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第一学期人教版八年级数学期末模拟卷一
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三
角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这
个“特征角”α的度数为（ ）
A．48° B．96°
C．88°或48° D．48°或96°或88°
【答案】D
【分析】
由题意，分类讨论，设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α且α＝2∠1，即可求出答
案．
【详解】
解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α且α＝2∠1．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
∴α＝2∠1＝88°．
综上：“特征角”α可能为48°或96°或88°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了材料理解以及三角形内角和，准确的理解题意以及利用内角和为180°
是解决本题的关键．
2．如图，DE∥BC，点A在DE上，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠DAB的大小为（
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A．50° B．40° C．30° D．25°
【答案】A
【分析】
由对顶角相等得到∠ACB＝40°，再根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC＝50°，最
后由两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠1，∠1＝40°，
∴∠ACB＝40°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝50°，
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD
＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；
②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分
∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；从一个角的顶点出发，把这个角分
成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．依据余角的定义以及角平分线的定义，
即可得到正确结论．
【详解】
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝ ∠BOC＝ （180°−∠AOC）＝90°− ∠AOC，
又∵∠DOB＝90°−∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE−∠BOD＝（90°− ∠AOC）−（90°−∠AOC）＝ ∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的应用，常常与等
式的性质、等量代换相关联．
4．如图，已知 于点B，且 ，若
，则 的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件先证明 ，再根据AAS证明 ，根据全等三角
形性质可得 ，进而根据 即可求得 的长．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
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6． 的值为（ ）
A． B． C． D．353
【答案】D
【分析】
观察式子中有4次方与4的和，将 因式分解，再根据因式分解的结果代入式子即
可求解
【详解】
原式
故答案为：
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，找到 是解题的关键．
7．无论 ， 为何值，代数式 的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
【答案】C
【分析】
把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平
方的非负性即可得出答案．
【详解】
解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1
＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点睛】更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
8．某文具店购进 ， 两种款式的书包，其中 种书包的单价比 种书包的单价低
．已知店主购进 种书包用了 元，购进 种书包用了 元，且所购进的 种
书包的数量比 种书包多 个．设文具店购进 种款式的书包 个，则所列方程正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x＋20）个，根据单价＝
总价÷数量结合A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%，即可得出关于x的分式方程．
【详解】
解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x＋20）个，
依题意，得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．若数a使关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于y的
分式方程 ＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
不等式组变形后，根据有且仅有四个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，
由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值．
【详解】
解：解不等式组 ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com解得： ，
∵不等式组 有且仅有4个整数解，
∴﹣1＜ ≤0，
∴﹣8＜a≤﹣3．
解分式方程 ＝1，得y＝ ，
∵y＝ ≠2为整数，
∴a≠﹣6，
∴所有满足条件的只有﹣4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等
式组的方法是解题的关键．
10．如图，长方形 中， ，点E是折线段 上的一个动点
（与点A不重合），点P是点A关于 的对称点．在点E的运动过程中，能使得
为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
如图，分为三种情况：①以BC为底时，有一个，是BC的垂直平分线与以B为圆心
BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径
的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，因为以更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
【详解】
根据题意P点在以B为圆心BA为半径的圆上，并且只在右边的半圆上，
分为三种情况：①如图1，以BC为底时，有两个，
是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点 和 ，
此时 ；
②如图2，以BP为底，C为顶点时，有两个，
是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点 和 ，
此时 ；
③以CP为底，B为顶点时，没有，
是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆的交点，但不存在；
综上满足要求的P有4个，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生
的理解能力和动手操作能力．
二、填空题(共24分)
11．计算 的结果为_____________．
【答案】
【详解】
略
12．有两个正方形 ， ，现将 放在 的内部如图甲，将 ， 并排放置后构造新的
正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形 ， 的面
积之和为______．
【答案】2
【分析】
设正方形A、B的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；
【详解】
解：解：设A的边长为x，B的边长为y，
由甲、乙阴影面积分别是 、 可列方程组：
将②化简得2xy＝ ③，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
由①得x2＋y2−2xy＝ ，将③代入可知x2＋y2＝ ＝2．
∴正方形 ， 的面积之和为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和
，列出等式，这是解题的关键．
13．阅读下面材料：
分解因式： ．
因为 ，
设 ．
比较系数得， ．解得 ．
所以 ．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式 ________．
【答案】
【分析】
先用十字相乘法分解因式得到 ，再设
，比较系数得到
，解方程组即可求解．
【详解】
解：
设
比较系数得， ，
解得 ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com故答案为： ．
【点睛】
本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关
知识是解题关键．
14．如图，在 中， 的中垂线交于点P，若 ，则 的度
数为________．
【答案】
【分析】
连接 ，根据 分别为 的垂直平分线，可得 ，根据三
线合一可得 ，结合已知条件即可求得 ，根据等边
对等角以及三角形内角和定理可得 的度数．
【详解】
连接
分别为 的垂直平分线，
，
是等腰三角形更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
故答案为：
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三线合一，三角形内角和
定理，根据垂直平分线的性质得到等腰三角形是解题的关键．
15．如图， 平分 于点E， 于点F， ，
则图中有__________对全等三角形．
【答案】3
【分析】
根据角平分线的性质得到PE=PF，根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：如图，
平分 于点E， 于点F， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴图中有3对全等三角形．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两
边的距离相等是解题的关键．
16．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条 与 ，
E、F分别是 、 的中点，可证得 __________，理由是__________，
于是点G是__________的中点．
【答案】 HL
【分析】
证明Rt△AEG≌Rt△BGF可得AG=BG即可说明G点为AB中点．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=BF．
在Rt△AGE和Rt△BGF中更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴Rt△AGE≌Rt△BGF（HL）．
∴AG=BG．
∴G点一定是AB的中点．
故答案为： ；HL；
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的稳定性，在几何
图形中说明线段相等一般借助两个三角形全等进行求解．
17．在△ABC中，点D为AB上的一点，且BD：AD＝1：2，点E为AC上的中点，
连接BE、CD交于点F，若△ABC的面积为18，则四边形AEFD的面积为___．
【答案】7.5
【分析】
连接AF，利用等高的三角形面积之比为底边比这一结论，由于BD: AD= 1：2，可以得
到△BDF与△AFD的面积之比为1：2，△BDC与△ADC的面积之比为1：2，进一步
推导出△BFC与△AFC的面积之比为1：2，设△BDF与△BFC的面积分别为x和y，
利用△ABC的面积为18，列出关于x和y的方程，进一步求解出四边形AEFD的面积．
【详解】
如图，连接AF，
BD: AD = 1：2，
，
S = 2S ，
△ADF △BDF
同理，S = 2S ，
△ADC △BDC
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.comS - S
△ADC △ADF
=2(S - S )
△BDC △BDF
S = 2S ，
△AFC △BFC
设S = x，则S = 2x，
△BDF △ADF
设S =y，则S = 2y，
△BCF △AFC
△ABC的面积为：
=18，
3x+ 3y = 18，
x +y = 6，
又 E为AC的中点，
AE = CE，
，
四边形AEFD的面积为： =2x+ y ，
S = S = S =9，
△ABE △BCE △ABC
四边形AEFD的面积为： =9-x，
，
解得： ，
四边形AEFD的面积=2x+ y =7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，利用等高的三角形面积之比为底边比这一结论，是解
决本题的关键，同时要注意整体思想，方程思想的应用．
18．如图， 中， 平分 ， 在 上，连接 ，延长 至 ， 平
分 与 的延长线交于 ， ， ，则 ______ ．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【答案】
【分析】
设∠FCE=x，则∠DCE=2∠FCE=2x，∠ACD=180°-∠DCE=180°-2x，∠ACF=180°-
∠FCE=180°-x，∠GCF=∠DCF-∠BCD=x-21°，∠FAE=180°-∠F-∠ACF=x-45°，由AF平
分∠BAC，得到∠BAG=∠CAG，由∠B+∠BAG=∠F+∠FCG=∠AGC，可以得到
∠B+x-45°=45°+x-21°，由此求解即可．
【详解】
解：设∠FCE=x，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE=2∠FCE=2x，
∴∠ACD=180°-∠DCE=180°-2x，∠ACF=180°-∠FCE=180°-x，
∴∠GCF=∠DCF-∠BCD=x-21°，∠FAE=180°-∠F-∠ACF=x-45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵∠B+∠BAG=∠F+∠FCG=∠AGC，
∴∠B+x-45°=45°+x-21°，
∴∠B=69°，
故答案为：69°．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题(共46分)
19．(本题8分)计算：
（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）．
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（3）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x＝﹣ ．
【答案】（1）4a4b2﹣8a4b3+4a7b2；（2） xy﹣ ；（3）2x2﹣1，
【分析】
（1）根据积的乘方和单项式乘多项式的计算法则求解即可；
（2）根据整式的混合计算法则求解即可得到答案；
（3）利用平方差公式和整式的计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2﹣8a4b3+4a7b2；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
＝ xy﹣ ；
（3）（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3
＝x2﹣1+x2﹣x3+x3
＝2x2﹣1，
当x＝﹣ 时，原式＝2×（﹣ ）2﹣1＝﹣ ．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．(本题9分)在△ABC中，E是射线BC上一点．
（1）如图1，∠ACB=90°，若AE是△ABC的角平分线，CD⊥AB于点D，AE、CD相
交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；
（2）如图2，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AE是△ABC的外角∠BAG的平分线
AF的反向延长线，且AF交线段CD的延长线于点F，则∠CFE与∠CEF还相等吗？
请说明理由；
（3）如图3，若AE是△ABC的角平分线，AB边上存在一点D，使∠ADC=∠ACB，
AE、CD相交于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC边延长线交
于点M，若∠CFE=67°，求∠M的度数．
【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据角平分线的定义，根据等角的余角相等，对顶角相等，即可得证；
（2）根据角平分线的定义，外角的一半 与 CFE互余， 与∠CEF互余，
进而根据对顶角相等，可得结论；
（3）根据角平分线的定义，以及对顶角相等，可得 ，由已知条件
，根据三角形内角和定理可得 ，根据三角形外角的性质可
得 ，进而可得 ，根据
，以及已知条件即可求得 ．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【详解】
解：（1）如图1，
AE是△ABC的角平分线，
，
∠ACB=90°，
，
CD⊥AB，
，
，
，
，
；
（2）相等，理由如下，如图2，
平分∠BAG，
，
CD⊥AB，
，
∠ACB=90°，E是射线BC上一点，
，
，
，
；更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
（3）如图3，
分别为 的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形角平分的意义，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，
三角形的外角性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21．(本题9分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边AB中点，点E、F分
别在射线CA、BC上，且AE＝CF，连接EF．
猜想：如图①，当点E、F分别在边CA和BC上时，线段DE与DF的大小关系为
______．
探究：如图②，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，判断线段DE与DF的大
小关系，并加以证明．
应用：如图②，若DE＝4，利用探究得到的结论，求△DEF的面积．
【答案】猜想：DE＝DF；探究：DE＝DF，证明见解析；应用：S ＝8．
△DEF
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【分析】
猜想：连接CD，可证明△ADE≌△CFD，可得出结论；
探究：连接CD，同（1）可证明△ADE≌△CFD，可证得DE＝DF；
应用：由△ADE≌△CFD可证得∠EDF＝90°，容易求得△DEF的面积．
【详解】
猜想：DE＝DF．
如图1，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAD＝45°，
∵D为边AB的中点，
∴CD＝AD，∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∴∠EAD＝∠FCD，
在△AED和△CFD中， ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
故答案为：DE＝DF；
探究：DE＝DF，证明如下：
如图2，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAD＝45°，
∵D为AB中点，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴AD＝CD，∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∵∠CAD+∠EAD＝∠BCD+∠FCD＝180°，
∴∠EAD＝∠FCD＝135°，
在△ADE和△CDF中 ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF；
应用：
∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∵DE＝DF＝4，
∴S ＝ DE2＝ ×42＝8．
△DEF
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解本题
的关键．
22．(本题10分)等边 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，连接
、 交于点 ．
（1）如图1，求 的度数；
图1
（2）连接 ，若 ，求 的值；
（3）如图2，若点 为 边的中点，连接 ，且 ，则 的大小是
___________．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com图2
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）由 是等边三角形，可得出 ， ，
再利用 ，可证 ，得出 ，由
可求出 ，最后由补角定义求出 .
（2）在 上取点 ，使 ，由 可证 ，再利用
， ， 可证明 ，进而求出
，再用补角的性质得知 ，在 中利用外角的性
质可求出 ，进而证出 为等腰三角形，最后可证出
即可求解.
（3）延长 至 ，使 为等边三角形，延长 交 于 ，可得出
，进而得出 ，利用角的和差得出
，则证出 ，进而证出 ，再利用
， 证出 为等边三角形，进而证出 .
【详解】
（1）∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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（2）在 上取点 ，使 ．
由（1）知 ，
又 ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3） ．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知 ．延长 至 ，使 为等边三角形．
延长 交 于 ．
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
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∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ 为等边三角形，
∴
∴ ．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
23．(本题10分)某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙
两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了
24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自
到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不
计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级
【分析】更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动
的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间
等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据
此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶
梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）
中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定
有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
【详解】
解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走
动的级数为 级，扶梯每分钟向上运动 级，
由题意得： ，
①÷②得： ，
整理得： ，
代入②得 ．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了 遍，楼梯走了 遍，则乙走扶梯 遍，走楼梯
遍．
由题意得： ，
整理得： ，
这里 ， 中必有一个是整数，且 ．
①若 为整数，则 ．
∴ （不合，舍去）， （不合，舍去） （符合条件）
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com（不合，舍去） （不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数， ，
∴ ， ， ，…，这些均不符合要求，
∴ ，此时，甲在楼梯上．
∴ （级）．
【点睛】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速
度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才
是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂
的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
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