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第二十六章、反比例函数
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的
取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：
1.
反比例函
数的概念 ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m= － 2 时，则该函数是反比例函数．
k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况
k>0 图象经过第 每个象限内，函数y的值
一、三象限 随x的增大而减小.
2.
反比例函 （ x 、 y 同
数的图象和 号）
性质
k<0 图象经过第 每个象限内，函数y的值
二、四象限 随x的增大而增大.
（ x 、 y 异
号）
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
3.
反比例函
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
数的图象
特征 （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分
别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
4. 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数
待定系数
k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x
法
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线
与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形
的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
5.
系数k的
几何意义
失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则
k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比
例函数解析式为： 或
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对
称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，
利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个
函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关
系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求
即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下
6.
与一次函 方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
数的综合
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边
长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注
意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：
S =S ＞ S
△AOC △OPE △BOD
知识点三：反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
7
（2设出函数表达式；
.
一
（3）依题意求解函数表达式；
般步骤
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第二十七章、相似
知识点一：比例线段
1.在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即
比
例 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线
段．
线段(1)基本性质： ⇔ ad＝bc；（ 、 ≠ ）
b d 0
2.
比例
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（ 、 ≠ ）
的 基
b d 0
本 性
质
(3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)
⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
l1 l2
A D l3
段成比例.即如图所示，若l 3 ∥l 4 ∥l 5 ，则 . B E l4
C F l5
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延
A B
3. 平 行 长 线)，所得的对应线段成比例.
O
线 分 线
段 成 比
例定理 C D
即如图所示，若AB∥CD，则 .
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所
A
构成的三角形和原三角形相似．
D E
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
B C
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段
AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB
4.
黄 金 的比叫做黄金比．
分割
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 5( －
1)cm
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
D
A
如 图 ， 若 ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， 则 B CE F
△ABC∽△DEF.
5. 相 似 (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个 D
三角形 三角形相似． 如图，若∠A＝∠D， A
的判定
B CE F
，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似． 如
D
A
B CE F图，若 ，则△ABC∽△DEF.
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
6.
相似
(3)相似三角形对应高的 比、对应角平分线的比和对应
中线的比等于相似比．
三角形的
性质
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC
与△DEF的面积之比为 9 ： 4 .
(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= 1 ： 2 .
第二十八章、锐角三角函数
知识点一：锐角三角函数的定义
正弦: sinA＝＝
1. 余弦: cosA＝＝
锐角三
角函数
正切: tanA＝＝.
度数
30° 45° 60°
三角函数
sinA
2.
特殊角
的三角函
数值
cosA
tanA 1
知识点二 ：解直角三角形3. 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个
解直角
锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的
三角形的
过程叫做解直角三角形．
概念
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
4.
解直角
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
三角形的
常用关系 (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，
tanA＝.
知识点三 ：解直角三角形的应用
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下
方的角叫做俯角．
5. (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡
仰角、
俯角、坡 比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡
度、坡角 角，用α表示，则有i＝tanα.
和方向角
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和
一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅
垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际
问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到
问题的解．
6.
解直角
三角形实 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
际应用的
一般步骤 （1）叠合式 （2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往
通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相
等，列方程求解.例如17年14年中考题第二十九章、投影与试图
知识点一：三视图 内 容
1 .三视图 主视图 俯视图 左视图
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
2 .三视图的对应关
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
系
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
3 .常见几何体的三
视图常见几何体的 例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体
三视图 的体积是36 .
知识点二 ：投影
由平行光线形成的投影．
在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角
形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方
4 .平行投影 程求出的影长．
例：小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，
他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他
的同学的影长为2 米．由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
5.中心投影
