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第五章 相交线与平行线
一、相交线
相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两
直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。
A D
C O B
对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满
足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。
邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，
互为领补角。
邻补角与补角的区别与联系
1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为
180°
2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补
角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个
角既要满足数量关系又要满足位置关系。
领补角与对顶角的比较
第 1 页 共 16 页二、垂线
垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相
垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时
四个交角中一个角是直角。
a
垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直
例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，
b
b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a； O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
垂直的书写形式： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD=90°时，
AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
∵∠AOD=90°（已知）
A
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
D
书写形式：
C
∵ AB⊥CD （已知） O
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° B
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线
l的垂线. B
工具：直尺、三角板
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
l
3移:移动三角板到已知点; A
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的性质：
1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最
短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
第 2 页 共 16 页三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情
形）
同位角：一边都在截线上而且同向，另一边
E
在截线同侧的两个角。
如∠1和∠5，∠4和∠8。
1
2 B
内错角：一边都在截线上而且反向， 4
A 3
另一边在截线两侧的两个角。 D
5
（两个角在两条截线内）
6
如∠3和∠5，∠4和∠6。 8
7
C
同旁内角：一边都在截线上而且反向， F
另一边在截线同旁的两个角。
（两个角在两条截线内）
如∠3和∠6，∠4和∠5。
同位角、内错角、同旁内角的比较
四、平行线
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。
第 3 页 共 16 页任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。
平行线的画法：
已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
P
●
一、帖(线）
二、靠(尺） a
三、移(点)
四、画(线）
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a
b
平行线具有传递性。 c
第 4 页 共 16 页c
五、平行线的判定 1
a
判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。 2
简单说成：同位角相等, 两直线平行 b
c
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 a
内错角相等，那么这两条直线平行. 3
简单说成：内错角相等，两直线平行. 2
b
c
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，
a
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
3
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
4
b
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
六、平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
七、命题、定理、证明
命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设
是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如
果……那么……”的形式，“如果”后的部分是题设，“那么”后的部分是结
论。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称真命题。命题成立，而结
论不一定成立，这样的命题称假命题。
定理：有些真命题是基本事实，它们的正确性是经过推理证实的，无需再次进
行证明的，这样的真命题叫定理。
证明：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推
理的过程叫做证明。
第 5 页 共 16 页九、平移
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称
为平移。
平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，
对应角相等。
平移作图：
将线段AB平移，使点A与点D对应。
1、连结AD 2、过点B作AD的平行线
3、在平行线上作线段BC，使BC=AD 4、连结CD
第六章 实数
一、平方根
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算
√a
术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方
根是0。
平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），
那么x就叫做a的平方根(二次方根).
开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。
平方根的表示方法:
±√a ±√a +√a
如果x2=a (a≥0), 那么 x = ， 读作“正负根号 a”。 表示a
第 6 页 共 16 页−√a
的正的平方根。 表示 a的负的平方根。
√a
规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.
归纳：
1、正数有两个平方根，它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根。
例题1：
81x2 −225=0
方法: 1、把x2当作一个整体,求出x2=a;
2、再根据平方根的定义求x.
例题2： (1) 81的平方根是 ________ 。
√81
(2) 的平方根是 ________ 。
二、立方根
立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次
方根）
3
若x 是 a 的立方根，则说明x 3 = a。a 的立方根记为：√ a ,读作“三次根
号a”。
3
根指数
√a
被开方数
开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。
（1） 8 的立方根：√ 3 8=2 （2）- 64 的立方根：√ 3 −64=−4
归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方
根是零。
平方根和立方根的异同点
第 7 页 共 16 页三、实数
无理数：无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规
√2 √3
律但不循环的数。） 如 ， 等
实数：有理数和无理数统称实数。
实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的
每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
归纳：1、a是一个实数，它的相反数为 -a
2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的
意义完全一样。）
第 8 页 共 16 页第七章 平面直角坐标系
一、有序数对
有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做（a，b）。
利用有序数对，能准确表示一个位置，这里两个数的顺序不能改变。
二、平面直角坐标系
平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标
系。水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；竖直方向
上的数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点是平
面直角坐标系的原点 .
① 条数轴 ②互相垂直 ③公共原点 满足这三个条件才叫平面直角
坐标系
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
平面直角坐标系中两条数轴特征：
（1）互相垂直 （2）原点重合 （3）通常取向上、向右为正方向
（4）单位长度一般取相同的
平面上点的表示：平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、
y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标，
则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b）
注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开.
直角坐标系中点的坐标的特点:
第 9 页 共 16 页三、用坐标表示平移
平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平
移。平移后图形的位置改变，形状、大小不变。
我们先试一试：
在坐标中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向右平移5个单位长度得到点A1，则 点A1的坐标是________
（2）将点A向左平移3个单位长度得到点A2，则 点A2的坐标是________
（3）将点A向右平移a(a>o)个单位长度得到点An，则 点An的坐标是________
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点An´，则 点An 的坐标是
_______
总结规律1:图形平移与点的坐标变化的关系
(1)左、右平移：
原图形上的点(x,y) ，向右平移a个单位，(x+a,y)
原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位，(x-a,y)
(2)上、下平移：
原图形上的点(x,y) ，向上平移b个单位，(x,y+b)
原图形上的点(x,y) ，向下平移b个单位，(x,y-b)
总结规律2：图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
(1)横坐标变化,纵坐标不变：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a个单位。
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a个单位。
(2)横坐标不变,纵坐标变化：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b个单位。
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b个单位。
(3)横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b个单
位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b个单
位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a个单位,向上平移b个单
位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a个单位,向下平移b个单
位；
第 10 页 共 16 页第八章 二元一次方程组
一、二元一次方程组
二元一次方程：含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次
方程。
判断下例方程是不是二元一次方程：
(1) 3 - 2xy =1 （2）3y-2x =z+5 (3) 2x=1-3y
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元
一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的
坐标。
二元一次方程组：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二
元一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个
方程中的未知数相同）
二元一次方程组的特点：
1.有两个未知数.(二元)
2.含未知数的指数都为1.(一次)
3.两个一次方程组成.(方程组)
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程
组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。
二、解二元一次方程组
代入消元法：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式
表现出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一
元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
思路：“消元”，即把“二元”变为“一元”。
例： 用代入法解方程组
x－y=3 ①
3x－8y=14 ②
解:由①得,y=x－3 ③
把③代入②得
3x－8(x－3)=14 ,解这个方程得:x=2
把x=2代入③得:y=－1
x=2
所以这个方程组的解为:
y=－1
第 11 页 共 16 页加减消元法: 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方
程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这
种方法叫做加减消元法，简称加减法.
基本思路: 加减消元: 二元 一元
主要步骤：
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减——消去一个元
求解——分别求出两个未知数的值
写解——写出方程组的解
三、实际问题与二元一次方程组
例题：探究2（p99） 综合运用6（p102）
分析：题中的量很多，并且相互关联，这时，我们可画一张示意图，把题中的
条件在图中标出来，这样比较直，能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系。
四、三元一次方程组的解法
三元一次方程：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。
解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三
元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为
一元一次方程。
例：解下面两个三元一次方程组：
第 12 页 共 16 页第九章 不等式与不等式组
一、不等式及其解集
不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式
不等号包括： ≥、 ≤、
>、< 、≠
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求
不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式解集的表示方法：
第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x,<)画空心圆.
二、不等式的性质
性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c
即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不
变.
a b
>
c c
性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc (或 )
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
a b
<
c c
性质3：如果a>b，c<0，那么ac5，则m ____-5.
第 13 页 共 16 页2.如果x/y>0, 那么xy ____0.
3.如果a>-1,那么a-b _____-1-b.
4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______.
8 ( 7)
5.− x≤1,两边都乘 − ，得______.
7 8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所
以2a＜a
∵ 2a-a=a, 又∵ a＜0,
∴ 2a-a＜0,
∴2a
