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人教版九年级下册数学课本知识点总结
第二十六章 反比例函数
一、反比例函数的概念
1． INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET （
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image003.gif" \* MERGEFORMATINET ）可以写成
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image004.gif" \* MERGEFORMATINET （
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
1tbjx.files/image003.gif" \* MERGEFORMATINET ）的形式，注意自变
量x的指数为 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image005.gif" \* MERGEFORMATINET ，在解决有关自变量
指数问题时应特别注意系数 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image003.gif" \* MERGEFORMATINET 这一限制条件；
2． INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET （
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image003.gif" \* MERGEFORMATINET ）也可以写成xy=k
2的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反
比例函数的解析式；
3．反比例函数 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET 的自变量
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image006.gif" \* MERGEFORMATINET ，故函数图像与x
轴、y轴无交点．
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位
于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函
数中自变量函数中自变量 ，函数值 ，所以它的图像与x轴、y
3轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到
坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑
的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴
相交。
三、反比例函数及其图像的性质
1 ． 函 数 解 析 式 ： INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET （
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
4tbjx.files/image003.gif" \* MERGEFORMATINET ）
2 ． 自 变 量 的 取 值 范 围 ： INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image006.gif" \* MERGEFORMATINET
3．图像：
（ 1 ） 图 像 的 形 状 ： 双 曲 线 ， INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image007.gif" \* MERGEFORMATINET 越大，图像的弯曲度
越 小 ， 曲 线 越 平 直 。 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image007.gif" \* MERGEFORMATINET 越小，图像的 弯
曲度越大。
（2）图像的位置和性质：
当 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
5tbjx.files/image008.gif" \* MERGEFORMATINET 时，图像的两支分
别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image009.gif" \* MERGEFORMATINET 时，图像的两支分
别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
（3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则 （ INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image010.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image011.gif" \* MERGEFORMATINET ）在双曲线的另一支。
图 像 关 于 直 线 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image012.gif" \* MERGEFORMATINET 对称，即若（a，b）
6在 双 曲 线 的 一 支 上 ， 则 （ INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image013.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image014.gif" \* MERGEFORMATINET ） 和 （
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image011.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image010.gif" \* MERGEFORMATINET ）在双曲线的另一支
上。．
4．k的几何意义
如 图 1 ， 设 点 P （ a ， b ） 是 双 曲 线 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
7tbjx.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET 上任意一点，作
PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角
形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双
曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要
将两个分支分别讨论，不能一概而论。
INCLUDEPICTURE
8"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/01.gif" \* MERGEFORMATINET
（2）直线 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image021.gif" \* MERGEFORMATINET 与双曲线
INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image022.gif" \* MERGEFORMATINET 的关系：
当 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
9tbjx.files/image023.gif" \* MERGEFORMATINET 时，两图像没有
交点；当 INCLUDEPICTURE
"http://58.133.134.16/resource/bac940a01141d0a89b3f21c33977dc4a/
tbjx.files/image024.gif" \* MERGEFORMATINET 时，两图像必有
两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
四、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
五、充分利用数形结合的思想解决问题
第二十七章 相似三角形
一、图形的相似
1．图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这
两个图形相似。（相似的符号：∽）
10性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这
两个多边形相似。
3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时，相似
的两个图形全等。
二、相似三角形
1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三
角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两个角与
另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例,且夹角相等；
④相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半
径等）的比等于相似比。)
3．相似三角形应用
11视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区
域。
4．相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。
②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于相
似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。
三、位似
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连
线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个
点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于 k 或-k。
注意
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必
定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2、两个位似图形的位似中心只有一个；
123、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的
一侧；
4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位
似；
5．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的
距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以
将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过
位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
6．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似
图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
第二十八章 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1．正弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边a与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边=a/c；
2.余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边b与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c；
3.正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记
13作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b。
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的
符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A
的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④tanA的值越
大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余
切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边=b/a；
5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、
余切、正切。（通常我们称正弦、余
弦互为余函数。同样，也称正切、余
切互为余函数，可以概括为：一个
锐角的三角函数等于它的余角的
余函数）用等式表达：
若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°−∠A）等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。
7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或
减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而
减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
同角的三角函数间的关系：tanα·cotα=1，tanα=sinα/cosα，
cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1
14二、解直角三角形
1.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。
2．在解直角三角形的过程中用到的关系:(在△ABC中，∠C为直角，
∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，)
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；(勾股定理)
（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
（3)边与角之间的关系：
sinA =a/c；(a= c sinA)
cosA =b/c；(b= c cosA)
tanA=a/b。
sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90°-A)
sin2α+cos2α=1
第二十九章 投影与视图
一、投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到
的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做
投影面。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远)
3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投
15影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影
的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
5． 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形
状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投
影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成为一条
直线。
二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同一
个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图的
总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达
物体的结构。
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。
3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。
4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5．三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；
②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表
示物体的宽。③主视、俯视 长对正 ，主视、左视 高平齐，左视、俯视
宽相等 。
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不
见的部分的轮廓线画成虚线。
16
