文档内容
专题 6.4 角（3 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的
两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二 图 ：1一条射线绕着它的端点旋 图2 转而形成的图形，射线旋转时经
过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，
起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
【要点提示】
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成
的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
【要点提示】用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3. 角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角；
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【知识点2】方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线
OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【要点提示】
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
【知识点3】钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点与题型目录
【题型1】角的概念理解.......................................................3
【题型2】角的表示方法.......................................................4
【题型3】角的分类...........................................................7
【题型4】画特殊角...........................................................8
【题型5】钟面角.............................................................9
【题型6】方向角的表示......................................................11
【题型7】与方向角有关的计算题..............................................12
【题型8】直通中考..........................................................15
【题型9】拓展延伸..........................................................16第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角的概念理解
【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想：
（1）观察上图填空：图 中有个 角；图 中有 个角；图 中有 个角；
（2）根据（1）题猜想：在一个角内引 条射线可组成 个角．
【答案】
【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数．
解：
如图 所示，射线 可以与射线 ， 组成 个角，射线 可以与射线 组成 个角，所以图
中共有 个角．
如图 所示，射线 可以与射线 ， ， 组成 个角，射线 可以与射线 ， 组成 个
角，射线 可以与射线 组成 个角，所以图 中共有 个角．
如图 所示，射线 可以与射线 ， ， ， 组成 个角，射线 可以与射线 ， ，
组成 个角，射线 可以与射线 ， 组成 个角，射线 可以与射线 组成 个角，所
以图 中共有 个角．
在一个角内引 条射线，则共有 条射线，可以组成的角的个数
．
故答案为： ， ， ， ．
【点拨】本题主要考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键．
【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列语句正确的是（ ）
A．一条直线可以看成一个平角
B．周角是一条射线
C．角可以看成是由一条射线旋转而成的
D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形
【答案】D
【分析】本题考查角的概念，根据角的概念即可求出答案．
解：A选项，平角有一个顶点和两条边，所以一条直线不可以看成一个平角，故A选项错误；
B选项，周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故B选项错误；
C选项，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故C选项错误；
D选项，角是由两条有公共端点的射线组成的图形，故D选项正确．
故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）将量角器按如图方式放置，其中角度为 的角是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了角的概念、用量角器测量角．解决本题的关键是根据五条射线对应的量角器的读数
计算出各角的度数，根据角的度数进行判断即可．
解：由量角器可知，
，
，
，
，
故答案为： ．
【题型2】角的表示方法【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，
(1)用不同的方法表示图中以 为顶点的角；
(2)写出以 为顶点的角与边；
(3)画出 ，使 成平角，写出它的边．
【答案】(1) 或 或 ； (2)角为 （或 或 ），边是 ， ；(3)图见解析，边是
，
【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；
（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．
解：（1）由图可得：
用三个字母表示以 为顶点的角为： ，
用一个字母表示以 为顶点的角为： ，
用数字表示以 为顶点的角为： ，
故答案为： 或 或 ．
（2）由图可得：
用三个字母表示以 为顶点的角为： ，
用一个字母表示以 为顶点的角为： ，
用数字表示以 为顶点的角为： ，
以 为顶点边是 ， ，
故答案为：角为 （或 或 ），边是 ， ．
（3）如图， 是射线 的反向延长线，
则 成平角， 的边是 ， ．
【点拨】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．【变式1】（20-21七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用 、 、 三种方法表示同一
个角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
解：A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的 、 、 表示同一个角，故本选项正确；
D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
【变式2】按照图填空：
(1)可用一个大写字母表示的角有 .
(2)必须用三个大写字母表示的角有 .
(3)以B为顶点的角共有 个，分别表示为 .
【答案】 ， ， ， ， ， 3 ，
，
【分析】根据角的表示方法：即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字
母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这
个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字
（∠1，∠2…）表示．
解：（1）∵以A、 C为顶点的角有两个，
∴能用一个大写字母表示的角有 ， ；
（2）∵只要角的顶点及两边均有大写字母，则此角可用三个大写字母表示，
∴可用三个大写字母表示的角是 ， ， ， ， ；（3）由图可知以B为顶点的角共有3个，分别是 ， ， .
【点拨】此题考查角的概念，解题关键在于掌握其概念.
【题型3】角的分类
【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题：
(1)图中共有多少个角？
(2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角．
【答案】(1)10个 (2)见解析
【分析】本题考查角度的概念及分类；
（1）列举出来图形中所有的角度即可；（2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可．
解：（1）图中角有： 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，共有10个角；
（2）直角是 ，
锐角是 ，
钝角是 ．
【变式1】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可．
解：图1中，角的顶点为 ，应表示为 ；
图2表示正确；
图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；
图4表示正确．所以表示正确的个数为2．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个
①小于 的角是锐角；②等于 的角是直角；③大于 的角是钝角；
④平角等于 ；⑤周角等于 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、
平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
解：①小于 的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误；
②等于 的角是直角，说法正确；
③平角大于 但不是钝角，原说法错误；
④平角等于 ，说法正确；
⑤周角等于 ，说法正确，
故正确的有3个，
故答案为：3．
【题型4】画特殊角
【例4】（21-22七年级上·辽宁盘锦·期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
【答案】画图见解析
【分析】由 再利用三角板画 即可.
解：如图，画出15°角和105°角如下：
【点拨】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.
【变式1】（20-21七年级上·福建三明·阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是
（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】C
【分析】一副三角板，度数有： 、 、 、 ，根据度数组合，可以得到答案．
解：利用一副三角板可以画出 的角，是 和 角的组合
故选：C．
【点拨】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
【变式2】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅
三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°
角用一副三角板不能画出．
解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点拨】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住
凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
【题型5】钟面角
【例5】（24-25七年级上·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意
去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是 时，
(1) 时分针和时针的夹角为多少度？
(2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？
【答案】(1) 时分针和时针的夹角为75度； (2)经过 分钟，时针与分针第一次相遇．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．（1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解；
（2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解．
解：（1） 时针每分钟转 ，
时分针和时针的夹角为： ，
（2）设经过 分钟，时针与分针第一次相遇，
则： ，
解得： ，
答：经过 分钟，时针与分针第一次相遇．
【变式1】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）某时刻钟表在10点和11点之间，在这个时刻再过6分
钟的分针和这个时刻3分钟前的时针正好方向相反且在同一直线上，那么钟表这个时刻为（ ）
A．10点25分 B．10点20分 C．10点15分 D．10点19分
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，得到时针和分针组成 的等量关系是解决本题的关键．
在同一条直线上，说明分针和时针所在的位置隔 ．等量关系为：分针 分走过的角度+时针 分走过
的角度 ，把相关数值代入求解即可．
解：设现在是十点x分，根据题意，得
，
解得： ，
∴现在是 ．
故选：C
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在植树节到来之际，为了增强“生态和环保意识”，班长小
明组织同学到植物园开展“爱绿、植树、护绿”实践活动，要求同学们集合的时间是9点10分，此时钟
面上时针与分针的夹角是 ．
【答案】145
【分析】本题考查钟面角的计算．掌握钟面上每2个数字之间相隔 ，时针1分钟走 是解题的关键．
钟面上时间是9点10分，时针在9和10之间且靠近9，分针指向2，根据每2个数字之间相隔 和时针
1分钟走 可得夹角度数．
解：时针经过10分钟所走的度数为 ，
此时分钟指向2点的位置，与9点之间的夹角为 ，∴9点10分时，钟面上时针与分针夹角的度数是 ．
故答案为：145．
【题型6】方向角的表示
【例6】（24-25七年级上·全国·阶段练习）根据如图的信息回答问题．
(1)书店在小军家 偏 方向 米处．
(2)学校在小军家正北方向600米处，记作“ ”米，那么少年宫在小军家正南方向800米处，记作 米．
小军从学校走到少年宫，每分钟走75米，小明从少年宫走到学校，每分钟走65米， 分钟后两人相
遇．
【答案】(1)南，西， ，400 (2) ，10
【分析】本题主要考查根据方向和距离确定物体的位置，正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，
熟练掌握确定位置的方法是解题关键．
（1）根据方向和距离确定物体的位置即可解答；
（2）根据正负数的意义求解即可；用学校到少年宫的距离除以小军和小明和即可求出相遇的时间．
解：（1）由图可得，书店在小军家南偏西 方向400米处；
（2）学校在小军家正北方向600米处，记作“ ”米，
那么少年宫在小军家正南方向800米处，记作 米；
学校到少年宫的距离为 米
根据题意得， （分钟）
∴10分钟后两人相遇．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）小明去学校，从家出发向东行200米，右转 ，直行
200米，接着右转 ，直行200米到学校，学校在小明家的（ ）方，距小明家（ ）米．
A．东200 B．南200 C．西400
【答案】B【分析】本题考查了图形与位置的关系，结合方位和角度画出路线图是解题关键．先根据题意画出图形，
再根据方向和距离进行解答即可．
解：根据题意画出小明的行走路线图如下：
由图可知，学校在小明家的南方，距小明家200米．
故选：B．
【变式2】（21-22七年级下·陕西西安·期中）如图，点A在点O的 方向，点B在点O的东南方向，
则∠AOB的度数是
【答案】 北偏东28° 107°
【分析】根据方向角的定义，再求出28°的余角，然后再加上45°，进行计算即可解答．
解：已知，点A在点O的北偏东28°方向，
由题意得：
90°-28°=62°，
∴∠AOB=62°+45°=107°，
∴点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是107°，
故答案为：北偏东28°，107°．
【点拨】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【题型7】与方向角有关的计算题
【例7】（2024六年级下·上海·专题练习）一只蚂蚁从点 出发，沿北偏东 的方向爬行了线段 的长
度时碰到障碍物 ，原路返回爬行了 线段 的长度到达 处，然后向北偏西 的方向爬行 到达
处．(1)画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母．（角度可以用量角器画出）
(2)请用 、 表示线段 ___________．
(3) ___________ ．
【答案】(1)见解析 (2) (3)40
【分析】本题考查了方向角及量角器的使用，解答本题关键是掌握方向角的定义及表示方法．
（1）根据题意要求画出蚂蚁行走路线即可；
（2）根据 ， ，即可表示出 ；
（3）用量角器量出 的度数即可．
解：（1）所画图形如下：
．
（2） ， ，
，
故答案为： ；
（3）量得 ，
故答案为：40．
【变式1】（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）如图，某出租车从 地出发，沿着北偏东60°的方向前
进，到达 处后沿着南偏东 的方向行驶来到 处，此时 地正处于 地正东方向；则下列说法中正确
的有( )① 在 处的北偏西 ； ②公路AB和 的夹角是 ；
③ 在 处的北偏西30°；④公路 和 的夹角是
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题主要考查的是方向角和夹角的计算．首先，需要根据题目给出的角度信息，正确理解各个
方向角的含义．然后，根据平行线和夹角的性质，分析公路AB、 以及 之间的夹角．同时，需要
理解北偏东或北偏西角度的具体意义，以便正确判断各点之间的方向关系．
解：如图所示，由题意可知， ， ，
，
即 在 处的北偏西 ，故①正确；
， ，
，
即公路AB和 的夹角是 ，故②正确；
，
，
即 在 处的北偏西 ，故③错误；
，
即公路 和 的夹角是 ，故④错误．
故选：A．
【变式2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知轮船 在灯塔 的北偏东 方向，轮船 在
灯塔 的南偏东 方向，则 ．【答案】
【分析】此题考查了方向角，用 减去两个方向角的度数即可得到答案．
解：∵轮船 在灯塔 的北偏东 方向，轮船 在灯塔 的南偏东 方向，
∴
故答案为：
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型8】直通中考
【例1】（2023·河北·中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西
的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西 方向 B．南偏东 方向
C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东 方向．故选D．
【点拨】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
【例2】（2019·广西梧州·中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°
故选B．
【点拨】考核知识点：钟面角.了解钟面特点是关键.
【题型9】拓展延伸
【例1】（19-20七年级·浙江金华·期末）如图，点O是钟面的中心，射线 正好落在3：00时针的位
置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与 所在的三条射线中，其中
一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
解：设时针为OB，分针为OA．
当时针为OB为角平分线时，如图1所示：设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+ ，∠BOC=30゜－ ，依题意得：
60-6x+ ＝30－
解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－ ，依题意得：
6x-90＝30－
解得x= ；
综合上述可得：经过6分钟或 分钟时，时针，分针，与 所在的三条射线中，其中一条射线是
另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或 ．
【点拨】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分
线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
【例2】（18-19七年级下·湖北武汉·阶段练习）小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，
然后向左转30°行走到C地，则下面表述中，正确的个数是（ ）
①B可能在C的北偏西m°方向；
②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；
③B不可能在C的南偏西m°方向；
④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时；②当m=60°时；③当60°＜m＜90°时；分别画出图形，根
据方位角的知识即可解决问题．
解：分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．
∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m＋30）°方向，故
②正确；
∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；
②当m=60°时，如图2，m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C的正西方向；
③当60°＜m＜90°时，如图3．
∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，∴B在C的南偏西
（150－m）°方向，故④正确．
当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．
故选B．
【点拨】本题考查了有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质求角，解答本
题的关键是分类讨论．
