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2023-2024 学年八年级数学下学期期中测试卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝ ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
2．若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm
【答案】A
【解答】解：①4cm是底边时，腰长为 ×（16﹣4）＝6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16﹣2×4＝8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．
故选：A．
3．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分
别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B．
1C． D．
【答案】D
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
4．若a＜b，则下列结论成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．﹣2a＜﹣2b C．3a＞3b D．1﹣a＞1﹣b
【答案】D
【解答】解：A、a＜b，则a+2＜b+2，选项说法错误，不符合题意；
B、a＜b，则﹣2a＞﹣2b，选项说法错误，不符合题意；
C、a＜b，则3a＜3b，选项说法错误，不符合题意；
D、a＜b，则1﹣a＞1﹣b，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断
前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
26．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度
数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：C．
7．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解： ，
由①得，x≥1，
由②得，x≤3，
在数轴上表示为：
故选：A．
8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，
两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝4，∠C＝30°，
则△ACD的面积为（ ）
3A． B． C． D．13
【答案】A
【解答】解：由作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，交AC于点E，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵AB＝BD＝4，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD＝4，
在Rt△DCE中，DC＝4，∠C＝30°，
∴DE＝2，CE＝2 ，
∴AC＝2CE＝4 ，
∴S△ADC ＝ •AC•DE＝ 4 ×2＝4 ．
故选：A．
9．如图，一次函数y ＝kx+4与y ＝x+b的图象相交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b≤kx+4的
1 2
解集是（ ）
4A．x≥3 B．x≤3 C．x≥1 D．x≤1
【答案】D
【解答】解：当x＜1时，直线y ＝x+b都在直线y ＝kx+4的下方，
2 1
所以关于x的不等式x+b≤kx+4的解集为x≤1．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到
△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（ ）
A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴∠A＝40°，∠B＝50°，
设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，
由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，
当∠DFE＝∠E＝40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴140﹣x＝100+40+x，
5解得x＝0（不存在）；
当∠FDE＝∠E＝40°时，
∴140﹣x＝40+40+x，
解得x＝30，
即∠ACD＝30°；
当∠DFE＝∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝ ，
∴140﹣x＝70+40+x，
解得x＝15，
即∠ACD＝15°，
综上，∠ACD＝15°或30°，
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标
是 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
【答案】（1，﹣1）．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点
Q的坐标是（﹣2+3，﹣3+2），即（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
12．因式分解：4m2n﹣4n3＝ 4 n （ m + n ）（ m ﹣ n ） ．
【答案】4n（m+n）（m﹣n）．
【解答】解：4m2n﹣4n3
＝4n（m2﹣n2）
＝4n（m+n）（m﹣n）．
故答案为：4n（m+n）（m﹣n）．
13．把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这
批书有 2 6 本．
【答案】26．
【解答】解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，
6依题意得： ，
解得：5＜x＜6 ，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴3x+8＝26．
故答案为：26．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 70 ° 或 110 ° ．
【答案】70°或110°．
【解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图△ABC．
∵BD是△ABC的高线，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABD＝20°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝70°．
即当顶角是锐角时，顶角的度数是70°．
（2）当顶角是钝角时，如图△EFG．
∵FH为△EFG的高线，
∴∠FHG＝90°．
∵∠HFE＝20°，∠FHG＝90°，
∴∠FEG＝∠HFE+∠FHG＝110°．
即当顶角是钝角时，顶角的度数是110°．
综上可知，等腰三角形的顶角为70°或110°．
故答案为：70°或110°．
715．如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上
一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，
∴PE＝PE′，CE＝CE′，
∴EP+FP＝PE′+PF≥E′F，
当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60，AB＝BC＝AC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BE′＝2BF，
∵BF＝6，BE＝4，
∴BE′＝2BF＝12，
∵CE＝CE′，
∴12＝2CE+BE＝2CE+4，
解得，CE＝4，
∴AB＝BC＝4+4＝8，
故答案为：8．
8三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（8分）因式分解：
（1）x2﹣9y2；
（2）x2y﹣6xy+9y．
【答案】（1）（x+3y）（x﹣3y）；
（2）y（x﹣3）2．
【解答】解：（1）x2﹣9y2
＝（x+3y）（x﹣3y）；
（2）x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2．
17.（6分）解不等式组： ．
【答案】x≤﹣ ．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＜1；
解不等式②得：x≤﹣ ；
∴不等式组的解集为x≤﹣ ．
18.（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°
（1）用尺规作图法作BC边上的高AD，垂足为D；
（2）若AC平分∠BAD，CD＝1，求BC的长．
9【答案】（1）作图见解析部分；
（2） ．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）过点C作CH⊥AB于点H．
∵AC平分∠BAD，CH⊥AB，CD⊥AD，
∴CH＝CD＝1，
∵∠B＝45°，
∴BC＝ CH＝ ．
19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答
下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A B C ，已知点C 的坐标为（1，0）作出△A B C 并写出其余两
1 1 1 1 1 1 1
个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）若将△A B C 绕某一点旋转可得到△A B C ，直接写出旋转中心的坐标．
1 1 1 2 2 2
【答案】（1）画图见解答；点A （3，﹣3），B （4，﹣1）．
1 1
（2）见解答．
（3）（5，0）．
10【解答】解：（1）△A B C 如图所示．
1 1 1
点A （3，﹣3），B （4，﹣1）．
1 1
（2）△A B C 如图所示．
2 2 2
（3）如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（5，0）．
20．（10分）在某次体育节中，实验中学学生会开展“爱心义卖”活动，准备笔记本和便利贴两种文
创产品共100本．若售出3本笔记本和2本便利贴收入65元，售出4本笔记本和3个便利贴收入90
元．
（1）求笔记本和便利贴的售价各是多少元；
（2）已知笔记本数量不超过便利贴的3倍，则准备笔记本和便利贴各多少本的时候总收入最多，
并求出总收入的最大值？
【答案】（1）笔记本的售价是15元，便利贴的售价是10元；
（2）准备75本笔记本，25本便利贴时，总收入最多，总收入的最大值为1375元．
【解答】解：（1）设笔记本的售价是x元，便利贴的售价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
11答：笔记本的售价是15元，便利贴的售价是10元；
（2）设准备m本笔记本，则准备（100﹣m）本便利贴，
根据题意得：m≤3（100﹣m），
解得：m≤75．
设准备的笔记本和便利贴全部售出后获得的总收入为w元，则w＝15m+10（100﹣m），
即w＝5m+1000，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最大值，最大值＝5×75+1000＝1375，此时100﹣m＝100﹣75＝25．
答：准备75本笔记本，25本便利贴时，总收入最多，总收入的最大值为1375元
21．（10分）（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连
接CE，求证：△ABD≌△ACE．
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边
BC的延长线上，连接CE．请判断：
①∠ACE的度数为 ．
②线段BC，CD，CE之间的数量关系是 ．
（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝ ，CD＝1，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）问题发现：
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，
且∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
12在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）类比探究：
①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
故答案为：45°；
②∵△ACE≌△ABD，
∴BD＝CE，
∴BC+CD＝CE，
故答案为：BC+CD＝CE；
（3）问题解决：
解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
在Rt△BAC中， ，
∴ ，
又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，
在Rt△BAC中， ，
则线段DE的长是 ．
22．（12分）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样
的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多
项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（ ）2﹣（ ）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣
3）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
13（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【答案】（1）（x﹣2）（x+4）；
（2）﹣7；
（3）12．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8
＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；
（2）设y＝x2+4x﹣3，
y＝x2+4x+4﹣4﹣3，
y＝（x+2）2﹣7，
∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．
23．（12分）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，
若顶点A恰好落在点（1，2）处，则点B的坐标为 ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作
线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且
∠ACB＝90°，AC＝BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），点B在第四象限时，
请求出点B的坐标．
14【答案】（1）（﹣2，1）；
（2）①（0，2），（1，0）；
②（3，1）；
（3）B（2，﹣4）．
【解答】解：（1）如图1，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，
∴∠BOE＝∠FAO，
∵AO＝OB，
∴△BEO≌△OFA（AAS），
∴BE＝OF＝1，OE＝AF＝2，
∴B（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）；
（2）①一次函数y＝﹣2x+2，令x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，则0＝﹣2x+2，x＝1，
∴B（1，0），
故答案为：（0，2），（1，0）；
②如图2，由（1）知，A（0，2），B（1，0），
15∴OA＝2，OB＝1，
过点C作CM⊥x轴于M，
∴∠AOB＝∠BMC＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBM＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵BC＝AB，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴BM＝OA＝2，CM＝OB＝1，
∴OM＝3，
∴点C的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）；
（3）如图3，过点B作BN⊥x轴于N，由△AOC≌△CNB，
∴∠BNC＝∠COA＝∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠NCB＝90°＝∠ACO+∠OAC，
∴∠NCB＝∠OAC，
∵AC＝CB，
∴△AOC≌△CNB（AAS），
16∴NC＝OA＝2，BN＝CO＝4，
∴ON＝CO﹣NC＝2，
∴B（2，﹣4）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/9 0:26:13；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
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