D．13
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；
解答即可；
【解答】解：由题意可得， ，
解得，11＜x＜15，
所以，x为12、13、14；
故选B．
10．若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．4B．﹣4
C．±4 D．以上结果都不对
【考点】完全平方式．
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和2y这两个数的
平方，那么中间一项为加上或减去x和2y积的2倍，故m=±4．
【解答】解：∵（x±2y）2=x2±4xy+4y2，
∴在x2+mxy+4y2中，±4xy=mxy，
∴m=±4．故选：C．
11．如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组 C．3组 D．4组
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
12．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax﹣y的值为（ ）
A．6B．5C．﹣1 D．
【考点】同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
原式=ax÷ay=2÷3=故选（D）
13．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边
形的边数为（ ）
A．5B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，
解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
14．计算 + + 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=
=
= ，
故选A
15．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，
∠B=30°，则DE的长是（ ）A．12 B．10 C．8D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由轴对称的性质可以得出 DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出
∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后建立方程求出其解
即可．
【解答】解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE．
∵BC=BD+CD=24，
∴24=2DE+DE，
∴DE=8．
故选：C．
16．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对
称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【考点】轴对称的性质．
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，
∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，
∵∠MON=35°，
∴∠GOH=2×35°=70°．
故选B．
二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡的横
线上，答在试卷上无效）
17．若a﹣1=（﹣1）0，则a= 1 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】根据非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得
答案．
【解答】解：a﹣1=（﹣1）0，得
a﹣1= =1，
解得a=1，
故答案为：1．
18．当x=2017时，分式 的值为 2020 ．
【考点】分式的值．
【分析】先把分式化简，再代入解答即可．【解答】解：因为分式 = ，
把x=2017代入x+3=2020，
故答案为：2020．
19．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并
叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24 ° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六
边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而
求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．
【解答】解：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：
（5﹣2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：
（6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+﹣
=30°+12°﹣18°
=24°．
故答案为：24°．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=8cm，AB的垂直平分线交BC于点
M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则MN的长为
cm ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先连接AM，AN，由在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，可求得∠B=∠C=30°，
又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点
N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接AM，AN，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交
AC于点E，
∴AN=CN，AM=BM，
∴∠CAN=∠C=30°，∠BAM=∠B=30°，
∴∠ANC=∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，∴BM=MN=CN，
∵BC=8cm，
∴MN= cm．
故答案为： cm．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，说理过程或演算
步骤，请将解答过程写在答题卡的相应位置，答在试卷上无效）
21．计算
（1）（﹣3ab﹣1）2•（a﹣2b2）﹣3
（2） ÷（a﹣ ）．
【考点】分式的混合运算；负整数指数幂．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则
变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（﹣3ab﹣1）2•（a﹣2b2）﹣3
=9a2b﹣2•a6b﹣6
=9a8b﹣8
= ；（2） ÷（a﹣ ）
= ÷
= •
= ．
22．阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式
=x2+2x+1﹣1﹣3
=（x2+2x+1）﹣4
=（x+1）2﹣4
=（x+1+2）（x+1﹣2）
=（x+3）（x﹣1）
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）x2﹣4x+3
（2）4x2+12x﹣7．
【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解-分组分解法．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3
=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1
=（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
=（x﹣1）（x﹣3）
（2）4x2+12x﹣7
=4x2+12x+9﹣9﹣7=（2x+3）2﹣16
=（2x+3+4）（2x+3﹣4）
=（2x+7）（2x﹣1）
23．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：
DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：
DE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和角平分线的性质定理直接证明即可；
（2）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理ASA证得△AED≌△AFD，则
由该全等三角形的对应边相等得到DE=DF．
【解答】解：
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．
24．元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上
购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价
与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如
果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比
原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）首先设零售价为5x元，团购价为4x元，由题意可得等量关系：零售价
用110元所购买的数量+6=团购价用100元所购买的数量，根据等量关系列出方
程，计算出x的值；
（2）根据（1）中求得的贺年卡的零售价求学生数．
【解答】解：（1）设零售价为5x元，团购价为4x元，则
解得， ，
经检验：x= 是原分式方程的解，
5x=2.5
答：零售价为2.5元；（2）学生数为 =38（人）
答：王老师的班级里有38名学生．
25．（1）如图①，你知道∠BOC=∠B+∠C+∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以
证明；
（2）如图②﹣1，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 18 0 °；
如图②﹣2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 18 0 °；
如图②﹣3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 18 0 °；
（3）如图③，下图是一个六角星，其中∠BOD=70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
140 °．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】（1）首先延长 BO 交 AC 于点 D，可得 BOC=∠BDC+∠C，然后根据
∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【解答】解：（1）如图①，延长BO交AC于点D，∠BOC=∠BDC+∠C，
又∵∠BDC=∠A+∠B，
∴∠BOC=∠B+∠C+∠A．
（2）如图②，
，
根据外角的性质，可得
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
如图③，
，
根据外角的性质，可得
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
如图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，
，
根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，
∵∠GFC+∠FGC+∠C=180°，
∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（3）如图⑤，
，
∵∠BOD=70°，
∴∠A+∠C+∠E=70°，
∴∠B+∠D+∠F=70°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=70°+70°=140°．
故答案为：180、180、180、140．
26．计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= x 2 ﹣ 1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）= x 3 ﹣ 1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x 4 ﹣ 1 ；…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x 7 ﹣ 1
；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= x n ﹣ 1
（其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
【考点】整式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算各式即可；
（1）根据上述规律写出结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）=xn﹣1；
故答案为：（1）x7﹣1；（2）xn﹣1；
（3）1+2+22+23+24+…+235
=（2﹣1）
=236﹣1．
27．（1）问题背景：
如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是
BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同
学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG=BE．连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=B E + D F
；
（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙
在指挥中心南偏东70°的
B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以
60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进
2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹
角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得 AG与BE的关系，∠BAE与
∠DAG的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得EF与GF的关系，根据等量代
换，可得答案；
（2）根据补角的性质，可得∠B=∠ADG，根据全等三角形的判定与性质，可得AG
与BE的关系，∠BAE与∠DAG的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得EF与
GF的关系，根据等量代换，可得答案；
（3）根据角的和差，可得∠OEF与∠AOB的关系，∠A与∠B的关系，根据（2）的探
索，可得EF与AE、BF的关系，可得答案．
【解答】解：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF= ∠BAD．
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF仍然成立．
证明：如图1 ，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF= ∠BAD．
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（3）如图2 ，
连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=∠AON+∠NCH+∠BOH=30+90+20=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=2×（60+80）=280海里．
答：此时两舰艇之间的距离是280海里．
