文档内容
专题21.3.1 矩形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：矩形的定义..............................................................................................................................................................2
知识点二：矩形的性质..............................................................................................................................................................2
知识点三：矩形的判定..............................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 矩形性质理解.......................................................................................................................................................3
考点讲练二 利用矩形的性质求角度....................................................................................................................................6
考点讲练三 根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................8
考点讲练四 根据矩形的性质求面积..................................................................................................................................10
考点讲练五 利用矩形的性质证明......................................................................................................................................13
考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标.............................................................................................................................17
考点讲练七 矩形与折叠问题................................................................................................................................................20
考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半........................................................................................................................22
考点讲练九 矩形的判定定理理解......................................................................................................................................25
考点讲练十 添一条件使四边形是矩形.............................................................................................................................28
考点讲练十一 证明四边形是矩形......................................................................................................................................30
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度...............................................................................................................33
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长..........................................................................................................38
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积...............................................................................................................40
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................44
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................50
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................50
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................57知识点一：矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【易错点拨】
（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：
①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二：矩形的性质
性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线
分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之
和.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出
四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
考点讲练一 矩形性质理解
【典例分析】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=7，点E在边
BC上，且BE=3，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动．作
∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运
动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，求线段PQ的长________；
(2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
(3)作点E关于直线PQ的对称点F，当点P运动到AB上，且点F恰好也落在边AB上时，直接写出此时t的
值．
【答案】(1)5
(2)等腰直角三角形，见解析
31
(3)
8
【思路引导】（1）连接BQ，求出QE=AB=4，BE=3由勾股定理可得 PQ=5；
（2）过点P作 PH⊥BC于点H，推导出四边形ABHP是矩形推导出PH=EC，证得
△PHE≌△ECQ(ASA)，得到PE=QE，进而得到△PQE是等腰直角三角形；
（3）当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意， 由PE2=PB2+BE2建立方程，解方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：连接BQ，如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，
∴QE=AB=4，BE=3，
在Rt△QBE中，PQ=❑√BE2+QE2=❑√32+42=5，
故答案为：5；
（2）解：△PQE是等腰直角三角形，理由如下：
如图2，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHE=∠ECQ=90°，
∴∠HPE+∠HEP=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠QEC+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠QEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BHP=90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴PH=AB=4，AP=BH
又∵EC=BC−BE=7−3=4，
∴PH=EC，
∴△PHE≌△ECQ(ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE是等腰直角三角形；
（3）解：当P点在AB上时，∵点E关于直线PQ的对称点F，
∴PE=PF，QE=QF，
∵PQ=PQ，
∴△PFQ≌△PEQ(SSS)，
∴∠PFQ=∠PEQ=90°，
∴当F，A重合时，当点F恰好落在边AB上，如图4，
∴PB=t−BE=t−3，PE=AP=AB−PB=4−(t−3)=7−t，
在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2，
∴(7−t) 2=(t−3) 2+32，
31
解得t= ．
8
【考点剖析】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定
理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延
长BC至点F，使CF=BE，连接DE，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若DE=10，BC=8，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)48
【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质
定理是解题的关键．
（1）由CF=BE，可得EF=BC，即EF=AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结
合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；
（2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：在▱ABCD中AD∥BC，AD=BC，CD=AB，
∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC，
∴EF=BC，
∴EF=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠DAE=90°，AD=BC=8，
∴AE2+82=102，
∴AE=6，
∴ ▱ABCD的面积=BC⋅AE=8×6=48．
考点讲练二 利用矩形的性质求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形ABCD．
(1)只利用圆规在边AD上找一点E，使得EC平分∠BED，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接CE，请探究∠AEB与∠DCE的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)∠AEB=2∠DCE
【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）设∠CED=∠CEB=α，分别表示出∠AEB,∠DCE，即可求解．
【规范解答】（1）解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ECB，
∵BE=BC，
∴∠ECB=∠CEB，
∴∠CED=∠CEB即EC平分∠BED，
（2）解：设∠CED=∠CEB=α，
∴∠AEB=180°−∠CEB−∠CED=180°−2α，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∴∠DCE=90°−α，
∴∠AEB=2∠DCE．
【变式训练】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E
作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC=α，则∠BAF的度数为（ ）
α α
A．2α−90° B．45°+ C．45°− D．90°−α
2 2
【答案】A
【思路引导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形
外角的性质．延长AE,BC交于点G，证明△ADE≌△GCE，可得AE=≥¿，从而得到AF=FG，进而得到∠EAF=∠G，然后根据余角的性质可得∠CEF=∠G=90°−α，再根据三角形外角的性质可得
∠AFB=∠G+∠EAF=180°−2α，即可求解．
【规范解答】解：如图，延长AE,BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,AD∥BC，
∴∠ECG=∠D=90°，∠DAE=∠G，
∵点E为CD边的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE=≥¿，
∵EF⊥AE，
∴AF=FG，
∴∠EAF=∠G，
∵∠CEF+∠EFC=90°=∠G+∠EFC，∠EFC=α，
∴∠CEF=∠G=90°−α，
∴∠EAF=∠G=90°−α，
∴∠AFB=∠G+∠EAF=2(90°−α)=180°−2α，
∴∠BAF=90°−∠AFB=90°−(180°−2α)=2α−90°．
故选：A
考点讲练三 根据矩形的性质求线段长
【典例分析】如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、
D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；(2)若OF=1，∠CAE=30°时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√3
【思路引导】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，根据题意得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可
判定四边形ODEC是矩形；
（2）根据矩形的性质得到∠ACE=90°，根据三角形中位线定理得到CE=2OF=2，根据直角三角形的
性质得到AE=2CE=4，根据勾股定理即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵四边形ODEC是矩形，
∴∠ACE=90°，
∵O、F分别为AC、AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2，
∵∠CAE=30°，
∴AE=2CE=4，
∴AC=❑√AE2−CE2=❑√42−22=2❑√3．
【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌
握矩形的判定定理是解题的关键．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点
A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时
出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为
时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
【答案】3s或6s或9s【思路引导】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；
根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足DP=CQ，分情况讨论点Q的运
动状态来建立方程．
【规范解答】解：根据题意可知，当点P到达点D时，
点Q的运动轨迹为C—B—C—B．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴PD∥CQ．
若PD=CQ，则四边形PQCD是矩形．
设运动时间为ts．由题意，得DP=(12−t)cm．
分三种情况讨论：
①当0≤t≤4时，CQ=3tcm，
∴12−t=3t，
解得t=3；
②当41，② =1，③ <1．请你看
OA OA OA
一看，想一想，证一证以上3个结论中正确的一个．
【答案】(1)证明见解析；
12
(2)EF的长为 ；
5
CF+BG
(3) =1，证明见解析．
OA
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，然后通过矩形的判定方法即可
求证；
（2）由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，即AB⊥BC，通过勾股定理得
1
AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10，因为E为BC中点，所以BE=EC= BC=3，再根据
2
1 1
S = AC×EF= EC×AB即可求出EF的长；
△AEC 2 2
（3）连接GF，证明Rt△BAE≌Rt△FAE(HL)，则∠AEB=∠AEF，再证明△BGE≌△FGE(SAS)，得
到BG=GF，∠BGE=∠FGE，∠GBE=∠GFE，设∠BGE=∠FGE=x，则有
∠BGE=∠FGE=∠GBE=∠GFE=x，然后通过三角形内角和定理得出OF=GF，最后由线段的和与
差即可求解．
【规范解答】（1）证明：∵OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10，
∵E为BC中点，
1
∴BE=EC= BC=3，
2
1 1
∵S = AC×EF= EC×AB，
△AEC 2 2
1 1
∴ ×10×EF= ×3×8，
2 2
12
∴EF= ，
5
12
∴EF的长为 ；
5
BG+CF
（3）解： =1，
OA
证明：如图，连接GF，
由（2）得∠ABE=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=∠ABE=90°，
∵BE=EF，AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△FAE(HL)，
∴∠AEB=∠AEF，
在△BGE和△FGE中，
¿,
∴△BGE≌△FGE(SAS)，∴BG=GF，∠BGE=∠FGE，∠GBE=∠GFE，
设∠BGE=∠FGE=x，
∵BE=EF=EG，
∴∠BGE=∠FGE=∠GBE=∠GFE=x，
∵OA=OB=OC=OD，
∴∠OCB=∠GBE=x，
∴∠OGF=∠BOC=180°−2x，
∴OF=GF，
∵OC=OF+CF，
∴OA=GF+CF=BG+CF，
CF+BG
∴ =1．
OA
【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF=AE，连
接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20
【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性
质是解此题的关键．
（1）由在平行四边形ABCD中，得到DF∥EB,AB=CD,由CF=AE,可得DF=BE,根据矩形的判定即
可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD=FD=5,由勾股定理可求出DE=4,即可得出结论．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB,AB=CD,
又∵CF=AE,
∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AF平分∠DAB, DC∥AB,
∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,
∴∠DAF=∠DFA,
∵DF=5,
∴AD=FD=5,
∵AE=CF=3, DE⊥AB,
∴DE=❑√AD2−AE2=4,
∴矩形BFDE的面积是：DF⋅DE=5×4=20.
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知▱ABCD中，点E为BC上一点，且AB=BE，
AE、DC的延长线交于点F，连BD．
(1)如图1，求证：CE=CF；
(2)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【思路引导】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证∠F=∠CEF，再根据等角对等边可证
结论成立；
（2）连接CM、BM，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证△ECF是等腰直角三角形，根据
等腰三角形三线合一定理可证EM=CM=FM，证△BEM≌△DCM(SAS)，根据全等三角形对应边相等、
对应角相等可证△BDM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知∠BDM=45°．【规范解答】（1）证明：∵▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAE=∠F．
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠BEA=∠CEF，
∴∠F=∠CEF．
∴CE=CF．
（2）解：如图所示，连接CM、BM．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠ABC=∠BCD=90°．
又AB=BE ，
∴∠AEB=45°．
∴∠BEM=135°，∠CEF=∠AEB=45°．
∵点M是EF的中点，
∴EM=CM=FM．
∴∠ECM=∠CEM=45°．
∴∠DCM=135°，∠EMC=90°．
{
BE=DC
)
在△BEM和△DCM中， ∠BEM=∠DCM ，
EM=CM
∴△BEM≌△DCM(SAS)．
∴BM=DM，∠BME=∠DMC．
∴∠BMD=∠BME+∠AMD=∠DMC+∠AMD=∠EMC=90°．
∴△BDM是等腰直角三角形．
∴∠BDM=45°．
【考点剖析】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三
角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF．把
纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕BM．
(1)若点N刚好落在折痕EF上时，
1
①如图1，过N作NG⊥BG，求证：NG= BN；
2
②如图2，求∠AMN的度数；
(2)如图3，当M为射线AD上的一个动点时，已知AB=3，BC=5，若△BNC的直角三角形时，求AM的
长．
【答案】(1)①见解析；②120°
(2)1或9
【思路引导】（1） ①证明四边形FCGN是矩形，得到NG=FC，根据折叠的性质，矩形的性质，得到
1 1
FC= CD= AB,BN=AB，证明即可；
2 2
②根据折叠的性质，求解即可．
（2）根据矩形的性质，判定∠NCB,∠NBC不可能是直角，只有∠BNC=90°，分直角在矩形内部和外
部两种情况计算即可．
【规范解答】（1）解：①∵矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，
1 1
∴四边形FCBE是矩形，FC= CD= AB，
2 2
∵NG⊥BG，
∴四边形FCGN是矩形，
∴NG=FC，
1
∴NG= AB，
2
根据折叠的性质得到,BN=AB，
1
∴NG= BN．
2②过点G作NG⊥BG于点G，
∵矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，
1 1
∴四边形FCBE是矩形，FC= CD= AB，
2 2
∵NG⊥BG，
∴四边形FCGN是矩形，
∴NG=FC，
1
∴NG= AB，
2
根据折叠的性质得到,BN=AB，
1
∴NG= BN．
2
根据折叠的性质，
∴∠GBN=30°,∠NBM=∠ABM，∠NMB=∠AMB，
∴∠GBN=∠NBM=∠ABM=30°，∠NMB=∠AMB=60°，
∴∠AMN=∠NMB+∠AMB=120°．
（2）根据矩形的性质，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，
∴∠BNC=90°，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∵∠BNM+∠BNC=180°，
∴C,N,M三点共线，
根据折叠的性质，∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，
∵矩形纸片ABCD，
∴AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，
∴CB=CM，
∵AB=3，BC=5，
∴BN=AB=3,CN=❑√CB2−BN2=4,CB=CM=5，
∴NM=AM=CM−CN=1；
根据矩形的性质，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，
∴∠BNC=90°，
∵矩形纸片ABCD，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∵∠BNC=90°，
∴C,N,M三点共线，
根据折叠的性质，
∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，
∵矩形纸片ABCD，
∴AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，
∴CB=CM，
∵AB=3，BC=5，
∴BN=AB=3,CN=❑√CB2−BN2=4,CB=CM=5，
∴NM=AM=CM+CN=5+4=9；故AM=9或AM=1．
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，
勾股定理是解题的关键．
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
P为AB边上（不与A、B重合）的动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的
最小值是 ．
【答案】2.4
【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题
关键．
连接PC，先利用勾股定理可得AB=5，再证出四边形CEPF是矩形，根据矩形的性质可得PC=EF，然
后根据垂线段最短可得当PC⊥AB时，PC的值最小，即EF的值最小，利用三角形的面积公式求解即可
得．
【规范解答】解：如图，连接PC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴PC=EF，由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC的值最小，即EF的值最小，
1 1
∴此时有S = AB⋅PC= AC⋅BC，
Rt△ABC 2 2
AC⋅BC 3×4
∴PC= = =2.4，
AB 5
即线段EF的最小值是2.4，
故答案为：2.4．
【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，点P是对
角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，
连接EF，则EF的最小值为 ．
120 1
【答案】 /7
17 17
【思路引导】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到EF的最小值为
DP′的长是解答的关键．如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，证明四边形DEPF是矩形得到
EF=DP，要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，利用三角形的
等面积法求得DP′即可求解．
【规范解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=15，BC=8，
∴CD=AB=15，AD=BC=8，∠ADC=90°，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√82+152=17，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC=180°，
∴∠PFD=90°，
∵PE⊥AD，∴∠PED=∠EDF=∠PFD=90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF=DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
1 1
∵S = AD⋅CD= AC⋅DP′ ，
△ADC 2 2
AD⋅CD 8×15 120
∴DP′= = = ，
AC 17 17
120
故EF的最小值为 ，
17
120
故答案为： ．
17
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积
【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点B、F、E、D在同一直线上，AE=CF，
AB∥CD，∠AEB=∠CFD．
(1)如图1，求证：BF=DE；
(2)如图2，连接AD、BC、AF、CE和AC，AC交BD于点G，若AC=BD，BF=GF，在不添加任何
辅助线的条件下，请直接写出图2中是△CGE面积3倍的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ABE，△ADF，△CBE，△CDF
【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算：
（1）证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，进而求出BF=DE即可；
（2）证明四边形ABCD为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可．
【规范解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，
∴BE−EF=DF−EF，
∴BF=DE；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∴BG=DG，
∵BF=GF，BF=DE，
∴BE=3≥,DF=3≥¿，
∴S =3S ，S =3S ，
△CBE △CGE △CDF △CGE
∵△ABE≌△CDF，
∴S =S =3S ，
△ABE △CDF △CGE
∵BE=DF，
∴S =S =3S ；
△ADF △ABE △CGE
综上：满足条件的三角形有△ABE，△ADF，△CBE，△CDF．
【变式训练】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于
点F．
(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系
(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．
12
【答案】(1)PE+PF= ，理由见解析
512
(2)PE+PF= ，理由见解析
5
12
(3)PE−PF= ，理由见解析
5
【思路引导】（1）连接OP，设点C到BD的距离为h ，利用勾股定理求出BD=5，由等面积法求出得
1
12
h = ，由S =S +S 建立等式再化简即可得到；
1 5 ΔCOD ΔDOP ΔCOP
5
（2）连接OP，设点O到AD的距离为h ，由（1）得OD=OA= ,h =2，同样利用等面积法，即
2 2 2
S =S +S ，即可求解；
△AOD △OPD △OPA
（3）连接OP、BP，由S =S +S =S +S +S ，建立等式，进行化简整理即
ΔBPD ΔCOD 四边形BOCP ΔCOD ΔCOP ΔBOP
可求解．
【规范解答】（1）解：连接OP，如图1，
设点C到BD的距离为h ．
1
在RtΔBCD中，BD=❑√BC2+CD2=❑√32+42=5，
1 1 BC⋅CD 3×4 12
由S = BD⋅h = BC⋅CD，得h = = = ．
ΔBCD 2 1 2 1 BD 5 5
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
由S =S +S ，得，
ΔCOD ΔDOP ΔCOP
1 1 1
OD⋅h = OD⋅PE+ OC⋅PF，
2 1 2 2
12
化简得PE+PF=h = ，
1 5
12
（2）解：PE+PF= ，理由见解析，
5
连接OP，如下图：设点O到AD的距离为h ，
2
5
由（1）得OD=OA= ,h =2，
2 2
∵S =S +S ，
△AOD △OPD △OPA
1 1 5 1 5
∴ ×3×2= × PE+ × PF，
2 2 2 2 2
12
∴PE+PF= ，
5
12
故答案为：PE+PF= ．
5
12
（3）解：PE−PF= ，理由如下：
5
连接OP、BP，如图．
由S =S +S =S +S +S ，
ΔBPD ΔCOD 四边形BOCP ΔCOD ΔCOP ΔBOP
1 1 1 1
BD⋅PE= OD⋅h + OC⋅PF+ OB⋅PE，
2 2 1 2 2
12
化简得2PE=h +PE+PF，即PE−PF=h = ．
1 1 5
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解．【演练1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O
,∠AOB=60°,AB=4，则AC的长为 ．
【答案】8
【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断△AOB是等边三角形是
解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA=OB=OC=OD，然后由∠AOB=60°可得△AOB为等边三
角形，然后可求得AC=2AB，进而即可求解
【规范解答】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC,OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8.
故答案为：8.
【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形ABCD．
(1)尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作
图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．
【答案】(1)图见解析5
(2)CE=
3
【思路引导】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解
题的关键：
（1）以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，作∠CBF的角平分线，交CD于点E，BE即为所求；
（2）折叠的性质，得到BF=BC,CE=EF，在Rt△ABF中，勾股定理求出AF的长，进而求出DF的长，
设CE=EF=x，在Rt△EDF中，利用勾股定理进行求解即可．
【规范解答】（1）解：如图，BE即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°,AD=BC=5,CD=AB=3，
∵由折叠可得BF=BC=5,CE=EF，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：AF=❑√BF2−AB2=4，
∴DF=AD−AF=1，
设CE=EF=x，则：DE=CD−CE=3−x，
在Rt△EDF中，由勾股定理，得：x2=12+(3−x) 2，
5
解得：x= ，
3
5
∴CE= ．
3
【演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长
线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)∠EAD=∠FDA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明△ABE≌△DCF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得∠BAE=∠CDF，结合∠CDA=∠BAD=90°，可得
∠EAD=∠FDA．
【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC，
∴ ∠ABE=∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
{
AB=DC
)
∠ABE=∠DCF ，
BE=CF
∴ △ABE≌△DCF(SAS)；
（2）证明：∵ △ABE≌△DCF，
∴ ∠BAE=∠CDF，
又∵ ∠CDA=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA，
∴ ∠EAD=∠FDA．
【演练4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC
于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1=45°−α B．∠1=α C．∠2=90°−α D．∠2=2α
【答案】D
【思路引导】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD∥BC，∠C=90°，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1=90°−α，∠2=2α，即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=90°
∴∠ADB=∠1
∵折叠
∴∠ADB=∠A′DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°−α，即2∠1=90°−α
1
∴∠1=45°− α，故A不正确
2
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠α，故B不正确
∵折叠，
∴∠C′ED=∠CED
∵∠2=180°−2∠CED=180°−2(90°−α)=2α，故C不正确，D选项正确
故选：D．
【演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿
BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
(1)若∠DED′=70°，求∠DAD′的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
【答案】(1)∠DAD′的度数为35°
(2)矩形，理由见详解
【思路引导】（1）根据点E是AD的中点，沿BE所在的直线折叠，可得△AED′是等腰三角形，根据三角
形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接EF，点H是BE上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形BED′F是平行四边形，如图所示，连接EC，EC′，过点E作EG⊥BC于点G，可证四边形C′D′EF是平行四边形，再根据折叠
的性质得∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，由此即可求证．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴DE=D′E，
∴AE=D′E，则△AED′是等腰三角形，
∴∠D′ AE=∠AD′E，
∵∠DED′=70°，即∠D′ED=∠D′ AE+∠AD′E=70°，
1 1
∴∠D′ AE=∠AD′E= ∠DED′= ×70°=35°，
2 2
∴∠DAD′的度数为35°．
（2）解：如图所示，连接EF，点H是BE上的一点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥BC，∠C=∠D=90°，即CD⊥BC，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，C′F∥D′E，BE是∠CBC′,∠DED′的角平分线，
1
由（1）可知，∠EAD′=∠ED′ A= ∠DED′ ，
2
∴∠ED′ A=∠D′EH，
∴AD′∥BE，且BF∥ED′，
∴四边形BED′F是平行四边形，则BF=ED′，FD′=BE，
如图所示，连接EC，EC′，过点E作EG⊥BC于点G，∵点E是AD的中点，EG⊥BC，
∴点G是线段BC的中点，则AE=DE=BG=CG，
∴在△BEG,△CEG中，
{
BG=CG
)
∠BGE=∠CGE=90° ，
EG=EG
∴△BEG≌△CEG(SAS)，
∴BE=CE，∠EBG=∠ECG，
∵沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，
∴∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，C′F∥D′E，∠GBE=∠FBE，
在△BC′E,△BCE中，
{
BC′=BC
)
∠C′BE=∠CBE ，
BE=BE
∴△BC′E≌△BCE(SAS)，
∴EC′=EC，∠BC′E=∠BCE，
∴EC′=EC=EB，
∴EC′=FD′，
∴四边形C′D′EF是平行四边形，
∵∠C′=∠D′=∠C=∠D=90°，
∴平行四边形C′D′EF是矩形．
【考点剖析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌
握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．∠CAD=∠CAB B．OA=OD
C．OA=AB D．AC所在直线为矩形ABCD的对称轴
【答案】B
【思路引导】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断．
【规范解答】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形ABCD中，只有当矩形为正方形时，对
角线AC才会平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC，故该选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，所以OA=OD，故选项说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以OA=OB，只有当△OAB的内角中有一个角为60°，可得到
△OAB是等边三角形，才能得到OA=AB，故该选项错误，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，但是AC所在直线不是矩形ABCD的对称轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB
上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为( )
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【答案】A
【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性
质是解题关键．先根据勾股定理可得AB=10，连接CP，根据矩形的判定与性质可得CP=EF，再根据垂线段最短可得当CP⊥AB时，CP取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【规范解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
如图，连接CP，
∵∠ACB=90°,PE⊥AC,PF⊥BC
，
∴四边形PECF是矩形，
∴CP=EF，
由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP取得最小值，
1 1
此时S = AB⋅CP= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 8×6
∴CP= = =4.8，
AB 10
即线段EF的最小值为4.8，
故选：A．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，AD，BE是△ABC的高，AB=AC，∠BAC=50°，则
∠BED的度数为（ ）
A．40° B．25° C．22.5° D．30°
【答案】B
【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等
腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可．
【规范解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BD=CD，
1
∴∠BAD=∠CAD= ×50°=25°，
2∴∠C=90°−∠CAD=65°，
∵BE是AC上的高，
∴∠CBE=90°−∠C=25°，
∵BE是AC上的高，且BD=CD，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠CBE=25°，
故选：B．
4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，且CD
