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2.3 一元一次不等式与一次函数 导学案
1. 理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。
2.能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。
学习重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。
学习难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？
只含有 未知数，且未知数的次数是 ，左右两边都是 的不等式，叫做一元一次不等
式.
本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质吗？
①一次函数的一般形式是 （k≠0），其图像是 一条 。
②增减性：已知一次函数y=kx+b（k≠0）
当k>0时，y随x的增大而 ；
当k<0时，y随x的增大而 .
一元一次不等式与二次函数有什么关系？
新知自研：自研课本第67--69页的内容．
【学法指导】
自研课本P67-69页的内容，思考：
●探究一：一元一次不等式与一次函数
◆1.议一议
函数y=2x−5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：（1）x取什么值时，2x−5=0？
（2）x取哪些值时，2x−5>0？
（3）x取哪些值时，2x−5<0？
（4）x取哪些值时，2x−5>1？
◆2.尝试思考
如果y=−2x−5，那么：当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时，y<1？你是如何求解的？
解：方法一：利用解不等式的方法
方法二：结合并观察函数图像
①观察函数y=−2x−5的图象，图象在x轴 （y<0）时 ；
②观察函数图象y=1对应的x值，因函数递减，y<1时 x .
◆3.知识归纳
一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的 .
②一元一次不等式 kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数 y=kx+b的图像在x轴上 方（或
）时，所有 x的 .
这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想.
◆4.练一练
一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（ ）A．x>0 B．x<0
C．x<2 D．x>2
●探究二：两个一次函数与一元一次不等式的关系
◆1.想一想
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数
关系式，画出函数图象.
【解答】解:设哥哥跑的时间为x秒（x≥0），则：
弟弟跑的路程 y ：弟弟先跑9 m，之后每秒跑3 m
1
故 y = ；
1
哥哥跑的路程 y ：哥哥每秒跑4 m
2
故 y =
2
则函数图像如图所示：
问题解决
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
◆2.知识归纳两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或 ）时，所有 x 的 .
1 2
体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助.
◆3.练一练
如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x<ax+4的解集为（ ）
3 3
A．x< B．x>
2 2
C．x<3 D．x>3
●探究点三：实际问题中的一次函数与不等式——决策类问题
◆1.思考交流
某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，
所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。你认为
学校选哪个书店购书更合算？
【解答】解：①根据题意列一次函数
设购买图书的原价总额为x元，分别表示在甲、乙书店的实付款y 和y （实付款需包含会员卡费用）：
甲 乙
y = ，y =
甲 乙
②确定临界值
令 y =y ，解方程： ，解得
甲 乙
此时两书店实付款均为 元
③分情况讨论
画出y 与y 的函数图像，并标明交点
甲 乙
当图书原价 时，y <y ，甲更合算；
甲 乙
当图书原价 时，甲乙费用相同；当图书原价 时，乙更合算；
结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于 元选甲，高于 元选
乙，等于 元均可
◆2.知识归纳
决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比
较）
④分类讨论，确定
⑤总结结论，优化决策
3.典例分析
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的
服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社
表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费
用较少？
【分析】分别设甲旅行社的费用为y ,乙旅行社的费用为y ,利用若y =y ,若y >y ,若y <y ,分别求出答案.
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】
◆4.练一练
某通讯公司推出两种流量套餐：
套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费；
套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费。 设每月使用流量xGB（x>3），分别写出
两种套餐的费用y 、y 与x的函数关系，并求出当x为何值时，选择套餐二更合算。
1 2
【解答】第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何利用一次函数解一元一次不等式（从数和形两个角度）；
B.探讨如何从一次函数角度解决决策类问题的方法.
C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法.
D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过坐标轴上A，B两点，则关于x的不等式kx+b<0的解集是（
）
A．x<1 B．x>1
C．x<−2 D．x>−2
2.若一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是（ ）
A．y<0 B．y>0
C．y<1 D．y>23.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b<0的解集是_________．
3 3
4.如图，已知函数y= x和y=ax+5的图像相交于点P(m,3)，则不等式 x<ax+5的解集是________．
4 4
5. 一次函数y =ax+b与y =cx+d(a≠0,c≠0)的图像如图所示，则下列结论：
1 2
①ad+bc>0；②3(a−c)=d−b；
③x的值每增加1，y −y 的值增加d−b；
2 1
④a+b<c+d．
其中正确的是_________．
6.某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半价
优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．已知全票价格为240元．根据学生人数
讨论哪家旅行社更优惠？
题型一：用一次函数的图象解一元一次不等式
1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b≥3的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
2．若函数y＝ax和y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＜c的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＜2 C．x＞1 D．x＞2
3．（2024春•海州区校级期中）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx
﹣2k≤x时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2
4．一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＜0；③y 随x的增大而
1 2 1
增大；④当x＜3时，y ＞y ；⑤3k+b＝3+a．其中正确的个数是（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
5．直线 y ＝ax 与直线 y = x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于 x 的不等式
1 2 21
ax＜ x+b的解集为 ．
2
题型二：两个一次函数与一元一次不等式的关系
6．如图，已知一次函数 y ＝kx﹣b与y ＝nx函数图象相交于点 M，当kx﹣b＝nx时，x的值是
1 2
，当y ＞y 时，x的取值范围是 ，当y ＜y 时，x的取值范围是 ．
1 2 1 2
7．函数y ＝2x+4，y ＝5x﹣10，使y ＜y 的x的范围是 ．
1 2 1 2
8．已知函数，y ＝﹣2x+3，y ＝3x+4，则当y ＞y 时，则x的取值范围是 ．
1 2 1 2
题型二：一次函数与一元一次不等式的综合运用
9．作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；
（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；
（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．
1
10．如图，函数y＝﹣2x+3与y=− x+m的图象交于P（n，﹣3）．
2
（1）求出m、n的值；1
（2）结合函数图象，直接写出不等式− x+m＞﹣2x+3的解集；
2
1
（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=− x+m的交点在y轴
2
上，求a的值．
11．如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且OA＝5，并于一次函数
1
3
y =− x−1的图象交于点B，已知点B的横坐标为﹣4．
2 4
（1）求一次函数y ＝kx+b的解析式；
1
（2）求△AOC的面积；
3
（3）请直接写出当kx+b＜− x−1时，自变量x的取值范围．
4
题型三：一次函数解决方案选择问题12．某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶
xkm，应付给个体车主的月租费是y 元，付给出租车公司的月租费是y 元，y ，y 分别与x之间的函数关
1 2 1 2
系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
13．尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班
准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多
于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为 15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
y 元，选择第二种方案购买所需费用为y 元．
1 2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的关系式；
1 2
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更
为优惠．
14．某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如
图所示．（1）写出点A表示的实际意义；
（2）观察图象可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择 种套餐划算；
（3）李明预计每月的通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用．
15．为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两
种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个
时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．
（1）设方案一的总费用为y ，方案二的总费用为y ，请分别写出y ，y （元）与x（个）之间的函数关系
1 2 1 2
式；
（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．▲1、一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的 .
②一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上 方（或
）时，所有 x的 .
▲２、两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或 ）时，所有 x 的 .
1 2
▲决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立 .
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比
较）
④分类讨论，确定 .
⑤总结结论，优化决策
