专题21.3.1 矩形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：矩形的定义..............................................................................................................................................................2
知识点二：矩形的性质..............................................................................................................................................................2
知识点三：矩形的判定..............................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 矩形性质理解.......................................................................................................................................................3
考点讲练二 利用矩形的性质求角度....................................................................................................................................6
考点讲练三 根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................8
考点讲练四 根据矩形的性质求面积..................................................................................................................................10
考点讲练五 利用矩形的性质证明......................................................................................................................................13
考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标.............................................................................................................................17
考点讲练七 矩形与折叠问题................................................................................................................................................20
考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半........................................................................................................................22
考点讲练九 矩形的判定定理理解......................................................................................................................................25
考点讲练十 添一条件使四边形是矩形.............................................................................................................................28
考点讲练十一 证明四边形是矩形......................................................................................................................................30
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度...............................................................................................................33
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长..........................................................................................................38
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积...............................................................................................................40
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................44
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................50
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................50
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................57知识点一：矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【易错点拨】
（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：
①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二：矩形的性质
性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线
分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之
和.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出
四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
考点讲练一 矩形性质理解
【典例分析】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=7，点E在边
BC上，且BE=3，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动．作
∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运
动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，求线段PQ的长________；
(2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
(3)作点E关于直线PQ的对称点F，当点P运动到AB上，且点F恰好也落在边AB上时，直接写出此时t的
值．
【答案】(1)5
(2)等腰直角三角形，见解析
31
(3)
8
【思路引导】（1）连接BQ，求出QE=AB=4，BE=3由勾股定理可得 PQ=5；
（2）过点P作 PH⊥BC于点H，推导出四边形ABHP是矩形推导出PH=EC，证得
△PHE≌△ECQ(ASA)，得到PE=QE，进而得到△PQE是等腰直角三角形；
（3）当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意， 由PE2=PB2+BE2建立方程，解方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：连接BQ，如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，
∴QE=AB=4，BE=3，
在Rt△QBE中，PQ=❑√BE2+QE2=❑√32+42=5，
故答案为：5；
（2）解：△PQE是等腰直角三角形，理由如下：
如图2，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHE=∠ECQ=90°，
∴∠HPE+∠HEP=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠QEC+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠QEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BHP=90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴PH=AB=4，AP=BH
又∵EC=BC−BE=7−3=4，
∴PH=EC，
∴△PHE≌△ECQ(ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE是等腰直角三角形；
（3）解：当P点在AB上时，∵点E关于直线PQ的对称点F，
∴PE=PF，QE=QF，
∵PQ=PQ，
∴△PFQ≌△PEQ(SSS)，
∴∠PFQ=∠PEQ=90°，
∴当F，A重合时，当点F恰好落在边AB上，如图4，
∴PB=t−BE=t−3，PE=AP=AB−PB=4−(t−3)=7−t，
在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2，
∴(7−t) 2=(t−3) 2+32，
31
解得t= ．
8
【考点剖析】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定
理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延
长BC至点F，使CF=BE，连接DE，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若DE=10，BC=8，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)48
【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质
定理是解题的关键．
（1）由CF=BE，可得EF=BC，即EF=AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结
合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；
（2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：在▱ABCD中AD∥BC，AD=BC，CD=AB，
∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC，
∴EF=BC，
∴EF=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠DAE=90°，AD=BC=8，
∴AE2+82=102，
∴AE=6，
∴ ▱ABCD的面积=BC⋅AE=8×6=48．
考点讲练二 利用矩形的性质求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形ABCD．
(1)只利用圆规在边AD上找一点E，使得EC平分∠BED，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接CE，请探究∠AEB与∠DCE的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)∠AEB=2∠DCE
【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）设∠CED=∠CEB=α，分别表示出∠AEB,∠DCE，即可求解．
【规范解答】（1）解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ECB，
∵BE=BC，
∴∠ECB=∠CEB，
∴∠CED=∠CEB即EC平分∠BED，
（2）解：设∠CED=∠CEB=α，
∴∠AEB=180°−∠CEB−∠CED=180°−2α，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∴∠DCE=90°−α，
∴∠AEB=2∠DCE．
【变式训练】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E
作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC=α，则∠BAF的度数为（ ）
α α
A．2α−90° B．45°+ C．45°− D．90°−α
2 2
【答案】A
【思路引导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形
外角的性质．延长AE,BC交于点G，证明△ADE≌△GCE，可得AE=≥¿，从而得到AF=FG，进而得到∠EAF=∠G，然后根据余角的性质可得∠CEF=∠G=90°−α，再根据三角形外角的性质可得
∠AFB=∠G+∠EAF=180°−2α，即可求解．
【规范解答】解：如图，延长AE,BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,AD∥BC，
∴∠ECG=∠D=90°，∠DAE=∠G，
∵点E为CD边的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE=≥¿，
∵EF⊥AE，
∴AF=FG，
∴∠EAF=∠G，
∵∠CEF+∠EFC=90°=∠G+∠EFC，∠EFC=α，
∴∠CEF=∠G=90°−α，
∴∠EAF=∠G=90°−α，
∴∠AFB=∠G+∠EAF=2(90°−α)=180°−2α，
∴∠BAF=90°−∠AFB=90°−(180°−2α)=2α−90°．
故选：A
考点讲练三 根据矩形的性质求线段长
【典例分析】如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、
D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；(2)若OF=1，∠CAE=30°时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√3
【思路引导】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，根据题意得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可
判定四边形ODEC是矩形；
（2）根据矩形的性质得到∠ACE=90°，根据三角形中位线定理得到CE=2OF=2，根据直角三角形的
性质得到AE=2CE=4，根据勾股定理即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵四边形ODEC是矩形，
∴∠ACE=90°，
∵O、F分别为AC、AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2，
∵∠CAE=30°，
∴AE=2CE=4，
∴AC=❑√AE2−CE2=❑√42−22=2❑√3．
【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌
握矩形的判定定理是解题的关键．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点
A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时
出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为
时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
【答案】3s或6s或9s【思路引导】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；
根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足DP=CQ，分情况讨论点Q的运
动状态来建立方程．
【规范解答】解：根据题意可知，当点P到达点D时，
点Q的运动轨迹为C—B—C—B．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴PD∥CQ．
若PD=CQ，则四边形PQCD是矩形．
设运动时间为ts．由题意，得DP=(12−t)cm．
分三种情况讨论：
①当0≤t≤4时，CQ=3tcm，
∴12−t=3t，
解得t=3；
②当4<t≤8时，CQ=(24−3t)cm，
∴12−t=24−3t，
解得t=6；
③当8<t≤12时，CQ=(3t−24)cm，
∴12−t=3t−24，
解得t=9．
综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
考点讲练四 根据矩形的性质求面积
【典例分析】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作
DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=6.5，且AC=12，
①求CD和BC的长．
②求四边形ADEB的面积．【答案】(1)见解析
(2)①BC=5，CD=13；②四边形ADEB的面积＝90
【思路引导】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握
平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质证明∠DAC=∠ACE=∠E=90°，进而可以解决问题；
（2）①根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和勾股定理即可解决问题；
②四边形ADEB的面积=S +S ，代入值求解即可．
矩形ADEC △ACB
【规范解答】（1）证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
（2）解：①∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM=6.5，
∴AB=2CM=13，
∴在Rt△ACB中，BC=❑√AB2−AC2=5，
∴平行四边形ABCD中，AD=BC=5，CD=AB=13；
②∵在矩形ACED中，EC=AD=5，
∴S =S +S
四边形ADEB 矩形ADEC △ACB
1
=AC⋅CE+ AC⋅BC
2
1
=12×5+ ×12×5
2
=90．
【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·期中）综合与实践
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体
会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和
性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形．(1)操作发现：
如图①，将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若△ABC的面积为12，BC=6，则此完美矩形的
边长FG=_____，面积为_____．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若平行四边形ABCD的面积为30，
BC=6，求完美矩形AEFG的周长．
【答案】(1)3，6
(2)16
【思路引导】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
【规范解答】（1）解：由折叠可知，BF=DF，CG=DG，AH=DH=CH，
1
∴FG=DF+DG=BF+CG= BC=3，点H是AC中点，
2
过点A作AM⊥BC于点M，AM交EH于点N，如图①所示：
1 1
∵S = BC×AM= ×6×AM=12，
△ABC 2 2
AM=4，
∴由折叠可知：MN=AN=2，
∴EF=HG=MN=2，
∴完美矩形的面积为：FG×EF=3×2=6；
（2）解：由折叠可得：BE=HE，CF=HF，S =S ，S =S ，
△ABE △AHE 四边形AHFG 四边形DCFG1 1
∴EF= BC= ×6=3，
2 2
1 1
∴S = S = ×30=15，
矩形AEFG 2 平行四边形ABCD 2
∴AE=S ÷EF=15÷3=5，
矩形AEFG
∴矩形的周长=2(5+3)=16．
【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质等知识点，熟悉
利用折叠的性质是解题的关键．
考点讲练五 利用矩形的性质证明
【典例分析】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB
于点E，点F在边C上，CF=AE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若AE=3，DE=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运
用相关知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平
行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出∠DEB=90°，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，
求出∠DAF=∠FAB，即可得出答案．
【规范解答】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，DC∥AB，即DF∥BE，
又∵CF=AE，
∴CD−CF=AB−AE，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB=90°，
∵AE=3，DE=4，DF=5，
∴AD=❑√AE2+DE2=❑√32+42=5，
∴AD=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DAF，
∴AF平分∠DAB．
【变式训练】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论．
【操作探究】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E是射线DC上一个动点，连接AE并延长交直线BC于
点F，将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，延长AG交直线BC于点H．
(1)如图1，当点E在线段CD上时，求证：AH=HF；
(2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），EG与AB交于点P，求BP的长；
1
(3)在点E的运动过程中，是否存在CF= BC的情况？若存在，直接写出CH的长度；若不存在，请说明
2
理由．
【答案】(1)见解析；
7
(2) ；
4
91 91
(3)存在， 或 ．
18 6
【思路引导】(1)由矩形的性质可得AD∥BC,由折叠的性质可得∠DAE=∠F,进而可得∠CAF=∠F,由等角对等边得AH=HF.
（2）结合矩形的性质和折叠的性质可得∠AGP=∠CBP，根据AAS证明△APG≌△CPB，则可得
AP=CP．设BP=x，则AP=8−x，CP=8−x，在Rt△CPB中，根据勾股定理列方程求出x的值即可得
解．
（3）分两种情况：①当E点在线段DC上时，由平行线的性质可得∠DAF=∠F，由折叠的性质可得
∠DAF=∠HAF，进而可得∠F=∠HAF，AH=HF．设CH=x，则可得HF=x+3，BH=6−x，
91
AH=x+3．在Rt△ABH中，根据勾股定理列方程求得x的值为 ．②当E点在线段DC的延长线上时，
18
91
同①可得HF=x−3，BH=x−6，AH=x−3．在Rt△ABH中，根据勾股定理列方程求得x的值为 ．
6
【规范解答】（1）证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，F点在BC的延长线上．
∴∠DAE=∠F，
∵将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，
∴∠DAE=∠GAE，
∴∠GAE=∠F，
即∠CAF=∠F，
∴AH=HF．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=6，∠D=∠ABC=90°，
∵将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，
∴∠AGC=∠D=90°，AG=AD=6，
∴∠AGP=∠CBP，AG=CB，
又∵∠APG=∠CPB，
∴△APG≌△CPB(AAS)，
∴AP=CP．
设BP=x，则AP=8−x，CP=8−x，
在Rt△CPB中，BP2+BC2=CP2，
∴x2+62=(8−x) 2，
7
解得x= ，
47
∴BP= ．
4
（3）解：①如图，当E点在线段DC上时，
∵AD∥BF，
∴∠DAF=∠F，
∵将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，
∴∠DAF=∠HAF，
∴∠F=∠HAF，
∴AH=HF．
设CH=x，
1
∵BC=6，CF= BC=3，
2
∴HF=CH+CF=x+3，BH=BC−CH=6−x，
∴AH=x+3，
在Rt△ABH中， AB2+BH2=AH2，
∴82+(6−x) 2=(x+3) 2，
91
解得x= ，
18
91
∴CH= ．
18
②如图，当E点在线段DC的延长线上时，
∵AD∥BF，∴∠DAE=∠AFH，
∵将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，
∴∠DAE=∠GAE，
∴∠AFH=∠GAE，
∴AH=HF，
设CH=x，
1
∵BC=6，CF= BC=3，
2
∴HF=CH−CF=x−3，BH=CH−BC=x−6，
∴AH=x−3，
在Rt△ABH中， AB2+BH2=AH2，
∴82+(x−6) 2=(x−3) 2，
91
解得x= ，
6
91
∴CH= ．
6
1 91 91
综上，点E的运动过程中，存在CF= BC的情况， CH的长度为 或 ．
2 18 6
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以
上知识，注意分类讨论是解题的关键．
考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标
【典例分析】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点
C，B，D的坐标分别是(0,0)，(0,4)，(6,0)．点M从点A出发，沿AB方向在线段AB上匀速运动，速度为每
秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿CD方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运
动时间为t(s)(0<t<6)．
(1)请直接写出A点的坐标；(2)当MN∥BC时，求t的值；
(3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标．
【答案】(1)(6,4)
(2)2
(7 )
(3)(5,4)或 ,4
3
【思路引导】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关
键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题．
（1）直接根据点B和D的坐标可得结论；
（2）先得BM=6−2t，CN=2t，证明四边形BCNM是平行四边形，则BM=CN，列方程可解答；
（3）分两种情况：①当0<t<3时，②当3<t<6时，根据梯形的面积公式列方程可解答．
【规范解答】（1）解：∵B(0,4),D(6,0)，
∴OB=4,OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=OD=6,AD=OB=4，
∴A(6,4)；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
当MN∥BC时，四边形BCNM是平行四边形，
∴BM=CN，
∴6−t=2t，
∴t=2；
（3）解：分两种情况：
①当0<t<3时，点N在边CD上，四边形ADNM是梯形，
∵AM∥DN，
1
∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积= ×4×(t+6−2t)=10，
2
∴t=1，
∴BM=6−1=5，
∴M(5,4)；
②当3<t<6时，点N在CD的延长线上，1
∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积= ×4×(t+2t−6)=10，
2
11
∴t= ，
3
11 7
∴BM=6− = ，
3 3
(7 )
∴M ,4 ，
3
(7 )
综上，点M的坐标为(5,4)或 ,4 ．
3
【变式训练】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x
轴上，顶点B在y轴上，∠C=90°，AC⊥x轴，点C的坐标为(3,6)，作△ABC关于直线AB的对称图形，
其中点C的对称点为M，且AM交y轴于点N，则点N的坐标为（ ）
( 9) ( 3)
A． 0, B． 0, C．(0,2) D．(0,3)
4 2
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证
出四边形AOBC是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出△BNM≌△ANO，再由勾股定理即可得出
ON的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．
【规范解答】∵∠C=90°，AC⊥x轴，∠AOB=90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∵点C的坐标为(3,6)，
∴OB=AC=4，OA=BC=3，
∴由轴对称变换可知，BM=BC=OA，∠M=∠C=90°=∠AON，又∵∠BNM=∠ANO，
∴△BNM≌△ANO(AAS)，
∴BN=AN，
∴在Rt△AON中，
∵AN2=OA2+ON2，
∴(6−ON) 2=32+ON2，
9
∴ON= ，
4
( 9)
∴N 0, ，
4
故选：A．
考点讲练七 矩形与折叠问题
【典例分析】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边
的点F处，折痕为AE，已知AB=8，BC=10，则CE的长为 ．
【答案】3
【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出BF的长，设CE=x，在
Rt△CEF中，利用勾股定理进行求解即可．
【规范解答】解：∵折叠长方形ABCD，
∴AF=AD=BC=10,DE=EF,CD=AB=8,∠B=∠C=90°，
∴BF=❑√AF2−AB2=6，
∴CF=BC−BF=4，
设CE=x，则：EF=DE=CD−CE=8−x，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：(8−x) 2=42+x2，
解得：x=3；
∴CE=3；故答案为：3．
【变式训练】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在
AB,BC上，将∠BFE沿着EF折叠，点B刚好落在AD上的点B′处；再将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好
落在EF上的点C′处，已知∠AB′E=30°，则∠B′FD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】B
【思路引导】根据长方形的性质和∠AB′E=30°得∠AEB′=60°，利用平角的定义可求出∠BEB′，由
1
折叠的性质得∠BEF=∠B′EF= ∠B′EB=60°,∠B′FE=∠BFE，利用平角的定义可求出∠EFC，
2
1
由折叠的性质得∠CFD=∠C′FD= ∠EFC，则∠B′FD=∠C′FD−∠B′FE．
2
本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练
掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键．
【规范解答】解：在长方形纸片ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵∠AB′E=30°，
∴∠AEB′=60°，
∴∠BEB′=180°−∠AEB′=120°，
1
由折叠的性质得∠BEF=∠B′EF= ∠B′EB=60°,∠B′FE=∠BFE，
2
∴∠B′FE=∠BFE=90°−∠BEF=30°，
∴∠EFC=180°−∠BFE=150°，
1
由折叠的性质得∠CFD=∠C′FD= ∠EFC=75°，
2
∴∠B′FD=∠C′FD−∠B′FE=45°，
故选：B．考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半
【典例分析】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，
∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A′位置，此时∠A′B′C=32°，CD，CD′分别是斜边AB，
A′B′上的中线，则∠DCD′的度数为 ．
【答案】26°
【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线
的性质CD′=B′D′，CD=AD，则有∠B′CD′=∠A′B′C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，再通过角度
和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】解：∵CD，CD′分别是斜边AB，A′B′上的中线，
∴CD′=B′D′，CD=AD，
∴∠B′CD′=∠A′B′C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCD′=∠ACB−∠B′CD′−∠ACD=26°．
故答案为：26°
【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠ABC=30°，在AB的延长线上取点D，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，AE交BC于点F，延长ED，
CB交于点G．
(1)求∠AFB的度数．
(2)当点B是FG的中点时，求证：AF=DG．
(3)取BF的中点H，连结AH，如图2，判断△ACH的形状，并说明理由．【答案】(1)∠AFB=105°
(2)见解析
(3)△CAH是等腰直角三角形，理由见解析
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得∠EAD=45°，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）延长BD至M，使BM=AB，连接GM，先证明△ABF≌△MBG，得到AF=GM，
∠M=∠FAB=45°，即可进一步证明DG=GM，即可得到结论；
（3）过点F作FK⊥AB于点K，连接HK，可证明△AFK是等腰直角三角形，进一步证明△FKH是等边
三角形，即可逐步求得∠CAH=45°，从而可得到结论．
【规范解答】（1）解：∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠AFB=180°−∠EAD−∠ABC=180°−45°−30°=105°；
（2）证明：如图2，延长BD至M，使BM=AB，连接GM，
∵ FG
点B是 的中点，
∴BF=BG，
∵∠ABF=∠GBM，
∴△ABF≌△MBG(SAS)，
∴AF=GM，∠M=∠FAB=45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠GDM=∠ADE=45°，
∴∠GDM=∠M，
∴DG=GM，
∴AF=DG．
（3）解：△CAH是等腰直角三角形，理由如下：
如图3，过点F作FK⊥AB于点K，连接HK，
∴∠AKF=∠BKF=90°∵∠FAK=45°
∴△AFK是等腰直角三角形，
∴AK=FK，
在Rt△BKF中，点H是BF的中点，
1
∴KH= BF=FH=HB，∠BFK=90°−∠ABC=60°，
2
∴∠HKB=∠ABF=30°，
∴∠FHK=∠HKB+∠ABC=60°，
∴∠FHK=∠KFH=∠FKH=60°，
∴△FKH是等边三角形，
∴KH=FK=AK，
∴∠KAH=∠AHK，
∴∠BKH=∠KAH+∠AHK=30°，
∴∠KAH=15°，
∵∠BAC=90°−30°=60°，
∵∠CAH=60°−15°=45°，
∵∠C=90°，
∴△CAH是等腰直角三角形．
【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键．
考点讲练九 矩形的判定定理理解
【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°．用2
种不同的方法作矩形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析
【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，线段垂直平分线和线段的尺规作图，如图1所示，分别以点A
和点C为圆心，BC，AB的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形ABCD即为所求；作线段AC的垂直
平分线与AC交于O，连接BO并延长，以O为圆心，BO的长为半径画弧，交BO延长线于D，则四边形
ABCD即为所求．
【规范解答】解：如图1所示，分别以点A和点C为圆心，BC，AB的长为半径画弧，二者交于点D，则
四边形ABCD即为所求；
可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC=90°，可
得四边形ABCD是矩形；
如图2所示，作线段AC的垂直平分线与AC交于O，连接BO并延长，以O为圆心，BO的长为半径画弧，
交BO延长线于D，则四边形ABCD即为所求；
可证明OA=OB=OC=OD，则可得四边形ABCD是矩形．
【变式训练】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；
动点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1)BC= cm；
(2)当t= 秒时，四边形PQBA成为矩形．
(3)当t为多少时，PQ∥CD？
(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)18
(2)6
(3)4
25
(4)存在t，使得△△DQC是等腰三角形，此时t的值为5秒或6秒或 秒．
6
【思路引导】（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在Rt△CDE中，已知DC、DE的长，根
据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度；
（2）当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA=QB列出关于t的方程，解方程即可；
（3）当PQ∥CD时，四边形CDPQ是平行四边形可建立方程求解即可得出结论；
（4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有
关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【规范解答】（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A=90° ，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，∴EC=❑√DC2−DE2=6cm，
∴BC=BE+EC=18cm；
（2）根据题意得：PA=tcm，CQ=2tcm，则BQ=BC−CQ=(18−2t)cm，0≤t≤9 ，
∵AD∥BC，∠B＝90°
∴当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，
即t=18−2t，解得t=6秒，
故当t=6秒时，四边形PQBA为矩形；
（3）根据题意得：PA=tcm，CQ=2tcm，则PD=AD−PA=(12−t)cm，0≤t≤9 ，
PQ∥CD时，如图，
∵AD∥BC，
∴四边形CDPQ是平行四边形，
∴PQ=CD，DP=CQ，
∴12−t=2t，
∴t=4秒；
（4）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC=DC时，即2t=10，
∴t=5；
②当DQ=DC时，CQ=2CE，
即2t=6×2，
∴t=6；
③如图，当QD=QC时，则QD=2tcm ，QE=QC−CE=(2t−6)cm ，
在Rt△QDE 中，QD2=QE2+DE2 ，
即(2t) 2=(2t−6) 2+82 ，
25
解得： t= ．
6
25
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为5秒或6秒或 秒．
6【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
考点讲练十 添一条件使四边形是矩形
【典例分析】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形ABCD的边AD上，
BM=CM，请从以下两个选项，①∠1=∠2，②∠3=∠4，选择一个作为已知条件，使得平行四边形
ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是_________．（填序号）．
(2)添加条件后，请证明平行四边形ABCD为矩形．
【答案】(1)①
(2)证明见解析
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握
矩形的判定方法是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得∠MBC=∠MCB，再根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行
线的性质可得∠MBC=∠3，∠MCB=∠4，则可得∠3=∠4，即根据已知条件可推导出条件②，由此
即可得添加的条件是①；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠MBC=∠MCB，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平
行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°，则可得∠ABC=90°，然后根据矩形的判定即可得证．
【规范解答】（1）解：∵BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC=∠3，∠MCB=∠4，
∴∠3=∠4，即根据已知条件可推导出条件②，
∴添加的条件是①，
故答案为：①．
（2）证明：添加条件①∠1=∠2后，
∵BM=CM，∴∠MBC=∠MCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1+∠MBC+∠MCB+∠2=180°，
∴2(∠1+∠MBC)=180°，
∴∠1+∠MBC=90°，即∠ABC=90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD为矩形．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，
连接AM，MC，CN，NA．为使得四边形AMCN是矩形，可以添加的一个条件是
（写出一种情况即可）．
【答案】∠AMC=90°（答案不唯一）
【思路引导】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判
定与性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可知，OA=OC，OB=OD，再证OM=ON，则四边形AMCN是平行四边形，添加
∠AMC=90°，由矩形的判定可得出结论．
【规范解答】解：添加的一个条件是：∠AMC=90°．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB−BM=OD−DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵∠AMC=90°，
∴四边形AMCN是矩形，添加的条件符合要求．
故答案为：∠AMC=90°（答案不唯一）．考点讲练十一 证明四边形是矩形
【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
OA=OB=OC=OD，AE交BC于点E，交BD于点G，F是AC上的一点，EF⊥AC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=8，BC=6，E为BC中点，求EF的长；
CF+BG CF+BG CF+BG
(3)若BE=EF=EG，现有以下3个结论：① >1，② =1，③ <1．请你看
OA OA OA
一看，想一想，证一证以上3个结论中正确的一个．
【答案】(1)证明见解析；
12
(2)EF的长为 ；
5
CF+BG
(3) =1，证明见解析．
OA
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，然后通过矩形的判定方法即可
求证；
（2）由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，即AB⊥BC，通过勾股定理得
1
AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10，因为E为BC中点，所以BE=EC= BC=3，再根据
2
1 1
S = AC×EF= EC×AB即可求出EF的长；
△AEC 2 2
（3）连接GF，证明Rt△BAE≌Rt△FAE(HL)，则∠AEB=∠AEF，再证明△BGE≌△FGE(SAS)，得
到BG=GF，∠BGE=∠FGE，∠GBE=∠GFE，设∠BGE=∠FGE=x，则有
∠BGE=∠FGE=∠GBE=∠GFE=x，然后通过三角形内角和定理得出OF=GF，最后由线段的和与
差即可求解．
【规范解答】（1）证明：∵OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10，
∵E为BC中点，
1
∴BE=EC= BC=3，
2
1 1
∵S = AC×EF= EC×AB，
△AEC 2 2
1 1
∴ ×10×EF= ×3×8，
2 2
12
∴EF= ，
5
12
∴EF的长为 ；
5
BG+CF
（3）解： =1，
OA
证明：如图，连接GF，
由（2）得∠ABE=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=∠ABE=90°，
∵BE=EF，AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△FAE(HL)，
∴∠AEB=∠AEF，
在△BGE和△FGE中，
¿,
∴△BGE≌△FGE(SAS)，∴BG=GF，∠BGE=∠FGE，∠GBE=∠GFE，
设∠BGE=∠FGE=x，
∵BE=EF=EG，
∴∠BGE=∠FGE=∠GBE=∠GFE=x，
∵OA=OB=OC=OD，
∴∠OCB=∠GBE=x，
∴∠OGF=∠BOC=180°−2x，
∴OF=GF，
∵OC=OF+CF，
∴OA=GF+CF=BG+CF，
CF+BG
∴ =1．
OA
【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF=AE，连
接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20
【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性
质是解此题的关键．
（1）由在平行四边形ABCD中，得到DF∥EB,AB=CD,由CF=AE,可得DF=BE,根据矩形的判定即
可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD=FD=5,由勾股定理可求出DE=4,即可得出结论．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB,AB=CD,
又∵CF=AE,
∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AF平分∠DAB, DC∥AB,
∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,
∴∠DAF=∠DFA,
∵DF=5,
∴AD=FD=5,
∵AE=CF=3, DE⊥AB,
∴DE=❑√AD2−AE2=4,
∴矩形BFDE的面积是：DF⋅DE=5×4=20.
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知▱ABCD中，点E为BC上一点，且AB=BE，
AE、DC的延长线交于点F，连BD．
(1)如图1，求证：CE=CF；
(2)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【思路引导】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证∠F=∠CEF，再根据等角对等边可证
结论成立；
（2）连接CM、BM，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证△ECF是等腰直角三角形，根据
等腰三角形三线合一定理可证EM=CM=FM，证△BEM≌△DCM(SAS)，根据全等三角形对应边相等、
对应角相等可证△BDM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知∠BDM=45°．【规范解答】（1）证明：∵▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAE=∠F．
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠BEA=∠CEF，
∴∠F=∠CEF．
∴CE=CF．
（2）解：如图所示，连接CM、BM．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠ABC=∠BCD=90°．
又AB=BE ，
∴∠AEB=45°．
∴∠BEM=135°，∠CEF=∠AEB=45°．
∵点M是EF的中点，
∴EM=CM=FM．
∴∠ECM=∠CEM=45°．
∴∠DCM=135°，∠EMC=90°．
{
BE=DC
)
在△BEM和△DCM中， ∠BEM=∠DCM ，
EM=CM
∴△BEM≌△DCM(SAS)．
∴BM=DM，∠BME=∠DMC．
∴∠BMD=∠BME+∠AMD=∠DMC+∠AMD=∠EMC=90°．
∴△BDM是等腰直角三角形．
∴∠BDM=45°．
【考点剖析】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三
角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF．把
纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕BM．
(1)若点N刚好落在折痕EF上时，
1
①如图1，过N作NG⊥BG，求证：NG= BN；
2
②如图2，求∠AMN的度数；
(2)如图3，当M为射线AD上的一个动点时，已知AB=3，BC=5，若△BNC的直角三角形时，求AM的
长．
【答案】(1)①见解析；②120°
(2)1或9
【思路引导】（1） ①证明四边形FCGN是矩形，得到NG=FC，根据折叠的性质，矩形的性质，得到
1 1
FC= CD= AB,BN=AB，证明即可；
2 2
②根据折叠的性质，求解即可．
（2）根据矩形的性质，判定∠NCB,∠NBC不可能是直角，只有∠BNC=90°，分直角在矩形内部和外
部两种情况计算即可．
【规范解答】（1）解：①∵矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，
1 1
∴四边形FCBE是矩形，FC= CD= AB，
2 2
∵NG⊥BG，
∴四边形FCGN是矩形，
∴NG=FC，
1
∴NG= AB，
2
根据折叠的性质得到,BN=AB，
1
∴NG= BN．
2②过点G作NG⊥BG于点G，
∵矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，
1 1
∴四边形FCBE是矩形，FC= CD= AB，
2 2
∵NG⊥BG，
∴四边形FCGN是矩形，
∴NG=FC，
1
∴NG= AB，
2
根据折叠的性质得到,BN=AB，
1
∴NG= BN．
2
根据折叠的性质，
∴∠GBN=30°,∠NBM=∠ABM，∠NMB=∠AMB，
∴∠GBN=∠NBM=∠ABM=30°，∠NMB=∠AMB=60°，
∴∠AMN=∠NMB+∠AMB=120°．
（2）根据矩形的性质，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，
∴∠BNC=90°，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∵∠BNM+∠BNC=180°，
∴C,N,M三点共线，
根据折叠的性质，∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，
∵矩形纸片ABCD，
∴AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，
∴CB=CM，
∵AB=3，BC=5，
∴BN=AB=3,CN=❑√CB2−BN2=4,CB=CM=5，
∴NM=AM=CM−CN=1；
根据矩形的性质，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，
∴∠BNC=90°，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∵∠BNC=90°，
∴C,N,M三点共线，
根据折叠的性质，
∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，
∵矩形纸片ABCD，
∴AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，
∴CB=CM，
∵AB=3，BC=5，
∴BN=AB=3,CN=❑√CB2−BN2=4,CB=CM=5，
∴NM=AM=CM+CN=5+4=9；故AM=9或AM=1．
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，
勾股定理是解题的关键．
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
P为AB边上（不与A、B重合）的动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的
最小值是 ．
【答案】2.4
【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题
关键．
连接PC，先利用勾股定理可得AB=5，再证出四边形CEPF是矩形，根据矩形的性质可得PC=EF，然
后根据垂线段最短可得当PC⊥AB时，PC的值最小，即EF的值最小，利用三角形的面积公式求解即可
得．
【规范解答】解：如图，连接PC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴PC=EF，由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC的值最小，即EF的值最小，
1 1
∴此时有S = AB⋅PC= AC⋅BC，
Rt△ABC 2 2
AC⋅BC 3×4
∴PC= = =2.4，
AB 5
即线段EF的最小值是2.4，
故答案为：2.4．
【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，点P是对
角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，
连接EF，则EF的最小值为 ．
120 1
【答案】 /7
17 17
【思路引导】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到EF的最小值为
DP′的长是解答的关键．如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，证明四边形DEPF是矩形得到
EF=DP，要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，利用三角形的
等面积法求得DP′即可求解．
【规范解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=15，BC=8，
∴CD=AB=15，AD=BC=8，∠ADC=90°，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√82+152=17，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC=180°，
∴∠PFD=90°，
∵PE⊥AD，∴∠PED=∠EDF=∠PFD=90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF=DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
1 1
∵S = AD⋅CD= AC⋅DP′ ，
△ADC 2 2
AD⋅CD 8×15 120
∴DP′= = = ，
AC 17 17
120
故EF的最小值为 ，
17
120
故答案为： ．
17
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积
【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点B、F、E、D在同一直线上，AE=CF，
AB∥CD，∠AEB=∠CFD．
(1)如图1，求证：BF=DE；
(2)如图2，连接AD、BC、AF、CE和AC，AC交BD于点G，若AC=BD，BF=GF，在不添加任何
辅助线的条件下，请直接写出图2中是△CGE面积3倍的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ABE，△ADF，△CBE，△CDF
【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算：
（1）证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，进而求出BF=DE即可；
（2）证明四边形ABCD为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可．
【规范解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，
∴BE−EF=DF−EF，
∴BF=DE；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∴BG=DG，
∵BF=GF，BF=DE，
∴BE=3≥,DF=3≥¿，
∴S =3S ，S =3S ，
△CBE △CGE △CDF △CGE
∵△ABE≌△CDF，
∴S =S =3S ，
△ABE △CDF △CGE
∵BE=DF，
∴S =S =3S ；
△ADF △ABE △CGE
综上：满足条件的三角形有△ABE，△ADF，△CBE，△CDF．
【变式训练】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于
点F．
(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系
(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．
12
【答案】(1)PE+PF= ，理由见解析
512
(2)PE+PF= ，理由见解析
5
12
(3)PE−PF= ，理由见解析
5
【思路引导】（1）连接OP，设点C到BD的距离为h ，利用勾股定理求出BD=5，由等面积法求出得
1
12
h = ，由S =S +S 建立等式再化简即可得到；
1 5 ΔCOD ΔDOP ΔCOP
5
（2）连接OP，设点O到AD的距离为h ，由（1）得OD=OA= ,h =2，同样利用等面积法，即
2 2 2
S =S +S ，即可求解；
△AOD △OPD △OPA
（3）连接OP、BP，由S =S +S =S +S +S ，建立等式，进行化简整理即
ΔBPD ΔCOD 四边形BOCP ΔCOD ΔCOP ΔBOP
可求解．
【规范解答】（1）解：连接OP，如图1，
设点C到BD的距离为h ．
1
在RtΔBCD中，BD=❑√BC2+CD2=❑√32+42=5，
1 1 BC⋅CD 3×4 12
由S = BD⋅h = BC⋅CD，得h = = = ．
ΔBCD 2 1 2 1 BD 5 5
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
由S =S +S ，得，
ΔCOD ΔDOP ΔCOP
1 1 1
OD⋅h = OD⋅PE+ OC⋅PF，
2 1 2 2
12
化简得PE+PF=h = ，
1 5
12
（2）解：PE+PF= ，理由见解析，
5
连接OP，如下图：设点O到AD的距离为h ，
2
5
由（1）得OD=OA= ,h =2，
2 2
∵S =S +S ，
△AOD △OPD △OPA
1 1 5 1 5
∴ ×3×2= × PE+ × PF，
2 2 2 2 2
12
∴PE+PF= ，
5
12
故答案为：PE+PF= ．
5
12
（3）解：PE−PF= ，理由如下：
5
连接OP、BP，如图．
由S =S +S =S +S +S ，
ΔBPD ΔCOD 四边形BOCP ΔCOD ΔCOP ΔBOP
1 1 1 1
BD⋅PE= OD⋅h + OC⋅PF+ OB⋅PE，
2 2 1 2 2
12
化简得2PE=h +PE+PF，即PE−PF=h = ．
1 1 5
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解．【演练1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O
,∠AOB=60°,AB=4，则AC的长为 ．
【答案】8
【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断△AOB是等边三角形是
解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA=OB=OC=OD，然后由∠AOB=60°可得△AOB为等边三
角形，然后可求得AC=2AB，进而即可求解
【规范解答】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC,OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8.
故答案为：8.
【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形ABCD．
(1)尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作
图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．
【答案】(1)图见解析5
(2)CE=
3
【思路引导】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解
题的关键：
（1）以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，作∠CBF的角平分线，交CD于点E，BE即为所求；
（2）折叠的性质，得到BF=BC,CE=EF，在Rt△ABF中，勾股定理求出AF的长，进而求出DF的长，
设CE=EF=x，在Rt△EDF中，利用勾股定理进行求解即可．
【规范解答】（1）解：如图，BE即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°,AD=BC=5,CD=AB=3，
∵由折叠可得BF=BC=5,CE=EF，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：AF=❑√BF2−AB2=4，
∴DF=AD−AF=1，
设CE=EF=x，则：DE=CD−CE=3−x，
在Rt△EDF中，由勾股定理，得：x2=12+(3−x) 2，
5
解得：x= ，
3
5
∴CE= ．
3
【演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长
线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)∠EAD=∠FDA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明△ABE≌△DCF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得∠BAE=∠CDF，结合∠CDA=∠BAD=90°，可得
∠EAD=∠FDA．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC，
∴ ∠ABE=∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
{
AB=DC
)
∠ABE=∠DCF ，
BE=CF
∴ △ABE≌△DCF(SAS)；
（2）证明：∵ △ABE≌△DCF，
∴ ∠BAE=∠CDF，
又∵ ∠CDA=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA，
∴ ∠EAD=∠FDA．
【演练4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC
于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1=45°−α B．∠1=α C．∠2=90°−α D．∠2=2α
【答案】D
【思路引导】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD∥BC，∠C=90°，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1=90°−α，∠2=2α，即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=90°
∴∠ADB=∠1
∵折叠
∴∠ADB=∠A′DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°−α，即2∠1=90°−α
1
∴∠1=45°− α，故A不正确
2
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠α，故B不正确
∵折叠，
∴∠C′ED=∠CED
∵∠2=180°−2∠CED=180°−2(90°−α)=2α，故C不正确，D选项正确
故选：D．
【演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿
BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
(1)若∠DED′=70°，求∠DAD′的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
【答案】(1)∠DAD′的度数为35°
(2)矩形，理由见详解
【思路引导】（1）根据点E是AD的中点，沿BE所在的直线折叠，可得△AED′是等腰三角形，根据三角
形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接EF，点H是BE上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形BED′F是平行四边形，如图所示，连接EC，EC′，过点E作EG⊥BC于点G，可证四边形C′D′EF是平行四边形，再根据折叠
的性质得∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，由此即可求证．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴DE=D′E，
∴AE=D′E，则△AED′是等腰三角形，
∴∠D′ AE=∠AD′E，
∵∠DED′=70°，即∠D′ED=∠D′ AE+∠AD′E=70°，
1 1
∴∠D′ AE=∠AD′E= ∠DED′= ×70°=35°，
2 2
∴∠DAD′的度数为35°．
（2）解：如图所示，连接EF，点H是BE上的一点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥BC，∠C=∠D=90°，即CD⊥BC，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，C′F∥D′E，BE是∠CBC′,∠DED′的角平分线，
1
由（1）可知，∠EAD′=∠ED′ A= ∠DED′ ，
2
∴∠ED′ A=∠D′EH，
∴AD′∥BE，且BF∥ED′，
∴四边形BED′F是平行四边形，则BF=ED′，FD′=BE，
如图所示，连接EC，EC′，过点E作EG⊥BC于点G，∵点E是AD的中点，EG⊥BC，
∴点G是线段BC的中点，则AE=DE=BG=CG，
∴在△BEG,△CEG中，
{
BG=CG
)
∠BGE=∠CGE=90° ，
EG=EG
∴△BEG≌△CEG(SAS)，
∴BE=CE，∠EBG=∠ECG，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，C′F∥D′E，∠GBE=∠FBE，
在△BC′E,△BCE中，
{
BC′=BC
)
∠C′BE=∠CBE ，
BE=BE
∴△BC′E≌△BCE(SAS)，
∴EC′=EC，∠BC′E=∠BCE，
∴EC′=EC=EB，
∴EC′=FD′，
∴四边形C′D′EF是平行四边形，
∵∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，
∴平行四边形C′D′EF是矩形．
【考点剖析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌
握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．∠CAD=∠CAB B．OA=OD
C．OA=AB D．AC所在直线为矩形ABCD的对称轴
【答案】B
【思路引导】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断．
【规范解答】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形ABCD中，只有当矩形为正方形时，对
角线AC才会平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC，故该选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，所以OA=OD，故选项说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以OA=OB，只有当△OAB的内角中有一个角为60°，可得到
△OAB是等边三角形，才能得到OA=AB，故该选项错误，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，但是AC所在直线不是矩形ABCD的对称轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB
上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为( )
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【答案】A
【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性
质是解题关键．先根据勾股定理可得AB=10，连接CP，根据矩形的判定与性质可得CP=EF，再根据垂线段最短可得当CP⊥AB时，CP取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【规范解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
如图，连接CP，
∵∠ACB=90°,PE⊥AC,PF⊥BC
，
∴四边形PECF是矩形，
∴CP=EF，
由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP取得最小值，
1 1
此时S = AB⋅CP= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 8×6
∴CP= = =4.8，
AB 10
即线段EF的最小值为4.8，
故选：A．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，AD，BE是△ABC的高，AB=AC，∠BAC=50°，则
∠BED的度数为（ ）
A．40° B．25° C．22.5° D．30°
【答案】B
【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等
腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可．
【规范解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BD=CD，
1
∴∠BAD=∠CAD= ×50°=25°，
2∴∠C=90°−∠CAD=65°，
∵BE是AC上的高，
∴∠CBE=90°−∠C=25°，
∵BE是AC上的高，且BD=CD，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠CBE=25°，
故选：B．
4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，且CD<BC，
以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E，连接DE．若∠A=x，则∠BED的度数为（ ）
1 3 1
A．90°+ x B．45°+ x C．90°+x D．135°− x
2 2 2
【答案】D
【思路引导】本题考查了直角三角形的性质、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度计算，
掌握利用中线性质推导等腰三角形，并通过等量代换进行角度求解是解题的关键．如图，在Rt△ABC中，
CD为斜边AB的中线，故CD=AD=BD，从而∠DCA=∠A=x．以C为圆心、CD为半径画弧可得
1
CD=CE，故△CDE为等腰三角形．在△CDE中，利用内角和定理求出∠CED=45°+ x，最后通过邻
2
1
补角关系求得∠BED=180°−∠CED=135°− x．
2
【规范解答】解：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠A=x，
∴∠DCA=∠DAC=x，
∴∠ECD=90°−x，
以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E，
∴CD=CE，180°−(90°−x) 1
∴∠CDE=∠CED= =45°+ x，
2 2
( 1 ) 1
∴∠BED=180°−∠CED=180°− 45°+ x =135°− x，
2 2
故选：D．
5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE
与AD相交于点O，若AB=4,BC=8，则OD的长为 ．
【答案】5
【思路引导】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到
OB=OD，设OB=OD=x，则OA=8−x，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出x的值，即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠的性质得：∠CBD=∠OBD，BE=BC=8，
∴∠OBD=∠ODB，
∴OB=OD，
设OB=OD=x，则OA=8−x，
在Rt△AOB中，OA2+AB2=OB2，
∴(8−x) 2+42=x2，
解得：x=5，
∴OD=5．
故答案为：5．
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF=2.5，则
AC的长为 ．【答案】5
【思路引导】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助
线．连接AF根据等腰三角形的性质得到∠AFD=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到
答案．
【规范解答】解：连接AF，由题意可得，
∵AB=AD，点F是BD的中点，
∴AF⊥BD，即∠AFD=90°，
∵点E是AC的中点，EF=2.5，
∴ AC=2EF=5，
故答案为：5．
7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8,M是
AB的中点，则CM的值为 ．
【答案】5
【思路引导】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出CM的值．
【规范解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8
根据勾股定理，可得：
AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=❑√36+64=101 1
因为M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，所以CM= AB= ×10=5.
2 2
故答案为：5．
【考点剖析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，
再运用直角三角形斜边中线定理求出中线长度．
8．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周
长为9，AC=6，求BC的长．
【答案】BC=3❑√3．
1
【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得OB=OA= AC=3，根据三角形的周长公式求
2
得AB=3，再利用勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AC=6，
1
∴OB=OA= AC=3，∠ABC=90°，
2
∵△AOB的周长为9，
∴AB+OB+OA=9，
∴AB=3，
∴BC=❑√AC2−AB2=❑√62−32=3❑√3．
9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在△ABC中，点O为AC的中点，过点O作直线l，请利用
尺规作图法在直线l上作点E，F（E在F的左侧），连接AE，CE，AF，CF，使得四边形AECF为矩形．
（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键；
依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l
于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接AE、CE、AF、CF，四边形AECF即为所求矩形．【规范解答】解：如图，点E、F即为所求
10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段
AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF．
(1)请你在①BE∥CF；②EH=FH中选择一个作为条件，证明△BEH≌△CFH．
(2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形．理由见解析
【思路引导】（1）根据中点的定义得出BH=CH，再根据全等三角形的判定推出两三角形全等即可；
（2）首先根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形BFCE是平行四边形，再推出
BC=EF，结合对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论．
【规范解答】（1）解：选择①，证明：∵H为BC的中点，
∴BH=CH．
∵BE∥CF，
∴∠BEH=∠CFH．
又∵∠BHE=∠CHF，
∴△BEH≌△CFH(AAS)．
或选择②，证明：∵H为BC的中点，
∴BH=CH．
在△BEH和△CFH中，
{
EH=FH
)
∠BHE=∠CHF
BH=CH∴△BEH≌△CFH(SAS)．
（2）解：当BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
理由如下：∵BH=CH，EH=FH，
∴四边形BFCE是平行四边形．
∵BH=EH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE为矩形．
【考点剖析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握矩
形的判定是解题的关键．
创新拓展 拔尖冲刺
1．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，
滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
【答案】B
【思路引导】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【规范解答】解：∵∠AOB=90°，M为AB的中点，
1
∴OM= AB．
2
1
同理OM= CD．
2
∵AB=CD，
∴OM的长度不变．
故选：B．
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片ABCD中，BC=2,DC=1，将它沿对角线
AC折叠，使点D落在点E处，则BF为（ ）3
A． B．2 C．1 D．3
4
【答案】A
【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到
∠CAF=∠CAD=∠ACB，设∠CAF=∠CAD=∠ACB，在Rt△ABF中，利用勾股定理进行求解即可．
【规范解答】解：∵在长方形纸片ABCD中，将它沿对角线AC折叠
∴AD∥BC，AB=CD=1
∴∠CAF=∠CAD=∠ACB
∴FC=AF
∵BC=2，DC=AB=1
设BF=x，FC=AF=2−x
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(2−x) 2=x2+12
3
解得：x=
4
故选：A.
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点
D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】A
【思路引导】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折
叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设AF=x，根据直角三角形BCF
中运用勾股定理求x是解题的关键．
由折叠的性质得到∠ACD=∠ACD'，根据矩形的性质得到∠ACD=∠CAB，从而得到∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的判定定理得到AF=CF，设AF=x，根据勾股定理求出AF，根据三
角形的面积公式计算即可．
【规范解答】解：由折叠可得∠ACD=∠ACD'．
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF．
设AF=x，则CF=x，BF=8−x．
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得CF2=BF2+BC2，
即x2=(8−x) 2+42，
解得x=5，
∴AF=5，
AF⋅BC 5×4
∴S = = =10．
△AFC 2 2
故选：A．
4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，过对角线BD的中点O作BD
5
的垂线交AD于点E，交BC于点F，且BF= ，P是BD上的动点，连接PA，PE，则PA+PE的最小值为
2
．
❑√41
【答案】
2
【思路引导】连接PF，由四边形ABCD为矩形，则AD∥BC，∠ABC=90°，故有∠EDO=∠FBO，
然后证明△EOD≌△FOB(ASA)，则OE=OF，从而得BD垂直平分EF，得到PE=PF，要使PA+PE有
最小值，则需A、P、F三点共线，最后通过勾股定理即可求解．
【规范解答】解：如图，连接PF，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠FBO，
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，
∴OE=OF，
∵BD垂直平分EF，
∴PE=PF，
∴要使PA+PE有最小值，则需A、P、F三点共线，
如图，
∴PA+PE=PA+PF=AF=❑√AB2+BF2=❑
√
22+
(5) 2
=
❑√41
，
2 2
❑√41
∴PA+PE的最小值为 ，
2
❑√41
故答案为： ．
2
【考点剖析】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的
性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
5．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯
形，如果AB=6，那么BC= ．【答案】4❑√3
【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，全等图形的性质，勾股定理．
连接DE，证明四边形ABED是矩形，得到AB=DE=6，∠DEC=∠DEB=90°，根据全等图形的性质
1
求出CE= CD，设CE=x，根据勾股定理求出x=2❑√3，即可求出BC的长．
2
【规范解答】解：如图，连接DE，
∵四个全等的直角梯形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴平行四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=6，∠DEC=∠DEB=90°，
∵四个全等的直角梯形，
∴∠ADF=∠CDF=∠C，CG=DG=BE，
∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠CDF+∠C=180°，
∴∠ADF=∠CDF=∠C=60°，
∴∠CDE=30°，
1
∴CE= CD，
2
设CE=x，则CD=2x，即CG=DG=BE=x，
∵∠DEC=90°，∴x2+62=4x2，
解得x=2❑√3（负值舍去），
∴BC=BE+CE=4❑√3，
故答案为：4❑√3．
6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在四边形ABCD中,BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC=5，
BC−AB=2，当△ADC面积最大时,AD的长为 ．
❑√29
【答案】
2
【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算与最值、直角三
角形斜边中线定理，解题的关键是延长CD与BA交于点G，利用BD的角平分线和垂直条件构造全等三角
形，将BC−AB转化为定长AG，再结合D为CG中点的性质关联△ADC与△ACG的面积，通过△ACG面
积最大值时需满足AC⊥CG，从而求得CG的长，再用直角三角形中线的性质求AD．
延长CD、BA交于G，证△BDC≌△BDG得BG=BC、DG=CD，由BC−AB=2推出AG=2；因D为
1
CG中点，故S = S ；根据AC⊥CG时△ACG面积最大；在Rt△ACG中，利用直角三角形斜边
△ADC 2 △ACG
中线等于斜边一半的性质求AD．
【规范解答】解：延长CD、BA交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠GBD，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=∠BDG=90°，
又∵BD=BD，∴△BDC≌△BDG(ASA)，
∴BG=BC,DG=CD，
∵BC−AB=2，
∴AG=BG−AB=BC−AB=2，
∵DG=CD，即D为CG中点，
1
∴S = S (等底同高，面积比为1:2)，
△ADC 2 △ACG
要使S 最大，需S 最大，此时AC⊥CG，即△ACG为直角三角形，
△ADC △ACG
由勾股定理得CG=❑√AC2+AG2=❑√52+22=❑√29，
∵D为CG中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，
1 ❑√29
∴AD= CG= ．
2 2
❑√29
故答案为： ．
2
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
(1)求证：△BEC是等腰三角形．
(2)若∠ABE=45°，AB=2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√2
【思路引导】（1）根据矩形的性质，可以得到AD∥BC，从而可以得到∠DEC=∠BCE，根据角平分
线的定义，可以得到∠BEC=∠DEC，进而得到∠BEC=∠BCE，然后根据等角对等边即可证明结论；
（2）根据矩形的性质得到△ABE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得BE的长，再根据（1）
中得到的BE=BC，即可得到BC的长．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE．
∵EC平分∠BED，∴∠BEC=∠DEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC，
∴△BEC是等腰三角形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵∠ABE=45°，AB=2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=2，
∴BE=❑√AE2+AB2=2❑√2．
由（1）知BC=BE，
∴BC=2❑√2．
【考点剖析】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的
关键是明确题意，熟练掌握等腰三角形的判定．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，过点A作
AN∥BC，过点C作CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定
是解题的关键．
由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，再由平行线的性质得
∠DAE=∠ADB=90°，进而证明∠CEA=90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【规范解答】证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵AN∥BC，
∴∠DAE=∠ADB=90°．又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，∠ABC=∠ADC=90°，OA=OC．
(1)求证：OB=OD．
(2)若∠ACD=30°，OB=6，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
1 1
【思路引导】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出OB= AC，OD= AC，即可求出答案；
2 2
（2）求出AC长，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD即可．
【规范解答】（1）证明：∵OA=OC，
∴O是AC的中点．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
1 1
∴OB= AC，OD= AC，
2 2
∴OB=OD．
（2）解：由（1）可知，AC=2OB=12．
∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
1
∴AD= AC=6．
2
【考点剖析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，含30°角的直角三角形的性质，能根据直角三角
形斜边上的中线性质求出OD=OB是解此题的关键．
10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC，交BC的
延长线于点E，M为AB的中点，连接CM．(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=13，且AC=24，求四边形ADEB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)360
【思路引导】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥CE，推出四边形ADEC是平行四边形，根据垂直的
定义得到∠ACE=90°，于是得到结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得AB=2CM=26，再由勾股定理得到BC=10，然后利用矩形和三
角形的面积公式计算求解．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE．
∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ADEC是矩形．
（2）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵M为AB的中点，
∴AB=2CM=26．
∵AC=24，
∴BC=❑√AB2−AC2=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，
∴S =S +S
四边形ADEB 矩形ADEC △ABC
1
=AD⋅AC+ BC⋅AC
21
=10×24+ ×10×24
2
=360．
【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质以
及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
