文档内容
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答
题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7B．﹣7 C． D．﹣
2．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝
的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．5.7×109 B．5.7×1010 C．0.57×1011 D．57×109
3．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．2a﹣a=2 C．（ab）2=a2b2D．（a2）3=a5
5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
6．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列
事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
7．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析
式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+68．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地
沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是
（ ）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
9．如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l
与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的
函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形
（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
[来源:Zxxk.Com]
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题纸上）
11．多项式a2﹣4因式分解的结果是 ．12．使式子1+ 有意义的x的取值范围是 ．
13．2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：168，166，168，167，169，168，则
她们身高的众数是 cm．
14．化简： = ．
15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： ．
16．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算
最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少
经过下面5步运算可得1，即：5 16 8 4 2 1，如果自然数m最少经过7步运算可得到
1，则所有符合条件的m的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请将答案写在答题纸上，务必写出解答过程）
17．计算： ﹣23÷|﹣2|×cos45°．
18．解不等式 ，并把解在数轴上表示出来．
19．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的
数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，
每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜色 无记号 有记号
红色 黄色 红色黄色
摸到的次数 18 28 2 2
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？20．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求 的长．
（2）求弦BD的长．
21．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，
商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润
不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
22．如图，已知点A（4，0），B（0，4 ），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段
AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反
比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将
△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，
与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点
M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答
题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7B．﹣7 C． D．﹣
【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝
的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．5.7×109 B．5.7×1010 C．0.57×1011 D．57×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将57000000000用科学记数法表示为：5.7×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】常规题型．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．2a﹣a=2 C．（ab）2=a2b2D．（a2）3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、2a﹣a=a，故本选项错误；
C、（ab）2=a2b2，故本选项正确；
D、（a2）3=a6，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，一定要记准法则才能做题．
5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴BOC=90°+70°=160°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
6．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列
事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【考点】随机事件．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义
可判断A选项正确．
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个
球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是
白球都是随机事件．
故选A．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分
为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，
7．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析
式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式
为y=（x﹣4）2+4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
8．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地
沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是
（ ）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC= AB= A′B′=OC′，从而得出滑动杆
的中点C所经过的路径是一段圆弧．
【解答】解：连接OC、OC′，如图，
∠AOB=90°，C为AB中点，
∴OC= AB= A′B′=OC′，
∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，
∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．
故选B．【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的
关键．
9．如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l
与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的
函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，
BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB•t（0≤t≤m）；当点F从
点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC•CF=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m），即y与t的函
数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，
△ABC为等腰三角形，
∴B=∠C，BD=CD，
当点F从点B运动到D时，如图1，
在Rt△BEF中，∵tanB= ，
∴y=tanB•t（0≤t≤m）；
当点F从点D运动到C时，如图2，
在Rt△CEF中，∵tanC= ，
∴y=tanC•CF
=tanC•（2m﹣t）
=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．
故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关
系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．
10．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形
（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB = ，计算
即可．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB = = ×6×3=9．
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB = ．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题纸上）
11．多项式a2﹣4因式分解的结果是 （ a+ 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．12．使式子1+ 有意义的x的取值范围是 x≥ 0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式即可．
【解答】解：由题意得，x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：168，166，168，167，169，168，则
她们身高的众数是 16 8 cm．
【考点】众数．
【分析】根据众数的定义找出这组数据中出现次数最多的数即可得出答案．
【解答】解：168出现了3次，出现的次数最多，则她们身高的众数是168cm；
故答案为：168；
【点评】此题考查了众数众数是一组数据中出现次数最多的数，属于基础题，难度不大．
14．化简： = ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算．
【解答】解： = = =
．
【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通
分，乘除的本质是约分．
15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： （ x+ 1 ） 2 =2 5 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】此图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．
【解答】解：根据题意得：（x+1）2﹣1=24，
即：（x+1）2=25．
故答案为：（x+1）2=25．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题目中的不规则图形的面积
计算方法．
16．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算
最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少
经过下面5步运算可得1，即：5 16 8 4 2 1，如果自然数m最少经过7步运算可得到
1，则所有符合条件的m的最小值为 3 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】利用列举法，尝试最小的几个非0自然数，再结合“自然数5．最少经过5步运算可得1”，即可
得出结论．
【解答】解：利用列举法进行尝试，
1（不用运算）；
2 1（1步运算）；
3 10 5，结合已知给定案例可知，5再经过5步运算可得1，
故3要经过7步运算可得1．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数字的变换类，解题的关键是：利用列举法，尝试几个最小的非0自然数．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请将答案写在答题纸上，务必写出解答过程）
17．计算： ﹣23÷|﹣2|×cos45°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及特殊
角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣8÷2× =2﹣2 ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解不等式 ，并把解在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】根据不等式的性质得到3（x﹣1）≤1+x，推出2x≤4，即可求出不等式的解集．
【解答】解：去分母，得3（x﹣1）≤1+x，
整理，得2x≤4，
∴x≤2．
在数轴上表示为： ．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的
理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．19．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的
数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，
每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜色 无记号 有记号
红色 黄色 红色黄色
摸到的次数 18 28 2 2
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？
【考点】模拟实验；利用频率估计概率．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出
盒中红球、黄球各占总球数的百分比；
（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，由此可以求出总球数，然后利用（1）的
结论即可求出盒中红球．
【解答】解：（1）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，
∴红球所占百分比为20÷50=40%，
黄球所占百分比为30÷50=60%，
答：红球占40%，黄球占60%；
（2）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，
∴总球数为8÷ =100，
∴红球数为100×40%=40，
答：盒中红球有40个．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球
数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数．
20．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求 的长．
（2）求弦BD的长．
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．
【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC
的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出 的长即可．
（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以
AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD， ，
∠AB是⊙O的直径，
∴ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵ ，
∴BAC=60°，
∴BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴ 的长= ．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴ACD=∠BCD，
∴AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10× ．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l= （弧长为
l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都
不要带单位．
21．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，
商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润
不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种
衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
+10= ，解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列
出方程是解题的关键．
22．如图，已知点A（4，0），B（0，4 ），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段
AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反
比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b
的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求
出k即可；
（3）设F（t，﹣ t+4 ），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y= ，用待定系数法
求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∠A（4，0），B（0，4 ），
∴ ，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+4 ；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2 ，DF=4，
∵点D与点A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2 ），
∴G（3， ），
∵反比例函数y= 经过点G，
∴k=3 ，
∴反比例函数的解析式为：y= ；
（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F（t，﹣ t+4 ），
又∵ED=2，
∴D（t+2，﹣ t+2 ），
∵点G为边FD的中点．
∴G（t+1，﹣ t+3 ），
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y= ，
则 ，
整理得：（﹣ t+3 ）（t+1）=（﹣ t+4 ）t，
解得：t= ，
∴m= ，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y= ．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解
析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确
定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将
△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是
边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出 的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据 ，求出 的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据 ，判断出△ECA∽△DCB，即可求出 的值是多
少，进而判断出 的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相
交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
△ RAtB∠C中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ ，
∴ ．
②如图1， ，
当α=180°时，
可得AB∥DE，∵ ，
∴ = ．
故答案为： ．
（2）如图2， ，
当0°≤α＜360°时， 的大小没有变化，
∠ECD=∠ACB，
∴ECA=∠DCB，
又∵ ，
∴△ECA∽△DCB，
∴ ．
（3）①如图3， ，
∠AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= = ，
∠AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴ ．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∠AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= = ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE= =2，
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得
，
∴BD= = ．
综上所述，BD的长为4 或 ．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考
查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，
与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点
M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称
轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把
B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得
y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）
2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得： ，
解之得： ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得 ，
解之得： ，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t = ，t = ；
1 2
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、
利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
