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人教版七年级下册第5~8章压轴题考点训练（一）
1．在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，且规定：正方形
内部不包括边界上的点．请你观察如图所示的正方形，边长为1的正方形内部有1个整点，
边长为2的正方形的内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，……，则边长
为9的正方形内部的整点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出边长为 的正方形的整点的个数，得到边长为1和2的正方形内部
有1个整点，边长为3和4的正方形内部有9个整点，边长为5和6的正方形内部有 个
整点，边长为7和8的正方形内部有 个整点，推出边长为9的正方形内部有 个整点，
即可得出答案．
【详解】解：设边长为9的正方形内部的整点的坐标为 ， 都为整数．
则 ，
故x只可取 共9个，y只可取 共9个，
它们共可组成点 的数目为 （个）
故选：C．
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，根据
已知总结出规律是解此题的关键．
2．在一单位为1的方格纸上，有一列点 ，（其中n为正整数）均为网格
上的格点，按如图所示规律排列，点 ， ， ， ， ，则
的坐标为（ ）A．（1008,0） B．（1010,0） C．（-1008,0） D．（-1006,0）
【答案】B
【详解】试题分析：由图形可知：
∴A —A ；A —A ；…；每4个为一组，
1 4 5 8
∵2017÷4=504…1，
∴A 在x轴正半轴，
2017
∵A 、A 、A 的横坐标分别为2，4，6，…，
1 5 9
∴A 的横坐标为（2017+1）÷4×2=1010．
2017
∴A 的坐标为为（1010，0）
2017
故选：B.
点睛：本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2017是奇数，求出点的脚码是奇数时的变
化规律是解题的关键．根据题意发现每4个为一组，每一组的第一个均为2的倍数，因此
可求其横坐标.
3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上．向右．向下．向右的方
向依次平移，每次移动一个单位，得到 ， ， ， ，…那么点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象移动的得出移动4次一个循环，得出结果即可；
【详解】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
∵ ，∴ 的坐标是 ；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律题，准确计算是解题的关键．
4．如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表
示的数是（ ）
A．π B．2π C．2π+1或2π-1 D．2π﹣1或-1-2π
【答案】D
【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的定义，分两种情况，进行解答即可．
【详解】解： 圆的直径为1个单位长度，
该圆的周长为 ，
又 点A代表的数为 ，
当圆沿数轴向左滚动两周到达点B时，点B表示的数是 ，
当圆沿数轴向右滚动两周到达点B时，点B表示的数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴的特点，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解题
的关键．
5．若不等式组 恰有两个整数解，则 的取值范围是_________________．
【答案】
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组可以求得m的取值范围
【详解】解：∵不等式组 恰有两个整数解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，列出关于
m的不等式组．
6．已知关于 的方程组 ，其中 ，以下结论：①当 时，方
程组的解 与 互为相反数；② 是方程组的解；③ 时，方程组的解也是
的解；④若 ．正确的结论有___________________（填序号）
【答案】①②④
【分析】①将 代入方程组，两式相加即可做出判断；
②将x与y代入方程组检验即可做出判断
③将 代入方程组求出x与y的值，即可确定做出判断；
④先解方程组，根据y的范围确定出x的范围即可做出判断．
【详解】解：①将 代入方程组得： ；
两式相加得：
∴x与y互为相反数，①正确；
②将 代入方程组得：
解得： ，
∵ ，∴②正确；
③将 代入方程组得：
解得： ，
代入方程 ，左边得： ；右边 ，即左边 右边，
∴方程组的解不是方程 的解；③错误；
④解方程组 得：
∵ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方
程组是解题的关键．
7．“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A、B两种产品走欧洲市
场热销，今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售
价-成本），其每件产品的成本和售价信息如下表：
A B成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？设A产品x件，B产品y件，可列方程组
___________．
【答案】
【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件，根据今年第一季度这两种产品的
销售总额为2060万元，总利润为1020万元得到两个等量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设A产品x件，B产品y件，由题意得
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出等量关系是解此题的关键．
8．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是_____．
【答案】
【分析】先把x+2与y－1看作一个整体，则x+2与y－1是已知方程组 的解，
于是可得 ，进一步即可求出答案．
【详解】解：由题意得：方程组 的解为 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出 是解此题的
关键．
9．若 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值为__________________．
【答案】
【分析】先确定 的值，然后求出a和b的值，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了无理数的估算以及代数求值，解题的关键是确定 的值．
10．已知点A(﹣2，0)，B(3，0)，点C在y轴上，且S =10，则点C坐标为_____．
ABC
【答案】（0，4）或（0，－4） △
【详解】设C(0，y),
BC =10,
5|y| =10,
y . C(0，4)或（0，-4）.
故答案为(0，4)或（0，-4）.
11．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于A、B两点，且直线上所
有点的坐标 都是二元一次方程 的解；直线 与 轴， 轴分别交于C、D
两点，且直线上所有点的坐标 都是二元一次方程 的解，直线a与b交于点
E．
图1 图2
(1)点A的坐标为 ，点D的坐标为 ．
(2)图1中，连接 ，求 的面积．
(3)如图2，将线段 平移到 ，连接 ，点 是线段 (不包括端点 )上一动点，
作 直线 ，交直线 于 点，连接 ．当P点在线段 上滑动时，
是否为定值？并说明理由．
【答案】(1) ，(2)
(3) 是定值，理由见解析
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标和点D的坐标；
（2）求出两条直线的交点E的坐标，根据 的面积=四边形 的面积 的
面积 的面积进行计算即可；
（3）作 交 于G，根据平行线的性质求出 即
可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线a上所有点的坐标 都是二元一次方程 的解，
∴当 时， ，
∴点A的坐标为： ，
∵直线b上所有点的坐标 都是二元一次方程 的解，
∴当 时， ，
∴点D的坐标为： ；
（2）解：连接 ，作 轴于H，
，解得
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
∴ 的面积=四边形 的面积 的面积 的面积
；
（3）解： 是定值，理由如下：
如图2，作 交 于G，∴
∵ 直线b，
∴ ，
∴ ，
由平移的性质可知， ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵两直线的解析式是确定的，
∴两直线的夹角是确定的， 不变，
∴ 的值不变.
【点睛】本题考查的是平移的性质、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的交点的求
法以及平行线的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
12．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b，他们发现这个结论运
用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE＋∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线
交PF于点F，当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数.
【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由见解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.
【分析】（1）过E点作EH∥AB,再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.
（2）过点E作EM∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到
∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°，再作NF∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到
角的关系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度数.
（3）过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，再利用角平分线性质
得到∠DQH＝90°－ α，∠FQD＝90°＋ α，再利用平行线性质、角平分线定义∠BPF＝
∠BPE＝55°－ α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.
【详解】（1）∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：
过点E作EH∥AB
∴∠APE＝∠PEH
∵EH∥AB，AB∥CD
∴EH∥CD
∴∠CQE＝∠QEH，
∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH
∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE
（2）过点E作EM∥AB，如图，
同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°
∵∠BPE＝180°－∠APE，∠EQD＝180°－∠CQE，
∴∠BPE＋∠EQD＝360°－(∠APE＋∠CQE)＝220°，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD
∴∠BPF＝ ∠BPE，∠DQF＝ ∠EQD
∴∠BPF＋∠DQF＝ (∠BPE＋∠EQD)＝110°，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110°
（3）过点E作EM∥CD，如图，
设∠CQM＝α，
∴∠DQE＝180°－α，
∵QH平分∠DQE，
∴∠DQH＝ ∠DQE＝90°－ α，
∴∠FQD＝180°－∠DQH＝90°＋ α，
∵EM∥CD，AB∥CD ，∴AB∥EM，
∴∠BPE＝180°－∠PEM＝180°－(70°＋α)＝110°－α
∵PF平分∠BPE ，∴∠BPF＝ ∠BPE＝55°－ α，
作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理，根据性质定理得到角的关系．
13．如图①，直线MN与直线AB．CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，
且 ，求证： ；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得 ，作PQ平
分∠EPK，求∠HPQ的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以可
证AB CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角
形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，结合已知条件GH⊥EG，可证PF GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 ；
然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知 ；最后根据图
形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ=45°．
【解析】(1)
AB CD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
(2)
由（1）知
∴
EP又平分∠BEF
∴
FP平分∠EFD
∴
∴
∴
∴
又
∴ ；
(3)
∵PQ平分∠EPK
∴又
∴
又
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运
用．
14．如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满足(a+b)2+|a﹣b+6|
=0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图
2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
【答案】（1）A(-3，0)，B(3，3)；（2）∠AMD=45°；（3）①F点坐标为(0， )；②满足
条件的P点坐标为(0，5)，(0，-2)，( -10，0)，( 4，0)．
【分析】（1）根据非负数的性质得a+b=0，a-b+6=0，然后解方程组求出a和b即可得到点
A和B的坐标；
（2）由AB DE得∠ODE+∠DFB=180°，而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，所以∠ODE+90°-
∠FAO=180°，再根据角平分线定义得∠OAN= ∠FAO，∠NDM= ∠ODE，则∠NDM-∠OAN=45°，得∠NDM+∠DNM=135°，即可求出∠NMD=45°；
（3）①连接OB，如图3，设F(0，t)，根据 AOF的面积+ BOF的面积= AOB的面积，则
△ △ △
可得到F点坐标为(0， )；
②先计算 ABC的面积= ，分类讨论：当P点在y轴上时，设P(0，y)，利用 ABP的三角
△ △
形= APF的面积+ BPF的面积，此时P点坐标为(0，5)或(0，-2)；当P点在x轴上时，设
P(x，0)，求出此时P点坐标．
△ △
【详解】解：（1）∵(a+b)2+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A(-3，0)，B(3，3)；
（2）如图2，
∵AB DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN= ∠FAO，∠NDM= ∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-(90°-∠DNM)=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①连接OB，如图3，设F(0，t)，
∵△AOF的面积+ BOF的面积= AOB的面积，
△ △
∴
解得：t= ，
∴F点坐标为(0， )；
②存在．
ABC的面积= ，
△
当P点在y轴上时，设P(0，y)，
∵△ABP的三角形= APF的面积+ BPF的面积，
△ △
∴ ，
解得y=5或y=-2，
∴此时P点坐标为(0，5)或(0，-2)；
当P点在x轴上时，设P(x，0)，
则 ，
解得：x=-10或x=4，
∴此时P点坐标为(-10，0)，(4，0)．
综上所述，满足条件的P点坐标为(0，5)，(0，-2)，( -10，0)，( 4，0)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴
的位置关系；也考查了三角形面积公式和平行线的性质．
15．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 、 两类薄弱学校全部进行改造．根据
预算，共需资金1575万元．改造一所 类学校和两所 类学校共需资金230万元；改造两
所 类学校和一所 类学校共需资金205万元．
（1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的 类学校不超过5所，则 类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财
政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金
不少于70万元，其中地方财政投入到 、 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15
万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【答案】（1） （2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有15所．
（3）共有4种方案
【分析】（1）可根据“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A
类学校和一所B类学校共需资金205万元”，列出方程组求出答案；
（2）根据“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”，进行判断即可；
（3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金
不少于70万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案；
【详解】解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b
万元．
依题意得： ，
解得： ，
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元；
（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．
则60m+85n=1575，
m＝ ，
∵A类学校不超过5所，
∴ ，
∴15≤n＜18，
∵n为整数，
∴n=15，16，17．
当n=15，m=5符合题意，
即：B类学校至少有15所；
（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，
依题意得： ，解得：1≤x≤4，
∵x取整数
∴x=1，2，3，4答：共有4种方案．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不
等关系是解题关键．
