文档内容
专题21.3.2 菱形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................1
知识点一：菱形的定义..............................................................................................................................................................1
知识点二：菱形的性质..............................................................................................................................................................2
知识点三：菱形的判定..............................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 利用菱形的性质求角度....................................................................................................................................3
考点讲练二 利用菱形的性质求线段长...............................................................................................................................5
考点讲练三 利用菱形的性质求面积....................................................................................................................................6
考点讲练四 利用菱形的性质证明.........................................................................................................................................8
考点讲练五 添一个条件使四边形是菱形...........................................................................................................................9
考点讲练六 证明四边形是菱形...........................................................................................................................................11
考点讲练七 根据菱形的性质与判定求角度....................................................................................................................12
考点讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长...............................................................................................................14
考点讲练九 根据菱形的性质与判定求面积....................................................................................................................16
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................17
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................20
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................20
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................23
知识点一：菱形的定义
定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.
2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.
知识点二：菱形的性质
2、菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质.
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
2、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
知识点三：菱形的判定
1.菱形的判定方法：
定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理1应用格式：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.
定理2应用格式：
∵ AB=BC=CD=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
【要点解析】
（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.
②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条
边都相等.
考点讲练一 利用菱形的性质求角度
【典例分析】如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：
(1)∠BAD，∠ABC的度数；
(2)求菱形ABCD的面积．
【变式训练1】（24-25八年级下·贵州·月考）如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=72°，点E在对角
线BD上，且AE=BE．
(1)图①中有______个等腰三角形，∠AED的度数为______；
(2)按示例，将图②和图③的菱形ABCD分成四个等腰三角形（画出分割的线段并标出每个内角的度数，
不写画法和证明）．【变式训练2】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：
菱形的对角线互相垂直且平分．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=10，OD=8，则菱形ABCD的面积是
______；
(2)如图②，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，连接CF，四边形CDEF是菱形，连接AE，若
∠DAE=42°，求∠ACF的度数．
考点讲练二 利用菱形的性质求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点
E，F为AD边上的点，且AB=AF，连接BF、EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若CE=1，CF=❑√3，AB=2，求BF的长．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形ODEC是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
∠ACB:∠BAC=1:2 S =4❑√3 ODEC
矩形ABCD
【变式训练2】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)连接AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60∘，求AE的长．
考点讲练三 利用菱形的性质求面积
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
AC:BD=1:❑√3．若AB=12，求菱形ABCD的面积．
【变式训练1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，菱形花坛ABCD的边AD的长为10m，
∠DAB=120°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD，AC与BD相交于点O．
(1)求AC和BD的长；
(2)求菱形花坛ABCD的面积．【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．
（1）若AB=❑√7，AC=4，则AE的长为 ．
（2）在（1）的条件下，已知M是线段AC上的一点，且BM=2，则AM的长为 ．
考点讲练四 利用菱形的性质证明
【典例分析】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
1
过点A作AE∥BD，且AE= BD，连接BE．
2(1)求证：四边形AOBE是矩形．
(2)连接OE，若BD=10，AC=24，求OE的长．
【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在菱形ABCD中，过点B分别作BE垂直
AD于E，BF垂直CD于F．
(1)求证：BE=BF；
(2)连接BD，若BD=BA=10，求BE、BF的长．
【变式训练2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形ABCD中，AC=10cm，
∠ACD=60°，点P从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方
向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动
的时间是t秒，过点P作PE⊥BC于点E，连接PQ，QE．
(1)BQ=______cm，PE=______cm（用含t的代数式表示）；(2)试说明：无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
(3)连接AE，AE与PQ能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当t为何值时，△APQ为直角三角形．
考点讲练五 添一个条件使四边形是菱形
【典例分析】（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交
于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠AOB=∠BOC B．∠ABO=∠OBC C．AB=BC D．AC=BD
【变式训练1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，将线段AB沿过点B的直线l向右平移至A′B′，
点A，B的对应点分别为A′，B′．若______，请判定四边形ABB′ A′的形状，并证明你的结论．请选择下列
条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）．
①∠A=∠ABB′；②AB=BB′；③∠1=∠2；【变式训练2】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，连接
BD，点P为BD上的一点，过点P的线段分别交边AD，BC于点E，F．
(1)若PB=PD，求证：BE=DF．
(2)在（1）的条件下，请再添加一个条件（不再连线和添加字母），使得四边形EBFD为菱形，并说明理
由．
(3)当EF⊥BC且四边形EBFD有且仅有两条边相等时，求AE的长．
考点讲练六 证明四边形是菱形
【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是
∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE=BF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若∠A=60°，AB=2，求平行线AD与BC间的距离．【变式训练1】（2023·湖南长沙·二模）在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE=BD，过点E
作EF∥BD交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形BEFD是菱形；
(2)连接BF，若BC=3，CD=4，求线段BF的长．
【变式训练2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD
的中点，连结AF、CE，且AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，连接EG、FH．
(1)求证：EH=FG；
(2)当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．考点讲练七 根据菱形的性质与判定求角度
【典例分析】如图，在▱ABCD中，∠ABC 的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交
BC于点G，连接EG，CF．
(1)求证：四边形ABGE是菱形；
(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．
【变式训练1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，
每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中
完成）
(1)以AB、BC为边画平行四边形ABCD；
(2)在（1）中所画平行四边形ABCD的面积为________；(3)点E为边AB与网格线的交点，请在AC上确定一点G，使得∠CGB=∠AGE．（保留作图痕迹）
【变式训练2】（24-25八年级下·重庆永川·期末）在平行四边形ABCD中，AC为对角线，且
∠B=60°，∠BAD=2∠ACB，E为平面上的一点．
(1)如图1，若AE⊥BC，垂足为点E，CE=1，求AD的长；
(2)如图2，若点E在边BC上，且∠AEB=75°，CE=a，求AD的长；
(3)如图3，若点E在对角线BD所在直线上，EF∥AB交BC于点F，点G是CE的中点，连接
FG，AG，AF，求证：AG=❑√3FG．
考点讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长
【典例分析】如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：① AB∥CD；
②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC，其中正确的结论是 (把你认为正确的结论的序号都填上)．
【变式训练1】如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展
开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AE=10cm，CD=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）【定义】对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“
60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，∠AOB=60°．
【判定探究】下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是 ．（填序号）
①对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形；
②对角线所夹锐角为60°的矩形；
③对角线所夹锐角为60°的平行四边形．
【性质探究】以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，判断AB+CD与AC的大小关
系是AB+CD AC（填“>，<，≥或≤”），并说明理由；
【学习应用】若“60°等角线四边形”的对角线长为2，AD+BC的最小值为 ．考点讲练九 根据菱形的性质与判定求面积
【典例分析】（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，在▱ABCD中，DB=DA，F是AB的中点，
连接DF并延长，交CB的延长线于点F，连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形．
(2)若DC=2，BC=3，求△EDC的面积．【变式训练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，
按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．
(1)作菱形AMNP，使点M，N、P在边AB、BC、CA上；
(2)若∠C=90°,∠A=60°,AC=3时，则菱形AMNP的面积为___________．
【变式训练2】（24-25八年级下·吉林·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规
作图过程．
已知：△ABC．求作：菱形AEDF使点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上．
作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F；
③连接DE，DF．
所以四边形AEDF为所求的菱形．(1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)若∠BAC=60°，AD=2❑√3，则四边形AEDF的周长为______，它的面积为______．
【演练1】（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，延长CB至点E，延长AD
至点F，连接AE，CF．若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
39 39 21
A．9 B． C． D．
8 4 2
【演练2】（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的
中点，且AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆
1
心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画
2
弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S = ．
△ABH
【演练4】（2024·吉林·中考真题）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将
△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②．
(1)求证：四边形AB′C′D是菱形；
(2)四边形ABC′D′的周长为______；
(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出
所有可能拼成的矩形周长．
【演练5】（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC
的延长线于点E．(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不
写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，△ABC为等腰三角形．如果把它沿底边BC翻折后，得到
△DBC，那么四边形ABDC为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，
则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，AC为菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，若
∠EAC=25°，则∠ADC度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．75°
4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB,CD上，且AM=CN，
MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．34° B．54° C．62° D．72°
5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，
AF=EC，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形AECF是菱形．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O．若
AB=❑√6，AO=❑√2，OB=2，则四边形ABCD是 ．判定的依据是
．
7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC=8，BD=6，则OE的长为 ．
8．如图，线段AC是矩形ABCD的对角线，利用尺规作图的方法分别在CD，AB上找一点E，F，连接
AE，CF，使得四边形AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点
A，B作AE∥BD，BE∥AC，连接CE交BD于点F．
(1)求证：△BEF≌△OCF；
(2)当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，以AB，BD为
邻边作▱ABDE，DE与AC交于点O，连接EC．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形ADCE是
菱形．
①EC=DC ②CA
平分∠DCE ③
∠BAC=90°
(1)你选择的补充条件是____________（填序号）．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形ADCE是菱形．
创新拓展 拔尖冲刺
1．如图，已知在平面直角坐标系中，A(−1,0)、B(2,0)，菱形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，则点D的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
(−3,3) (−❑√5,−❑√5) (−3,❑√5) (−❑√5,3)
2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AC⊥BD．
若∠ABC=60°，BC=4，则BD的长为（ ）．A．4 B．8 C．4❑√3 D．2❑√3
3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，BD，AC是▱ABCD的对角线，过点A作AE⊥AC，交CD
的延长线于点E，则添加下列条件，不能使▱ABCD为菱形的是（ ）
A．CD=ED B．∠EAD=∠CAD C．AC⊥BD D．∠ADE=2∠CAD
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且
AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=
5．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A和D作BC的垂线，
分别交BC和BC的延长线于点E、F，连接OE，若AB=13,DF=5，则OE的长度为 ．
6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC，交BC于点E．若AC=4，BD=6，则CE的长度是 ．7．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一
个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这
两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，
保留作图痕迹）；
(2)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF=AE．求证：平行
四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC
∴∠AFB=90°，∠AED=90°
∴____________________①．
∵四边形ABCD为平行四边形
∴____________________②．
在△ABF与△ADE中
{∠AFB=∠AED
)
∠B=∠D
③
∴△ABF≌△ADE(AAS)
∴____________________④．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成立．
因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如
果这个顶点到这两边的距离相等，那么__________⑤，则可证明该平行四边形是菱形．．8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，
OA=OC，AB=BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，
若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
9．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平
分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
(1)求证：四边形ABFE是菱形；
(2)若∠ABC=90°，如图2所示：求证：∠ADO=∠BCO．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，
点D从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向
点B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0
