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期中检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
m+n 5 m
1.若 = ,则 等于 ( )
n 2 n
5 2 2
A. B. C. D.
2 3 5
3
2
【答案】D
2.现有三张质地、大小完全相同的卡片,上面分别标有数字-2,-1,1,把卡片背面朝上洗匀,从中
任意抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀,再任意抽取一张卡片,则第一次抽取的卡片上的数
字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是 ( )
1 1 2
A. B. C. D.
3 2 3
4
9
【答案】A
【解析】 画树状图如下:
由树状图知,共有9种等可能的结果,其中满足条件的结果有3种,所以第一次抽取的卡片上的
1
数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是 .故选A.
3
3.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥0 B.m>0
C.m≥0且m≠1 D.m>0且m≠1
【答案】C
【解析】 ∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1≠0且Δ≥0,即m≠1且
(-2)2-4×(m-1)×(-1)=4m≥0,∴m的取值范围是m≥0且m≠1.故选C.4.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶√2,点A的
坐标为(1,0),则点E的坐标为 ( )
A.(√2,0)
B.(√2,√2)
2 3
C.( , )
3 2
D.(2,2)
【答案】B
【解析】 由正方形的性质得,OA=OC=1,因为正方形OABC与正方形ODEF的相似比为
1∶√2,所以DE=EF=√2,所以点E的坐标为(√2,√2).故选B.
5.为执行“均衡教育”政策,某市2017年投入教育经费2 500万元,预计到2019年底三年累
计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的平均增长率为x,则下列方程正确的是 ( )
A.2 500(1+x)2=1.2
B.2 500(1+x)2 =12 000
C.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=1.2
D.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=12 000
【答案】D
【解析】 由题意得,2018年投入的教育经费为2 500(1+x)万元,2019年投入的教育经费为2
500(1+x)2万元,预计到2019年底,三年累计投入[2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2]万元,所以2
500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2 =12 000.故选D.
6.某网球单打比赛场地宽度为8米,球网两侧的长度各为12米,球网高度为0.9米(如图AB的
高度),比赛中,某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球,设计打出直线穿越球,使球落
在对方底线上点C处,用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中,为保证战术成功,该运动员
击球点E的高度至少为 ( )
A.1.65米 B.1.75米 C.1.85米 D.1.95米
【答案】D
【解析】 如图,由题意知,当C,A,E三点共线时,击球点E的高度最低,即DE最小.由AB∥DE,
CB AB 12 0.9
可得△ABC∽△EDC,所以 = ,即 = ,解得ED=1.95.故选D.
CD ED 12+14 ED7.如图,在 ▱ABCD中,连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接
AN,CM,则四边形ANCM是 ( )
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.无法判断
【答案】B
【解析】 ∵MN垂直平分AC,∴AO=CO,∠AOM=90°.∵在 ▱ABCD中,
{∠MAO=∠NCO,
AD∥BC,∴∠MAC=∠NCA.在△AOM和△CON中, OA=OC,
∠AOM=∠CON,
∴△AOM≌△CON,∴OM=ON,∴AC和MN互相垂直平分,∴四边形ANCM是菱形.故选B.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD
于点E,则DE的长是 ( )
3 7 15
A.5 B. C. D.
2 4 4
【答案】C
1
【解析】 在Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,∴AC=10,∴AO=
2
AE AO
AC=5.∵EO⊥AC,∴∠AOE=∠ADC=90°.又∵∠EAO=∠CAD,∴△AEO∽△ACD,∴ = ,即
AC AD
AE 5 25 25 7
= ,解得AE= ,∴DE=8- = .故选C.
10 8 4 4 4
9.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S,S,则S+S
1 2 1 2
的值为 ( )
A.16 B.17 C.18 D.19【答案】B
6
【解析】 由题意知,AC=√2BC,BC=CE=√2CD,∴AC=2CD,CD= =2,∴EC2=22+22,∴EC=2
3
√2,∴S=EC2=2√2×2√2=8.由题意知S=3×3=9,∴S+S =9+8=17.故选B.
2 1 1 2
10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的一条直线分别与AB,CD交于点E,F,连接
BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结
论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB ≌△CMB;③四边形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正确
结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,且O是AC的中点,∴OB=OC=OA.∵∠COB=60°,∴△OBC
是等边三角形.又∵FO=FC,∴FB是OC的垂直平分线,∴FB⊥OC,OM=CM;在△AOE和△COF
{∠EAO=∠FCO,
中, OA=OC, ∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,OE=OF,∴BE=DF.又∵BE∥DF,∴四边形
∠EOA=∠FOC,
EBFD是平行四边形,易知∠FOB=∠EOB=90°,∵OE=OF,BO=BO,∴△EOB≌△FOB,∴BF=BE,∴
1 1
四边形EBFD是菱形;设OE=x,则OF=x,∵∠FOM=∠OBF=30°,∴BF=2x,MF= x,∴BM=2x-
2 2
3 3
x= x,∴MB∶OE= x∶x=3∶2.∴①③④正确,易知②不正确,故选C.
2 2
二、填空题(本大题共8小题,每题3分,共24分)
11.在一次数学活动课上,老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验,试验规则如下:在一个
不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球,这些球除颜色外其他都相同,将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球,记下颜色后再放回盒子,这样连续摸球200次.试验结束后,5个小组分别计
算出摸出黄球的频率(如下表所示).由此估计,盒子中红球的个数为 .
组别 第1组第2组第3组第4组第5组
摸出黄球的频率 0.19 0.22 0.20 0.19 0.20
【答案】24
【解析】 由题中表格可知,摸出黄球的频率稳定在0.20左右,所以估计摸一次球,摸出黄球
的概率为0.2,所以盒子中小球约有6÷0.2=30(个),所以估计红球的个数为30-6=24.
12.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的
周长为 .
【答案】16
【解析】 解方程x2-7x+12=0得,x=3或4.∵菱形的一条对角线长为6,3+3=6,不能构成三角
形,∴菱形的边长为4,∴菱形ABCD的周长为4×4=16.
CF
13.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则 的值为 .
BF
1
【答案】
2
CE BD BD 1 CF CE 1
【解析】 ∵DE∥BC,AD=2BD,∴ = = = .∵EF∥AB,∴ = = .
AE AD 2BD 2 BF AE 2
14.小明走进迷宫,迷宫中的每一个门都相同,第一道关口有四个门,只有第三个门有开关,第二
道关口有两个门,只有第一个门有开关,他一次就能走出迷宫的概率是 .
1
【答案】
8
【解析】 设第一道关口的四个门分别为A1,A2,A3,A4,第二道关口的两个门分别为B1,B2.列
表得:
A1 A2 A3 A4
B1(B1,A1)(B1,A2)(B1,A3)(B1,A4)
B2(B2,A1)(B2,A2)(B2,A3)(B2,A4)由表格得,共有8种等可能的结果,而一次能走出迷宫的只有1种,所以P(一次就能走出迷
1
宫)= .
8
15.如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD于
E,GF⊥BC于F,AD=1 500 m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为
B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m,则小聪行走的路程为 m.
【答案】4 600
【解析】 小敏行走的路程为BA+AG+GE=1 500+AG+GE=3 100 m,则AG+GE=1 600 m,小
聪行走的路程为BA+AD+DE+EF=3 000+DE+EF.连接CG,在正方形ABCD中,
∠ADG=∠CDG=45°,AD=CD,在△ADG和△CDG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴AG=CG.∵GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°,
∴四边形GECF是矩形,∴CG=EF.∵∠CDG=45°,∴DE=GE,∴小聪行走的路程为3
000+DE+EF=3 000+GE+AG=3 000+1 600=4 600(m).
16.新年期间,某微信群组织抢红包活动,活动规定:群内的每个人都要发一次红包,并保证群内
其他人都能抢到,且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动,群内所有人共收到90个红
包,则该微信群一共有 人.
【答案】10
【解析】 设该微信群一共有x 人,则每个人抢到(x-1)个红包,所以可列方程x(x-1)=90,解得
x=-9(不合题意,舍去),x=10,所以该微信群一共有10人.
1 2
17.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,点P是AC延长线上的一个
动点,过点P作PE⊥AD,垂足为点E,过点P作PF⊥DC,交DC的延长线于点F,则PE-PF=
.【答案】4.8
【解析】 延长BC交PE于点G,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AC⊥BD,且AC与BD互相
1 24
平分.又∵AC=6,BD=8,∴AB=√32+42=5,S
菱形ABCD
= ×6×8=24.∵PE⊥AD,∴PE⊥BG,∴EG=
2 5
=4.8,易证△PFC≌△PGC,∴PG=PF,∴PE-PF=PE-PG=EG=4.8.
18.三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2.按图1的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大
的正方形,称为第1次剪取,记余下的两个三角形的面积和为S;按图2的方式在余下的
1
Rt△ADF和Rt△BDE中,分别剪去尽可能大的正方形,称为第2次剪取,记余下的所有三角形
的面积和为S……第n次剪取后,余下的所有三角形的面积和S 为 .
2 n
5
【答案】( )n
9
AF DE
【解析】 易知在题图1中得到的两个直角三角形均与原直角三角形相似,且 = =
DF BE
AC 1 1 2 2 4
= ,由DE=CE,可得CE= BC= ,则正方形DECF的面积为( )2= ,则余下的两个直角
BC 2 3 3 3 9
5 5
三角形的面积和为 .同理,由题图2得余下四个三角形的面积和为( )2……依此类推,每次剪
9 9
5
取后剩余部分的面积均为上次剩余面积的 ,故第n次剪取后,余下的所有三角形的面积和S
9 n
5
为( )n.
9三、解答题(本大题共6小题,共66分)
19.(8分)解下列方程.
(1)x(x-2)-3x2=-1;
【解析】 (1)原方程可化为2x2+2x-1=0,
其中a=2,b=2,c=-1,b2-4ac=22-4×2×(-1)=12,
-2±√12 -1±√3
所以x= = ,
2×2 2
-1+√3 -1-√3
即原方程的根为x= ,x= .
1 2
2 2
(2)(x+3)2=(1-2x)2.
【解析】(2)移项,得(x+3)2-(1-2x)2=0,
因式分解,得(3x+2)(-x+4)=0.
2
所以3x+2=0,或-x+4=0,解得x=- ,x=4.
1 2
3
20.(10分)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体,6个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)的试验.
(1)他们共做了50次试验,试验结果如下:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 10 9 6 9 8 8
①填空:试验中,“朝上的点数为1”的频率是 .
②小亮说:“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大.”他的说法正确吗?为什么?
(2)两人约定:每次同时掷两枚骰子,如果两枚骰子的点数之和超过6,则小亮获胜,否则小明获
胜.小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由.
【解析】 (1)①0.2
②不正确.因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于
概率.
(2)小亮获胜的可能性大,理由如下.
列表如下:
第2枚骰子掷得的点数和
1 2 3 4 5 6
第1枚骰子掷得的点数
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表格可知,所有可能的结果共有36种,每一种结果出现的可能性相同.
21 7 15 5
所以P(点数之和超过6)= = ,P(点数之和不超过6)= = .
36 12 36 12
7 5
因为 > ,所以小亮获胜的可能性大.
12 12
21.(10分)如图,小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点
C射进房间的地板F处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得
窗户距地面的高度OD=0.8 m,窗高CD=1.2 m,并测得OE=0.8 m,OF=3 m,求围墙AB的高度.
【解析】 如图,连接CD,易知C,D,O在同一直线上.
∵DO⊥BF,∴∠DOE=90°.
∵OD=0.8 m,OE=0.8 m,
∴△OED是等腰直角三角形,∴∠DEB=45°.
∵AB⊥BF,∴∠BAE=45°,∴AB=BE.
设AB=EB=x m,
∵AB⊥BF,CO⊥BF,∴AB∥CO,
AB CO
可得△ABF∽△COF,∴ = ,
BF OF
x 1.2+0.8
∴ = ,解得x=4.4.
x+(3-0.8) 3
经检验,x=4.4是原分式方程的根.
答:围墙AB的高度是4.4 m.
22.(11分)某商店以40元/千克的价格新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千
克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系式为y=-2x+240(40≤x≤120).(1)该商店想在销售成本不超过3 000元的情况下,使销售利润达到2 400元,销售价格应定为
多少?
(2)在(1)条件下,该商店为了国庆期间促销,经过两次降价将销售价格定为81元/千克且全部售
完,求平均每次降价的百分比.
【解析】 (1)根据题意得,(x-40)(-2x+240)=2 400,
整理得,x2-160x+6 000=0,
解得x=60,x=100.
1 2
当x=60时,销售价格为60元/千克,销售量为120千克,则销售成本为40×120=4 800(元),超过
了3 000元,不合题意,舍去;
当x=100时,销售价格为100元/千克,销售量为40千克,则销售成本为40×40=1 600(元),低于
3 000元,符合题意.
答:销售价格应定为100元/千克.
(2)设平均每次降价的百分比是x,
根据题意得,100(1-x)2=81,
解得x=0.1=10%,x=1.9(舍去).
1 2
答:平均每次降价的百分比是10%.
23.(13分)如图1,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED
为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.
(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;
(2)当点D为AB的中点时,四边形ADEF的形状为 ;
(3)延长图1中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图2,若AD=AG,判断四边形
AEGF的形状,并说明理由.
图1 图2
【解析】 (1)∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A.
∵∠DEF=∠A,∴∠DEF=∠BDE,∴AD∥EF.
又∵DE∥AC,∴四边形ADEF为平行四边形.
(2)菱形1
∵点D为AB的中点,∴AD= AB,
2
1
∵DE∥AC,点D为AB中点,∴DE= AC.
2
∵AB=AC,∴AD=DE.
由(1)知四边形ADEF为平行四边形,
∴四边形ADEF为菱形.
(3)四边形AEGF是矩形.理由如下:
由(1)得,四边形ADEF为平行四边形,
∴AF∥DE,AF=DE.
∵EG=DE,∴AF=EG,
∴四边形AEGF是平行四边形.
∵AD=AG,EG=DE,∴AE⊥EG,
∴四边形AEGF是矩形.
24.(14分)如图1,在△ABC中,点D在线段AB上,点E在线段CB的延长线上,且
BE=CD,EP∥AC交直线CD于点P,交直线AB于点F,∠ADP=∠ACB.
(1)图1中是否存在与AC相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,请说明理由;
(2)若将“点D在线段AB上,点E在线段CB的延长线上”改为“点D在线段BA的延长线
上,点E在线段BC的延长线上”,其他条件不变(如图2).当∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2时,
求线段PE的长.
图1 图2
【解析】 (1)AC=BF.证明如下:
∵∠ADP=∠ACD+∠A,∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠ADP=∠ACB,
∴∠BCD=∠A,
又∵∠CBD=∠ABC,∴△CBD∽△ABC,
CD BC
∴ = .
AC BA
BC BE
∵FE∥AC,∴ = ,
BA BFCD BE
∴ = .
AC BF
∵BE=CD,∴AC=BF.
(2)∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,
∴∠ADP=∠ACB=30°,
∴∠BCD=60°,∠ACD=60°-30°=30°.
∵PE∥AC,∴∠E=∠ACB=30°,∠CPE=∠ACD=30°,
∴∠E=∠CPE,
∴CP=CE,
又∵BE=CD,∴BC=DP.
∵∠ABC=90°,∠D=30°,
1 1
∴BC= CD,∴DP= CD,即P为CD的中点.
2 2
又∵PF∥AC,∴F是AD的中点,
1
∴FP是△ADC的中位线,∴FP= AC.
2
∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,
1
∴AB= AC,∴FP=AB=2.
2
∵DP=CP=BC,CP=CE,
∴BC=CE,即C为BE的中点.
又∵EF∥AC,∴A为FB的中点,
∴AC是△BEF的中位线,
∴EF=2AC=4AB=8,
∴PE=EF-FP=8-2=6.
