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第一学期人教版八年级数学期末模拟卷二
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角是直角，那么它们相等
【答案】A
【分析】
分别根据三角形外角的性质、实数的平方、平行线的判定定理、直角的概念判断即可．
【详解】
解：A、根据三角形的外角的性质可知：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一
个内角，所以A符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等是真命题，所以B不符合题意；
C、根据平行线的性质可知：两直线平行，同位角相等，所以C不符合题意；
D、根据直角的概念可知：如果两个角是直角，那么它们肯定都为90°，所以D不符合
题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是命题的真假的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．如图， ， ， ，将下列选项变为已知条件后，仍不能判
断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【分析】
先利用平行线的性质得到∠A=∠D，根据根据全等三角形的判定方法对各选项进行判
断．
【详解】
解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠A=∠D，
而AC=DF，
∴当AB=DE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DEF；
当∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DEF；
当∠C=∠F时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DEF．
当EF=BC时，不能判断△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取
决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两
角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，
则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD
＝AC，连接CD，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG//DF交
AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠BCD＝∠CAE；
②点G为AC中点；
③AF＝2DE；
④AB＝BD+DF；
⑤S ＝S ．
△AGD 四边形AGFB
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【分析】
根据等腰三角形的性质以及等角的余角对①做出判断；利用ASA得出△BCD≌△BAF，
从而对③④做出判断；根据平行线的性质和等腰三角形的性质对②做出判断；再根据
同底等高的三角形的面积相等对⑤做出判断．
【详解】
解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD＋∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE＋∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF（ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故③正确；
∵CB＝BF＋CF，CF＝DF，BF＝BD，
∴AB＝BD＋DF，
故④正确；
∵BD＝BF，∠DBC＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG＝∠BDF＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴点G为AC中点，
故②正确；
∵BG∥DF，
∴△BGF与△BGD同底等高，
∴S△GBF＝S△GBD，
∴S△AGD＝S四边形AGFB，
故⑤正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．下列图案中，是轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的判断，准确分析是解题的关键．
5．若 的计算结果中 项的系数为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【分析】
根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再
把所得的积相加计算，最后根据条件列式求解即可．
【详解】
解：∵（3+x）（2x2+mx﹣5）＝2x3+（6+m）x2+（﹣5+3m）x﹣15，
又∵结果中x2项的系数为﹣3，
∴6+m＝﹣3，
解得m＝﹣9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
6．计算：1.42019×（﹣42020）×（ ）2019×（﹣ ）2019＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【答案】C
【分析】
先利用乘法的交换律和结合律，再根据积的乘方的逆运算计算，即可求解．
【详解】
解：1.42019×（﹣42020）×（ ）2019×（﹣ ）2019
＝1.42019×（﹣ ）2019×[（﹣42020）×（ ）2019]
＝[1.4×（﹣ ）]2019×[（﹣42019）×（ ）2019]×4
＝﹣1×（﹣1）×4
＝4．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了积的乘方的逆运算，有理数乘法的交换律和结合律，熟练掌握积的乘
方的逆运算法则是解题的关键．
7．若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
有正整数解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集确定a的取值范围，解分式方程并根
据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
【详解】
解： ，
解不等式①，得：x＜6，
解不等式②，得：x≤a，
∵该不等式解集为x≤a，
∴a＜6；
由
分式方程去分母，得：y-a-（5-2y）=y-2，
解得：y= ，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取5；3；-1；共3个；
故选：B．
【点睛】
本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的步骤和
解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
8．已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是：①当a＝0时方
程组的解是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝﹣ ；③当xy＝1，则a的值为3或﹣
3；④不论a取什么实数3x﹣y的值始终不变．（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【分析】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把a＝0代入求出x与y的值，代入方程检验即
可；②令x＝y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x﹣y中计算得到结果，判
断即可；④令2x＝3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解： ，
据题意得：3x＝3a﹣6，
解得：x＝a﹣2，
把x＝a﹣2代入方程x+y＝1+4a得：y＝3a+3，
当a＝0时，x＝﹣2，y＝3，
把x＝﹣2，y＝3代入x+y＝1得：左边＝﹣2+3＝1，右边＝1，是方程的解，故①正确；
当x＝y时，a﹣2＝3a+3，即a＝﹣ ，故②正确；
当xy＝1时，（a﹣2）3a+3＝1，即a＝﹣1，或 或 故③错误
3x﹣y＝3a﹣6﹣3a﹣3＝﹣9，无论a为什么实数，3x﹣y的值始终不变为﹣9，故④正
确．
∴正确的结论是：①②④，
故选：B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
9．如图，在纸片 中， ，折叠纸片，使点 落在 的中
点 处，折痕为 ，则 的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．
【答案】A更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
【分析】
过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，
垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S ＝ ×（S －S －
△DEF △ABC △DEA
S ）可得结果．
△DFC
【详解】
解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝ ，DG＝ ，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中， ，
即 ，
解得：x＝ ，
∴S ＝ DG×AE＝ ＝ ，
△ADE
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵ ，
∴AN＝ AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝ ，
设DF＝y，
则CF＝ ，
DH＝ ，CH＝ ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com则有 ，即 ，
解得： ，
则S ＝ ，
△DFC
∴S ＝ ×（S －S －S ）
△DEF △ABC △DEA △DFC
＝
＝
＝
故选A．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF
的长是解题关键．
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P
作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；
②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S = S ；⑤S =S ，其中正
四边形ABDE △ABP △APH △ADE
确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明
△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错
误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S =2S ．⑤
四边形ABDE △ABP更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= （∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S =S ，S =S ，PH=PD，
△APB △FPB △APH △FPD
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S =S ，
△EPH △EPD
∴S =S ，故⑤正确，
△APH △AED
∵S =S +S +S +S
四边形ABDE △ABP △AEP △EPD △PBD
=S +（S +S ）+S
△ABP △AEP △EPH △PBD
=S +S +S
△ABP △APH △PBD
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com=S +S +S
△ABP △FPD △PBD
=S +S
△ABP △FBP
=2S ，故④不正确．
△ABP
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三
角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题(共24分)
11．计算 的结果为_____________．
【答案】1
【详解】
略
12．重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行，今年有 、 、 、
四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行），但要求选择 、 两
个国家的人数相同，选择 、 两个国家的人数也相同，选择 、 两国的人数总和
为100人， 、 两国的费用单价相等， 、 两个国的费用单价也相等， 、 两
国的费用单价之和不超过8万元，且选择 、 两个国家的员工总费用比选择 、
两个国家员工总费用多20万元，则选择 、 两个国家员工总费用的最大值为__万元．
【答案】410
【分析】
设有 人选择A，A单价为 万元， 单价为 万元， 有 人，可得
①，利用选择 、 两个国家的员工总费用比选择 、 两个国家员工总费用多20万
元，列方程得 ，由 ，可得 ，推得 ②，由①
②得 ，可得 ， ，由 、 两个国家员工总费用为 ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
由 单价 单价，可得 时总费用最大，最大值为 （万元）
即可．
【详解】
解：设有 人选择A，A单价为 万元， 单价为 万元，
依题意可知， 有 人，即 ，
①，
，
即 ，
，
，
，
即 ②，
① ②得 ，
解得 ，
代入①中， ，
代入②中， ，
，
，
、 两个国家员工总费用为 ，
单价 单价，
时总费用最大，
最大值为 （万元）．
故选择 、 两个国家员工总费用的最大值为410万元．
故答案为：410．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com【点睛】
本题考查方程与不等式，列代数式表示数量，代数式求值，本题难度较大，读懂试题，
抓住等量关系与不等关系是解题关键．
13．若 ，则 __________．．
【答案】2022
【分析】
将n3+2n2+2021变形为n (n2+n-1)+（n2+n-1）+2022，再将n2+n-1=0整体代入计算即可
求解．
【详解】
，
故答案为：2022．
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题关键是要有
整体的数学思想和正确运算的能力．
14．观察各式：(x-1)(x＋1)＝x2-1，(x-1)(x2＋x＋1)＝x3-1，(x-1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4-
1，…，根据规律可计算出(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝_______．
【答案】 （或 或 或 ）
【分析】
观察式子可得出规律（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1，然后根据规律直接写出即
可
【详解】
解：∵ (x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1.
…
∴（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1
∴(x－1)(x49＋x48＋…＋x＋1)=x50−1
当 x=3时(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝（350-1）÷（3-1）=更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
故答案为 （或 或 或 ）
【点睛】
本题考查探索规律，利用规律求值，观察式子找出规律是解题的关键，是中考的易考
点.
15．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点D、E分别为AB、BC上的两点，将
△BDE沿DE翻折得到ΔB′DE，DB′交AC于点F，若∠1+∠2＝80°，AD＝AF，则∠2
＝___．
【答案】25°
【分析】
连接 ，先证明出∠1 +∠2 =2∠DBE，得∠DBE= 40°，从而求出∠A的度数，利用三
角形内角和即可求出答案．
【详解】
如图，连接 ，
∠1是△ 的外角，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∠1 = ∠ +∠ ，
∠2是△ 的外角，
∠2 =∠ +∠ ，
∠1 +∠2 =∠DBE+∠ ，
将△BDE沿DE翻折得到△ ，
∠DBE=∠ ，
∠1 +∠2 = 2∠DBE = 80°，
∠DBE = 40°，
BA= BC，
∠BAC= ∠ACB = 70°，
AD = AF，
∠1 = ∠AFD= 55°，
∠2= 80°-∠1 = 80°- 55°= 25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，证明出
∠1 +∠2 = 2∠DBE是解题的关键．
16．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作 、 和 、 ，始
终有 ，请大家考虑一下伞杆 与B、C的连线 的位置关系为
________．
【答案】垂直
【详解】
解：如图，连接 、 ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∵ ，
∴点A在线段 的垂直平分线上，点D在线段 的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线 是线段 的垂直平分线，
故答案为：垂直．
【点睛】
题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端
点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，②两点确定一条直线．
17．d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d＝___．
【答案】16
【分析】
先将x2 2x 4=0化为x2 2x=4，再将d化为x2（x2 2x）+x2 2x 8x 4后整体代入计算
可求解．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4
＝x2（x2﹣2x）+x2﹣2x﹣8x﹣4
＝4x2+4﹣8x﹣4
＝4（x2﹣2x）
＝16．
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，将d化x2（x2 2x）+x2 2x 8x 4是解题的关键．
18．如图，在 中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交
AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则
PBF周长的最小值为__________．
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【分析】
如图，连接连接AF，AP，利用三角形的面积公式求出AF，求出 的最小值即
可解决问题．
【详解】
如图，连接AF，AP
，
，
，
，
垂直平分线段AB，
的周长 ，
，
的最小值为5，
的周长的最小值为7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查对称轴-最短问题，三角形的面积等知识，解题关键是学会添加常用的辅助线，
利用线段垂直平分线的性质解决问题．
三、解答题(共46分)更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
19．(本题6分)先化简，再求值 ，其 ， ．
【答案】 ，
【分析】
先根据分式的运算法则化简后再代入求值即可.
【详解】
解：原式
，
把 ， 代入得，原式= .
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平方
差公式．
20．(本题10分)如图，在 中， ， 是 的角平分线交 于 ，
过 作 于点 ，点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求线段 的长，
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的长为4．
【分析】
（1）根据已知条件，利用AAS证明 即可；
（2）设 ，在 上截取 ，连接 ，证明 ，进
而证明 ，再证明 ，根据 即可求证；
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com（3）由（2）可得 , ,根据 即可求得 的长．
【详解】
证明：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
（2）设 ，
∵ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（3）∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com21．(本题10分)已知： 中， ， ， 为直线 上一动点，
连接 ，在直线 右侧作 ，且 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，过点 作 于 ，连接 ．求证：
；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，连接 交 的延长线于点 ．求证：
；
（3）当点 在直线 上时，连接 交直线 于 ，若 ，请求出
的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 或
【分析】
（1）由“AAS”可证 ，可得EH=AC，即可求证；
（2）过点 作 ，交 延长线于 ，由"AAS"可证 ，可得
AC=EN=BC，由“AAS”可证 ，可得BM=EM；
（3） ， ，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延
长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再
由三角形的面积公式可求解．
【详解】
证明（1）∵ ， ，
∴ ， ，
，
在 与 中
，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
，
；
（2）如图2，过点 作 ，交 延长线于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
在 与 中，
，
，
又∵ ，
，
又在 与 中，
，
则 ；
（3）如图，当点 在线段 上时，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com∵ ，
∴可设 ， ，
由（1）得： ，
则 ， ，
由∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
，
，
；
如图，点 在 延长线上时，过点 作 ，交 延长线于 ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
，
在 与 中，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
，
， ，
又∵ ，
，
又在 与 中，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
点 在 延长线上
由图2得： ，
∴ 不可能，故舍去
综上： 的值为 或
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
22．(本题10分)阅读材料：若 ，求m、n的值．
解：∵ ，∴
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根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 ____________， ____________；
（2）已知 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求
的周长；
（3）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）3、-1；（2）7；（3）-2
【分析】
（1）根据材料将原式分为两个完全平方的形式即可解答；
（2）将 按材料方式进行整理，根据三角形三边关系得出c的
值，即可求得结果；
（3）由 ，可得 ，代入原式按材料方式将原式整理，求出 的值，
即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；-1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据三角形三边关系可知： ，
∵a、b、c都是正整数，
∴ ，更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
∴ 的周长为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
则： ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三
角形三边关系是解题的关键．
23．(本题10分)某市一项民生改造工程，由甲、乙两个工程队合作20天可完成，若单
独完成此项工程，甲工程队所用的天数是乙工程队所用天数的2倍．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天；
（2）甲工程队单独做几天后，再由甲、乙两工程队合作可完成此项工程，已知甲工程
队施工费每天1万元，乙工程队施工费每天2.5万元，求甲工程队至少要单独施工多少
天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总工程费不超过64万元？
【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30
天；（2）36天
【分析】
（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x
天，根据甲工程队完成的任务量+乙工程队完成的任务量=整项工程，列出分式方程，
解方程即可；
（2）设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程，根据甲
工程队单独施工所需费用+甲、乙两工程队合作施工所需费用=总费用结合施工总费用
不超过64万元，得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）解：设乙两个工程队单独完成此项工程需 天．
，解得 ，
检验：当 时， ，
更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com所以，原分式方程的解为 ，
所以 ，
答：甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）解：设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
，
解得 ，
答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com
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