文档内容
八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣1÷a﹣3=a2 B．（ ）0=0 C．（a2）3=a5 D．（ ）﹣2=
3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
5．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明
△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠DC．AC=DF D．∠ACB=∠F
6．已知多项式x2+kx+ 是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1D．
7．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
8．化简 的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时
间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根
据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
10．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论
①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（ ）
A．全部正确B．仅①和②正确 C．仅①正确D．仅①和③正确
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．分解因式：ax4﹣9ay2= ．
12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE
的大小为 （度）．13．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；
②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确
的结论的序号都填上）
14．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于
N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 cm．
三、解答题（共74分）
15．分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
16．解方程： = ．
17．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适
的代入求值．
18．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格
线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段
A C ，并以它为一边作一个格点△A B C ，使A B =C B ．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作
EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
21．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普
通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘
坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写
作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．23．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线
BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣1÷a﹣3=a2 B．（ ）0=0 C．（a2）3=a5 D．（ ）﹣2=
【考点】负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．
【分析】分别根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则进行计算即可．
【解答】解：A、原式=a（﹣1+3=a2，故本选项正确；
B、（ ）0=1，故本选项错误；
C、（a2）3=a6，故本选项错误；
D、（ ）﹣2=4，故本选项错误．
故选A．3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为
3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC
的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C= = =40°．
故选：B．
5．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明
△ABC≌△DEF（ ）A．AC∥DF B．∠A=∠DC．AC=DF D．∠ACB=∠F
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
6．已知多项式x2+kx+ 是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1D．
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x和 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和
积的2倍．
【解答】解：∵多项式x2+kx+ 是一个完全平方式，
∴x2+kx+ =（x± ）2，
∴k=±1，
故选A．
7．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且
AB=6cm，则△DEB的周长是（ ）A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于
D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形
AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然
后由三角形 BED 的三边之和表示出三角形的周长，将其中的 DE 换为 DC，由
CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等
于AB的长，由AB的长可得出周长．
【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，又AC=BC，
∴AC=AE=BC，又AB=6cm，
∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．
故选A．
8．化简 的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
【考点】分式的加减法．
【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解： = ﹣
=
=
=x，
故选：D．
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时
间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根
据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所
以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得： = ．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论
①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（ ）
A．全部正确B．仅①和②正确 C．仅①正确D．仅①和③正确【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出；判定两条直线
平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或
“同旁内角互补，两直线平行”得出；判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS
或HL得出．
【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP
∴△ARP≌△ASP（HL）
∴AS=AR，∠RAP=∠SAP
∵AQ=PQ
∴∠QPA=∠SAP
∴∠RAP=∠QPA
∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，
所以无法得出△BPR≌△QSP
故本题仅①和②正确．
故选B．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．分解因式：ax4﹣9ay2= a （ x 2 ﹣3 y ）（ x 2 + 3 y ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2）=a（x2﹣3y）（x2+3y）．
故答案为：a（x2﹣3y）（x2+3y）．
12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE
的大小为 4 5 （度）．【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据
等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在
△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可
求出∠DCE的大小．
【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
13．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；
②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是 ①②③ ．（将你认
为正确的结论的序号都填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等
三角形就可判断题中结论是否正确．
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴ACN≌△ABM，即结论③正确；
∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC，∠2=∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1=∠2，即结论①正确；
∴△AEM≌△AFN，
∴AM=AN，∴CM=BN，
∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，
∴题中正确的结论应该是①②③．
故答案为：①②③．
14．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于
N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 1 8 cm．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出
△PMN的周长．
【解答】解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB
于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
三、解答题（共74分）
15．分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
【考点】因式分解-运用公式法．【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成
x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式=x2﹣4x+3+1，
=x2﹣4x+4，
=（x﹣2）2．
16．解方程： = ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
17．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适
的代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，将x=1代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • =2x+8，
当x=1时，原式=2+8=10．
18．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出
∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格
线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段
A C ，并以它为一边作一个格点△A B C ，使A B =C B ．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求．
2 2 2
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作
EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据 EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而 AAS 证明
△FBD≌△ABC，则AB=BF．
【解答】证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，，
∴△FBD≌△ABC（AAS），
∴AB=BF．
21．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普
通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘
坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行
驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时
间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；
【解答】解：（1）根据题意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列车的行驶路程是520千米；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意
得：
﹣ =3，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时），
答：高铁的平均速度是300千米/时．
22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
【考点】作图—基本作图；平行线的判定．
【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可
得∠A= ∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A= ∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
23．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线
BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第
三边从而得出BE+CF＞EF．
【解答】解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
