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北师大版九年级下册期中模拟
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C B D C B C D B A
解析：
1．tan60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
解：tan60°= ，
故选：B．
3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°得
∠B+∠A=90°．
由一个角的正弦等于它余角的余弦，得
cosB=sinA= ，
故选：B．
4．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2
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C．y=2x2﹣7 D．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
5．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次
函数的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4
C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4
解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），
∴设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+4，
把（0，﹣4）代入得a=﹣2，
∴这个二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+4．
故选B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．8 D．4
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB= ，
即cos30°= ，
∴BC=8× =4 ；
故选：D．
7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=﹣ ，
∴﹣ ，b＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
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8．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每
件商品售为x元，则可卖出（350﹣10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的
函数关系为（ ）
A．y=﹣10x2﹣560x+7350 B．y=﹣10x2+560x﹣7350
C．y=﹣10x2+350x D．y=﹣10x2+350x﹣7350
解：每件的利润为x﹣21，
∴y=（x﹣21）（350﹣10x）
=﹣10x2+560x﹣7350．
故选B．
9．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长 m，某钓者想看看鱼钓上的
情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为 m，则鱼竿
转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
解：∵sin∠CAB= = = ，
∴∠CAB=45°．
∵ = = ，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣ 0 1 3 …
1
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y … ﹣ 1 3 1 …
3
则下列判断正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x=4时，y＞0
D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
解：根据图表信息可知，抛物线的顶点坐标（ ，m）（m＞3）是最高点，所以开口向
下，故A错误，
因为x=0时，y=1，所以抛物线与y轴交于正半轴，故B错误，
因为x=4时，y=﹣3，故C错误，
因为y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在0与﹣1之间，
∴另一个交点在3与4之间，
因为方程 ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故D正确，
故选D．
11．如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离
60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方
向，则油轮从A航行到C处的距离是（ ）海里．（结果保留整数）（参考数据：
≈1.41， ≈1.74， ≈2.45）
A．66.8 B．67 C．115.8 D．116
解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=∠BDC=90°，
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由题意知：∠BAC=70°﹣25°=45°，
∵AM∥CN，
∴∠MAC+∠NCA=180°，
∴∠NCA=180°﹣70°=110°，
∴∠BCA=110°﹣50°=60°，
∵AB=60海里，∠BAD=45°，
∴AD=AB×cos45°=30 海里，BD=AD=30 海里，CD= =10 海里，
30 +10 ≈30×1.41+10×2.45≈67
∴AC=AD+CD=67海里，
故选B．
12．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于
A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．以下说法正确
的是（ ）
①PO2=PA•PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k=﹣ 时，BP2=BO•BA；
④三角形PAB面积的最小值为 ．
A．③④ B．①② C．②④ D．①④
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解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y= x2﹣2与y=kx得： x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，
∴m+n=3k，mn=﹣6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，解得a= ，b=﹣4，
∴y=（ ）x﹣4．
令y=0，得x= ，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（ ，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（ ）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（ ，0）．
∵ + = = = =0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．
假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB，
∴ ，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
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而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知： = =，
∴OB=﹣ OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴ ，
∴PB=﹣ PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣ PA﹣（﹣ OA）]=﹣（PA+AO）（PA﹣OA）
=﹣ （PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km．
∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）
2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k= （m+n），
∴PA2﹣AO2=8× （m+n）•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣（PA2﹣AO2）=﹣ • m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k= 时，联立方程组： ，得A（﹣2 ，2），B（ ，﹣1），
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∴BP2=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP2=BO•BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S =S +S = OP•（﹣m）+ OP•n= OP•（n﹣m）=2（n﹣m）=2 =2 ，
△PAB △PAO △PBO
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2 =4 ．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选A．
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．已知α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°﹣α）= ，tanα= ．
解：∵sinα=cos（90°﹣α），
∴cos（90°﹣α）= ；
由sin2α+cos2α=1，得：（ ）2+cos2α=1，
∴cosα= （负值舍去）；
∴tanα= = ．
14．已知函数y=（m+1）x +3x，当m= 1 时，它是二次函数．
解：∵函数y=（m+1）x +3x是二次函数，
∴m2+1=2且m+1≠0．
解得m=1．
故答案是：1．
15．如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ；
②sinα＞sinβ；③cosα＞cosβ，正确的结论为 ①② （填序号）．
解：根据图形得：∠α＞∠β，
∴tanα＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ．
∴①②正确．
故答案为①②．
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16．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，
得到的函数解析式是 y= 5 （ x﹣ 2 ） 2 + 2 ．
解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣
4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．
故答案为y=5（x﹣2）2+2．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）计算： ．
解：原式= = =2．
18．（6分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的
高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，
测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精
确到1米）．（可供选用的数据： ≈1.4， ≈1.7）．
解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD=12m，∠ECB=45°，
∴BE=CE=12m，
∴AE=CE•tan30°=12× =4 （m），
∴AB=4 +12≈19（m）．
答：建筑物AB的高为19米．
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19．（6分）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求sinA、cosA、sinB、cosB．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，
∴ = ，
∴sinA=2cosA，①
又sinA＞0，cosA＞0，sin2A+cos2A=1，②
联立①②得：sinA= ，cosA= ．
又A+B=90°，
∴sinB=cosA= ，cosB=sinA= ．
20．（6分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），
B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
解：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），
∵A（3，0），即OA=3，
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∴S = ×3×5= ．
△AOD
21．（6分）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下
数据：
∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376， ≈1.732）
解：作CM⊥BD于M，如图所示：
∵∠A=90°，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AB=400m，
∴AD= AB=200 m，
∴△ABD的面积= ×200×200 =20000 （m2），
∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，
∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m，
∴△BCD的面积= ×400×242.7=48540（m2），
∴这片水田的面积=20000 +48540≈83180（m2）．
22．（6分）已知：抛物线y=﹣x2﹣2x+1，
（1）求出它的顶点坐标；请问函数有最大值还是最小值？求出最值；
（2）若抛物线的顶点在双曲线 上，求出k值．
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解：（1）∵y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x2+2x）+1=﹣（x+1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），该函数有最大值，最大值是2；
（2）∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线的顶点在双曲线 上，
∴2= ，
解得，k=﹣2．
23．（8分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点
（点C在点D的左侧）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．
解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，﹣1），D（3，0），
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
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∵BD=3 ，AD= ，
∴S = •BD•AD=3．
△ABD
（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD2=BD•AD=3 =6，
∴PD= ，
∴OP=3+ ，
∴点P（3+ ，0）．
24．（8分） 如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B
来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上
的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线
交于点E．
（1）求直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．
（3）求△ABE面积的最大值．
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解：
（1）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上，
∴A（3，0），
∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= （x﹣1）2﹣2= x2﹣x﹣ ，当x=0时可得y=﹣ ，
∴B（0，﹣ ），
设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得 ，解得 ，
∴y= x﹣ ；
（2）∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴，
∴点E的横坐标为x，
∵点E在抛物线上，
∴E点的坐标为（x， x2﹣x﹣ ）；
（3）∵点P为线段AB上的一点，
∴P（x， x﹣ ），则E（x， x2﹣x﹣ ），
∴PE= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，
由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3﹣x，
∴S = PE•x+ PE•（3﹣x）= PE•（x+3﹣x）= PE=（﹣ x2+ x）=﹣ x2+ x=﹣（x﹣ ）
△ABE
2+ ，
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