文档内容
2.3 一元一次不等式与一次函数 导学案
1. 理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。
2.能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。
学习重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。
学习难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？
只含有 未知数，且未知数的次数是 ，左右两边都是 的不等式，叫做一元一次不等
式.
本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质吗？
①一次函数的一般形式是 （k≠0），其图像是 一条 。
②增减性：已知一次函数y=kx+b（k≠0）
当k>0时，y随x的增大而 ；
当k<0时，y随x的增大而 .
一元一次不等式与二次函数有什么关系？
新知自研：自研课本第67--69页的内容．
【学法指导】
自研课本P67-69页的内容，思考：
●探究一：一元一次不等式与一次函数
◆1.议一议
函数y=2x−5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：（1）x取什么值时，2x−5=0？
（2）x取哪些值时，2x−5>0？
（3）x取哪些值时，2x−5<0？
（4）x取哪些值时，2x−5>1？
◆2.尝试思考
如果y=−2x−5，那么：当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时，y<1？你是如何求解的？
解：方法一：利用解不等式的方法
方法二：结合并观察函数图像
①观察函数y=−2x−5的图象，图象在x轴 （y<0）时 ；
②观察函数图象y=1对应的x值，因函数递减，y<1时 x .
◆3.知识归纳
一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的 .
②一元一次不等式 kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数 y=kx+b的图像在x轴上 方（或
）时，所有 x的 .
这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想.
◆4.练一练
一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（ ）A．x>0 B．x<0
C．x<2 D．x>2
●探究二：两个一次函数与一元一次不等式的关系
◆1.想一想
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数
关系式，画出函数图象.
【解答】解:设哥哥跑的时间为x秒（x≥0），则：
弟弟跑的路程 y ：弟弟先跑9 m，之后每秒跑3 m
1
故 y = ；
1
哥哥跑的路程 y ：哥哥每秒跑4 m
2
故 y =
2
则函数图像如图所示：
问题解决
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
◆2.知识归纳两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或 ）时，所有 x 的 .
1 2
体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助.
◆3.练一练
如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x
2 2
C．x<3 D．x>3
●探究点三：实际问题中的一次函数与不等式——决策类问题
◆1.思考交流
某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，
所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。你认为
学校选哪个书店购书更合算？
【解答】解：①根据题意列一次函数
设购买图书的原价总额为x元，分别表示在甲、乙书店的实付款y 和y （实付款需包含会员卡费用）：
甲 乙
y = ，y =
甲 乙
②确定临界值
令 y =y ，解方程： ，解得
甲 乙
此时两书店实付款均为 元
③分情况讨论
画出y 与y 的函数图像，并标明交点
甲 乙
当图书原价 时，y y ,若y 3），分别写出
两种套餐的费用y 、y 与x的函数关系，并求出当x为何值时，选择套餐二更合算。
1 2
【解答】第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何利用一次函数解一元一次不等式（从数和形两个角度）；
B.探讨如何从一次函数角度解决决策类问题的方法.
C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法.
D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过坐标轴上A，B两点，则关于x的不等式kx+b<0的解集是（
）
A．x<1 B．x>1
C．x<−2 D．x>−2
2.若一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是（ ）
A．y<0 B．y>0
C．y<1 D．y>23.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b<0的解集是_________．
3 3
4.如图，已知函数y= x和y=ax+5的图像相交于点P(m,3)，则不等式 x0；②3(a−c)=d−b；
③x的值每增加1，y −y 的值增加d−b；
2 1
④a+b0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上 方（或
）时，所有 x的 .
▲２、两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或 ）时，所有 x 的 .
1 2
▲决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立 .
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比
较）
④分类讨论，确定 .
⑤总结结论，优化决策
