文档内容
3.3 轴对称与坐标变换 教学设计
1.教学内容
北师大版八年级数学上册第三章《位置与坐标》第3节《轴对称与坐标变换》。 主要内容是探究在平
面直角坐标系中，点关于x轴、y轴轴对称时坐标的变化规律，并能利用该规律作出一个图形关于坐标轴
对称的图形。
2.内容解析
本节内容是在学生已经学习了平面直角坐标系的概念和轴对称图形性质的基础上，将“形”的几何变
换（轴对称） 与 “数”的坐标变化联系起来，体现了数学中最重要的数形结合思想。它是本章的核心内
容之一，也是后续学习其他图形变换（如平移、旋转）的基础。通过本节课的学习，学生将从“数”的角
度重新认识和刻画“形”的变换，实现几何直观与代数表达的有机统一。
3.数学思想方法：数形结合、转化
根据以上分析，确定本节课的教学重点：点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律。
1.教学目标
（1）探索并掌握点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律；能根据轴对称的坐标变化规律，在坐标系中
作出一个简单图形关于坐标轴的轴对称图形。
（2）经历从具体实例到一般规律的探究过程，发展学生的观察、猜想、验证和归纳能力，经历从具体到
抽象的思维过程，发展模型观念和推理能力。
（3）通过小组合作与探究，体验数学活动充满着探索性与创造性，获得成功的体验，感受数学的对称美。
2.目标解析
（1）学生能根据几何图形的特征，选择适当的原点位置和坐标轴方向建立坐标系，并正确写出图形
中各点的坐标。
（2）通过小组合作探究，尝试多种建立坐标系的方法，比较优劣，选择最简便的方法解决问题。
·认知特点：学生具备一定的观察、归纳能力，但对“数”与“形”相结合的数学思想理解尚浅，需要教师
引导他们从具体的、直观的图形操作中抽象出一般的数量关系。·知识与能力基础：八年级学生已经掌握了平面直角坐标系各象限内点的坐标特征，能够根据坐标描点，也
能根据点的位置写出坐标。同时，在七年级下册和本章前两节，他们已经学习了轴对称图形的概念和基本
性质（对应点连线被对称轴垂直平分）。
·潜在困难与教学策略
部分学生可能只会机械记忆“关于谁对称谁不变”的口诀，而不理解其几何意义。教学中应强调通过
画图来验证和理解规律。基于以上分析，确定本节课的教学难点：理解和应用关于坐标轴对称的点的坐标
变化规律，实现“数”与“形”之间的自由转换。
突破难点：通过动手画图、观察比较、小组讨论等方式，让学生亲身经历规律的发现过程，从而突破
难点。
1.学习目标
（1）掌握点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，会应用此规律求图形变换后的坐标。
（2）在探究点关于坐标轴对称点的坐标过程中，理解“数”与“形”之间的转换。
（设计意图：让学生知道本节课要做什么，更有利于教学目标的达成）
（教学建议：教师展示学习目标，进行目标解读或学生读一读）
2.情景引入
展示一幅故宫或天坛的航拍图（或其他具有轴对称美的建筑）。
（1）这些建筑给我们什么样的美感？（对称美）
（2）在之前的学习中，我们是如何研究轴对称图形的？（从几何性质：对应点连线被对称轴垂直平分）
引出课题：“现在，我们已经在平面内建立了直角坐标系，能否从‘数’的角度，也就是用‘坐标’来精
准地描述这种轴对称变换呢？这就是我们今天要学习的《轴对称与坐标变换》。”
(设计意图：从生活实例和已有知识出发，提出新问题，激发学生探究欲望，明确本节课的学习目标。)
探究一 探究关于坐标轴对称的点的坐标规律
在图3-18所示的平面直角坐标系中，第一、第二象限内各有一面小旗。
(1)两面小旗有怎样的位置关系?对应点A与A 的坐标有什么关系?其他的对应点也有这个特点吗?
1
预设：关于y轴对称；A与A 的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
1
(2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的
坐标有什么关系?预设：
预设：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（教学建议：让学生独立尝试建立坐标系并写出顶点坐标，再小组内交流不同建立方法，最后全班展示典
型方法。）
总结：关于坐标轴对称的点的坐标规律
①关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
②关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
探究二 根据坐标特征判断图形的位置关系
例(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0, 0),(5, 4),(3, 0),(5,1)，(5，-1)，(3, 0),(4,-2)，
(0, 0)。你得到了一个怎样的图案?
答：依次连接各点得到的图案如图3-19所示，它像一条小鱼;
预设：
(2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1,依次连接这些点，你会得到怎样的图
案?这个图案与原图案有怎样的位置关系?
答：横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是 (0, 0),(-5, 4),(-3, 0),(-5, 1),(-5, -1),(-3, 0),(-4,
-2), (0, 0),依次连接这些点，所得图案如图3-20所示，它与原图案关于y轴对称。
操作·思考：将图3-19所示图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1,依次连接这些点，
你会得到怎样的图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系?
预设：关于y轴对称
思考·交流：关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?关于y轴对称的两个点呢?坐标具有这样关系
的两个点，关于坐标轴对称吗?与同伴进行交流。
预设：①关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相
反数的两个点关于x轴对称。
②关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横坐标互为相
反数的两个点关于y轴对称。
回顾·反思：回顾本章的学习，你对平面直角坐标系有哪些认识?
（设计意图：通过两个递进的探究，引导学生通过作对称图形找对称点坐标，并从具体坐标中抽象出共同
的数学本质，突出教学重点。）
1．如图，在边长为1的正方形网格中， 的顶点均在格点上，点 、 的坐标分别为 ，
．
(1)在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标；
(2)画出 关于y轴对称的 ．
【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求，点C的坐标为 ；（2）解：如图所示， 即为所求
2.如图， 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 ．其中，在正方形网
格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出 关于 轴对称的 ，其中，点 与点 对应，点 与点 对应；
(2)直接写出以 为顶点的四边形的面积为_____；
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图，以 为顶点的四边形的面积为 ，
故答案为：（设计意图：通过教师讲解、学生操作和思考相结合的方式，帮助学生理解图形变换与坐标的关系。小组
活动让学生在交流合作中发现规律，培养观察能力和归纳能力。）
（教学建议：让学生根据图形的对称变换写坐标，理解几何问题（图形的轴对称图形）可以转换为代数问
题（坐标运算）来解。）
P70随堂练习：如图，平面直角坐标系中有两个图形，它们具有怎样的位置关系?在图形中选择三对对应
点，每对对应点的坐标之间有什么关系?
答：两个图形关于x轴对称；
对应点及其坐标:点(6,3)和点(6,-3)，点(3,2)和点(3,-2)，点(-5,3)和点(-5,-3)；
每对对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（二）题型总结
题型一.求点关于坐标轴对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中，若点 与 关于y轴对称，则 ．
【分析】理解关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键．
【详解】解： 点 与 关于y轴对称， ， ．
题型二. 作轴对称图形
2.如图， 各顶点坐标是 、 、 ．(1)画出 关于 轴对称的 并写出 的坐标．
(2)求出四边形 的面积．
【分析】本题考查了坐标系中轴对称，图形的面积计算，熟练掌握对称点坐标确定的方法是解题的关键．
（1）先分别确定关于y轴的对称点 ，后依次连接即可得到所求图形．
（2）连接 ，根据梯形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解： 关于y轴的对称的点的坐标分别为
；如图所示，
则 即为所求，点 的坐标为 ；
（2）解：连接 ，如图，∴四边形 的面积为 ．
坐标与图形——平面直角坐标系中的动点问题
在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的
两点，点 和点 ，当 时， 轴，且 的长为 ；当 时，
轴，且 的长为 ．
【实践操作】
（1）①若点 ，点 的横坐标为2， 轴，则 的长为 ．
②若点 轴， ，则点 的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形 的边长为4，顶点 的坐标是 轴，则顶点 的坐标为 ，顶点
的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点 的坐标为 ；将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，连接 ．点
分别是线段 上的动点（不与端点重合），点 从点 出发，以 的速度向终点 运动，点
从点 出发，以 的速度向终点 运动，若两点同时出发，运动时间为 ，当 轴时，求 的
值．【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题
的关键．
（1）根据平行于 轴上的直线的点的坐标特征以及平行于 轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）根据平行于 轴上的直线的点的坐标特征以及平行于 轴上两点间的距离公式求解即可；
（3）由平移的性质得到 ，由题意得 ，根据 轴，得到点 的纵坐标相
等，即 ，求解即可．
【详解】解：①∵点 ，点 的横坐标为2， 轴，∴ 的长为 ；
②∵ 轴，点 ，∴设 ，
∵ ，∴ ，∴ 或 ，∴点 的坐标为 或 ，
（2）∵正方形 的边长为4，∴ ，
∵ 的坐标是 轴，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴顶点A的坐标为
；
∵正方形 ，∴ ，
∵ 轴，∴顶点B的坐标为 ，即 ；
（3）∵点A的坐标为 ，将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，∴ ，
由题意得 ，
∵ 轴，∴点 的纵坐标相等，∴ ，∴ ．
（设计意图：将图形的性质与坐标运算结合，“数”与“形”之间自由转换，最后转化为方程解决问题，
综合性较强.）（教学建议：难度较大，学生分层探究作答）
1.在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间有怎样的关系？反过来，坐标之间具有这样关系
的点关于坐标轴对称吗?
2.这些结论可以帮助你解决哪些问题?
1. 基础必做题：教材P70-71，习题§3.3第1、2、4题。
2. 能力提升题：梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
3. 课外实践题：教材P73，复习题第9题。
3.3 轴对称与坐标变换
一、关于坐标轴对称的点的坐标规律
①关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 例题：
②关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
二、应用：根据坐标特征判断图形的位置关系
①横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。
②纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。
三、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
①与x轴平行：纵坐标相等；②与y轴平行：横坐标相等
四、思想方法：数形结合、从具体到抽象
