文档内容
专题21.3.2 菱形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................1
知识点一：菱形的定义..............................................................................................................................................................1
知识点二：菱形的性质..............................................................................................................................................................2
知识点三：菱形的判定..............................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 利用菱形的性质求角度....................................................................................................................................3
考点讲练二 利用菱形的性质求线段长...............................................................................................................................7
考点讲练三 利用菱形的性质求面积..................................................................................................................................10
考点讲练四 利用菱形的性质证明......................................................................................................................................13
考点讲练五 添一个条件使四边形是菱形........................................................................................................................17
考点讲练六 证明四边形是菱形...........................................................................................................................................23
考点讲练七 根据菱形的性质与判定求角度....................................................................................................................26
考点讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长...............................................................................................................33
考点讲练九 根据菱形的性质与判定求面积....................................................................................................................37
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................41
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................47
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................47
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................54
知识点一：菱形的定义
定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.
2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.
知识点二：菱形的性质
2、菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质.
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
2、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
知识点三：菱形的判定
1.菱形的判定方法：
定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理1应用格式：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.
定理2应用格式：
∵ AB=BC=CD=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
【要点解析】
（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.
②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条
边都相等.
考点讲练一 利用菱形的性质求角度
【典例分析】如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：
(1)∠BAD，∠ABC的度数；
(2)求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)∠BAD=60°；∠ABC=120°
(2)18❑√3
【思路引导】（1）根据菱形的性质AC平分∠DCB，从而得到∠BAD=∠DCB=2∠ACD=60°，再求
得∠ABC的度数；
（2）由菱形的性质求得OB=3，在Rt△AOB中，由∠BAO＝30°，可得AB=2OB=6，再根据勾股定
1
理求得OA的长度，再根据AC=2AO计算可得；根据S = BD·AC计算可得.
菱形ABCD 2
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，AC平分∠DCB和∠DAB，BD平分∠ABC和∠ADC，∠DCB=∠DAB，
又∵∠ACD=30°，
∴∠BAD=∠DCB=2∠ACD=60°，
∴∠ABC=180°−60°=120°；
（2）∵BD=6，
∴OB=3，
∵AC垂直平分BD，
∴△AOB是直角三角形，
又∵∠BAO=∠ACD=30°∴AB=2OB=6，
∴OA=❑√62−32=3❑√3，
∴AC=2OA=6❑√3，
1 1
∴S = BD·AC= ×6×6❑√3=18❑√3.
菱形ABCD 2 2
【考点剖析】考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质等，解题关键是根据菱形
的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系.
【变式训练1】（24-25八年级下·贵州·月考）如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=72°，点E在对角
线BD上，且AE=BE．
(1)图①中有______个等腰三角形，∠AED的度数为______；
(2)按示例，将图②和图③的菱形ABCD分成四个等腰三角形（画出分割的线段并标出每个内角的度数，
不写画法和证明）．
【答案】(1)4，72°
(2)见解析
【思路引导】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．
（1）由菱形的性质可得△ABD，△CBD是等腰三角形，由已知可得△EAB是等腰三角形，由三角形的内
角和定理可得∠AED的度数，∠DEA=∠DAE，可得DA=DE，从而可得△DAE是等腰三角形，即可
得等腰三角形的个数；
（2）如图②，连接BD，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BD于点K，连接AK，CK，如图③，连
接BD，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BD于点N，连接AN，以点D为圆心，CD长为半径画弧，
交BD于点M，连接CM，根据菱形的性质，三角形的内角和定理，计算可得内角度数．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，BD平分角ABC，
∴△ABD，△CBD是等腰三角形，
∵∠ABC=72°，
1
∴∠ABD=72°× =36°，
2∴∠ADB=36°，
∵AE=BE
∴△EAB是等腰三角形，∠EAB=∠EBA，
∴∠EAB=36°，
∴∠DAE=180°−36°−36°−36°=72°，
∴∠AED=180°−36°−72°=72°，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，
∴△DAE是等腰三角形，
∴图①中有4个等腰三角形，∠AED的度数为72°．
故答案为：4，72°．
（2）解：如图②，连接BD，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BD于点K，连接AK，CK，分割的
线段为线段BD，线段AK，线段CK，内角度数如图所示；如图③，连接BD，以点B为圆心，AB长为半
径画弧，交BD于点N，连接AN，以点D为圆心，CD长为半径画弧，交BD于点M，连接CM，分割的
线段为线段BD，线段AN，线段CM，内角度数如图所示．
【变式训练2】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：
菱形的对角线互相垂直且平分．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=10，OD=8，则菱形ABCD的面积是
______；(2)如图②，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，连接CF，四边形CDEF是菱形，连接AE，若
∠DAE=42°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)96
(2)27°
【思路引导】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的
性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）根据菱形性质求出BD=16,AC=12，进而求出面积；
（2）根据菱形性质证明△ADC≌△ADE(SAS)，得出∠DAE=∠DAC=42°，再根据等腰三角形性质求
出∠ADC=∠ACD=69°，根据三角形外角的性质求出结论．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD,OB=OD= BD,OA=OC= AC，
2 2
在Rt△AOD中，AD=10，OD=8，
∴OA=❑√102−82=6,BD=2OD=16，
∴AC=2OA=12，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×12×16=96；
2 2
（2）解：∵四边形ACBD是菱形，四边形CDEF是菱形，
∴AD=AC，CD=CF=DE，∠ADE=∠ADC，
∵AD=AD，∠ADE=∠ADC，CD=ED，
∴△ADC≌△ADE(SAS)，
∴∠DAE=∠DAC=42°，
∵AD=AC，
1
∴∠ADC=∠ACD= ×(180°−∠DAC)=69°，
2
∵CD=CF，
∴∠ADC=∠CFD=69°，
∴∠ACF=∠CFD−∠DAC=69°−42°=27°．
考点讲练二 利用菱形的性质求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点
E，F为AD边上的点，且AB=AF，连接BF、EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若CE=1，CF=❑√3，AB=2，求BF的长．
【答案】(1)见详解
(2)2❑√3
【思路引导】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠BEA，推导出
∠BAE=∠BEA，则AB=EB，而AB=AF，所以AF=EB，因为AF∥BE，所以四边形ABEF是平行
四边形，再根据菱形的定义证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）连接CF，由菱形的性质得EF=AB=BE=2，因为CE=1,CF=❑√3，所以
CE2+CF2=EF2=4,BC=BE+CE=3，则∠ECF=90°，求得BF=❑√BC2+CF2=2❑√3．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E,F为边AD上的点，AB=AF，
∴∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
∵AB=AF，
∴AF=EB，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：连接CF，如图所示：
∵四边形ABEF是菱形，∴EF=AB=BE=2，
∵CE=1,CF=❑√3，
∴CE2+CF2=EF2=4,BC=BE+CE=3，
∴△CEF是直角三角形，且∠ECF=90°，
∴BF=❑√BC2+CF2=❑√32+(❑√3) 2=2❑√3，
∴BF的长是2❑√3．
【考点剖析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、
勾股定理及其逆定理等知识，推导出AF=EB及∠ECF=90°是解题的关键．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形ODEC是菱形；
(2)若∠ACB:∠BAC=1:2，S =4❑√3，求四边形ODEC的周长．
矩形ABCD
【答案】(1)见详解
(2)8
【思路引导】该题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知
识点．
（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ODEC是平行四边形，再根据矩形对角线
相等且互相平分可得OC=C进而可以解决问题；
（2）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，则∠ACB+∠BAC=90°，结合∠ACB:∠BAC=1:2，得出
∠ACB=30°,∠BAC=60°，则2AB=AC，BC=❑√3AB，根据S =AB×BC=❑√3AB2=4❑√3，
矩形ABCD
得出AB=2,AC=4，则OC=2，进而可以解决问题．
【规范解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
又∠ACB:∠BAC=1:2，
∴∠ACB=30°,∠BAC=60°，
∴2AB=AC，BC=❑√3AB，
∴S =AB×BC=❑√3AB2=4❑√3，
矩形ABCD
∴AB=2,AC=4，
∴OC=2，
∴四边形ODEC的周长=4OC=8．
【变式训练2】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED是矩形．
(2)连接AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60∘，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3❑√7
【思路引导】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、
勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键．
（1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到AC⊥BD，然后再结合题意即可证明四边形OCED为矩形；
（2）先判断△ABC与△ACD均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出EC长，再次利用勾股定理即可
求出AE的长．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，
∵DE=OC，DE∥AC即DE∥OC，
∴四边形OCED为平行四边形，
∴四边形OCED为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形，AC=CD=6，
1
由（1）可知四边形OCED为矩形，OC= AC=3，
2
∴EC=OD=❑√CD2−OC2=❑√62−32=3❑√3，
在Rt△ACE中，AE=❑√AC2+CE2=❑√62+(3❑√3) 2=3❑√7．
考点讲练三 利用菱形的性质求面积
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
AC:BD=1:❑√3．若AB=12，求菱形ABCD的面积．
【答案】72❑√3
【思路引导】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握方程思想与数形结合思想的应用．
1 ❑√3
首先设AC=k，由AC:BD=1:❑√3可得BD=❑√3k，根据菱形的性质得到AO= k，BO= k，
2 2
AC⊥BD，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得到关于k的方程，求得k的值，继而可求得AC与BD的长，
则可求得菱形ABCD的面积．
【规范解答】解：设AC=k，则BD=❑√3k．
∵四边形ABCD是菱形，
1 1 1 ❑√3
∴AO= AC= k，BO= BD= k，AC⊥BD．
2 2 2 2
在Rt△AOB中，由勾股定理得 (1 k ) 2 + (❑√3 k ) 2 =122，
2 2
解得k=12（负值已舍去），
∴AC=12，BD=12❑√3，
1 1
∴S = AC⋅BD= ×12×12❑√3=72❑√3．
菱形ABCD 2 2
【变式训练1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，菱形花坛ABCD的边AD的长为10m，∠DAB=120°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD，AC与BD相交于点O．
(1)求AC和BD的长；
(2)求菱形花坛ABCD的面积．
【答案】(1)AC=10𝑚，BD=10❑√3 m
(2)50❑√3 m2
【思路引导】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理；
1
（1）根据菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出AO= AB=5m，即可得出AC，进而根据
2
勾股定理求得OD，即可得出BD的长；
（2）根据菱形的面积公式进行计算即可求解．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，AD=10m，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OD，AB=AD=10m．
∵∠DAB=120°，
180°−∠DAB
∴ ∠ABD=∠ADB= =30°，
2
1
∴ AO= AB=5m，
2
∴AC=2AO=10m，OD=❑√102−52=5❑√3 m，
∴BD=2OD=10❑√3 (m)．
1 1
（2）菱形花坛ABCD的面积为： AC×BD= ×10×10❑√3=50❑√3(m2)．
2 2
【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．（1）若AB=❑√7，AC=4，则AE的长为 ．
（2）在（1）的条件下，已知M是线段AC上的一点，且BM=2，则AM的长为 ．
4❑√21
【答案】 1或3
7
【思路引导】（1）先通过对角线垂直的平行四边形为菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性
质，勾股定理，结合已知线段的长度可得对角线BD的长，最后根据等面积法即可求解；
（2）根据菱形的性质，勾股定理可得OM的值，分类讨论：当点M在线段OA上；当点M在线段OC上；
根据线段的和差运算即可求解．
【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=AD．
∵AB=❑√7，AC=4，
1
∴CD=AB=❑√7，OA=OC= AC=2．
2
在Rt△AOB中，OB=❑√AB2−OA2=❑√3，
∴BD=2OB=2❑√3．
∵AE⊥CD交CD的延长线于点E，
∴∠AED=90°，
1
∴CD⋅AE= AC⋅BD，
2
1
∴❑√7AE= ×4×2❑√3，
2
4❑√21
∴AE= ．
7
（2）∵BM=2，OB=❑√3，∠BOC=90°，
∴OM=❑√BM2−OB2=1．
当点M在线段OA上时，AM=OA−OM=2−1=1；当点M在线段OC上时，AM=OA+OM=2+1=3．
故AM的长为1或3．
【考点剖析】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高，分类讨论思想的
综合，掌握菱形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
考点讲练四 利用菱形的性质证明
【典例分析】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
1
过点A作AE∥BD，且AE= BD，连接BE．
2
(1)求证：四边形AOBE是矩形．
(2)连接OE，若BD=10，AC=24，求OE的长．
【答案】(1)见详解
(2)13
【思路引导】该题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理．解题的关键是掌握以上知识点．
1 1
（1）根据四边形ABCD是菱形，得出BO=DO= BD,AC⊥BD，结合AE= BD，得出AE=BO，
2 2
结合AE∥BD，∠AOB=90°，即可证明四边形AOBE是矩形．
1 1
（2）根据四边形ABCD是菱形，BD=10，AC=24，得出BO= BD=5，AO= AC=12，勾股定理
2 2
求出AB=13，根据四边形AOBE是矩形，得出OE=AB=13．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴BO=DO= BD,AC⊥BD，
2
1
∵AE= BD，
2
∴AE=BO，
∵AE∥BD，∴四边形AOBE是平行四边形，
∵∠AOB=90°，
∴四边形AOBE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=10，AC=24，
1 1
∴BO= BD=5，AO= AC=12，
2 2
∴AB=❑√52+122=13，
∵四边形AOBE是矩形，
∴OE=AB=13．
【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在菱形ABCD中，过点B分别作BE垂直
AD于E，BF垂直CD于F．
(1)求证：BE=BF；
(2)连接BD，若BD=BA=10，求BE、BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=BF=5❑√3
【思路引导】（1）由菱形的性质得∠A=∠C，由BE垂直AD于E，BF垂直CD于F，得
∠BEA=∠BFC=90°，进而证△BAE≌△BCF，从而可证BE=BF；
1
（2）由菱形的性质和BD=BA=10得△ABD是等边三角形，由三线合一得DE= AD，再利用勾股定理
2
可得BE的长，由（1）知BE=BF；
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形和等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形四边相等，对角线互
相平分等性质是解题的关键．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，
又∵BE垂直AD于E，BF垂直CD于F，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
∴△BAE≌△BCF(AAS)，
∴BE=BF；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=BA=10，
∴AB=AD=BD=10，
∴△ABD是等边三角形，
又∵BE⊥AD，
1
∴DE= AD=5，
2
∴BE=❑√BD2−DE2=❑√102−52=5❑√3，
∴BE=BF=5❑√3．
【变式训练2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形ABCD中，AC=10cm，
∠ACD=60°，点P从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方
向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动
的时间是t秒，过点P作PE⊥BC于点E，连接PQ，QE．
(1)BQ=______cm，PE=______cm（用含t的代数式表示）；
(2)试说明：无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
(3)连接AE，AE与PQ能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当t为何值时，△APQ为直角三角形．
【答案】(1)(5−t)；t
(2)见解析
10
(3)AE与PQ能垂直，t=
3
5
(4)t= s或4s时，△APQ是直角三角形
2
【思路引导】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的动点问题，掌握在直角三角形中30°所对的边是斜
边的一半和平行四边形的判定及菱形和矩形的性质运用是解题的关键．
（1）根据题意，点P从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方
1
向以1cm/s的速度向点B匀速运动，得PC=2tcm，AQ=tcm，再由BQ=AB−AQ，AB= AC求解即
2可；
（2）根据PE⊥BC，得AQ∥PE，再根据（1）得AQ=PE即可证明；
（3）根据（2）所证四边形AQEP是平行四边形，利用AQ=AP时，四边形AQEP是菱形，菱形对角线垂
直，可得AE⊥PQ，建立方程求解即可；
（4）分别从∠EDF=90°与∠≝=90°两种情况讨论即可求解．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∵点P从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以1cm/s的速
度向点B匀速运动，
∴PC=2tcm，AQ=tcm，
∵PE⊥BC，
1 1
∴PE= PC= ×2t=tcm，
2 2
∵AC=10cm，
1
∴AB= AC=5cm，
2
∴BQ=AB−AQ=(5−t)cm，
故答案为：(5−t)；t；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=90°，
∴AQ∥PE．
由（1）可知，PE=tcm．
∵AQ=tcm，
∴AQ=PE，
∴四边形AQEP是平行四边形．
∴无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
（3）解：AE与PQ能垂直，理由如下：
由（2）可知，∵四边形AQEP是平行四边形，
∴当AQ=AP时，四边形AQEP是菱形，
根据菱形的对角线互相垂直，可得AE⊥PQ，
∴t=10−2t．
10
解得t= ，
3
10
∴当t= 时，AE⊥PQ；
3
（4）解：当∠AQP=90°时，PQ∥BC．如图1，
∴∠APQ=∠ACB=30°
，
∴AP=2AQ，
∵AQ=tcm，AP=(10−2t)cm，
∴10−2t=2t，
5
解得：t= ；
2
当∠APQ=90°时，QP⊥AC，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QAP=∠ACD=60°，
∴∠AQP=90°−∠QAP=30°，
∴AQ=2AP，
∴t=2(10−2t)，
解得：t=4，
5
综上所述，当t= s或4s时，△APQ是直角三角形．
2考点讲练五 添一个条件使四边形是菱形
【典例分析】（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交
于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠AOB=∠BOC B．∠ABO=∠OBC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】D
【思路引导】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判
定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【规范解答】解：A、∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180°，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项不符合题意；
B、过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图所示：
∵∠ABO=∠OBC，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴△AOB的面积=△COB的面积，
1 1
又∵△AOB的面积= AB×OE，△COB的面积= BC×OF，
2 2
1 1
∴ AB×OE= BC×OF，
2 2
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项不符合题意；C、∵平行四边形ABCD中，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项不符合题意；
D、∵平行四边形ABCD中，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，将线段AB沿过点B的直线l向右平移至A′B′，
点A，B的对应点分别为A′，B′．若______，请判定四边形ABB′ A′的形状，并证明你的结论．请选择下列
条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）．
①∠A=∠ABB′；②AB=BB′；③∠1=∠2；
【答案】见解析
【思路引导】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定．先根据平移的
性质，推出四边形ABB′ A′为平行四边形，对于①推出∠A=90°，得到四边形ABB′ A′为矩形；对于②，
根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可；对于③证明AB=A′ A，根据邻边相等的平行四边形为菱形，
即可．
【规范解答】解：∵将线段AB沿过点B的直线l向右平移至A′B′，
∴AB∥A′B′，AB=A′B′，
∴四边形ABB′ A′为平行四边形；
当选择①时：四边形ABB′ A′为矩形；
∵四边形ABB′ A′为平行四边形，
∴A A′∥BB′，
∴∠A+∠ABB′=180°，
∵∠A=∠ABB′，
∴∠A=∠ABB′=90°，
∴四边形ABB′ A′为矩形；
当选择②时，四边形ABB′ A′为菱形；
∵四边形ABB′ A′为平行四边形，且AB=BB′，
∴四边形ABB′ A′为菱形；
当选择③时，四边形ABB′ A′为菱形；∵四边形ABB′ A′为平行四边形，
∴A A′∥BB′，
∴∠1=∠A A′B，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠A A′B，
∴AB=A′ A，
∴四边形ABB′ A′为菱形．
【变式训练2】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，连接
BD，点P为BD上的一点，过点P的线段分别交边AD，BC于点E，F．
(1)若PB=PD，求证：BE=DF．
(2)在（1）的条件下，请再添加一个条件（不再连线和添加字母），使得四边形EBFD为菱形，并说明理
由．
(3)当EF⊥BC且四边形EBFD有且仅有两条边相等时，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AE的长为3或5
【思路引导】（1）证明△PBF≌△PDE(ASA)．可得BF平行且等于DE，可得四边形BFDE是平行四边
形，从而可得结论；
（2）方法1：添加EB=ED（或∠EDB=∠EBD），方法2：添加EF⊥BD（或∠EBP+∠BEP=90°
）．方法3：添加BP平分∠EBF（或EF平分∠BED），再利用菱形的判定可得结论；
（3）①如图2，当BE=DE时，设BE=DE=x，则AE=8−x，再进一步利用勾股定理求解即可；②如图
3，当BE=DF时， 证明△BEF≌△DFE，可得DE=BF，结合DE=CF，如图3，当BF=DE时，同理
可得：AE=BF=DE=4，不合题意，舍去．③如图4，当BF=DF时，设BF=DF=a，则CF=8−a，
再进一步利用勾股定理求解即可.
【规范解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PBF=∠PDE．又∵∠BPF=∠DPE，PB=PD，
∴△PBF≌△PDE(ASA)．
∴BF=DE，
∴BF平行且等于DE．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴BE=DF；
（2）解：方法1：添加EB=ED（或∠EDB=∠EBD），
理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形，EB=ED，
∴四边形EBFD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
方法2：添加EF⊥BD（或∠EBP+∠BEP=90°）．
理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
方法3：添加BP平分∠EBF（或EF平分∠BED），
理由如下：在▱EBFD中，ED∥BF，
∴∠EDB=∠FBD．
∵BP平分∠EBF，
∴∠EBD=∠FBD．
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∴四边形EBFD是菱形.
（3）解：①如图2，当BE=DE时，设BE=DE=x，则AE=8−x．
在Rt△ABE中有：(8−x) 2+42=x2，解得：x=5．此时AE=8−x=3．
②如图3，当BE=DF时，
∵EF⊥BC，AD∥BC，
∴∠BFE=∠≝=90°，
∵EF=EF，
∴△BEF≌△DFE．
∴DE=BF，
∵EF⊥BC，矩形ABCD，
∴四边形CFED为矩形，
∴DE=CF，
∴BF=FC=4，
此时AE=ED=4．不合题意，舍去．
如图3，当BF=DE时，同理可得：AE=BF=DE=4．
不合题意，舍去．
③如图4，当BF=DF时，设BF=DF=a，则CF=8−a
在Rt△CDF中有，(8−a) 2+42=a2，
解得：a=5．
同理可得：AE=BF=a=5．
综上所述，AE的长为3或5．
【考点剖析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱
形的判定，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.考点讲练六 证明四边形是菱形
【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是
∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE=BF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若∠A=60°，AB=2，求平行线AD与BC间的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平行线AD与BC间的距离为❑√3．
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，
平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠ABC=∠ADC，AD∥BC，通过平行线的性质可得
1
∠BEA=∠EBF，∠ADF=∠CDF，再由角平分线定义可得∠EBF=∠ABE= ∠ABC，
2
1
∠ADF=∠CDF= ∠ADC，所以∠EBF=∠CDF，从而证明BE∥DF，四边形BFDE是平行四边形，
2
然后通过邻边相等的平行四边形即可求证；
1
（2）过B作BH⊥AD于点H，则∠AHB=90°，则有∠ABH=90°−∠A=30°，得AH= AB=1，
2
通过勾股定理求出BH=❑√AB2−AH2=❑√22−12=❑√3即可．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠BEA=∠EBF，∠ADF=∠CDF，
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
1 1
∴∠EBF=∠ABE= ∠ABC，∠ADF=∠CDF= ∠ADC，
2 2
∴∠EBF=∠CDF，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，∵BE=BF，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：如图，过B作BH⊥AD于点H，则∠AHB=90°，
∴∠ABH=90°−∠A=30°，
1
∴AH= AB=1，
2
∴BH=❑√AB2−AH2=❑√22−12=❑√3，
∴平行线AD与BC间的距离为❑√3．
【变式训练1】（2023·湖南长沙·二模）在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE=BD，过点E
作EF∥BD交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形BEFD是菱形；
(2)连接BF，若BC=3，CD=4，求线段BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√5
【思路引导】本题考查了菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，矩形的
性质以及勾股定理是解题的关键．
（1）由矩形的性质得到BE∥DF，结合EF∥BD，BE=BD即可证明四边形BEFD是菱形；
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD，然后根据菱形的性质得到DF=BD=5，再利用勾股定理在
Rt△ABF中，求得BF．
【规范解答】（1）证明：由矩形可得BE∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵BE=BD，∴平行四边形BEFD是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC=3，AB=CD=4，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2+AD2=5，
由（1）得四边形BEFD是菱形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD+DF=8，
在Rt△ABF中，BF=❑√AB2+AF2=❑√42+82=4❑√5．
【变式训练2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD
的中点，连结AF、CE，且AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，连接EG、FH．
(1)求证：EH=FG；
(2)当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定；熟练掌握以
上知识是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质可得AB=CD,AB∥CD，根据点E、F分别是边AB、CD的中点，可得
AE=BE=CF=DF，则四边形AECF是平行四边形，进而证明△BEH≌△DFG(ASA)，得出EH=FG，
即可得证；
(2)根据(1)的结论得出四边形GFHE是平行四边形，根据已知可得GH⊥EF，即可证明四边形EHFG是
菱形．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
1 1
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
2 2
∴AE=BE=CF=DF，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴∠AFD=∠FCH，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，∠EBH=∠FDG，
∴∠DFG=∠BEH，
又∵BE=DF，
∴△BEH≌△DFG(ASA)，
∴EH=FG．
（2）连接EF，
由（1）知，EH=FG，EH∥FG，
∴ EHFG
四边形 是平行四边形，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE=DF，
∵AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形EHFG是菱形．
考点讲练七 根据菱形的性质与判定求角度
【典例分析】如图，在▱ABCD中，∠ABC 的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交
BC于点G，连接EG，CF．
(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√7
【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定
和性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理
是解题的关键．
（1）先证明AB=AE，利用ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，证出四边形
ABGE是平行四边形，即可得出结论；
1
（2）过点F作FM⊥BC于点M，由菱形的性质得出∠GBE= ∠ABC=30°，BG=AB=4，
2
BC=AD=5，在Rt△BFG中，求出BF=2❑√3，在Rt△BFM中，求出FM=❑√3，再求出BM=3，得出
CM=BC−BM=5−3=2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的长．
【规范解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠GFB=90°，
在△ABF和△GBF中，
{∠ABF=∠GBF
)
BF=BF ，
∠AFB=∠GFB
∴△ABF≌△GBF(ASA)，
∴AB=GB，
∴AE=GB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
又∵AB=GB，
∴四边形ABGE是菱形；
（2）解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，∵四边形ABGE是菱形，∠ABC=60°，AB=4，AD=5，
1
∴∠GBE= ∠ABC=30°，∠BFG=90°，BG=AB=4，BC=AD=5，
2
1 1
在Rt△BFG中，FG= BG= ×4=2，BF=❑√BG2−FG2=❑√42−22=2❑√3，
2 2
1 1
在Rt△BFM中，FM= BF= ×2❑√3=❑√3，BM=❑√BF2−FM2=❑√(2❑√3) 2 −(❑√3) 2=3，
2 2
∴CM=BC−BM=5−3=2，
在Rt△FMC中，CF=❑√FM2+CM2=❑√(❑√3) 2+22=❑√7，
∴CF的长为❑√7．
【变式训练1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，
每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中
完成）
(1)以AB、BC为边画平行四边形ABCD；
(2)在（1）中所画平行四边形ABCD的面积为________；
(3)点E为边AB与网格线的交点，请在AC上确定一点G，使得∠CGB=∠AGE．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)15；
(3)图见解析
【思路引导】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识
点，是解题的关键：
（1）利用平移思想，点C向左移动4个单位长度，向上移动1个单位长度，得到格点D，连接AD,CD，即可；
（2）连接BD，易得平行四边形ABCD为菱形，勾股定理求出AC,BD的长，再利用面积公式进行计算即
可；
（3）连接DE，交AC于点G，连接BG，即可，根据菱形的对称性，得到∠CGD=∠CGB，对顶角得到
∠CGD=∠AGE，即可得到∠CGB=∠AGE．
【规范解答】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；
（2）解：观察可知，AB=BC=❑√42+12=❑√17，
∴平行四边形ABCD为菱形，
连接BD，如图，
由勾股定理，得：AC=❑√32+32=3❑√2，BD=❑√52+52=5❑√2，
1
∴S = ×3❑√2×5❑√2=15；
ABCD 2
（3）解：连接DE，交AC于点G，
如图，点G即为所求：
【变式训练2】（24-25八年级下·重庆永川·期末）在平行四边形ABCD中，AC为对角线，且∠B=60°，∠BAD=2∠ACB，E为平面上的一点．
(1)如图1，若AE⊥BC，垂足为点E，CE=1，求AD的长；
(2)如图2，若点E在边BC上，且∠AEB=75°，CE=a，求AD的长；
(3)如图3，若点E在对角线BD所在直线上，EF∥AB交BC于点F，点G是CE的中点，连接
FG，AG，AF，求证：AG=❑√3FG．
【答案】(1)AD=2
(2)(❑√3+2)a
(3)见解析
【思路引导】（1）先证明平行四边形ABCD是菱形，得出△ABC是等边三角形，进而根据等边三角形的
性质，即可求解；
（2）过点E作EF⊥BC交AC于点F，由（1）可得△ABC是等边三角形，得出∠EAF=15°=∠AEF则
AF=EF，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得FC,EF，即可求解；
（3）延长FG交CD于点H，连接AH，倍长中线法证明△EFG≌△CHG(AAS)，进而证明
△ABF≌△ACH(SAS)，即可证明△FAH是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理即可得证．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠BAD=2∠ACB，
∴∠BAD=2∠DAC=∠DAC+∠BAC
∴∠DAC=∠BAC
∴∠ACB=∠BAC
∴AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，
1 1
∴BE=CE= BC= AD
2 2
∵CE=1，
∴AD=2；
（2）解：如图，过点E作EF⊥BC交AC于点F，
则∠FEC=90°
由（1）可得△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°
∵∠AEB=75°，
∴∠AEF=180°−∠AEB−∠FEC=15°
又∠AEB=∠ACB+∠EAF=75°
∴∠EAF=15°=∠AEF
∴AF=EF
∵EC=a
∴FC=2EC=2a，AF=EF=❑√FC2−EC2=❑√3a，
∴AD=BC=AC=AF+FC=(❑√3+2)a，
（3）证明：如图，延长FG交CD于点H，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD∵EF∥AB
∴EF∥CH
∴∠HCG=∠FEG,∠EFG=∠CHG，
又∵点G是CE的中点，
∴¿=GC
∴△EFG≌△CHG(AAS)
∴FG=GH，HC=EF，
∵点E在对角线BD所在直线上，
1
∴∠FBE= ∠ABC=30°，
2
∴∠ABE=30°
又∵EF∥AB
∴∠BEF=∠ABE=30°
∴∠FBE=∠FEB
∴FB=FE
∴CH=BF
又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠B=60°,AD=DC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACH=∠ABF=60°
又∵AB=AC
∴△ABF≌△ACH(SAS)
∴AF=AH,∠BAF=∠CAH
∴∠FAH=∠CAH+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60°
∴△FAH是等边三角形
∵FG=GH
∴AG⊥FG
1
∴FG= AF
2
∴AG=❑√AF2−FG2=❑√3FG ,
即AG=❑√3FG．
【考点剖析】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长
【典例分析】如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：① AB∥CD；
②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC，其中正确的结论是 (把你认为正确的结论的序号都填上)．
【答案】①②④
【思路引导】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，
对应边相等．根据轴对称的基本性质可知．
【规范解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，
则AD=AB，∠DAC=∠BAC，∠DAC=∠BCA，
则∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴AD=BC，
所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：
AB∥CD，故①正确；
AB=BC，故②正确；
AC⊥BD，故③错误；
AO=OC，故④正确．
故正确的有：① ② ④．
【变式训练1】如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展
开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AE=10cm，CD=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)128cm2
【思路引导】本题考查的是矩形的折叠，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和特
殊四边形的性质是关键．
（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF(ASA)，即可得AE=CF，则可证得
四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
（2）根据菱形的性质得到CE=AE=10cm，根据勾股定理得到DE=6cm，得到AD=AE+DE=16cm，
即可求出矩形的面积．
【规范解答】（1）证明：四边形AFCE的形状是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC,AC⊥EF，
∵在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO
)
OA=OC ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴CE=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=90°，
∴DE=❑√CE2−CD2=❑√102−82=6(cm)，
∴AD=AE+DE=16cm，
∴矩形纸片ABCD的面积为AD⋅CD=16×8=128(cm2)．【变式训练2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）【定义】对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“
60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，∠AOB=60°．
【判定探究】下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是 ．（填序号）
①对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形；
②对角线所夹锐角为60°的矩形；
③对角线所夹锐角为60°的平行四边形．
【性质探究】以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，判断AB+CD与AC的大小关
系是AB+CD AC（填“>，<，≥或≤”），并说明理由；
【学习应用】若“60°等角线四边形”的对角线长为2，AD+BC的最小值为 ．
【答案】[判定探究]①②；[性质探究]≥；[学习应用] 2❑√3
【思路引导】[判定探究]根据定义即可求解．
[性质探究]证明四边形DBEC是平行四边形，根据AB+BE≥AE即可求解；
[学习应用]先构造平行四边形BDEC，可得对应线段相等，再求出∠ACE=120°，构造直角三角形求出
AH=❑√22−12=❑√3，即可得出答案；
【规范解答】解：[判定探究]
①对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，
故①是“60°等角线四边形”．
②对角线所夹锐角为60°的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“60°等角线四边形”；
∵对角线所夹锐角为60°的平行四边形的对角线不一定相等，
∴不能判断③是“60°等角线四边形”；
故答案为：①②；
[性质探究] ∵ △ACE是等边三角形
∴AE=EC=AC，∠ACE=60，
∵∠AOB=∠ACE=60，∴DB∥EC，
∵ DB=AC，
∴DB=EC，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴BE=DC，
∵△ABE中，AB+BE≥AE，
即AB+CD≥AC；
[学习应用]如图，过C作CE∥BD，且CE=BD，连接DE，AE，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∴DE=BC，AC=BD=CE．
∵“60°等角线四边形”的对角线长为2，
∴∠AOB=60°，AC=BD=2
∴∠COD=60°．AC=CE
∵BD∥CE，
∴∠ACE=180°−60°=120°．
过点C作CH⊥AE，交AE于点H，
∵AC=CE，CH⊥AE，
1 1
∴∠ACH= ∠ACE= ×120°=60°，HE=AH，
2 2
在Rt△ACH中，∠HAC=90°−60°=30°，
1 1
则CH= AC= ×2=1，
2 2
∴AH=❑√22−12=❑√3，∴HE=❑√3，
∴AD+BC=AD+DE≥AE=2HE=2❑√3，
∴AD+BC的最小值为2❑√3，
【考点剖析】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性
质与判定，中点四边形性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三边关系，掌握特殊四边形的性质与
判定是解题的关键．
考点讲练九 根据菱形的性质与判定求面积
【典例分析】（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，在▱ABCD中，DB=DA，F是AB的中点，
连接DF并延长，交CB的延长线于点F，连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形．
(2)若DC=2，BC=3，求△EDC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√2
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性
质与判定，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）可证明△ADF≌△BEF(AAS)，得到AD=BE，则可证明四边形AEBD是平行四边形，再由
DB=DA，即可证明平行四边形AEBD是菱形；
（2）由平行四边形的性质和菱形的性质可推出BE=BC=3，DE⊥CD，再利用勾股定理求出DE的长，
最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAD=∠FBE，∠FDA=∠FEB，∵F是AB的中点，
∴FA=FB，
∴△ADF≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE，
又∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DB=DA，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AD=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴BE=BC=3，CD⊥DE，
∴CE=BE+BC=6，
∴DE=❑√CE2−CD2=4❑√2，
1 1
∴S = CD⋅DE= ×2×4❑√2=4❑√2．
△CED 2 2
【变式训练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，
按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．
(1)作菱形AMNP，使点M，N、P在边AB、BC、CA上；
(2)若∠C=90°,∠A=60°,AC=3时，则菱形AMNP的面积为___________．
【答案】(1)见解析；
(2)2❑√3．
【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的
关键．
（1）先作∠CAB的角平分线，交BC于点N，再作AN的垂直平分线，分别交AC,AB于点P,M，连接
PN,MN，则四边形AMNP即为所求菱形；（2）结合菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理求出AP,NC的长，根据菱形的面积公式
可得答案．
【规范解答】（1）解：如图，菱形AMNP即为所求；
（2）解：∵四边形AMNP是菱形，
∴PN∥AM,PA=PN，
∴∠CPN=∠CAB=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CNP=30°，
∴PN=2PC，
∴AP=2PC，
∵AC=3，
∴AP=PN=2，PC=1，
∴CN=❑√PN2−PC2=❑√3，
∴菱形AMNP的面积=AP⋅NC=2❑√3，
故答案为：2❑√3．
【变式训练2】（24-25八年级下·吉林·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规
作图过程．
已知：△ABC．求作：菱形AEDF使点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上．
作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F；
③连接DE，DF．
所以四边形AEDF为所求的菱形．(1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)若∠BAC=60°，AD=2❑√3，则四边形AEDF的周长为______，它的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)8，2❑√3
【思路引导】（1）根据小明的作法，按照尺规作图的要求补全图形即可；
1 1
（2）由AE=AF，∠BAC=60°，证明△AEF是等边三角形，则EI=FI= EF= AE，所以AE=2EI，
2 2
由AD=2❑√3，得AI=DI=❑√3，由AI=❑√AE2−EI2=❑√3EI=❑√3，求得EI=1，则EF=AE=2EI=2，
1
所以AE+DE+AF+DF=4 AE=8，S = AD⋅EF=2❑√3，于是得到问题的答案．
四边形AEDF 2
【规范解答】（1）解：根据小明的作法补全图形如图所示，
理由：设EF交AD于点I，
∵EF垂直平分AD，交AB于点E，交AC于点F，
∴AE=DE，AF=DF，∠AIE=∠AIF=90°，
∵AD平分∠BAC，交BC于点D，
∴∠EAI=∠FAI，
∵∠AEI+∠EAI=90°，∠AFI+∠FAI=90°，
∴∠AEI=∠AFI，
∴AE=AF，
∴AE=DE=AF=DF，∴四边形AEDF为所求的菱形
（2）解：∵AE=AF，∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF，
∵AD⊥EF，
1 1
∴EI=FI= EF= AE，
2 2
∴AE=2EI，
∵AD=2❑√3，
1
∴AI=DI= AD=❑√3，
2
∵AI=❑√AE2−EI2=❑√(2EI) 2−EI2=❑√3EI=❑√3，
∴EI=1，
∴EF=AE=2EI=2，
1 1
∴AE+DE+AF+DF=4 AE=8，S = AD⋅EF= ×2❑√3×2=2❑√3，
四边形AEDF 2 2
∴四边形AEDF的周长为8，它的面积为2❑√3，
故答案为：8；2❑√3．
【考点剖析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角
的余角相等、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出图形并且证明
△AEF是等边三角形是解题的关键．
【演练1】（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，延长CB至点E，延长AD
至点F，连接AE，CF．若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
39 39 21
A．9 B． C． D．
8 4 2
【答案】C【思路引导】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质
是关键．根据菱形的性质得到AF=AE=EC=FC，由矩形的性质得到CD=AB=3，AD=BC=2，
∠D=90°，设DF=x，则在Rt△CFD中，AF=AD+DF=2+x,则CF=AF=2+x,利用勾股定理求出
5 5 13
x= ，即DF= ．得到AF=2+x= ，根据菱形的面积求出答案即可．
4 4 4
【规范解答】解：∵四边形AECF为菱形，
∴AF=AE=EC=FC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=2，∠D=90°，
设DF=x，则在Rt△CFD中，AF=AD+DF=2+x,
∴CF=AF=2+x,
∵DC2+DF2=CF2，
即32+x2=(2+x) 2，
5
∴x= ，
4
5
即DF= ．
4
13
∴AF=2+x= ，
4
13 39
∴菱形的面积为AF⋅CD= ×3= ，
4 4
故选：C
【演练2】（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的
中点，且AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．
【答案】(1)见详解
(2)❑√7【思路引导】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得AE=EC，进而由菱
形的判定定理得结论；
（2）根据（1）可得CE=BE=AE=2，BC=4，证明∠BAC=90°，再根据勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵点E是BC的中点，
∴BC=2CE，
∵BC=2AD，
∴CE=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECD为菱形；
（2）解：∵AE=2，
根据（1）可得CE=BE=AE=2，BC=4，
∴∠ACE=∠EAC，∠ABE=∠EAB，
∵∠ACE+∠ABE+∠EAC+∠EAB=180°，
∴∠BAC=∠EAC+∠EAB=90°，
∵AB=3，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√42−32=❑√7．
【考点剖析】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股
定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆
1
心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画
2
弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S = ．
△ABH【答案】7
【思路引导】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．
作HI⊥AB交AB于I，根据菱形的性质可知HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，即HI=OH=2，
进而根据三角形面积公式计算即可．
【规范解答】如图，作HI⊥AB交AB于I，
∵菱形ABCD，
∴BD⊥AC，即HO⊥AC，
由作图可知AG平分∠BAC，
∴HI=OH=2，
1 1
∴S = ×AB×HI= ×7×2=7，
△ABH 2 2
故答案为：7．
【演练4】（2024·吉林·中考真题）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将
△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②．
(1)求证：四边形AB′C′D是菱形；
(2)四边形ABC′D′的周长为______；(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出
所有可能拼成的矩形周长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√3
(3)矩形周长为6+❑√3或2❑√3+3
【思路引导】（1）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；
（2）先证明四边形ABC′D′是菱形，再根据边长AB=❑√3AD=❑√3，即可得到四边形ABC′D′的周长；
（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长即可．
【规范解答】（1）证明：∵矩形ABCD，∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，AD∥BC，AD=BC，
由平移可得，B′C′=BC，BC∥B′C′，
∴AD∥B′C′，B′C′=AD，
∴四边形AB′C′D是平行四边形，
∵B′为BD中点，
1
∴Rt△ABD中，AB′= BD=DB′
，
2
又∵∠ADB=60°，
∴ △ADB′是等边三角形，
∴AD=AB′ ，
∴四边形AB′C′D是菱形；
（2）解：如图，连接AC，
由平移可得，AB=C′D′，∠ABD′=∠C′D′B=30°，
∴ AB∥C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
由（1）可得，AC′⊥B′D，
∴四边形ABC′D′是菱形，
∵BD=2AD=2，则由勾股定理得：
AB=❑√BD2−AD2=❑√3，
∴四边形ABC′D′的周长为4❑√3，
故答案为：4❑√3；
（3）解：将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：
∴矩形的周长为6+❑√3或2❑√3+3．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，直角三角形
的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【演练5】（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC
的延长线于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不
写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析【思路引导】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
1
（2）先证明四边形CDBF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出CD=BD= AB，最
2
后根据菱形的判定即可得证．
【规范解答】（1）解：如图，
；
（2）证明：∵∠ECM=∠A，
∴CM∥AB，
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
1
∴CD=BD= AB，
2
∴平行四边形CDBF是菱形．
基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，△ABC为等腰三角形．如果把它沿底边BC翻折后，得到
△DBC，那么四边形ABDC为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对
【答案】B【思路引导】此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形．
根据等腰三角形的性质可得AB=AC，再根据折叠可得BD=AB，AC=DC，进而得到
AB=BD=DC=AC，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案．
【规范解答】解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴AB=DB，AC=DC，
∵AB=AC，
∴AB=AC=DC=DB，
∴四边形ABDC为菱形．
故选：B．
2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，
则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相
垂直且平分．根据菱形的性质：对角线互相平分且垂直，得出两条对角线的一半为3cm与4cm，再利用勾
股定理可求出菱形边长，从而得解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，设对角线AC、BD交于点O，
且对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，
∴AC⊥BD
1
∴OA=OC= AC=3cm，
2
1
OB=OD= BD=4cm，
2
∴AB=❑√OA2+OB2=5cm，
∴菱形ABCD的周长为：4×5=20(cm)．
故选：C．
3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，AC为菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，若
∠EAC=25°，则∠ADC度数为（ ）A．30° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【思路引导】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据AE⊥BC，∠EAC=25°，得出∠ECA=90°−∠EAC=65°，因为四边形ABCD是菱形，故
BC∥AD，∠BCD=130°，即可作答．
【规范解答】解：∵AE⊥BC，∠EAC=25°，
∴∠ECA=90°−∠EAC=90°−25°=65°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠BCD=2∠ECA=130°，
∴∠ADC=180°−∠BCD=180°−130°=50°，
故选：B．
4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB,CD上，且AM=CN，
MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．34° B．54° C．62° D．72°
【答案】B
【思路引导】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及AM=CN，利用
ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，AD∥BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∠BCA=∠DAC，
在△AMO和△CNO中，
{∠MAO=∠NCO
)
AM=CN ，
∠AMO=∠CNO
∴△AMO≌△CNO(ASA)，
∴AO=CO，
又∵AB=BC，
∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，
∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC=36°，
∴∠OBC=90°−36°=54°．
故选：B．
5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，
AF=EC，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形AECF是菱形．
【答案】AE=AF（答案不唯一）
【思路引导】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理
是解题的关键．根据矩形的性质得到AD∥BC，即AF∥CE，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱
形的判定定理即可得到结论．
【规范解答】解：这个条件可以是AE=AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AF∥CE，
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE=AF（答案不唯一）．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O．若
AB=❑√6，AO=❑√2，OB=2，则四边形ABCD是 ．判定的依据是
．
【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【思路引导】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键．根据△ABO中三边的长度，利用勾股逆定理证明∠AOB=90°，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱
形可得答案．
【规范解答】解：∵在△AOB中，AB=❑√6，AO=❑√2，OB=2，
∴AO2+OB2=(❑√2) 2+22=6，
又∵AB2=(❑√6) 2=6，
∴AO2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足
为E，AC=8，BD=6，则OE的长为 ．
12
【答案】
5
【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股
定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【规范解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
1 1
在Rt△ADO中，由等积法得： AO⋅DO= AD⋅OE，
2 2
AO·DO 3×4 12
∴OE= = = ，
AD 5 5
12
故答案为： ．
5
8．如图，线段AC是矩形ABCD的对角线，利用尺规作图的方法分别在CD，AB上找一点E，F，连接
AE，CF，使得四边形AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析
【思路引导】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定．作AC的垂直平分线分
别交边AB，CD于点E，F，则四边形AECF是菱形．
【规范解答】解：如图所示，点E,F即为所求．
由作图知，EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD
∴∠ECO=∠FAO，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形．
9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点
A，B作AE∥BD，BE∥AC，连接CE交BD于点F．
(1)求证：△BEF≌△OCF；
(2)当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由．【答案】(1)见解析
(2)∠ABC=90°，理由见解析
【思路引导】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边
形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是平行四边形得OA=OC，证明四边形OAEB是平行四边形，则有OA=BE=OC，
然后根据AAS证明△BEF≌△OCF即可；
（2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OA=OB，即可得出四边形OAEB为菱形．
【规范解答】（1）证明：▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，
∴OA=OC，四边形OAEB是平行四边形，∠BEF=∠OCF，
∴OA=BE，
∴BE=OC，
在△BEF和△OCF中，
{∠BEF=∠OCF
)
∠BFE=∠OFC ，
BE=CO
∴△BEF≌△OCF(AAS)．
（2）解：当∠ABC=90°时，四边形OAEB为菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，
∵ AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OAEB是平行四边形，
∴四边形OAEB为菱形．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，以AB，BD为
邻边作▱ABDE，DE与AC交于点O，连接EC．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形ADCE是
菱形．
①EC=DC ②CA
平分∠DCE ③
∠BAC=90°(1)你选择的补充条件是____________（填序号）．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形ADCE是菱形．
【答案】(1)①
(2)见解析
【思路引导】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意
选择条件即可；
（2）根据AD为BC边上的中线，得到BD=CD，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可
得到结论．
【规范解答】（1）解：（答案不唯一）①．
（2）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD．
在▱ABDE中，AE=BD，AE∥BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵EC=DC，
∴四边形ADCE是菱形．
创新拓展 拔尖冲刺
1．如图，已知在平面直角坐标系中，A(−1,0)、B(2,0)，菱形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，则点D的
坐标为（ ）
A．(−3,3) B．(−❑√5,−❑√5) C．(−3,❑√5) D．(−❑√5,3)【答案】C
【思路引导】主要考查菱形的性质、平面直角坐标系中两点间距离公式、勾股定理等相关知识点．解题的
关键在于熟练掌握菱形的性质，两点间距离公式，根据勾股定理准确计算．根据A、B两点的坐标求出AB
的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出OC的长度，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点D的
坐标．
【规范解答】∵A(−1,0)、B(2,0)
∴AB=|2−(−1))=3
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=3
∵B(2,0)
∴OB=2
在Rt△BOC中，由勾股定理可得OC=❑√BC2−OB2=❑√32−22=❑√9−4=❑√5
∴C(0,❑√5)
∵四边形ABCD为菱形
∴AB∥CD，AB=CD=3且点C坐标为(0,❑√5)，
∴C =D =❑√5
y y
|D )=AB=3
x
∵D点在第二象限
∴D点坐标为(−3,❑√5)
故答案为C．
2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AC⊥BD．
若∠ABC=60°，BC=4，则BD的长为（ ）．
A．4 B．8 C．4❑√3 D．2❑√3【答案】C
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解
题意，掌握相关的性质是解题的关键．
根据题意得出四边形ABCD是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出OC=2，结合
勾股定理求解即可．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
1
∴OB= BD，
2
∵∠ABC=60°，
∴∠CBO=∠ABO=30°，
∵BC=4，
∴OC=2，
∴OB=❑√BC2−OC2=2❑√3，
∴BD=2OB=4❑√3，
故选：C．
3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，BD，AC是▱ABCD的对角线，过点A作AE⊥AC，交CD
的延长线于点E，则添加下列条件，不能使▱ABCD为菱形的是（ ）
A．CD=ED B．∠EAD=∠CAD C．AC⊥BD D．∠ADE=2∠CAD
【答案】B
【思路引导】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形ABCD为菱形．
【规范解答】解：A、∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵CD=ED，
∴AB=ED，ABDE是平行四边形．
∴BD∥AE．
∵AE⊥AC，∴▱ABCD是菱形，不符合题意．
B、∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°．
∵∠EAD=∠CAD，
∴只能说明AD是∠EAC的角平分线，无法推出ABCD的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符
合题意．
C、AC⊥BD，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定ABCD是菱形，不符合题意．
D、由三角形外角性质，∠ADE=∠CAD+∠ACD，
∵ ∠ADE=2∠CAD，
∴ ∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∴▱ABCD是菱形，不符合题意．
故选：B．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分
“能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系．
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且
AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=
【答案】4.8
【思路引导】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出BC，进而利
用菱形的面积公式解答即可．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC,OC=OA,OB=OD，
∵AC=6，DB=8，
∴OC=3，OB=4，
∴BC=❑√OB2+OC2=❑√9+16=5，
1
∵S = ×AC×BD=BC×AE，
菱形ABCD 26×8
∴AE= =4.8
2×5
故答案为：4.8．
5．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A和D作BC的垂线，
分别交BC和BC的延长线于点E、F，连接OE，若AB=13,DF=5，则OE的长度为 ．
❑√26
【答案】
2
【思路引导】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根
据四边形ABCD是菱形，得到AD∥BC，AB=BC=AD=CD=13，OA=OC，再证明四边形AEFD是
矩形得到AE=DF=5，根据勾股定理求出BE=❑√AB2−AE2=12，AC=❑√AE2+CE2=❑√26，再根据直
1 ❑√26
角三角形斜边中线的性质得到OE= AC= ．
2 2
【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=AD=CD=13，OA=OC
∵过点A和D作BC的垂线，
∴∠AEF=∠EFD=∠EAD=90°，
∴四边形AEFD是矩形；
∴AE=DF=5，
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√132−52=12，
∴CE=BC−BE=13−12=1，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√52+12=❑√26，
∵OA=OC，∠AEC=90°，
1 ❑√26
∴OE= AC= ，
2 2
❑√26
故答案为： ．
26．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC，交BC于点E．若AC=4，BD=6，则CE的长度是 ．
8❑√13
【答案】
13
【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，利用勾股定理求得边长BC，等面积法求得AE，在Rt△ACE中，通过勾股定理即可求
解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，OC= AC，OB= BD．
2 2
∵AC=4，BD=6，
∴OC=2，OB=3，
∴BC=❑√OC2+OB2=❑√13．
∵AE⊥BC，
1
∴菱形ABCD的面积为BC⋅AE= AC⋅BD，
2
1
∴❑√13AE= ×4×6，
2
12❑√13
∴AE= ，
13
8❑√13
∴CE=❑√AC2−AE2=
．
13
8❑√13
故答案为： ．
13
7．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一
个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这
两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：(1)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，
保留作图痕迹）；
(2)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF=AE．求证：平行
四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC
∴∠AFB=90°，∠AED=90°
∴____________________①．
∵四边形ABCD为平行四边形
∴____________________②．
在△ABF与△ADE中
{∠AFB=∠AED
)
∠B=∠D
③
∴△ABF≌△ADE(AAS)
∴____________________④．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成立．
因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如
果这个顶点到这两边的距离相等，那么__________⑤，则可证明该平行四边形是菱形．．
【答案】(1)见解析
(2)∠AFB=∠AED；∠B=∠D；AF=AE；AB=AD；该平行四边形是菱形
【思路引导】本题考查了菱形的性质，作垂线段，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
（2）根据菱形的定义证明．
【规范解答】（1）解：如图，点F即为所求；（2）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF=AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB=90°，∠AED=90°．
∴∠AFB=∠AED．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D．
在△ABF与△ADE中，
{∠AFB=∠AED
)
∠B=∠D ，
AE=AF
∴ △ABF≌△ADE(AAS)，
∴AB=AD．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．
因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，那么该平行
四边形是菱形．
故答案为：∠AFB=∠AED，∠B=∠D，AB=AD．AE=AF，该平行四边形是菱形．
8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，
OA=OC，AB=BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，
若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)AG，AE，FC，DE
【思路引导】（1）首先证明出△AOD≌△BOC(ASA)，得到AD=BC，然后结合AB=BC即可证明；
（2）首先由菱形的对称性得到AE=CE；然后证明出△ABC，△ACD是等边三角形，得到
∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，求出
1
∠ACH=∠HCD=∠ODC= ×60°=30°，得到CE=DE；然后求出∠CFE=∠FEC， 得到
2
CF=CE；然后求出∠AGF=∠AFG，得到AG=AE，进而求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵OA=OC，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴点A和点C关于BD所在直线对称，
∴AE=CE；
∵AB=AC，AB=BC，
∴AB=BC=AC=AD=CD，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵CH⊥AD，OD⊥AC，
1
∴∠ACH=∠HCD=∠ODC= ×60°=30°，
2
∴CE=DE；
∵∠FEC=75°，
∴∠AFG=∠CFE=180°−∠FEC−∠FCE=75°，
∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE；
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠AEC=180°−∠EAC−∠ECA=120°，
∴∠AEG=∠AEC−∠FEC=45°，
∵∠AGF=180°−∠BAC−∠AFG=45°，
∴∠AGF=∠AEG，
∴AG=AE，
∴AG=CE；
综上所述，与线段CE相等的线段有AG，AE，FC，DE．
【考点剖析】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全
等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平
分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
(1)求证：四边形ABFE是菱形；
(2)若∠ABC=90°，如图2所示：求证：∠ADO=∠BCO．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【思路引导】（1）先证四边形ABFE是平行四边形，再证出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形ABFE是正方形，四边形
EFCD是矩形，得到DE=CF，然后推出△BFE是等腰直角三角形，△OEF是等腰直角三角形，得到
OE=OF，最后证明△OED≌△OFC(SAS)，得出结论．
【规范解答】（1）证明：∵AD∥BC，EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，∵AD∥BC，
∴∠FBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
由（1）可知：四边形ABFE是菱形，
又∵∠ABC=90°，
∴菱形ABFE是正方形，
∴∠BFE=∠EFC=90°，BF=EF，∠BEF=45°，
∴∠EFC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，∠FED=90°，
∵BF=EF，∠BEF=45°，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∵点O是BE的中点，
1
∴OF=OE=OB= BE，
2
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OFE=∠BEF=45°，
∴∠OED=∠BEF+∠FED=45°+90°=135°，∠OFC=∠OFE+∠EFC=45°+90°=135°，
∴∠OED=∠OFC=135°，
{
OE=OF
)
在△OED和△OFC中， ∠OED=∠OFC ，
DE=CF
∴△OED≌△OFC(SAS)，
∴∠ADO=∠BCO．
【考点剖析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性
质和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定与性质，能综合运用以上知识点是解此题的关键．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，
点D从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向
点B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0
