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北师大版九年级下册期中复习
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B C C D A C D D D A
解析：
1．在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
解：∵|sinA﹣ |+（ ﹣tanB）2=0，
∴|sinA﹣ |=0，（ ﹣tanB）2=0，
∴sinA﹣ =0， ﹣tanB=0，
sinA= ，tanB=
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C=120°．
故选D．
3．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准
备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）
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A．2 m B．2 m C．（2 ﹣2）m D．（2 ﹣2）m
解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD= ，
∴AD=4sin60°=2 （m），
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，
∴AC= =2 （m）．
故选B．
4．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选C．
5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱
AD（D为底边中点）的长是（ ）
A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．
故选：C．
6．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（ ）
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x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 2 …
A．y=x B．y=﹣ C．y=（x﹣1）2+2 D．y=﹣ （x﹣1）2+2
解：∵抛物线过点（0， ）和（2， ），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，
把（﹣1，﹣1）代入得4a+2=﹣1，解得a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ （x﹣1）2+2．
故选D．
7．这次数学实践课上，同学进行大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处
测得直立于地面的大树顶端C的仰角为37°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走
5 米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡
度i=1：2（通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，即tanα值（α为
斜坡与水平面夹角），那么大树 CD 的高度约为（参考数据：sin37°≈0.6，
cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7米 B．7.2米 C．9.7米 D．15.5米
解：作BF⊥AE于F，
则FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1：2，
∴AF=2BF，
设BF=x米，则AF=2x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2x）2=（5 ）2，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=10米，
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∴AE=AF+FE=16米，
在Rt△ACE中，CE=AE•tan37°≈16×0.75=12米，
∴CD=CE﹣DE=12米﹣5米=7米，
故选：A．
8．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交
图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC= = = ，
∴BC=OB﹣OC=2﹣ ，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO= = =2+ ，
故选：C．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，则下列结论中
错误的是（ ）
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A．abc＜0 B．a﹣b+c＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．3a+c＞0
解：A、由抛物线开口向下，可得a＜0，
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，
由抛物线的对称轴为x=1，可得﹣ ＞0，则b＞0，
∴abc＜0，故A正确，不符合题意；
B．当x=﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，故B正确，不符合题意；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故C正确，不符合题意；
D．∵对称轴x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，
故D错误，符合题意；
故选D．
10．已知反比例函数 的图象如图，则二次函数 y=2kx2﹣x+k2的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
解：∵反比例函数图象在第二四象限，
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∴k＜0，
∴二次函数图象开口向下，
抛物线对称轴为直线x=﹣ ＜0，
∵k2＞0，
∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB= ，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
解：设b=5x，
∵tanB= ，
∴a=3x，
由勾股定理得，c= = x，
则cosA= = = ，
故选：D．
12．如图，已知抛物线y=﹣x2+px+q的对称轴为x=﹣3，过其顶点M的一条直线
y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得
△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（ ，0） C．（0，2）或（ ，0） D．以上都不正确
解：如图，∵抛物线y=﹣x2+px+q的对称轴为x=﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的
一点，
∴ ，
解得 ．
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∴该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣6x﹣4=﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求
的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y=ax+t（a≠0），则 ，
解得 ，
故该直线的解析式为y=x+2．
当x=0时，y=2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的
交点即为所求的点P（﹣ ，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长= ；如果点P在x轴上，则三角形
PMN的周长= ；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的
仰角为45°，则该旗杆的高度为 5 + 5 米．（结果保留根号）
解：作CF⊥AB于点F．
根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．
在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5 米．
则AB=AF+BF=5+5 米
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故答案为：5+5 ．
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|
﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是 P ＞ Q ．
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，
∵﹣ =1，
∴b+2a=0，
x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
∴﹣ b﹣b+c＜0，
∴3b﹣2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b+2c＞0，
∴p=3b﹣2c，
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，
∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0
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∴P＞Q，
故答案为：P＞Q．
15．形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是
（0，﹣5）的抛物线的关系式为 y=﹣2 x 2 ﹣ 5 ．
解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，
设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k，
将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5．
∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．
16．为解决都市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划出如图所示的停
车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°
角，则该路段最多可以划出 1 9 个这样的停车位．（取 =1.4，结果保留整数）
解：如图，
∵CE=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°，
∴BE=CE=2，BD=DE﹣BE=3，
∴BC=2÷sin45°=2 ，AB=（5﹣2）×sin45°=（5﹣2）× = ，
设至多可划x个车位，依题意可列不等式
2 x+ ≤56，
将 =1.4代入不等式，化简整理得，28x≤539，
解得x≤19 ，因为是正整数，所以x=19，
所以这个路段最多可以划出19个这样的停车位．
故答案为：19．
三．解答题（共8小题，满分52分）
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17．（6分）计算：cos245°+ ﹣ •tan30°．
解：原式=（ ）2+ ﹣ ×
= + ﹣1
= ．
18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且
AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
解：（1）∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2× = ，
∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，
即线段BE的长为2 ；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2 × =2，
∵BC=3，
∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，
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即∠ECB的余切值为 ．
19．（6分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象向左平移4个单位，再向上平移3
个单位，得到二次函数y=x2﹣2x+1，求：b，c的值．
解：将y=x2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位，得：y=（x﹣1﹣4）2﹣3=
（x﹣5）2﹣3=x2﹣10x+22．
故：b=﹣10，c=22．
20．（6分）某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中
A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，
C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路
程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，
tan15°≈0.27， ）
解：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形．
过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，
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∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，
∴AB= = ≈7m，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．
答：从A地跑到D地的路程约为47m．
21．（6分）如表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣ 0 3 …
1
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
解：（1）画图如图所示，
（3）根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0．
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22．（6分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境
中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面
几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测
得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50（° tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果
精确到1m）
（1）求B，C的距离．
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，
∴tan31°= ，即BD= =40m，
在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，
∴tan50°= ，即CD= =20m，
∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，
则B，C的距离为20m；
（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，
则此轿车没有超速．
23．（8分）小佳同学在学习乘法公式（a+b）2=a2±2ab+b2的多种运用后，发现可以
运用所学知识上数学课时，求代数式x2+4x+5的最小值？他的解答方法如下：
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解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x=﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x= 3 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 3 ；
（2）知识运用：若y=﹣x2+2x﹣3，当x=取何值时，y取得最大值？
解：（1）x2﹣6x+12=（x﹣3）2+3，
则x=3时，代数式的最小值是3，
故答案为：3；3；
（2）y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，
则当x=1时，y取得最大值是﹣2．
24．（8分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210
件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少
卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品
的售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多
少元？
解：（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，
当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．
则 ，
（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式
w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）
w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），
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