文档内容
第一学期
初三数学期中试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线 的对称轴是直线（ ）
(A) (B) (C) (D)
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A、等腰梯形 B、平行四边形 C、等边三角形 D、矩形
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =40°，则∠OCB等于( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
第3题图 第4题图
4. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则下列结论中正确的是 ( )
A．a>0 B．c＜0 C． D．a＋b＋c>0
s
5.将三角形绕直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）．
/
6. 若将抛物线y= 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线
的顶点坐标是（ ）
2
A． B． C． D．
i
7．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°,BD=2，则AE的长为( )
V
A．2 B．3 C．4 D．5
F
8. 将抛物线 绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
i
A． B． C． D．9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得
的弦AB的长为 ，则a 的值是（ ）
A. 4 B. C. D.
10. 如图，在 中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A
B C的方向运动，到达点C时停止.设 ,运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的
大致图象是 ( ).
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） .
r
11. 的解是 那么抛物线 与 轴的两个
交点的坐标分别是 ______________．
12.. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质____________．
z,
第12题图 第13题图
13.如图， 的半径为1， 是 的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形 为矩形，
这个矩形的面积是_______________.
T
14.如图，二次函数 的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：
A
① ② ③ ④
q
⑤当 时，y随x的增大而减小，其中正确的是 .第14题图 第15题图
15.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为__________
16. 如图，一段抛物线： （0≤x≤2），记为 ，它与x轴交于点O，A；将C 绕点A 旋转
1 1 1
180°得C ，交x 轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C，交x 轴于点A；… ，如此进行下去，直至
2 2 2 2 3 3
得C ．
10 =
（1）请写出抛物线C 的解析式： ；
2
（2）若P（19，a）在第10段抛物线C 上，则a =_________．
10
三、解答题（每小题5分,共20分）
17.已知二次函数 在 与 的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
3568895
（2）若一次函数 的图象与二次函数的图象都经过点A（ ， ），求m与k的值。
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．
求证：∠A=∠AEB．19. 已知E为正△ABC内任意一点. 求证: 以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形. 若∠BEC=113,
∠AEC=123, 求构成三角形的各角度数.
20. 二次函数 的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（－1,0），与y轴交于
点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成 的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一
个交点B的坐标.
四、解答题（每小题6分,共36分）21. 在平面直角坐标系 中，过点 且平行于x轴的直线，与直线 交于点A，点A关
于直线 的对称点为B，抛物线 经过点A，B。
(1)求点A，B的坐标；
(2)求抛物线 的表达式及顶点坐标；
(3)若抛物线 与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。
22.已知P为等边△ABC外接圆弧BC上一点，求证：PA=PB+PC.
23.某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种
馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天
就会少卖出20个.考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角.
设这种馒头的单价为 角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为 角.
(1)用含 的代数式分别表示出每个馒头的利润与卖出的馒头个数；
(2)求 与 之间的函数表达式；
(3)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？
24. (1)如图①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC内部任意一点, 将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP. 求证: BQ = CP.
(2) 如图②,将点P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的条件不变, “BQ=CP” 还成立吗? 并证明你的结
论。
25.已知：如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，
交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
26. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1) 函数 的自变量x的取值范围是___________；
(2) 下表是y与x的几组对应值．
x … 0 2 3 4 5 …
y … 3 m …
求m的值；
(3) 如下图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画
出该函数的图象；
(4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2，3)，结合函数的图象，写出该函
数的其它性质（一条即可）： ．
五、解答题 （本题共16分，第27题5分，第28题5分，第29题6分）
27．已知二次函数 与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求抛物线 的解析式并化成顶点式.
（3）将(2)中求得的抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个
新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．
28.如图，已知∠ACD=900,MN是过点A的直线，AC=CD，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，过点D作CE⊥CB,与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变.
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=300，BD= 时，则CB= ．
29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两
点.
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB，求点P的坐标；
（3）将直线AC绕点C顺时针旋转45°到直线l ，过A作AE⊥l 于点E，将直线BC绕点C逆时针
1 1旋转45°到直线l ，过B作BF⊥l 于点F，将直线AB绕点A顺时针旋转45°到直线l，过B作BG⊥l
2 2 3 3
于点G，连接EF，CG，探索线段EF与线段CG的关系，并直接写出结论.
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C
11.(-3,0)，（5,0）
12.a-b+c=0
13.14.②,③,④.
15.
16.（1）y=-x2+6x-8；(2)a=1；
17.(1)对称轴：x= ,所以 ，所以 ，所以解析式为 .
（2）当x=-3时，m=-6，所以k=4.
18.证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE∴∠E=∠DCE，∴∠A=∠AEB．
19.∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CA；∠ACB=60°
∴将△BEC绕点C逆时针旋转60°，至△ACD，BC与AC重合∴△ADC≌△BEC
∴CE=CD；BE=AD；∠DCE=60°；∠ADC=∠AEC=123°
∴△DCE是等边三角形∴DE=CE；∠DEC=∠CDE=60°∴△ADE即所构三角形
∴∠ADE=∠ADC-60°=123°-60°=63°∠AED=∠AEC-60°=113°-60°=53°
∴∠DAE=180°-63°-53°=64°∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、 64°
20.
21. ①当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A(3，2)，∵AB关子x＝1对称，∴B(－1，2)．
②把(3，2)(－1，2)代入得： 所以函数解析式为y=x2-2x-1,其顶点坐标为（1,-
2）．
③如图，当C 过A点，B点时为临界，代入A(3，2)则9a=2， ,代入B(－1，2)则a＝2. .
2
22.在PA上截取PE=PC,连接CE
∵△ABC是等边三角形∴∠APC=∠ABC=60°∴△PCE是等边三角形
∴PC=CE,∠PCE=∠ACB=60°∴∠PCB=∠ACE
∵BC=AC,∠PBC=∠CAE∴△ACE≌△PBC∴PB=AE∴PA=PB+PC
23.（1）设这种面包单价为x角，得 160-（ x-7）×20=100，解得x=10，
利润为100×（10-5）=500角=50元，
答：这种面包的单价定为10角，这天卖面包的利润是50元．（2）设这种面包单价为y角，由题意得，[160-20(y-7)](y-5)=480,化简得，y2-20y+99=0，
解得 y=9，y=11，答：这种面包的单价定为9角或11角（0.9元或1.1元）．
1 2
24.证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，AQ＝AP,∠QAB＝∠CAP,AB＝AC,∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．
（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，AQ＝AP,∠QAB＝∠PAC,AB＝AC,∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．
25.（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；
∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°= ，BC=ABsin30°=1；
∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+ ，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，
∴MB=BEsin30°= ，∴MO=MB-OB= ．
26.（1）x≠0；（2）当x=3 时，m= ；
（3）注：要用光滑的曲线连接，图象不能与y轴相交；
（4）函数的性质有很多(写对一条得2分)．如：
①当x<0时，y值随着x值的增大而减小；
②该函数没有最大值；
③该函数图象与y轴没有交点．
27. 解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4(k+1)2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．
（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4．
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同的公共点．
1 2
①当直线位于l 时，此时l 过点A（-1，0），
1 1
∴0=-1+m，即m=1．
②∵当直线位于l 时，此时l 与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点
2 2
∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．
∴△=1-4（m-3）=0，即m= .综上所述，m的值为1或 .
28.解：（1）如图（2）：AB-BD= CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-BD，∴AB-BD= CB．
如图（3）：BD-AB= CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB= CB．
