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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填
涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每小题3分，计45分）
1．通过平移，可将如图移动到下列（ ）
A． B． C． D．
2．点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，经过配方，得到（ ）
A．（x+1）2=3 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=5
4．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±9
5．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，2）
C．对称轴是x=﹣1D．有最大值是2
6．如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使
A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为（ ）
A．45° B．90° C．120° D．135°
7．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣3，2），则a的值为（ ）
A． B． C． D．8．已知方程x2+x﹣6=0的两个根是a，b，则ab的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
9．如图，△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对应点 B．BO=B′O
C．∠ACB=∠C′A′B′ D．AB∥A′B′
10．下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2﹣x+2=0 C．x2﹣x﹣1=0D．x2﹣x+3=0
11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满
足的方程为（ ）
A．1+x+x（1+x）=100 B．x（1+x）=100 C．1+x+x2=100D．x2=100
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变
量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
13．下面表格列出了函数y=ax2+bx+c（a，b、c是常数，且a≠0），部分x与y对应值，那么方程
ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．6＜x＜6.7 B．6.7＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.9＜x＜9.20
14．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是
18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（ ）A．40﹣4x2=18B．（8﹣2x）（5﹣2x）=18C．40﹣2（8x+5x）=18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）=9
15．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个
结论，其中正确结论是（ ）
A．b2＜4ac
B．2a+b=0
C．a+b+c＞0
D．若点B（ ，y ）、C（ ，y ）为函数图象上的两点，则y ＜y
1 2 1 2
二、解答题：（请将解答结果书写在答题卡上指定的位置．本大题共9小题，16～17每小题6分，18～
19每小题6分，20～21每小题6分，22题10分，23题11分，24题12分，合计75分）
16．解方程：
（1）2x2﹣7x+3=0
（2）x（x﹣2）=x．
17．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x 和x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）如果x +x ﹣x x ＜﹣1且k为整数，求k的值．
1 2 1 2
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求
作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB C ，
2 2
③△A B C 中顶点A 坐标为 ．
1 1 1 119．如图，已知四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、
EF．
（1）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点 ，按逆时针方向旋转 度得到；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面
上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．
已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的
体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？21．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与
抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S =3，求抛物线的解析式．
△AMP
22．宜兴科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，
经核算，2013年该产品各部分成本所占比例约为2：a：1．且2013年该产品的技术成本、制造成本分
别为400万元、1400万元．
（1）确定a的值，并求2013年产品总成本为多少万元；
（2）为降低总成本，该公司2014年及2015年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年
增加一个相同的百分数m（m＜50%），制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m；同
时为了扩大销售量，2015年的销售成本将在2013年的基础上提高10%，经过以上变革，预计2015年
该产品总成本达到2013年该产品总成本的 ，求m的值．
23．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线
a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）延长MP交CN于点E（如图2）．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立
吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及
此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求
此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直
线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足
MP= MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填
涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每小题3分，计45分）
1．通过平移，可将如图移动到下列（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用平移设计图案．
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应
线段平行且相等．
【解答】解：通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，
观察图形可知B可以通过题中已知图案平移得到．
故选B．
【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线
段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
2．点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，经过配方，得到（ ）
A．（x+1）2=3 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先把常数项﹣1移项后，再在方程的左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1
配方得（x﹣1）2=2．
故选：B．
【点评】本题考查了配方法解方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半
的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
4．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±9
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】首先把﹣9移到方程右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得；x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到
等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，2）
C．对称轴是x=﹣1D．有最大值是2
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴与最值进行判断即可．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），函数有
最小值2．
故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与最值
是解决问题的关键．
6．如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使
A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为（ ）
A．45° B．90° C．120° D．135°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠ACB=45°，再根据旋转的性质得∠A′CB′=∠ACB=45°，
∠ACA′等于旋转角，由于点A、C、B′三点共线，则∠ACB′=180°，于是∠ACA′=180°﹣
∠A′CB′=135°．
【解答】解：∵三角板ABC为等腰三角形，
∴∠ACB=45°，
∵在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，
∴∠A′CB′=∠ACB=45°，∠ACA′等于旋转角，
∵点A、C、B′三点共线，
∴∠ACB′=180°，
∴∠ACA′=180°﹣∠A′CB′=135°，
即旋转角为135°．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转
中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣3，2），则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将点P的坐标代入函数解析式，然后解方程即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣3，2），
∴a（﹣3）2=2，
即9a=2，
所以，a= ．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，准确计算是解题的关键．
8．已知方程x2+x﹣6=0的两个根是a，b，则ab的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接利用根与系数的关系得出x x = ，进而求出答案．
1 2
【解答】解：∵方程x2+x﹣6=0的两个根是a，b，
∴ab=﹣6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，正确把握根与系数关系是解题关键．
9．如图，△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对应点 B．BO=B′O
C．∠ACB=∠C′A′B′ D．AB∥A′B′
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置
移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变；依次分析可得答案．
【解答】解：根据旋转的性质，△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°，
∠ACB的对应角是∠A′C′B′，因此C不正确．故选C．
【点评】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置
移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
10．下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2﹣x+2=0 C．x2﹣x﹣1=0D．x2﹣x+3=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵△=12﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
B、∵△=（﹣1）2﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
C、∵△=（﹣1）2+4=5＞0，∴此方程有实数根，故本选项正确；
D、∵△=（﹣1）2﹣12=﹣11＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的根与△的关系是解答此
题的关键．
11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满
足的方程为（ ）
A．1+x+x（1+x）=100 B．x（1+x）=100 C．1+x+x2=100D．x2=100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过
第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【解答】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=100．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人
数．
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变
量x的取值范围是（ ）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．
13．下面表格列出了函数y=ax2+bx+c（a，b、c是常数，且a≠0），部分x与y对应值，那么方程
ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．6＜x＜6.7 B．6.7＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.9＜x＜9.20
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】根据二次函数的增减性，可得答案．
【解答】解：由表格中的数据，得
在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而减小，
当x=6.18时，y=﹣0.01，当x=6.19时，y=0.02，
方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
14．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是
18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．40﹣4x2=18B．（8﹣2x）（5﹣2x）=18C．40﹣2（8x+5x）=18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）=9【考点】一元二次方程的应用．
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根
据底面积是18cm2即可列出方程．
【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（8﹣2x）•（5﹣2x）=18，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题
目的数量关系列出方程．
15．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个
结论，其中正确结论是（ ）
A．b2＜4ac
B．2a+b=0
C．a+b+c＞0
D．若点B（ ，y ）、C（ ，y ）为函数图象上的两点，则y ＜y
1 2 1 2
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴交点个数可判断选项A；根据抛物线对称轴可判断选项B；根据抛物线与x
轴的另一个交点坐标可判断选项C；根据函数图象的性质可判断选项D．
【解答】解：A、∵由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac，故本题选项错误；
B、∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，即2a﹣b=0，故本选项错误；
C、∵抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故本选项错误；
D、∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，抛物线的开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜ ＜ ，点B（ ，y ）、C（ ，y ）为函数图象上的两点，
1 2
∴y ＜y ，故本选项正确；
1 2
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开
口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛
物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣3对应函数值的正负来判断其
式子的正确与否．
二、解答题：（请将解答结果书写在答题卡上指定的位置．本大题共9小题，16～17每小题6分，18～
19每小题6分，20～21每小题6分，22题10分，23题11分，24题12分，合计75分）
16．解方程：
（1）2x2﹣7x+3=0
（2）x（x﹣2）=x．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=0
（2x11）（x﹣3）=0，
解得：x =0，x =3；
1 2
（2）x（x﹣2）=x
x（x﹣3）=0，
解得：x =0，x =3．
1 2
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
17．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x 和x ．
1 2（1）求k的取值范围；
（2）如果x +x ﹣x x ＜﹣1且k为整数，求k的值．
1 2 1 2
【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．
【专题】代数综合题；压轴题．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x +x =﹣2，x x =k+1．再代入不等式x +x ﹣x x ＜﹣1，即
1 2 1 2 1 2 1 2
可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x +x =﹣2，x x =k+1，
1 2 1 2
x +x ﹣x x =﹣2﹣（k+1）．
1 2 1 2
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1或0．
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，
一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求
作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB C ，
2 2
③△A B C 中顶点A 坐标为 （ 1 ，﹣ 2 ） ．
1 1 1 1【考点】作图-旋转变换；中心对称．
【分析】①把△ABC绕着点O旋转180°，得到△A B C ，那么这两个三角形关于这个点成中心对称；
1 1 1
②按照旋转角度、旋转方向、旋转中心进行作图即可；
③在直角坐标系中，点A 在第四象限，距离x轴2个单位，距离y轴1个单位，据此求得其坐标．
1
【解答】解：①如图，△ABC与△A B C 关于原点O的中心对称；
1 1 1
②如图，△AB C 是由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的三角形；
2 2
③由图可得，△A B C 中顶点A 坐标为（1，﹣2）．
1 1 1 1
【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素
有旋转角度、旋转方向、旋转中心，得到的图形与原图形全等．
19．如图，已知四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、
EF．
（1）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点 A ，按逆时针方向旋转 27 0 度得到；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按逆时针方向旋转270度得
到；
（2）先利用勾股定理可计算出AE=10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按逆时针方向旋转
270度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按逆时针方向旋转 270度得到．
故答案为：A，270；
（2）∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积= AE2= ×100=50（平方单位）．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转
中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理．
20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面
上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．
已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的
体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确
定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；
（2）利用当x=1时，y= ；当x=1.5 时，y= ．得出当竖直摆放5个圆柱形桶时，得出桶高进而比较；
即可得出答案；
（3）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可
得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．
【解答】解：（1）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（ ，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+k，
∵抛物线过点M和点B，
则k=5， ．
即抛物线解析式为 ；
（2）当x=1时，y= ；当x= 时，y= ．即P（1， ），Q（ ， ）
当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高= ×7=2.1．
∵2.1＜ 且2.1＜ ，
∴网球不能落入桶内；
（3）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得， ≤0.3m≤ ，
解得： ≤m≤ ；
∵m为整数，
∴m的值为8，9，10，11，12．
∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．
【点评】此题考查了抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐
标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．
21．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与
抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S =3，求抛物线的解析式．
△AMP
【考点】二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设出函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可；
（2）根据三角形的面积求出M点的纵坐标，代入直线解析式求出M的横坐标，再利用P、M的值求出函
数解析式．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得 ，
解得 ，
解析式为y=﹣x+4．
（2）设M点的坐标为（m，n），
∵S =3，
△AMP
∴ （4﹣1）n=3，
解得，n=2，
把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，
M（2，2），
∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），
可得y=a（x﹣1）2，
把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式，要熟练运
用二次函数与一次函数与坐标的特点．22．宜兴科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，
经核算，2013年该产品各部分成本所占比例约为2：a：1．且2013年该产品的技术成本、制造成本分
别为400万元、1400万元．
（1）确定a的值，并求2013年产品总成本为多少万元；
（2）为降低总成本，该公司2014年及2015年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年
增加一个相同的百分数m（m＜50%），制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m；同
时为了扩大销售量，2015年的销售成本将在2013年的基础上提高10%，经过以上变革，预计2015年
该产品总成本达到2013年该产品总成本的 ，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）由2：a=400：1400得出方程求得a的数值，进一步求得总成本即可；
（2）分别求得2015年的技术成本、制造成本、销售成本，进一步利用预计2015年该产品总成本达到
2013年该产品总成本的 ，建立方程解决问题．
【解答】解：（1）由题意得
2：a=400：1400，
解得a=7．
则销售成本为400÷2=200万元，
2013年产品总成本为400+1400+200=2000万元．
（2）由题意可得
400（1+m）2+1400（1﹣2m）2+200（1+10%）=2000× ，
整理得300m2﹣240m+21=0，
解得m =0.1，m =0.7（m＜50%，不合题意舍去）．
1 2
答：m的值是10%．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的实际运用，增长率问题的数
量关系的运用，解答时根据预计2015年该产品总成本达到2013年该产品总成本的 建立方程是关
键．
23．（2010•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异
侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）延长MP交CN于点E（如图2）．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立
吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及
此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；矩形的判定．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM= ME，而在Rt△MNE中，PN= ME，即可得到PM=PN．
（2）证明方法与②相同．
（3）四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立．
【解答】（1）证明：①如图2：
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE
∴PM= ME，
∴在Rt△MNE中，PN= ME，
∴PM=PN．
（2）解：成立，如图3．
证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°
∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM= ME，则Rt△MNE中，PN= ME，
∴PM=PN．
（3）解：如图4，
四边形M′BCN′是矩形，
根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，
得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求
此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直
线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP= MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，根据根的判别式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞0，所以无
论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）直接将C点（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，
且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就
有PM=DC，EM=PC，设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x ， y ）．根据PM=DC就有2x ﹣4=﹣ y ，由C点
0 0 0 0 0 0 0 0
在抛物线上有2x ﹣4=﹣ （ x 2﹣4x ﹣5），求出x 的值就可以得出结论．
0 0 0 0
【解答】解：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，
∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，
∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，
∴该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），∴﹣5=m2﹣9．
解得：m=±2．
当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0
解得：x =﹣5，x =1，
1 2
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=﹣2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（3）如图2，假设E点存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC
设C（x ，y ），则D（4﹣x ，y ），P（x ， y ）．
0 0 0 0 0 0
∴2x ﹣4= y ．
0 0
∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；
∴y ═x 2﹣4x ﹣5
0 0 0
∴2x ﹣4= （x 2﹣4x ﹣5）．
0 0 0
解得：x =1，x =11（舍去），
01 02
∴P（1，﹣2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的
交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角
三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性
质是重点难点．
