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第 15 章 轴对称能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，借助量角器，可以计算∠BAC的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．50°
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角的定义，等腰三角形的性质．
先根据邻补角的定义求出∠AOD=50°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】如图，连接OD，
由图可知，∠BOD=130°，
∴∠AOD=180°−130°=50°．
∵OA=OD，
180°−50°
∴∠BAC=∠ODA= =65°．
2
故选B．
2．如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个
测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是
（ ）
A．垂线段最短
B．三角形三条高所在的直线交于一点
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰
三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合．
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，AD也是BC边上的高，即AD⊥BC，
即这根木条是水平的．
【详解】解：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高．
又∵AD自然下垂，
∴BC处于水平位置．
故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一”
故选D．
3．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广
场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．AC，BC两边中线的交点处
B．AC，BC两边垂直平分线的交点处
C．AC，BC两边高线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】B【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的
点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足
到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个
小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆
定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的
点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个
文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线
的交点处．
故选：B．
4．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三
角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三
角形角平分线、中线和高线的定义求解．
【详解】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD=∠B' AD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，∠ADB=∠ADB'，
因为∠ADB+∠ADB'=180°，
所以∠ADB=∠ADB'=90°，
所以AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，BD=CD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：C．5．如图，EF分别为长方形ABCD的边AD，BC上的点，将长方形ABCD沿直线EF折叠，
若∠2−∠1=40°，则∠AEF的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．145°
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质以及平行线的性质，根据题意可得AD∥BC，则
∠2+∠1=180°，结合已知可得∠2=110°，根据折叠的性质可得
1
∠BFE=∠B′FE= ∠2=55°，进而根据平行线的性质，即可求解．
2
【详解】解：∵长方形的对边平行，AD∥BC
∴∠2+∠1=180°，
又∵∠2−∠1=40°，
∴∠2=110°，
∵AD∥BC，
∴∠BFB'=∠2，
∵折叠，
1
∴∠BFE=∠B'FE= ∠2=55°
2
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°−∠BFE=125°
故选：C．
6．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，添加下列条件后不能判
定△ACE与△CBD全等的是（ ）A．AD=BE B．∠ADC=∠AEB C．∠CAE=∠BCD D．CD=AE
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，AB=BC=AC，
A、由AD=BE，AB=BC得到BD=CE，由SAS判定△ACE≌△CBD，故A不符合题
意；
B、由∠ADC=∠AEB，得到∠BDC=∠AEC，由AAS判定△ACE≌△CBD，故B
不符合题意；
C、由ASA判定△ACE≌△CBD，故C不符合题意；
D、∠B和∠ACE分别是CD和AE的对角，不能判定△ACE≌△CBD，故D符合题意．
故选：D．
7．已知点A(m−1,3)与点B(3,n+1)关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．−1 B．−7 C．0 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识．根据“关于x轴对称，横坐标不
变，纵坐标互为相反数”建立等式求出m、n的值，即可解题．
【详解】解：∵点A(m−1,3)与点B(3,n+1)关于x轴对称，
∴m−1=3，n+1=−3，
解得m=4，n=−4，
∴m+n=4+(−4)=0，
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线DE是△ABD的对称轴，点D到点B的距
离为25cm，点D到直线AC的距离是8cm，△ACD的周长为53cm，则点A到直线BC
的距离是（ ）
A．25cm B．21cm C．20cm D．8cm【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得AD=BD=25cm，结合
△ACD的周长=AC+CD+AD=53cm，据此即可求解．
【详解】解：∵直线DE是△ABD的对称轴，
∴AD=BD=25cm，
∵CD=8cm，△ACD的周长=AC+CD+AD=53cm，
∴AC=20cm，
则点A到直线BC的距离是20cm，
故选：C．
9．如图1，将三角形纸片ABC沿中线CD翻折后，点A与点B重合，测得AD=4．沿CD
将纸片剪开，得到△AC′D′和△BCD，将三角形纸片AC′D′沿直线DB向右平移，如
图2，当DD′=1.5时，AB的长为（ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】此题重点考查翻折变换的性质、平移的性质等知识，推导出
AD′=AD=BD=4是解题的关键．
由翻折得AD=BD=4，由平移得AD'=4，则AD′+BD=8，而DD′=1.5，则
AD+1.5+BD=8，求得AB=AD+BD=6.5，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵将△ABC沿中线CD翻折后，点A与点B重合，
∴AD=BD=4，
由平移得AD'=4，
∴AD′+BD=8，
在图2中，
∵AD+DD′=AD′，且DD′=1.5
∴AD+1.5+BD=8，
∴AB=AD+BD=6.5，
故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，E
为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，连接DE，以下结论中：①
∠ADE=∠ACB；②∠DEC=60°；③∠AEB=∠AED；④DE=CE+2BE．其
中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
与性质等知识，延长CB到点F，使BF=BE，连接AF，则AB垂直平分EF，则
AE=AF，所以∠EAB=∠FAB，再证明∠EAD=∠FAC，即可根据全等三角形的
判定定理“SAS”证明△EAD≌△FAC，得∠ADE=∠ACB，可判断①正确；由①
得出∠AEB=∠AED，若∠DEC=60°，得出△AEF是等边三角形，这与题中所给
的条件是不符的，可判断②错误；由△EAD≌△FAC得∠F=∠AED，而
∠AEB=∠F，所以∠AEB=∠AED，可判断③正确；由△EAD≌△FAC得
DE=CF，因为FE=2BE，所以CF=CE+FE=CE+2BE，所以DE=CE+2BE，
可判断④正确．
【详解】解：如图，延长CB到点F，使BF=BE，连接AF，
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠FAB，∵∠CAD=2∠BAE，∠FAE=2∠BAE，
∴∠CAD=∠FAE，
∴∠CAD+∠CAE=∠FAE+∠CAE，
∴∠EAD=∠FAC，
在△EAD和△FAC中，
{
AD=AC
)
∠EAD=∠FAC ，
AE=AF
∴△EAD≌△FAC(SAS)，
∴∠ADE=∠ACB，∠F=∠AEF=∠AED，故①正确；
当∠DEC=60°时，∠F=∠AEF=∠AED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，显然，与题中所给条件不符，故②错误；
∵∠AEB=∠F，∠F=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，故③正确；
∵FE=2BE，
∴DE=CF=CE+FE=CE+2BE，故④正确，
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，腰AB的垂直平分线与底边BC交于
点D，垂足为点E，BD=4cm，则边BC的长度为 ．
【答案】12cm
【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练
掌握相关性质是解题的关键．
利用等边对等角，求出∠B的度数，利用中垂线的性质，得到AD=BD，利用等边对等角，求出∠BAD的度数，再根据角的和差关系可得∠CAD=90°，根据含30°角的
直角三角形的性质，求出CD的长，再根据线段的和差关系求出BC的长即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
1
∴∠B=∠C= (180°−∠BAC)=30°，
2
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=4，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=90°；
∴CD=2AD=8cm，
∴BC=CD+BD=12cm．
故答案为：12cm
12．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别在点
M，N的位置上．若∠EFG=48°，则∠2−∠1= ．
【答案】12°/12度
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行线的性质．根据AD∥BC可得
∠≝=∠EFG=48°，根据折叠可得∠GEF=∠≝=48°，进而可得∠2与∠1的度数，
即可得到答案．
【详解】解：∵AD∥BC，∠EFG=48°，
∴∠≝=∠EFG=48°，
由折叠的性质知：∠GEF=∠≝=48°，
∴∠1=180°−∠≝−∠GEF=180°−48°−48°=84°，
∵AD∥BC，
∴∠2=180°−∠1=180°−84°=96°，
∴∠2−∠1=96°−84°=12°，
故答案为：12°．
13．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点C落在点C 的位置，点D落在点D
1 1的位置，ED 的延长线交BC于点G．若∠CGE=50°，则∠EFG的度数为 ．
1
【答案】65°/65度
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是
正确理解折叠的性质．由长方形对边平行，可得内错角相等，结合折叠的性质和三角
形的内角和定理，计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠≝¿，
由折叠的性质可得，∠GEF=∠≝¿，
∴∠GEF=∠GFE，
又∵∠GEF+∠GFE+∠EGF=180°，∠CGE=50°，
180°−50°
∴∠EFG= =65°，
2
故答案为：65°．
14．乐乐用一张直角三角形制片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∠A=30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为
点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第
三步，将纸片沿DA′折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片
的边上时，则∠BDE的度数为 ．
【答案】120°或150°
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求
解．
【详解】解：当点E′在AC上时，如图，
由折叠得，A′D⊥EE′，
那么此时A′D⊥AC，
记A′D与AC交于点G，
∴∠DGA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AD A′=180°−∠A−∠DGA=60°，
∴∠ADE=∠E′DA′=∠ADE=30°，
∴∠BDE=90°+30°+30°=150°，
当点E′在AB上时，如图，
由折叠知∠ADE=∠A′DE=∠A′DE′，
当点E′在AB上时，则∠ADE+∠A′DE+∠A′DE′=180°，
∴∠ADE=60°，
∴∠AD A′=2∠ADE=120°，
∴∠ADB=60°，
∴∠BDE=60°+60°=120°，
综上，当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，∠BDE的度数为150°或120°，
故答案为：120°或150°．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作1
弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半
2
径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．
(1)求∠BCD的度数；
(2)若BC=2.5，求AD的长．
【答案】(1)36°
(2)AD=2.5
【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，
熟记相关结论即可.
（1）由题意得∠ACB=∠B=72°，根据CD是∠ACB的角平分线即可求解；
（2）求出∠BDC=180°−∠B−∠BCD=72°，得到CD=CB；求出
∠A=∠BDC−∠ACD=72°−36°=36°．∠A=∠ACD．推出AD=CD．即可求
解；
【详解】（1）解：∵AB=AC,∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°．
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
1
∴∠BCD=∠ACD= ∠ACB=36°
2
．
（2）解：在△BCD中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°−∠B−∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB，
在△ACD中，∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC−∠ACD=72°−36°=36°．
∴∠A=∠ACD．∴AD=CD．
∴AD=BC．
∵BC=2.5，
∴AD=2.5．
16．（8分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C均在格
点上．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)作出△ABC向右平移5个单位长度后的△A B C ；
2 2 2
(3)直接写出点B 的坐标______，点C 的坐标_______．
1 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(−5,−2)，(4,1)
【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称和平移，写出点到坐标等内容，掌握轴对
称和平移的性质是关键．
（1）把△ABC各个顶点关于x轴对称，再把对应点顺次连接即可；
（2）把△ABC各个顶点向右平移5个单位长度后，再把对应点顺次连接即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）解：如图所示，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：根据点所在的位置可得，
点B 的坐标(−5,−2)，点C 的坐标(4,1)，
1 2
故答案为：(−5,−2)，(4,1)．
17．（8分）如图，点E, F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．
(1)试说明：△ABF≌△DCE；
(2)连接AE，若∠AFB=40°，∠D=65°，AB=AE，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AED=65°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角
等知识．（1）利用SAS证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠DEC=∠AFB=40°，
∠B=∠C=75°，再根据等边对等角得出∠AEB=∠B=75°，最后根据平角的定义
求解即可．
【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵AB=DC,∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE(SAS)．
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴∠DEC=∠AFB=40°，∠B=∠C=180°−∠D−∠DEC=75°，
又∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B=75°，
∴∠AED=180°−∠AEB−∠DEC=65°．
18．（8分）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点
E、F，FG⊥AB，垂足为点G．
(1)求证：CE=FG；
(2)若AC=12，AB=15，CE=4，求△ABC的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)54
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的
性质是解题的关键；
（1）先根据角平分线的性质得出FC=FG，∠CAF=∠DAE,再证∠AED=∠AFC，
由对顶角相等可知∠AED=∠CEF，故可得出∠CEF=∠AFC，那么CE=CF，由
此可得出结论；
（2）先证FG=CF=CE=4，再根据1 1
S =S +S = AC×CF+ AB×FG即可解答；
△ABC △ACF △ABF 2 2
【详解】（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，FG⊥AB，
∴FC=FG，∠CAF=∠DAE,
∠CAF+∠CFA=90°,∠DAE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠AFC，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF，
∴CE=FG；
（2）解：∵CE=4，
∴FG=CF=CE=4，
∵AC=12，AB=15，
∴S =S +S
△ABC △ACF △ABF
1 1
= AC×CF+ AB×FG
2 2
1 1
= ×12×4+ ×15×4=54．
2 2
19．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF垂直平分BC，交BC于点E，交
AB于点F，且AD=DF．
(1)若∠B=38°，求∠ACD的度数；
(2)若△ABC的周长为30cm，BC=12cm，求BD的长．
【答案】(1)14°；
(2)9cm．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内
角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质推出AC=FC，FC=FB，由等腰三角形的性质推出
∠ACD=∠FCD，∠FCB=∠B=38°，由三角形的外角性质得到∠AFC=∠FCB+∠B=76°，由直角三角形的性质求出∠FCD=14°，即可得到
∠ACD的度数；
（2）由（11）知CA=CF，FC=FB，得到AC=FB，因此AC+AD=DB，求出
AC+AB=18cm，得到2DB=18cm，即可求出DB的长．
【详解】（1）解：∵CD⊥AB，AD=DF，
∴CD垂直平分AF，
∴AC=FC，
∴∠ACD=∠FCD，
∵EF垂直平分BC，
∴FC=FB，
∴∠FCB=∠B=38°，
∴∠AFC=∠FCB+∠B=76°，
∴∠FCD=90°−∠AFC=14°，
∴∠ACD=14°；
（2）解：由（1）知CA=CF，FC=FB，
∴AC=FB，
∴AC+AD=FB+DF，
∴AC+AD=DB，
∵△ABC的周长为30cm，BC=12cm，
∴AC+AB=30−12=18(cm)，
∴AC+AD+DB=18(cm)，
∴2DB=18cm，
∴DB=9(cm)．
20．（8分）如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm．动点P
从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿
CA方向以每秒3cm的速度向点A运动，运动时间是ts．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当△BPD≌△CQP时，求出t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．
4
【答案】(1)t=
3
(2)t=1
(3)不存在，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性
质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到CP=CQ，据此列出方程求解即可；
（2）根据△BPD≌△CQP时，BD=CP，建立方程求解即可；
（3）根据△BPD≌△CPQ时，PB=PC，BD=CQ，建立方程求解即可说明．
【详解】（1）解：由题意得BP=CQ=3t，则CP=8−3t，
当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，CP=CQ，
4
∴8−3t=3t，解得，t=
3
4
则当t= 时，点C位于线段PQ的垂直平分线上；
3
（2）解：∵D为AB的中点，AB=AC=10，
∴BD=5，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD=CP，
∴8−3t=5，解得t=1，
∴当△BPD≌△CQP时，t=1；
（3）解：不存在，理由如下：
∵△BPD≌△CPQ，
∴BD=CQ，BP=CP，
则3t=5，3t=8−3t，
5 4
解得，t= ，t= ，
3 3
5 4
∵ ≠ ，
3 3∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ．
21．（10分）【课本内容】
如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的
边BC上的中线．
【尝试应用】
学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在△ABC中，AB=10，AC=8，
D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决
方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请你根据这个提示写出证明
“△ADC≌△EDB”的推理过程，并求出AD的取值范围．
反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全
等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
如图3，已知AD是△ABC中BC边上的中线，F是AB上的一点，CF交AD于点E，
AB=CE，求证：FA=FE；
【拓展提升】
如图4，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D在边BC上，以DE为边作等
边△≝¿，连接CF．请直接写出CD，CE，CF之间的数量关系．
【答案】【尝试应用】见解析，1
