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第18 章 平行四边形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，直线 ，点Q是直线 上的动点，点C和点D是直线 上的定点，当点Q从左向右运动
时， 的面积将（ ）．
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定
2．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数 与另一个角的度数 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 在 的边 上，连接 ，作 交 于点 ，点 是 的中点，且
，若 ，则 的长为（ ）
A．10 B．9 C． D．8
4．如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加（ ）条件，就能使它成为平行四边形．
A．另一组对边相等 B．一组对角相等
C．另一组对边平行 D．以上都成立
5．在四边形 中， ， 分别平分 ，点F为 的中点，连接 ，
则下列结论中，一定成立的是（ ）A． B． C． D．
6．如图，在矩形 的外部有四个全等的直角三角形，分别为 ， ， ， ，
连接 ， 交于点O，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含 角
的菱形 （如图1所示）．若 的长度为 ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．一节数学课上，老师展示了如下问题：如图，两个完全相同的直角三角尺 和 ，其中
， 都在直线l上．固定三角尺 ，将三角尺 从图示位置开
始沿射线 移动．甲、乙、丙、丁四位同学分别给出了关于四边形 的说法：
甲：一定是平行四边形；乙：不可能是矩形；
丙：可能是菱形；
丁：可能是正方形．
则说法不正确的是（ ）
A．甲和丙 B．乙和丙 C．只有丁 D．乙和丁
9．如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已
知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．4
10．如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上．已知点A（﹣2，0）、E（﹣3，0），点P是正
方形ABCD边上的一个动点，在正方形ABCD外作等腰直角 PEF，若点P从点A出发，以每秒 个单位
长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2020秒时，点F的坐标为（ ）
A．（﹣4，4） B．（5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（﹣4，2）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．小宁不小心将一块平行四边形教具打碎成两部分，通过测量，已经知道三个角的度数如图所示，则 的度数为 ．
12．如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点 是跷跷板 的中点，支柱 与地面垂直，且
的长度为 ，若小明到水平线 的距离 为 时小颖到地面的距离为 ．
13．如图，将 先沿 折叠，再沿 折叠后，A点落在线段 上的 处，C点落在E处，连
接 ， ．若恰有 ，则 ．
14．如图，在 中， ，动点 在 边上从点A开始向终点 运动，则线段 的中点
从开始到停止所经过的路线长为 cm．
15．如图，用长为 米的铝合金制成如图窗框，已知矩形 ，矩形 ，矩形 的面积均
相等，设 的长为 米，则 的长是 米．（用含 ， 的代数式表示）16．如图所示，将矩形 分别沿 ， ， 翻折，翻折后点 ，点 ，点 都落在点 上．
若 ，则 ．
17．将正方形纸片 对折，展开得到折痕 ，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交 于
点E， 交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则 的长度为 ．
18．如图，已知第1个菱形 中， ， ，以对角线 为边作第2个菱形
，使点 在菱形 的内部，且 ，再以对角线 为边作第3个菱形 ，
使点 在菱形 的内部，且 ，顺次这样作下去……，则第2023个菱形
的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知 ， 、 相交于点O，延长 到点E，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形：
（2）连接 ，交 于点F，连接 ，判断 与 的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图， 中， 为 上一点， ， 的角平分线 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2） 为 上一点，当 平分 ，求证： ．
（3）在（2）的基础上，连结 ，求证： ．
21．（10分）如图， 中， 是高， 是中线，点G是 的中点， ，点G为垂足．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．22．（10分）如图， 中，对角线 、 交于点 ，在 上截取 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求证： 平分 ．
23．（10分）如图①，在正方形 中，点 分别在 上且 ．
（1）试探索线段 的大小关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接 ，分别取 的中点 ，顺次连接，得到四边形 ：
①请在图②中补全图形；
②四边形 是什么特殊平行四边形？请说明理由．24．（12分）【课本再现】（1）如图1，E是正方形 中 边上任意一点，以点A为中心，把
顺时针旋转 ，请你按课本的解答：“设点E的对应点为 ，在 的延长线上取点 ，使
，连接 ，则 为旋转后的图形”，画出旋转后的 ，易知线段 与 的关系
为______________________；
【深入探究】（2）如图2，在正方形 中，E，F分别是边 上的点，且 ，请你
探究图中线段 之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】（3）在（2）图2的条件下，若正方形 的边长为6，且F为 边的中点时，
的长为____．
参考答案：
1．A
【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知 的高不变，再结合点C和点D是直线 上的定点，
易知底边CD的长也是不变的，由三角形面积公式判断 的面积不变．
解：∵ ，根据平行线间的距离处处相等，
∴点Q到 的距离不变，即 的高不变，
∵点C和点D是直线 上的定点，
∴ 的底边CD的长也是不变的，
∴ 的面积不变．故选：A．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解
题关键．
2．C
【分析】根据平行四边形邻角互补解答．
解：由题意可得
x+y=180°
即
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．B
【分析】延长 交 于点 ，可推出四边形 是平行四边形，得 ；根据“点 是
的中点”可得 、 ，设 ，根据 即可求解．
解：延长 交 于点 ，如图：
∵ ， ，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
，
设 ，
，
解得： ，
∴ ，故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点
是解题关键．
4．A
【分析】根据平行四边形的判定进行解答，得到答案．
解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
四边形有一组对边相等，一组对角相等不能证明另一组对边也相等或平行，不能构成平行四边形，故
选项B不符合题意；
四边形有一组对边相等，另一组对边平行不一定构成平形四边形，也可能构成等腰梯形，故选项C、D
均不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，两直线平行，同旁内角互补，全等三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，作辅助线，在 上截取 ，连接
，由题意可得出 ，故 ，根据题意判定 与
，进一步推论出 即可．
解：在 上截取 ，连接 ．
∵ ， 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
由题意可知，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
6．A
【分析】设 、 交于点 ，连接 ，证明出四边形 为平行四边形，得到
， ，推导出 与 的比，即得出 与 的比，即可解答 与
的比．
解：如图，设 、 交于点 ，连接 ，
，
， ，
由 ，得 为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用
是解题关键．
7．B
【分析】作出图形，利用 直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解．
解：如图所示，菱形 中， ， ，
过点A作 于点E，则 ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴菱形 的面积为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，熟练运用 直角三角形的性质以及菱形的面积公式是本题的关键．
8．D【分析】根据四边形及特殊四边形的判定定理即可求解．
解：画出三角尺 从图示位置开始沿射线 移动的某一时刻的图象：
由题意可知：
故四边形 一定是平行四边形，故甲说法正确；
当 时，四边形 是矩形，故乙说法错误；
当 时，四边形 是菱形，故丙说法正确；
与 不能同时满足，故四边形 不可能是正方形，故丁说法错误．
故选：D
【点拨】本题考查四边形及特殊四边形的判定定理，掌握相关定理是解决此题的关键．
9．C
【分析】设 ，则 ，根据正方形的性质可知 ，将 的面积用 表示为一
个等式，求出 值，即可求解．
解：设 ，则 ，
四边形 和四边形 都是正方形，
，
，
即 ，解得 或 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形的的性质以及方程的应用，熟练掌握数形结合思想是解决问题的关键．
10．C
【分析】由正方形的性质可求 ，可求点P第2020面时与点C重合，由等腰直角三角
形的性质可求解．
解：∵点 ，
∴ ，∴点P从点A出发，一圈后回到A点所需的时间为 ，
∴ ，
∴第2020秒时，点P在点C处，
∴点 ，
∴EP=5，
∵ ，EF=EP=5，
∴点 ．
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形的性质，,等腰直角三角形的性质，解题的关键是找到点P的运动规律．
11．
【分析】先根据平行四边形对角相等，邻角互补求出 ， 的度数，再求出 的度数即可
利用五边形内角和定理求出答案．
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角和定理，正确求出 ， ， 的
度数是解题的关键．
12． /90厘米
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题
的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明 ．
解：∵在 和 中 ，∴ ，
∴ ，
∵ 为水平线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13． /126度
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，由折叠得 ，
， ，则 ，所以
，则 ，于是得 ，则 ，
，即可求得 ，于是得到问题的答案．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠得 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，
证明 是解题的关键．14．5
【分析】取 中点M， 中点N，连接 ．再根据点 从开始到停止所经过的路线长为 的中
点到 的中点，即为 的长，结合三角形中位线定理即可求解．
解：如图，取 中点M， 中点N，连接 ．
当动点 和A点重合时，则点Q与点M重合，
当动点 和B点重合时，则点Q与点N重合，
由三角形中位线定理可知 ．
由题意可知线段 的中点 从开始到停止所经过的路径即为线段 ，
∴线段 的中点 从开始到停止所经过的路线长为 ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查三角形中位线定理．读懂题意，理解点 从开始到停止所经过的路线长为 的中
点到 的中点是解题关键．
15．
【分析】设 ，根据矩形 ，矩形 ，矩形 的面积均相等，得出 ，再根
据窗户框的总长为 米，得出 ，从而表示出 的长．
解：设 ，
矩形 ，矩形 ，矩形 的面积均相等， ，
，
，
，
，
，，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出 的长．
16．
【分析】依题意 ， ， ， ，
，在 中， ，得出 ，进而在 中，
，列出方程即可求解．
解：依题意 ， ， ， ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
解得： ，
同理 ,又
在 中， ，
∴
设
∴
解得：故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，得出 是解题的关键．
17．
【分析】根据题意得 ， 垂直平分 ， ， ，
，则 ，即 ，根据 得 ，即
，根据勾股定理得 ， ，则 ，进行计算即可得．
解：∵正方形纸片 的边长为4，
∴ ，
∵正方形纸片 对折，展开得到折痕 ，再次折叠，使顶点D与点M重合，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是理解题意，
掌握这些知识点．
18．
【分析】先分别求出菱形的对角线长，再依次求出面积，然后得出规律，进而得出答案．解：如图，连接 ，根据题意可知 ， ， ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
∴ .
可知 ，得 ；
同理：
， ，则 ；
， ，则 ；
···
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，数字变化规律问题等，根据变化特点得出规律是解题的关键．19．（1）证明见分析；（2） ，理由见分析．
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质得到 ，再根据等量代换得到 ，即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到 ， ，然后根据三角形的中位线的性质解题即可．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
又
，
四边形 是平行四边形；
（2） ．
四边形 是平行四边形，
，
又 中， ，
是 的中位线，
，
．
20．（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3）证明过程见详解
【分析】（1）根据 是 的外角， 是 的外角，运用三角形的外角的性质，
， 平分 ，即可求证；
（2）由（1）可得 ，根据 平分 ，可得 ，根据内错角相等两直
线平行的判定方法即可求证；
（3）根据题意，可证 ，可证四边形 是菱形，由此即可求解．
解：（1）证明：∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ， ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：由（1）可知， ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行线四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ，即 ．
【点拨】本题主要考查三角形的外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等
腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键．
（1）由 是 的中点， 得到 是 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到
由 是 的斜边 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
，即可得到 ．
（2）由 得到 ，由 得到 根据三角形外角性质得到
则 由此根据外角的性质来求 的度数．
（1）解： ∵ 是 的中点， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵ 是高， 是中线，
∴ 是 的斜边 上的中线，
∴ ．
∴ ；
（2）解：∵ ，
，
．
22．（1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到 ，进而证明 ，由此即可证明
四边形 是矩形；
（2）先证明四边形 是正方形，得到 ，即可证明四边形 是菱形，则由菱形的性
质可得 平分 ．解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形， ；
∴四边形 是矩形；
（2）证明：∵四边形 是矩形， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∴ 平分 ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，
熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．
23．（1） ，说明理由见分析；（2）①请在图②中补全图形见分析；
②四边形 是正边形，说明理由见分析
【分析】（1）根据已知利用 判定 ，由全等三角形的判定方法可得到 ；
（2）①根据题意补全图形即可；
②根据已知可得 都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一
个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形．
（1）解： ．
∵ 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①补全图形如图，②四边形 是正方形．
∵H、I、J、K分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
【点拨】此题主要考查正方形的判定的方法与性质和菱形的判定，及全等三角形的判定等知识点的综
合运用．
24．（1）画图见分析， ；（2） ，利用见分析；（3）2
【分析】（1）先根据题意画出图形，再利用 证明 ，即可得到 ；
（2）如图所示，在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，同理可得 ，则
，再证明 ，即可证明 ，得到 ，由
此可得 ；
（3）设 ，则 ， ，由勾股定理建立方程 ，解方程即可
得到答案．
解：（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
如图所示，在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，
同理可证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
∵正方形 的边长为6，点F为 的中点，
∴ ，∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线通过
证明得到对应线段之间的关系是解题的关键．
